Евклид. Геометрия

ГЛАВА 2 Структура «Начал»

Не меньшее значение, чем содержание, имеет структура «Начал»: Евклид отталкивается от краткого списка гипотез и переходит к дедуктивному доказательству многочисленных предложений. Такой подход сообщает этому произведению основательность, кажущуюся непогрешимой. Однако этот крепкий фундамент евклидового здания состоит в том числе и из кирпичиков общих представлений о математике, восходящих к философии Платона и Аристотеля.

«Начала» являются прямым наследием философии Платона и Аристотеля. По Платону, материальные объекты также являются идеальными, то есть существуют в мире идей. Аристотель возражал против этого, и можно утверждать, что текст Евклида написан под влиянием Аристотеля. И все же платоновская философия математики особо изучалась в Академии, о чем свидетельствует надпись над входом: «Да не войдет сюда не знающий геометрии».

Мы же ограничимся комментарием к аналогии разделенной линии, о которой Платон пишет в шестой книге «Государства» (см. схему на следующей странице). Существуют три воплощения предмета «кровать»: «кровать, созданная Богом», «кровать, сделанная плотником» и «кровать, нарисованная художником». «Бог, — говорит Платон, — желая быть истинным создателем истинно существующей кровати, [...] создал ее по природе своей единственной». Плотник же делает копии. А художник копирует плотника, но не «настоящую кровать».

В этом примере затрагивается вопрос существования, один из основных в платоновской философии, поскольку, по Платону, невозможно от эпистемологии (то есть знания или познания) перейти к онтологии (реальности, являющейся предметом познания). Он задается следующими вопросами: все ли кровати реальны, или же только некоторые, или ни одна? Что мы подразумеваем под «реальным», точнее, о какой реальности мы говорим, когда утверждаем, что научное знание состоит в «истинном познании реальности»? Если мы сузим вопрос до области математики, то как надо понимать математические объекты (вопрос эпистемологического характера) и что мы можем сказать об их существовании (проблема онтологического характера)?

По Платону, есть две реальности: реальность умопостигаемого мира идей, которую можно познать истинным знанием, и зримая реальность окружающего нас мира, о которой можно иметь лишь мнение. Приводя аналогию с разделенной линией, философ говорит об умопостигаемом, имея в виду, что мы можем понять только верхний уровень линии, неизменный уровень идей, нижний же отрезок относится к изменчивому миру, и о нем мы можем только составить мнение.

Разделенная линия, книга VI «Государства» Платона.

Афинская Академия была основана Платоном около 388 года до н.э. как философская школа. Она была построена в садах Академа, легендарного героя греческой античности, в последний раз возрождалась после смерти Прокпа в 485 году и была окончательно закрыта в 529-м по приказу императора Юстиниана. В стенах Академии разворачивалась основная философская и научная деятельность той эпохи. Там изучали медицину, совершенствовались в риторике и углублялись в астрономию, уделяя особое внимание гелиоцентрической теории. По всем этим дисциплинам разворачивались открытые дискуссии.

Афинская Академия сегодня. Статуи Платона и Сократа.

По этой аналогии изменяющиеся, преходящие объекты (расположенные в нижней части линии) являются предметом doxa (мнения), а непреходящие (в верхней линии) — предметом gnosis (знания). Математические объекты вечны, но занимают промежуточное положение: они не принадлежат ни нижнему, ни верхнему уровню.

Платон устанавливает четкое разделение между способами рассуждения в диалектической речи (свойственной философу) и научной (присущей математику).

Математическое рассуждение использует гипотезы. Умопостижение, присущее философу, идет дальше, чем построение гипотез. Оно заключается не в математических рассуждениях, идущих от гипотез к теоремам, а в философии и ставит вопросы самой математике: что означают гипотезы? Почему они приемлемы? Могут ли они быть другими? Математической деятельности не хватает возвращения от выводов к гипотезам.

