Евклид. Геометрия

ГЛАВА 6 Квадратура круга

Одним из главных достижений пифагорейской школы было открытие возможности построить квадратуру любой многосторонней плоской фигуры. Но было ли это справедливо для круга и других фигур с одной или всеми изогнутыми сторонами? Этот вопрос занимал не только математиков, но и мыслителей, и со временем выражение «квадратура круга» стало синонимом неразрешимой задачи.

Метод танграма позволяет построить квадратуру любой многосторонней плоской фигуры. Вследствие любви к обобщению древнегреческие геометры задавались вопросом: можно ли свести к квадрату фигуры с округленными сторонами и, в частности, идеальную фигуру — круг? Первым к решению этой задачи приступил гениальный математик Гиппократ Хиосский. Он разработал серповидные фигуры (гиппократовы луночки): одну над окружностью, другую — над меньшей частью окружности и еще одну — над ее большей частью. Для доказательства, основанного на методе танграма, Гиппократу были необходимы два результата:

— теорема Пифагора;

— доказательство того, что соотношение площадей двух окружностей равно соотношению квадратов их диаметров.

Маловероятно, что Гиппократ располагал этими доказательствами: скорее всего, он интуитивно догадался об их существовании. Сейчас мы подробно рассмотрим решение задачи квадратуры луночки над окружностью.

Рассмотрим дугу AGB, проведенную над стороной АВ квадрата ADEB_y и полуокружность АСВ. Между ними находится луночка AGBCAy выделенная на рисунке 1 серым цветом. Докажем, что ее площадь равна площади равнобедренного ΔАСВ. Луночка состоит из треугольника АСВ за вычетом сегмента S плюс два равных сегмента S₁ и S₂:

площадь AGBCA = площади АСВ — S + (S₁ + S₂).

Так Гиппократ применяет метод танграма. Все сводится, следовательно, к доказательству того, что S = S₁ + S₂. Из теоремы Пифагора мы знаем, что

АВ^² = АС^² + СВ^². (*)

РИС. 1

Теперь достаточно объединить площади поверхностей S с указанными выше квадратами. Как мы уже сказали, Гиппократ предполагал, что круги относятся друг к другу как квадраты их диаметров, то есть выполняется соотношение

S/АВ² = S₁/AC² = S₂/CB²

Следовательно,

S/AB² = (S₁ + S₂)/(АС² + СВ²)

(исходя из предложения 12 книги V). Согласно (*) получается, что S = S₁ +S₂. Действительно, очень изящное доказательство! Так была открыта дорога к решению задачи о квадратуре круга.

Древнегреческие софисты Антифонт (480-411 до н. э.) и Брисон (ок. V века до н. э.) также занимались вопросом квадратуры круга и пришли к простому и бесспорному на первый взгляд выводу. Они предлагали описать круг методом приближения вписанных в него (Брисон добавлял — и описанных) многоугольников, построенных путем разделения пополам каждой стороны круга, то есть переходя от квадрата к восьмиугольнику, 16-угольнику и так далее. Таким образом можно получить последовательность плоских прямоугольных фигур, которые содержат в себе круг (см. рисунок 2). Вписывая в него и описывая вокруг него квадрат, 8-, 16-угольник и так далее, мы получаем последовательность плоских прямоугольных фигур, содержащих круг, причем все они сводимы к квадрату:

P₄ < P₈ < P₁₆ < ... < Ρ₂n <···< Ρ₂n <···< Ρ₁₆ < Ρ₈ < Ρ₄.

РИС. 2

Но есть ли гарантия, что все фигуры этого бесконечного ряда будут сводимы к квадрату? Напомним, что Аристотель запретил прибегать к понятию бесконечности — чтобы сделать невозможными подобные рассуждения. Рассмотрим следующее предложение, явно неверное:

Две стороны треугольника равны по длине третьей стороне (рисунок 3 на следующей странице).

Мы видим, что длина отрезков, составляющих ломаную линию, идущую от точки А до точки В, равна сумме длин сторон АС и СВ: АС + СВ = АС₁ + С₁А₁ + А₁С"₁ + С'₁В.

Если мы доведем эту последовательность до предела, ломаная линия сольется со стороной АВ, что доказывает ложность данного предложения. Гипотеза, верная до того, как ее «довели до предела», может оказаться ошибочной после этого.

РИС. 3

Евклид открывает книгу XII двумя предложениями, которые устанавливают одну и ту же теорему для правильных многоугольников, вписанных в круг, и для круга.

