Григорий Перельман и гипотеза Пуанкаре

Гл. 3 Человек и ученый

Сразу же после опубликования препринтов Перельмана специалисты приступили к проверке ключевых моментов его теории, и ни одной ошибки до сих пор не найдено. Более того, за прошедшие годы несколько коллективов математиков смогли впитать предложенные Перельманом идеи до такой степени, чтобы приступить к записыванию полного доказательства набело.

В 2006 году стали появляться работы, в которых был дан подробный вывод опущенных моментов в доказательстве Перельмана. Затем в «Азиатском математическом журнале» была опубликована 327-страничная статья китайских математиков, озаглавленная «Полное доказательство гипотез Пуанкаре и геометризации — приложение к теории Гамильтона — Перельмана о потоках Риччи». Сами авторы не претендуют на абсолютно новое доказательство, а лишь утверждают, что подход Перельмана действительно работает. Неожиданный поворот в этой истории наступил после статьи китайских математиков Сипин Чжу и Хуайдун Цао под названием «Полное доказатель-

-88-

стр. отсутствует

-89-

стр. отсутствует

-90-

стр. отсутствует

-91-

важной задачи. Общение с Яу вселяло в него решимость и давало ему ясную цель».

Яу верил, что если бы ему удалось помочь доказать гипотезу Пуанкаре, то это было бы не только его личной победой, но и победой всего Китая. Однако американские журналисты открыто обвинили Яу в корыстных мотивах и предложили свое объяснение многим его действиям, включая последующие «антиперельмановские». Если верить этим авторам, со времени смерти Чэнь Шэньшэня, который многие десятилетия считался патриархом китайской математики, Яу воспылал желанием занять его место. Для этого он стал часто навещать Китай, каждый раз бурно выражая свои пламенные патриотические чувства, и предложил китайскому правительству свои услуги по воссозданию китайской математической школы. Получив нужные для этого средства, он действительно создал совершенно новый Математический институт в Пекине и с этого момента начал прилагать максимальные усилия, чтобы любой ценой прославить молодую китайскую математику, а также себя как ее руководителя. По мнению этих авторов, подталкивая Гамильтона к решению проблемы Пуанкаре, Яу тоже преследовал какие-то личные интересы.

Китайский математик вместе с учениками всячески пытался доказать свой приоритет в решении теоремы Пуанкаре и, кроме морального удовлетворения, пожать обильный урожай почестей и премий. Волнения начались в ноябре 2002 года, когда после шестилетнего научного молчания Перельман внезапно выложил на сайте arXiv, где математики и физики публикуют препринты своих статей, чтобы «застолбить» те или иные открытия, свою 39-страничную статью, в которой объявлял о найденном им доказательстве гипотезы Пуанкаре. (Если говорить точнее, статья излагала доказательство более широкого утверждения — так называемой «теоремы геометризации», которая содержала в себе теорему Пуанкаре как частный случай.)

-92-

Наконец, появился обширный обзор одного из главных специалистов по данной проблеме — Джона Моргана, в котором автор по следам Перельмана приводит свое доказательство гипотезы Пуанкаре (а не более общей гипотезы геометризации), и, судя по всему, теперь уже можно с уверенностью считать, что гипотеза Пуанкаре окончательно доказана.

Не исключено, что в ближайшие годы доказательство Перельмана упростится, как это случилось с теоремой Ферма. Пока что видно лишь увеличение объема публикаций: от 30-страничных статей Перельмана до толстенного фолианта Моргана, но это связано не с усложнением доказательства, а с более подробным выводом всех промежуточных шагов.

Как бы то ни было, доказательство Перельмана зажило отдельной жизнью: три препринта не давали покоя математикам современности. Первые результаты проверки идей российского математика появились в 2006 году: крупные геометры Брюс Кляйнер и Джон Лотт из Мичиганского университета опубликовали препринт собственной работы, по размерам больше напоминающей книгу, — 213 страниц. В этой работе ученые тщательно проверили все выкладки Перельмана, подробно пояснив различные утверждения, которые в работе российского математика были лишь вскользь обозначены. Вердикт исследователей был однозначен: доказательство абсолютно верное.