О математических фигурах Платон говорит:

«— Но ведь когда они вдобавок пользуются чертежами и делают отсюда выводы, их мысль обращена не на чертеж, а на те фигуры, подобием которых он служит. Выводы свои они делают только для четырехугольника самого по себе и его диагонали, а не для той диагонали, которую они начертили. То же самое относится к произведениям ваяния и живописи: от них может падать тень, и возможны их отражения в воде, но сами они служат лишь образным выражением того, что можно видеть не иначе как мысленным взором. — Ты прав».

Так, когда математик устанавливает истинность общего свойства треугольника (как, например, в предложении 16 первой книги), не важно, каков он — остроугольный, прямоугольный, тупоугольный, — даже если конкретная фигура, на которой он объясняет свои рассуждения, является остроугольным треугольником. Если же свойство, которое он хочет показать, зависит от вида треугольника, тогда он создает по теореме отдельно для каждого конкретного случая, как общая теорема Пифагора, из которой следуют три теоремы: предложение 47 первой книги и предложения 9 и 10 второй книги.

Рафаэль написал «Афинскую школу» в 1509 году по заказу папы Юлия II. На картине символически изображена философия, одна из четырех классических дисциплин, вместе с теологией, правом и медициной. Художник собрал всех персонажей, считавшихся в Средневековье отцами философии, но вдохновлялся знаменитостями своего времени: так, прообразом Платона послужил Леонардо да Винчи, а Гераклита — Микеланджело.

Список персонажей.

1. Зенон Элейский. 2. Эпикур. 3. Федерико II Гонзага. 4. Боэций или Анаксимандр или Эмпедокл. 5. Аверроэс. 6. Пифагор. 7. Алкивиад или Александр Македонский. 8. Антисфен или Ксенофонт. 9. Гипатия (Маргерита) или Франческо Мария делла Ровере. 10. Эсхин или Ксенофонт. 11. Парменид. 12. Сократ. 13. Гераклит (Микеланджело). 14. Платон (с «Тимеем», Леонардо да Винчи). 15. Аристотель (с «Этикой»). 16. Диоген Синопский. 17. Плотин. 18. Евклид или Архимед (Браманте). 19. Страбон или Заратустра. 20. Клавдий Птолемей. 21. Протоген. 22. Апеллес (Рафаэль).

Платон резюмирует сущность математического знания в своем седьмом письме:

«Чтобы достигнуть познания всего сущего, необходимо пройти три ступени; четвертая и есть само знание, а за пятую надо принять познаваемый предмет, существующий на самом деле. Первая ступень — имя, вторая — определение, третья — изображение, четвертая — знание».

Затем он подробно описывает каждую ступень по отдельности: определяющее название — definiens (например, «круг»), definiendum (определение), рисунок («его можно нарисовать и стереть») и настоящее мнение, то есть представление о совокупности его характеристик, в случае математики — соответствующие теоремы.

Аристотель же во «Второй аналитике» пишет, что доказательные науки сочетают в себе два аспекта: касающийся значения, то есть терминов, и касающийся существования, то есть предметов. Второе различие пересекается с предыдущим: необходимо отличать первичные термины и предметы от производных терминов и предметов (или свойств). Высказывания, в которых устанавливается значение или факт существования, являются тезисами; в частности, значение устанавливается в определениях, а существования — в гипотезах. Определения «ничего не говорят о существовании определенного предмета», они отвечают на вопрос: «Что это?», а не на «Существует ли?». Гипотезы, в свою очередь, делятся на общие понятия, в которых ум не может сомневаться (настолько они убедительны по своему существу), и на постулаты, не настолько очевидные и предполагающие существование некоторых сущностей. Общие понятия часто называют аксиомами. Современные математики не видят существенной разницы между ними и постулатами. Среди математических объектов есть «первичные», например величина в арифметике или в геометрии, существование которой «дано». Существование же всех остальных объектов необходимо установить. Предложения и теоремы описывают существующие объекты: «Если объекта не существует, высказывание ложно». Вопрос о существовании имеет основополагающее значение. Это не существование идей, предшествующих всему, как у Платона, а существование на основании аксиомы или доказательства, ведущего к ней.