Книга XII, предложение 1. Подобные многоугольники, вписанные в круги, будут относиться друг к другу как квадраты диаметров этих кругов.

Книга XII, предложение 2. Круги относятся друг к другу как квадраты их диаметров.

Первое предложение является прямым следствием теоремы Фалеса применительно к площадям, поскольку достаточно убедиться, что каждый из центральных треугольников, на которые раскладываются правильные многоугольники, подтверждает теорему Фалеса. Второе можно было бы доказать методом бесконечного ряда, но рассуждения, в которых используется понятие бесконечности, были неприемлемы для древнегреческих ученых (хотя в этом случае это было бы правильно). Евклид мог бы довести до предела предложение 2 книги XII таким образом: если для каждого многоугольника п вида п=2k справедливо соотношение

Р¹_n/d²₁ ⁼ Р²_n/d²₂

и в самом крайнем случае Р¹_n равно S₁ а Р²_n равно S₂ то есть от многоугольника переходим к кругу и получаем:

S₁/d²₁ = S₂/d²₂

Ч.Т.Д.

РИС. 4

Правильные многоугольники с 4,8,16,... сторонами все больше заполняют площадь круга.

Отказавшись от предела последовательности, нам остается только применить метод исчерпывания, то есть доказать, что квадрат, вписанный в круг, покрывает больше половины его площади. Если мы добавим треугольники, чтобы получить из квадрата восьмиугольник, получится больше половины площади, оставшейся после того, как мы уберем треугольник, и так далее. В какой-то момент вписанная в круг S многосторонняя фигура Р2k заполнит его так, что оставшееся пространство будет меньше любой другой предыдущей фигуры (см. рисунок 4).

Обратим внимание, что аналогично сказанному в предыдущей главе касательно сегмента параболы равнобедренный треугольник, который мы добавили к каждой стороне квадрата, чтобы получить восьмиугольник, покрывал более половины сегмента окружности, то есть четверть того, что остается от круга, когда мы убираем вписанный квадрат. Затем мы применили те же самые рассуждения к равнобедренным треугольникам, которые строятся на сторонах правильного восьмиугольника, чтобы получить 16-угольник, и так далее. Каждый раз фигуры покрывают более половины, что и необходимо для применения метода исчерпывания.

Пользуясь этим инструментом, Евклид выдвинул два предположения: соотношение площадей либо больше соотношения квадратов диаметров, либо меньше. Запишем оба случая:

(1) S₁/S₂ < d²₁/d²₂ или (2) S₁/S₂ > d²₁/d²₂

В обоих случаях мы приходим к противоречию. Следовательно, соотношение между площадями и квадратами диаметров есть соотношение равенства.

В случае когда

S₁/S₂ < d²₁/d²₂ (1)

предположим, что существует такая площадь S < S₂, для которой

S₁/S₂ = d²₁/d²₂

Затем рассмотрим площадь Е = S₂ - S. Метод исчерпывания гарантирует, что существует некий многоугольник Р₂, вписанный в S₂, который заполняет его так, что S₂ - Р₂ < Е = S₂ -S. Это приводит к неравенству S < Р₂. Теперь рассмотрим многоугольник Р₂, вписанный в круг (то есть Р₂ < S₁, подобный P₂. Из предложения 1 книги XII мы знаем, что

P¹_n/P²_n = d²₁/d²₂ ,

где n = 2^k. Исходя из общего понятия 1 мы имеем

P¹_n/P²_n = d²₁/d²₂ = S₁/S₂,

где S < Р₂ и Р₂ < S₁, что противоречит определению равенства соотношений (книга V, определение 5). Следовательно, первое допущение (1) неверно. Затем Евклид таким же образом рассматривает второе допущение

S₁/S₂ > d²₁/d²₂ (2)

и приходит к выводу, что оно также неверно. Следовательно, отношение должно быть следующим:

S₁/d²₁ = S₂/d²₂

Возникают два вопроса. Откуда Евклид знал, что он должен был доказать? Другими словами, почему он взял соотношение именно между площадями и диаметрами? Он неявно использовал метод доведения до предела, который мы рассмотрели выше? Мы не знаем. С другой стороны, для доказательства (1) Евклид предположил существование площади S < S₂, при которой

S₁/S = d²₁/d²₂ .

Это означает, что при данных площадях S₁, d²₁, d²₂ он предположил существование «площади S, являющейся четвертой пропорциональной». Однако Евклид доказал ее существование только для трех прямых, а не для трех площадей.