В 1993 году Григорий Перельман получил право на двухгодичную стажировку в американском университете Беркли. Как раз в это время там читал цикл лекций Гамильтон. Одну из них он посвятил поиску решений проблемы Пуанкаре, подчеркнув при этом, что сам продолжает заниматься данным вопросом…

Все это очень заинтересовало молодого российского математика, и к концу первого года своей стажировки он уже написал несколько довольно оригинальных статей, вызвавших неподдельный интерес у профессионалов. В конце своей американской научной командировки Григорий Яковлевич получил сразу несколько лестных предложений по работе от ведущих мировых математических центров. При этом

-93-

все рекомендовавшие российского постдока отмечали, что Перельман обладал огромными способностями в решении задач и вместо того, чтобы годами конструировать сложную теоретическую базу или определять новые области для исследования, предпочитал концентрироваться на получении конкретных результатов. Между тем, несмотря на громадные технические сложности, вставшие у него на пути при решении задачи Пуанкаре в пространствах Александрова, для всех специалистов было очевидно, что российский математик нашел какой-то необычный путь к этой задаче тысячелетия.

Появление Интернета наконец-то позволило Григорию Яковлевичу работать в столь ценимом им одиночестве, используя необъятные информационные массивы электронных данных. Так, Перельман много работал над свежими статьями Гамильтона и даже провел по ним несколько семинаров у себя в институте.

Опубликовано много сотен страниц пояснений и комментариев к двум препринтам Перельмана. Пока ошибок не найдено, и большинство экспертов склоняются к мысли, что задача действительно решена.

В мае 2006 года комитет из девяти членов Всемирного союза математиков постановил наградить Григория Перельмана за решение гипотезы Пуанкаре медалью Филдса, которая вручается за достижения в области математики один раз в четыре года. Григорий за ней не приехал. Церемония награждения в Мадриде 22 августа прошла без гения. Несмотря на то что его уговаривал прибывший в Питер президент Всемирного союза математиков Джон Болл, Перельман объяснил, что признание ему не нужно. Главное, что мировая математическая общественность уверилась в совершенной правоте представленных им доказательств. Правда, к медали полагалось еще и вознаграждение — порядка семи тысяч долларов, но оно выдается только членам Международного математического союза, а для вступления в эту престижнейшую организацию, кроме многих бюрократических формальностей, следует еще и внести весомый вступительный

-94-

взнос — около пяти тысяч долларов. Откуда же взялся пресловутый миллион?

Внушительный приз действительно существует. Но к медали Филдса прямого отношения не имеет. В 1998 году на средства миллиардера Лэндона Клэя в Кембридже (США) был основан Математический институт его имени для популяризации математики. 24 мая 2000 года эксперты института выбрали, по их мнению, семь самых головоломных проблем и назначили награду в миллион долларов за разгадку каждой. Список называется «Проблемы тысячелетия» и включает следующие пункты.

1. Проблема Кука. Нужно определить, может ли проверка правильности решения какой-либо задачи быть более длительной, чем получение самого решения. Эта логическая задача важна для специалистов по криптографии — шифрованию данных.

2. Гипотеза Римана. Существуют так называемые простые числа, например 2, 3, 5, 7 и т. д., которые делятся только сами на себя. Сколько их всего, неизвестно. Риман полагал, что это можно определить и найти закономерность их распределения. Кто найдет, тоже окажет услугу криптографии.

3. Гипотеза Берча и Свиннертон-Дайера. Проблема связана с решением уравнений с тремя неизвестными, возведенными в степени. Нужно придумать, как их решать, независимо от сложности.

4. Гипотеза Ходжа. В XX веке математики открыли метод исследования формы сложных объектов. Идея в том, чтобы использовать вместо самого объекта простые «кирпичики», которые, склеиваются между собой и образуют его подобие. Нужно доказать, что такое допустимо всегда.

5. Уравнения Навье — Стокса. О них стоит вспомнить в самолете. Уравнения описывают воздушные потоки, которые удерживают его в воздухе. Сейчас их решают по приблизительным формулам. Нужно найти точные формулы и доказать, что в трехмерном пространстве существует решение, которое всегда верно.

-95-

6. Уравнения Янга — Миллса. В мире физики существует гипотеза: если элементарная частица обладает массой, то есть и ее нижний предел. Но какой — не понятно. Нужно до него добраться. Это, пожалуй, самая сложная задача. Для ее решения необходимо создать «теорию всего»: уравнения, объединяющие все силы и взаимодействия в природе. Тот, кто сумеет это сделать, вероятно, получит и Нобелевскую премию.

7. Гипотеза Пуанкаре. Любое замкнутое односвязное трехмерное пространство гомеоморфно трехмерной сфере.