Во «Второй аналитике» Аристотель пишет:

«Предположения — это суждения, при наличии которых получается заключение благодаря тому, что они есть. И геометр не предполагает нечто ложное, как это утверждали некоторые, указывая, что не следует пользоваться ложными положениями, а геометр как раз и допускает ложное, когда про линию, не имеющую в длину фута, говорит, что она имеет эту длину, или про начерченную линию, не являющуюся прямой, говорит, что она прямая. Однако геометр ничего не выводит на основании того, что линия такая, какой он сам ее назвал, но выводит посредством того, что он этим имел в виду. Далее, всякий постулат и всякое предположение берется или как нечто целое, или как часть; определения же — ни как то, ни как другое».

Аристотель установил метод построения научного рассуждения. Он кажется похожим на метод Платона, но это не так: Аристотель не делает различия между истинностью постулатов и истинностью, которая находится за пределами возможного познания. Есть истины, которые просто фиксируют факт существования и общие понятия с более широкой областью применения. Цепь рассуждений, подобно цепочке силлогизмов, идет от само собой разумеющейся истины к истине, доказываемой в теореме: у истины общих понятий и у истины теорем одна и та же природа. Однако Аристотелю требуются определения, в чем его мысль (ученика) опять расходится с представлениями Платона (учителя): необходимые и достаточные условия тесно связаны с терминами, применяемыми в определениях, и делают их правильными.

Философию науки — в частности, математики — Аристотеля можно представить в виде схемы.

Принято считать, что Евклид написал 13 книг с общим названием «Начала». Они изложены на койне с использованием символов, обозначающих геометрические понятия, в частности точки, величины и числа. Впоследствии к ним были добавлены еще две книги: книга XIV Гипсикла (ок. 190-120 до н.э.) и XV — неизвестного автора, возможно Исидора Милетского. Первое из более тысячи изданий «Начал» было сделано Эрхардом Ратдольтом (1442-1528) в Венеции в 1482 году, почти через 30 лет после публикации Библии Гуттенберга. Эрхард напечатал вариант с комментариями итальянского ученого Джованни Кампано (1220-1296), который, в свою очередь, опирался на перевод, сделанный английским монахом Аделярдом Батским (ок. 1080-1160). В первых четырех книгах не упоминается теория отношений. Они посвящены планиметрии, а не дидактике, и тем не менее сильно различаются.

— Книга I считается основной. В ней содержатся 23 определения, пять постулатов и пять общих понятий. Главная тема книги — теория треугольников. Представлены основы техники танграма для доказательств и построений с линейкой и циркулем. В конце книги — определение прямоугольных треугольников как таких, которые попадают под теорему Пифагора. Показаны дедуктивные возможности метода доведения до абсурда.

— Книга II содержит геометрическую алгебру, точнее элементарные алгебраические преобразования вида (х ± у)² = х² + у² ± 2ху, х² - у² = (х + у)(х — у) и их производные, но не с числами, а с размерами (отрезками), требующими построения; геометрическое решение линейных уравнений второго уровня из «Данных»; построение золотого сечения и теорема косинусов, обобщение теоремы Пифагора для непрямоугольных треугольников (остроугольных и тупоугольных). В книге есть два определения, а в заключении — предложение 14, недостающее звено для квадратуры многосторонних фигур.

— Книга III: геометрия окружности; И определений.

— Книга IV: построение правильных многоугольников при помощи линейки и циркуля: равностороннего треугольника (а также в первом предложении книги I), квадрата (предложения 6 и 7), пятиугольника (предложение И), шестиугольника (предложение 15) и 15-угольника (предложение 16). Содержит семь определений.

Авторство книг V и VI приписывается Евдоксу Книдскому. Эти тома легли в основу теоремы Фалеса для прямых и площадей многосторонних фигур и для вычисления площадей и объемов.

— Книга V имеет важнейшее значение для понимания древнегреческой геометрии в период Академии. Содержит 18 определений, среди которых особенно выделяются определения соотношения и пропорции. Устанавливает, для каких величин верна теория отношений.

