Евклид. Геометрия

Введение

Говорить о Евклиде — значит говорить о геометрии и (хотя и совсем по-другому, как мы увидим) об арифметике Древней Греции. В частности — о результате синтеза исследований за три века в области математики. Термин «математа» (раб^ратос), восходящий к Пифагору, означает «то, что можно познать». Пифагорейская школа, основанная в V веке до н. э., выделяла четыре матемы, лежащие в основе научного знания и объясняющие «порядок и гармонию мира»: арифметику, геометрию, музыку и астрономию. Согласно выдающемуся пифагорейцу Архиту Тарентскому «математика есть сумма этих четырех матем» (в Средние века матемы составляли квадривиум, который вместе с дисциплинами тривиума — грамматикой, логикой и риторикой — образовывал «семь свободных искусств», основу университетской программы). В классической Греции, то есть с V до III века до н. э., термин «математа» был неразрывно связан с «философией» (фг^оаоф(а), что означает «любовь к мудрости» и указывает на определенную склонность к познанию.

В этой книге фигура Евклида и его великое произведение о геометрии «Начала» рассматриваются с точки зрения идеологии и методологии с целью проанализировать самые важные достижения древнегреческой математики. Как пишет философ-неоплатоник Прокл (его работы — один из основных источников сведений о трудах Евклида), основоположником этой науки был Фалес Милетский, родившийся в 624 году до н. э., один из «семи мудрецов» Древней Греции. Он же основал школу философии, которую часто называют милетской. Согласно Проклу, зарождение математики совпало с появлением в Древней Греции философской мысли в широком смысле слова.

Начинание Фалеса продолжил Пифагор Самосский, родившийся в 570 году до н. э. и основавший философско-мистическую школу, названную его именем. Он углубил понимание геометрии и сделал арифметику дедуктивной наукой. Оформилось различие между логистикой как практическим искусством счета (куда относилась геометрия как искусство измерения) и арифметикой как теорией чисел. Философские идеи пифагорейской школы оказали большое влияние на знаменитую Академию, основанную Платоном в 387 году до н. э. В ней обучался выдающийся математик Евдокс Книдский, хотя его связь с Академией трудно охарактеризовать (он был там и учеником, и учителем, и заместителем главы). Евдоксу мы обязаны двумя фундаментальными открытиями, о которых позже писал Евклид: теорией отношений, необходимой при доказательстве теоремы Фалеса о линиях и площадях, и методом исчерпывания, основой для вычисления площадей плоских фигур и объема трехмерных объектов.

В IV веке до н. э. оформились новые логические инструменты, созданные стоиками и Аристотелем, которые составляют основу текста Евклида. В частности, Аристотель сделал большой вклад в осознание понятия бесконечности, имеющего огромную важность и для пифагорейской арифметики, и для евклидовой геометрии, в особенности фундаментального постулата о параллельных прямых. «Начала» являются продолжением и синтезом трудов предшественников. Этот шедевр ознаменовал новую эпоху в развитии древнегреческой математики, главным образом геометрии. Другие важнейшие работы в области геометрии, астрономии или арифметики, такие как «Великое математическое построение по астрономии в тринадцати книгах» (или «Альмагест») Клавдия Птолемея, «Арифметика» Диофанта, «Математическое собрание» Паппа, унаследовали его дедуктивный стиль. Но влияние Евклида этим не исчерпывается. Историк Карл Бойер назвал «Начала» самым важным текстом в истории, подсчитав, что только Библия превосходит его по числу переизданий (их было около тысячи). Этот труд изучали Декарт и Ньютон, и такие произведения как «Первоначала философии» и «Математические начала натуральной философии», написанные спустя почти 2000 лет после «Начал», повторяют его структуру. Вполне вероятно, что это самый важный труд по математике, который когда-либо был написан.

Рассказывая о биографии Евклида, невозможно обойтись без анализа «Начал» и через них — анализа результатов развития древнегреческой математики и философии, собранных в этом сочинении. Самое большое влияние на ученого оказали платоновская и аристотелевская школы. Синтезом их математических исследований и можно считать «Начала». Хотя некоторые авторы считают, что влияние Платона сильнее, структура текста абсолютно аристотелевская. Разумеется, нельзя забывать о вкладе в геометрию Теэтета, Феодора и Евдокса, как и о построении Платоновых тел, о котором говорится в конце этой книги. Мы проанализируем самые важные постулаты — одни из них непосредственно записаны в тексте, другие подразумеваются, — а также эпистемологическую и методологическую необходимость их появления для текста Евклида. Мы увидим, какое влияние имело аристотелевское определение границ, или, если угодно, ограничение бесконечности и какие последствия оно оказало на последующие исследования.

Еще одна центральная тема книги — вопрос о существовании геометрических объектов с философской и методологической точек зрения. Мы подробно рассмотрим вопрос о квадратуре круга — одну из важнейших задач, доставшихся нам в наследство от древнегреческой математики. В связи с этим поговорим о великом Архимеде и других выдающихся деятелях античной науки: Аполлонии, Птолемее, Диофанте, Паппе, Прокле. Наконец, мы рассмотрим арифметические вкрапления, взятые у пифагорейцев, которые встречаются в VII, VIII и IX книгах Евклида.

В следующей таблице приводятся символы, которыми в тексте обозначаются отрезки, углы, треугольники; плоские фигуры с тремя, четырьмя или более сторонами: треугольники, квадраты, прямоугольники; окружности (кривая, образованная точками, равноудаленными от центра О) и круги (площадь, ограниченная окружностью).

ок. 585 дон.э.Фалес Милетский. Дедуктивная геометрия.

540 дон.э. Пифагор Самосский. Пифагорейская арифметика и геометрия.

450 дон. э. Парменид и сферическая Земля.

430 дон.э. Смерть Зенона. Сочинения Демокрита. Астрономия Филолая. «Начала» Гиппократа Хиосского.

428 дон.э. Рождение Архита. Смерть Анаксагора.

427 до н. э. Рождение Платона.

420 дон.э. Гиппия и трисекция угла. Появление понятия несоизмеримых величин.

360 дон.э. Евдокс: теория отношений и метод исчерпывания.

350 до н. э. Менехм и конические сечения. Квадратриса Динострата.

335 до н. э. Евдем и история науки.

ок. 325 до н. э. Рождение Евклида.

320 до н. э. Аристея и конические сечения.

300 до н. э. «Начала» Евклида.

ок. 265 до н. э. Смерть Евклида.

260 до н. э. Гелиоцентрическая астрономия Аристарха Самосского.

ок. 250 до н. э. Сочинения Архимеда.

230 до н. э. Решето Эратосфена.

225 дон. э. Аполлоний и конические сечения.

212 до н. э. Смерть Архимеда.

180 дон.э. Циссоида Диокла. Конхоида Никомеда. Гипсикл и традиция разбиения полного угла на 360°.

140 до н. э. Тригонометрия Гиппарха.

60 до н. э. Гемин и постулат о параллельных прямых.

75 Сочинения Герона Александрийского.

100 «Введение в арифметику» Никомаха Герасского. «Сферика» Менелая.

125 Теон Смирнский и арифметика.

150 «Альмагест» Птолемея.

250 «Арифметика» Диофанта.

320 «Математическое собрание» Паппа.

415 Смерть Гипатии и закрытие библиотеки и Мусейона в Александрии. Конец греческой языческой науки.

485 Смерть Прокла.

520 Анфимий из Тралл и Исидор Милетский.