Казалось бы, больше ничего не нужно: проверяйте доказательство и платите миллион. Однако одним из условий фонда Клэя была публикация результата в реферируемых изданиях, а этого Перельман почему-то делать не хотел. Он вообще старался (и до сих пор старается) избегать любых контактов с прессой. Создается впечатление, что приз Григория Яковлевича не интересует, а неразрывно связанная с ним слава — тяготит. Работы Перельмана положили начало интриге. В своих статьях он развил общую теорию и набросал ключевые моменты доказательства не только гипотезы Пуанкаре, но и гипотезы геометризации. Полного доказательства во всех деталях Перельман не представил, хотя утверждал, что обе гипотезы он доказал.

За доказательство гипотезы Пуанкаре Математический институт Клэя действительно присудил премию в миллион долларов, что может показаться удивительным: ведь речь идет об очень частном, малоинтересном факте. На самом деле для математиков важны не столько свойства трехмерной поверхности, сколько факт трудности самого доказательства. В этой задаче в концентрированном виде сформулировано то, что не удавалось доказать с помощью имевшихся ранее идей и методов геометрии и топологии. Она позволяет как бы заглянуть глубже в тот пласт задач, который можно будет решить только с помощью идей нового поколения.

Сегодня уже можно уверенно утверждать, что эксперты мирового уровня после долгих лет всестороннего анализа подтвердили: Григорий Яковлевич Перельман доказал гипотезу, над которой лучшие умы бились ровно 100 лет.

-96-

Рис. 38. Институт Клэя в Кембридже, штат Массачусетс

Итак, медаль Филдса была присуждена Григорию Перельману, но российский ученый отказался от премии, которой он, без сомнения, достоин. Насер и Грубер так описывают этот неожиданный поворот событий:

-97-

«Григорий сказал мне, что чувствует себя изолированным от международного математического сообщества, вне этого сообщества, поэтому не хочет получать награду», — заявил на пресс-конференции в Мадриде президент Всемирного союза математиков англичанин Джон Болл. Как бы то ни было, но присуждение премии Клэя Перельману (даже если тот откажется) навсегда закрепило в общественном сознании факт: российский математик Григорий Перельман доказал гипоте-

-98-

зу Пуанкаре. И неважно, что на самом деле он доказал факт более общий, развив по пути совершенно новую теорию особенностей потоков Риччи.

Ходят слухи, что Григорий Перельман и вовсе собирается уйти из науки, полгода назад он уволился из родного Математического института им. В. А. Стеклова. Возможно, российский ученый считает, что, доказав знаменитую гипотезу, он сделал для науки все возможное. Впрочем, кто возьмется рассуждать о ходе мыслей столь яркого ученого и неординарного человека?.. От любых комментариев Перельман отказывается, а в одном из редких интервью он заявил: «Ничто из того, что я могу сказать, не представляет ни малейшего общественного интереса». Однако ведущие научные издания были единодушны в своих оценках, когда сообщили, что «Григорий Перельман, разрешив теорему Пуанкаре, стал в один ряд с величайшими гениями прошлого и настоящего».

Общаться с гением очень сложно даже хорошо знающим его людям, ведь он неоднократно подчеркивал, что свои ценности никому не навязывает и у него есть абсолютно все, что необходимо для жизни. Так же спокойно, если не сказать равнодушно, ученый прореагировал на многочисленные поздравления с присуждением приза тысячелетия, причем категорически отказался обсуждать вопрос о миллионной премии.

…Единственное, в чем себе не отказывает математик, — это концерты классической музыки. Он любит ходить в филармонию и Мариинский театр. Правда, места берет преимущественно на галерке. И дело не только в стоимости билетов. По его словам, на третьем ярусе голоса слышны лучше всего. Очевидно, и на окружающий мир он смотрит со своей высоты.

Чтобы претендовать на приз Института Клэя, Григорию Яковлевичу Перельману нужно было всего лишь опубликовать свое решение в одном из научных журналов, и если в течение двух лет никто не сможет найти ошибку в его

-99-

вычислениях, то решение будут считать верным. Однако Перельман с самого начала отступил от правил, опубликовав свое решение на сайте препринтов Лос-Аламосской национальной научной лаборатории. Возможно, он опасался того, что в его расчеты вкралась ошибка, — подобная история уже происходила в математике. Официальной публикации доказательства гипотезы Пуанкаре нет до сих пор, зато есть авторитетные мнения лучших математиков планеты, подтверждающие верность расчетов Перельмана.