— Книга VI содержит теоремы Фалеса, то есть теоремы о катетах прямоугольного треугольника, из которых выводится теорема Пифагора. Это очень важная книга. Одно из четырех ее определений, вероятно, не принадлежит Евклиду.

Книги VII, VIII и IX относят к пифагорейской школе, хотя есть и другие мнения. В этих книгах содержатся начала арифметики на основе теории частей или рациональных чисел.

— В книге VII определяется, что единица не является числом: согласно этой концепции «все, что есть, есть единица»; даются определения части и простого числа, основы деления, алгоритм и лемма Евклида. В книге 22 определения, последнее из которых — определение совершенного числа. Эти определения используются во всех трех книгах, посвященных арифметике.

— Книга VIII посвящена изучению непрерывных пропорций натуральных чисел — геометрических прогрессий со знаменателем 2.

— Книга IX содержит важную теорему о существовании бесконечного числа простых чисел, необходимую (и, возможно, достаточную) для установления основной теоремы арифметики.

— В книге X встречаются отсылки к Феодору и Теэтету. В ней рассматривается несоизмеримость и приводится классификация иррациональных линий. Это самая длинная, самая техническая и устаревшая из всех книг Евклида. Содержит 16 определений, не все из которых принадлежат Евклиду, и фигуры, используемые для построения Платоновых тел в книге XIII.

— В книге XII описывается метод исчерпывания. Это название было в свое время предметом споров, но в итоге осталось в веках. С его помощью вычисляется площадь круга и объемы пирамиды, конуса и шара. Это сложная книга; труднейшие задачи, изложенные в ней, решил только гениальный Архимед. Ее основное содержание приписывается Евдоксу.

— В книге XIII описывается построение пяти Платоновых тел — тетраэдра, гексаэдра (или куба), октаэдра, додекаэдра и икосаэдра — и доказывается, что существуют только они. Октаэдр и икосаэдр, построение которых, видимо, не рассматривалось пифагорейской школой, были построены Теэтетом в Академии.

Математика как наука началась, когда некто, возможно какой-то грек, сформулировал предложения о чем-то, не описывая никаких особенностей этого нечто.

Альфред Норт Уайтхэд (1861-1947)

Всего в 13 книгах Евклида содержится 140 основных положений (130 определений, пять постулатов и пять общих понятий) и 465 вытекающих из них предложений (93 задачи и 372 теоремы), а также 19 поризмов и 16 лемм.

Книга XIV была написана Гипсиклом Александрийским во II веке до н. э. Самые важные ее результаты — установление соотношений между площадями и объемами Платоновых тел.

Авторство небольшой книги XV предположительно принадлежит Исидору Милетскому, составившему ее в VI веке. В ней рассматривается вписывание некоторых правильных многоугольников в другие.

Предложения одной книги часто зависят от предложений предыдущих (см. таблицу ниже). Книги VII, VIII и IX не зависят от других, поскольку при их чтении можно обойтись без остальных частей, введя нужные определения.

Остальные же построены вокруг двух концептуальных основ: книги I и книги V. Можно сказать, что в них собраны достижения, предшествовавшие Академии и последовавшие за ней. Книги с X по XIII сильно связаны с обоими источниками.

Взаимосвязь разных книг «Начал».

Необходимо уточнить, что имеется в виду под «элементом» в геометрии[¹ Сочинение Евклида традиционно называется «Начала», но на древнегреческом это слово также имеет значение «элемент». — Примеч. перев.]. Аристотель в «Топике» говорит: «В геометрии необходимо оперировать элементами»; а Прокл в своем комментарии пишет:

«Если геометрия располагает некоторыми элементами, то можно будет понять все остальные науки, без них же невозможно охватить все ее разнообразие, и другие науки будут недосягаемы».