Во второй половине XIX века англичанин Генри Ринд приобрел папирус, датированный примерно 1650 годом до н.э. и названный впоследствии его именем. Этот папирус, в свою очередь, был копией еще более древнего папируса, 1800 года до н.э., и содержал задачи по определению объема цилиндрических силосов для хранения зерна. Его автор, писец Ахмес, хотел узнать площадь круга, лежащего в основании цилиндра, что привело его к определению числа π. В древности его обычно считали равным 3. Однако Ахмес предложил более точное значение π, приблизительно сведя окружность к восьмиугольнику

Дан квадрат, состоящий из девяти частей по сторонам. Разделим его на девять квадратов так, что сторона каждого из них будет равна трем этим частям. Уберем четыре прямоугольных треугольника с вершинами, образующимися при проведении диагонали. Площадь получившегося восьмиугольника будет равна

9^² - 4 x (3 x 3)/2 = 81 -18 = 63

частей в квадрате. Построим площадь круга с диаметром, равным девяти частям и 64 частям в квадрате [то есть 64 — квадрат числа]. Значение к при этом приближении будет равно

π = 64/(9/2)² = (16/9)² = 3.16...

Такое значение π, действительное для всех фигур (то есть при любом значении диаметра d), получается при наложении двух плоских фигур — круга и восьмиугольника. Более тысячи лет спустя Архимед, мудрец из Сиракуз, в своем кратком сочинении «Об измерении круга» изложил два новых результата.

Предложение 1. Отношение L/d, возникающее между длиной окружности L и ее диаметром d, будет равно величине, находящейся между 223/71 и 22/7.

Предложение 2. Площадь круга S равна площади прямоугольного треугольника T, катеты которого равны радиусу r круга и длине L его окружности.

В доказательстве предложения 2 Архимед использовал метод исчерпывания, как и Евклид в предложении 2 книги XII. Он предположил, что

(1) S > T, и (2) S < T,

а затем показал: оба варианта ведут к противоречию. Следовательно, S должно непременно равняться Т. Но каким образом он догадался о существовании этого соотношения? Об этом мы никогда не узнаем.

Что касается предложения 1, Архимед использовал длины сторон l₆, l₁₂, l₂₄, l₄₈, l₉₆; L₆, L₂₄, L₁₂, L₄₈, L₉₆, соответствующих вписанным и описанным многоугольникам с 6, 12, 24, 48 и 96 сторонами. Для расчета этих длин он предложил итеративный алгоритм, с помощью которого начиная с ln можно было вычислить длину l_2n, а с помощью L_n — L_2n, где n равно 6. В конце Архимед выразил отношение L₉₆ < L < L₉₆ и пришел к следующему результату:

223/71 < L/d < 22/7

Математик сделал важное наблюдение: соотношение между площадью круга S и радиусом в квадрате r² и соотношение между длиной L окружности и ее диаметром d=2r равны. Числовое значение этого соотношения обозначается буквой π.

Другими словами, Архимед установил, что

S/r2 = L/d = π

Открытия, совершенные Евдоксом и систематизированные Евклидом, позволяют добиться значительных результатов в изучении круга и окружности. Необходимо также учесть, что Архимед использовал периметры, в то время как в папирусе Ринда и тексте Евклида говорится о площадях.

Решение задачи квадратуры круга «по-гречески», то есть при помощи линейки и циркуля, ускользало от геометров на протяжении нескольких столетий. В 414 году до н. э. афинский драматург Аристофан назвал своего персонажа, который хвалился тем, что построил квадратуру круга, шарлатаном. Но трудности не помешали многим выдающимся математикам делать попытки там, где потерпели поражение предшественники. Николай Кузанский (1401-1464), Оронций Финеус (1494-1555) и Грегуар де Сен-Венсан (1584-1667) опубликовали фантастические методы получения квадратуры круга, которые оказались ложными. В то же самое время Джеймс Грегори (1638-1675) и Иоганн Бернулли (1667-1748) разработали различные способы, позволяющие подойти к решению этой задачи с другой стороны. Немецкий ученый Иоганн Ламберт (1728-1777) первым доказал, что число π является иррациональным. Его соотечественник Фердинанд фон Линдеман (1852-1939) в 1880 году открыл, что π — еще и трансцендентное число, то есть не может быть корнем многочлена с рациональными коэффициентами. Это делало невозможным построение квадратуры круга при помощи только линейки и циркуля. Так пришлось отказаться от решения тысячелетней задачи, а мечты легиона искателей квадратуры круга, среди которых были английский философ Томас Гоббс и даже Наполеон, пошли прахом.