Прокл также описывает различные значения этого термина. По мнению Гиппократа Хиосского, элемент — это положение, имеющее фундаментальную важность для получения и дедуктивной организации других результатов; Менехм рассматривал элемент в двух значениях: «слабом», когда он имеет вид предыдущей леммы (например, предложение 1 из книги I по отношению к предложению 2 той же книги), и «сильном», когда он имеет вид определения, общего понятия и постулата. Сочинение Евклида может именоваться «Элементы» («Начала») именно в «сильном» значении слова, хотя в нем встречаются элементы и в «слабом» значении, так как, определив основные принципы, он придает своему труду дедуктивную структуру и, следовательно, большую дидактическую ценность. Поэтому в «Началах» содержатся не все известные на тот момент геометрические результаты, а только те, которые могут служить основой последующих рассуждений. В этом смысле «Начала» превосходят другие предшествующие ему сочинения с таким же названием. Такие мыслители, как Архимед, Аполлоний, Эратосфен, Птолемей, Папп, Прокл, используют этот труд как главный свод начальных знаний для изучения математики.

Как мы уже сказали, структура «Начал» соответствует духу Аристотеля. Напомним, что общие понятия (см. таблицу) — это само собой разумеющиеся истины. Мы сконцентрируемся на пяти из них и затронем шестое. В общих понятиях говорится об отношениях равенства или неравенства количественного типа, что подходит для геометрических величин, натуральных чисел и пропорций. Таким образом, их область применения очень широка, и с точки зрения методологии «Начал» они имеют первоочередное значение.

Два общих понятия, четвертое и шестое, не попадают под это описание, поскольку относятся к геометрическим объектам и поэтому должны быть включены в список постулатов. Четвертое общее понятие косвенно вводит понятие движения: если мы сместим два геометрических объекта и они совпадут, значит, до перемещения они были равны. Шестое общее понятие, которое Евклид использует в качестве примера в предложении 4 книги I, имеет чисто геометрический характер: в нем говорится о геометрических объектах и вопросе (не-)существования.

Напротив, постулаты (см. таблицу) фиксируют обстоятельства существования, в том числе и определенных геометрических объектов.

Первые три постулата относятся к так называемому построению с помощью линейки и циркуля. В них утверждается, что существуют прямые, концами которых являются две точки (и эти прямые можно продолжить до бесконечности), и окружности с заданным центром и радиусом. У циркуля нет памяти: если он закрылся, значение невозможно восстановить. Но во втором предложении книги I циркуль ведет себя как инструмент, наделенный памятью.

Остановимся на минуту и подумаем о существовании предметов, которым дали определение. По Платону, существование реально. Определение всего лишь дает имя уже существующему объекту, позволяя нам дать ему образ. А по мнению Аристотеля, для первичных вещей существование постулируется, для вторичных — должно устанавливаться. Следовательно, у существования есть пределы. Аристотель пишет:

«Если нечто не существует, то никто не знает, что это; следовательно, мы не знаем, к чему относится речь или имя, как когда я говорю о химере, никто не может знать, каково это существо, когда я его называю.

Таким образом, определение как наименование не подразумевает существования, хотя, по логике, должно соответствовать какой-то реальности. Обычно в геометрии существование устанавливается после точного определения объекта. Поэтому необходимо очень внимательно использовать определения в доказательствах до того, как установлено существование определяемого объекта.

Они нуждаются в примерах осязательных, доступных, понятных, наглядных, не вызывающих сомнения, с математическими доказательствами, которые нельзя опровергнуть, вроде, например, такого: «Если мы из двух равных величин вычтем равные части, то остатки также будут равны».

Прослеживается четкая разница между первыми определениями, которые опираются на такие неопределенные понятия, как часть, ширина, длина и так далее, и остальными, основанными на уже рассмотренных геометрических понятиях, например круг, центр, диаметр, трехсторонние фигуры и так далее. Аристотель утверждает, что существование некоторых понятий и объектов очевидно: это «линия», «прямая линия» и «величина» в геометрии и «единица» в арифметике. Группа определений не всегда выделяется последовательно. Так, в определении диаметра мы читаем: «Эта прямая делит круг на две равные части», но это является ее свойством, которое необходимо доказать, а не определением.

Мы увидели, что определения не подразумевают факт существования определяемого объекта,— его надо установить. Для этого необходимо решить задачу вида «существует ли такой предмет, как...». В сочинении Евклида для построения геометрических объектов используются только прямые и окружности, других инструментов не дается. Следовательно, единственные существующие точки — те, которые возникают в местах пересечения этих линий.

После того как объект построен и задача решена, нужно убедиться, что он именно такой, как нужно, то есть построение соответствует характеристикам, данным в определении. Необходимо сформулировать теорему. Теоремы «устанавливают существование как данное»; они говорят «вот объект» и констатируют, что между различными утверждениями есть логическая связь.

Для решения задач необходим анализ, то есть знание некоторых базовых сведений, которые позволяют построить объект. Например, если дана сторона АВ, нужно подумать, какие инструменты потребуются для построения равностороннего треугольника. Для этого можно представить его уже построенным и рассмотреть, что связывает все его части (см. построение пятиугольника в главе 4). В теоремах же главное — синтез от постулатов к требуемому результату. Первое предложение первой книги, несмотря на всю его простоту, позволяет нам проследить разницу между анализом и синтезом.

Книга I, предложение 1.

На данной ограниченной прямой можно построить равносторонний треугольник (см. рисунок).

В этом предложении есть все необходимое (см. таблицу на следующей странице). Для построения используются постулаты 3 и 1. В доказательстве используется определение 15, общее понятие 1 и элементарная логика. Представив изначально равносторонний треугольник ЛВС, мы получаем множество отправных точек для построения и доказательства. Исходя из этого «идеального» образа можно провести синтетическое доказательство, поскольку в нем стороны равны и образуют треугольник. В другом случае, например с правильным пятиугольником, это будет гораздо сложнее.

Хотя у циркуля нет памяти, по первому постулату возможно «от данной точки отложить прямую, равную данной прямой» и таким образом добавлять равные отрезки, необходимые для построения правильных фигур. Также возможно разделить отрезок на меньшие части.

Проанализируем еще два доказательства, чтобы рассмотреть логико-дедуктивный метод «Начал».

Книга I, предложение 5.

В равнобедренных треугольниках углы у основания равны между собой (см. рисунок).

1. Дан равнобедренный треугольник ΔABG с равными сторонами АВ и AG (определение 20).

2. Продлим их на равные отрезки BZ и GH соответственно (общее понятие 2, предложение 2).

3. Соединим Z c G, а Н с В (постулат 1).

4. Треугольники ΔAGZ и ΔAВН равны (предложение 4, по критерию равенства треугольников сторона — угол — сторона), поскольку у них равны стороны ^4Z и АН (общее понятие 2) и AG и АВ соответственно, и общий угол между ними. Следовательно, углы

5. Треугольники ΔGBZ и ΔBGH равны (предложение 4), следовательно, углы

Книга I, предложение 15. Если две прямые пересекаются, то образуют в вершине углы, равные между собой (см. рисунок).

1. Прямые АВ и CD пересекаются в точке Е (утверждение).

2. Необходимо доказать, что углы

3. Суммы пар углов <СЕВ <СЕА и <СЕА

4. Следовательно, суммы пар углов <СЕВ <СЕА и <СЕА

5. Если мы вычтем из обеих пар угол <СЕА, оставшиеся углы <СЕВ и

Обратим внимание на то, что Евклид прибегает к определениям, уже доказанным предложениям, общим понятиям и постулатам. С их помощью, последовательно связывая рассуждения и построения, мы достигаем искомого результата исходя из заданных условий. Простота этих доказательств придает им большое изящество.

Но иногда Евклид прибегает и к косвенному методу доведения до абсурда. Этот способ заключается в постулировании утверждения, обратного тому, которое требуется доказать, — здесь Евклид и читатель должны быть согласны друг с другом. Путем рассуждений мы приходим одновременно к некоему предложению и к его отрицанию, то есть к неприемлемому результату. Следовательно, исходное утверждение оказывается неверным, а обратное ему, которое и требовалось доказать, истинно. Здесь кроется логический принцип, который Евклид нигде не объясняет отдельно: из двух обратных друг другу утверждений — когда одно является отрицанием другого — одно обязательно будет верным, а другое ложным. Хотя Евклид и никогда не описывал метод доведения до абсурда, он часто прибегал к нему. Этот метод доказательства по своему существу можно считать аристотелевским; его с трудом можно вписать в анализ, скорее он лежит в области синтеза.

Фрагмент папируса с рисунком, иллюстрирующим предложение 5 книги II Евклида, найденный при раскопках Оксиринха (Пемжде), древнего города в 160 км от Каира.

Изложение в рисунках первого предложения книги I. Оливье Бирн(1810- 1890).

АРИСТОТЕЛЬ И ИРРАЦИОНАЛЬНОСТЬ √2

Для доказательства того, что не существует ни одного числа, которое в квадрате было бы равно двум, философ использовал метод доведения до абсурда.

Нет причин для существования числа, квадрат которого был бы равен 2.

На современном языке это означает, что квадратный корень из числа 2 — иррациональное число. Аристотель сначала принимает истинным противоположный постулат о том, что это число рациональное, и приходит к заключению: в таком случае «четное число одновременно есть также и нечетное», а это невозможно. Запишем его рассуждения в современном виде.

Предположим (дополнительная гипотеза), что

2 = m²/n²

где m и n — два числа разной четности. Следовательно, 2n^² = m^². Тогда, если m — четное число (то есть m = 2m'), то n — нечетное. Следовательно, 2n^² = 4m'^². То есть n^² = 2m'^², и n — четное.

Теперь рассмотрим еще один пример, который показывает, что, используя метод доведения до абсурда, Евклид прибегал к идеальным математическим объектам. Как мы уже сказали, при доказательстве необходимо установить, что построенные математические объекты правильны. Тем не менее метод доведения до абсурда предполагает, что в начале допускается существование неких математических объектов, как если бы они были реальными. Потом доказывается, что эта предпосылка ошибочна, то есть требуется построение объектов, которые не могут быть построены.

Эту проблему можно решить, приняв тот факт, что процесс построения происходит только в идеальной области фигур. Например, представим себе круг и прямую: они пересекаются или в двух точках, или в одной (в случае с касательной), или вообще не пересекаются. Если они пересекаются в двух точках, то эти точки существуют в идеальной геометрии, или, иначе говоря, в геометрической методологии. Например:

РИС. 1

Книга I, предложение 6. Если у треугольника два угла равны, то и противоположные им стороны равны.

Евклид рассматривает фигуру на рисунке 1 (треугольник АВС с равными углами СВА и АСВ, у которого при этом противоположные стороны АВ и АС неравны; например, одна, АВ, длиннее АС).

Но такого треугольника не существует. Это иллюстрация дополнительного постулата, который оказывается ложным.

Рисунок 2 проясняет ход рассуждений Евклида. Мы и включаем его в эту главу, поскольку на его примере видны трудности использования ошибочных фигур. Они используются, чтобы облегчить понимание доказательства, но этой цели труднее достичь, когда фигуры заведомо невозможны.

РИС. 2

В таких доказательствах нет простоты, характерной для анализа, но в них видна глубина знаний геометрии и логико-дедуктивного метода, присущего синтезу. Необходимо упомянуть, что эта доказательная техника пришлась по нраву не всем древнегреческим геометрам, поэтому в различных комментариях к «Началам» встречаются и другие доказательства, приведенные, чтобы избежать ее. Яркий тому пример — Герои Александрийский.

Так или иначе, структура «Начал» была достаточно солидной, чтобы затмить все предшествующие им трактаты. Возможно, именно в разработке этой структуры и заключается главное наследие Евклида. Теперь мы перейдем к изучению содержания: рассмотрим книгу I и метод танграма, роль бесконечности, значение и происхождение постулата о параллельных, природу и значение иррациональных величин, а также метод исчерпывания, построение Платоновых тел и, наконец, величайший вклад в науку Пифагора — арифметику.