Присуждение премии Григорию Перельману еще раз подтверждает высокий класс российской математической школы, считает директор Математического института им. В. А. Стеклова РАН Валерий Васильевич Козлов, академик, вице-президент Российской академии наук, заведующий кафедрой дифференциальных уравнений механико-математического факультета МГУ им. М. В. Ломоносова: «В нашем институте Григорий сделал важные работы, которые в совокупности позволили доказать знаменитую гипотезу Пуанкаре в трехмерной сфере. Гипотеза Пуанкаре — это старая задача, над которой работало много выдающихся математиков, топологов. Многие пытались ее решить; американские математики шли к решению этой проблемы. В итоге точку поставил именно Григорий Перельман. Это, конечно, замечательнейший результат. Поскольку он в это время работал в Санкт-Петербургском отделении Математического института им. В. А. Стеклова, то эта работа сделана именно в Российской академии наук.

Жаль, конечно, что он выбрал для себя такой странный стиль поведения, достигнув мирового успеха. Ему ведь только перевалило за сорок лет, и, как говорится, вся творческая жизнь еще впереди. Поэтому очень хочется верить и надеяться, что он еще вернется в математическую науку и много раз заставит удивляться и восхищаться весь математический мир!»

Гениальность — это, безусловно, аномалия со знаком «плюс». На самом деле звания «гений» в мире достойны все-

-100-

го несколько сотен человек. Остальных знаменитых ученых, великих музыкантов, артистов и писателей можно назвать людьми с выдающимися способностями, уникумами, талантами и т. д. Гений же — «товар» штучный, причем еще и потому, что сам предпочитает скрывать свои секреты вольно или невольно.

Психологи давно утверждают, что есть средний уровень развития интеллекта, который можно повышать за счет работоспособности, обучения и постоянного пополнения знаний, но вспышки вдохновения, волшебного момента озарения так никогда и не достичь. При этом одаренным (в своей области) можно назвать едва ли не каждого жителя Земли. Просто кто-то эти способности пытается развивать, другой учится, но не там и не тому, а третий в силу определенных факторов и вовсе не пытается ничего изменить.

При этом настоящий гений — уникум — зачастую не только не хочет, но и не может рассказать о том, как именно его осеняет, почему именно он и никто другой вдруг становится тем избранным, кому дано открыть новые знания.

По утверждению одних экспертов, что гении сознательно скрывают свои секреты. По другим версиям, избранность тяготит самих гениев, они, условно говоря, и сами не рады своим уникальным способностям. В мировой истории существуют тысячи свидетельств того, как гении мучительно пытаются понять, как они «дошли до такой жизни».

Может быть, именно поэтому многие великие ученые и творцы уставали не только от суеты, толпы, но и от самих себя, и старались скрываться от всего мира.

Не случайно Сократ предпочел толпе последователей пещеру, а многие другие великие были готовы переключить внимание со своих талантов на что-то более спокойное и привычное для обывателя. В любом случае они старались отгородиться от мира реальной или надуманной стеной.

Впрочем, возможны и иные варианты: гению настолько неинтересна суета, обыденность (даже со всеми плюсами,

-101-

которые приносит общество), что он просто не желает опускаться до уровня толпы.

Рис. 39. Один из вариантов визуализации топологических преобразований Перельмана при решении задачи Пуанкаре

Многие ученые придерживаются мнения, что гениальность является следствием серьезного расстройства психики. Итальянский психиатр Ломброзо построил на этом целую теорию, известную как «гениальность и помешательство».

Согласно этой теории, у многих гениев наблюдались характерные признаки некоторых психических отклонений:

-102-

повышенный эгоцентризм, гипертрофированное чувство собственного достоинства, чрезмерная последовательность в любых, даже очень нестандартных действиях.

Коллега Григория Перельмана доктор физико-математических наук, главный научный сотрудник Санкт-Петербургского отделения Математического института им. В. А. Стеклова РАН Анатолий Моисеевич Вершик размышляет: «Возьмет ли Перельман миллион или откажется от него? Этот вопрос заслонил содержательную сторону событий, и вряд ли он представляет то, к чему стремились устроители призов Института Клэя. Публику интересует вовсе не проблема, решения которой так долго ждали математики, не то, что произойдет теперь в науке, — это слишком трудно понять, почти недоступно — и даже не сама личность Я. Г. Перельмана, а именно судьба денежного приза.

Этот ажиотаж и суета… свидетельствуют о том, что подобный способ пропаганды математики ущербен, он не популяризирует науку, а, наоборот, вызывает у людей недоумение или нездоровый интерес. И я не думаю, что эти страсти объясняются только особенностями поведения сегодняшнего героя, которые, конечно, обостряют эти эмоции; дело глубже».

По его мнению, вопрос в том, нужен ли математике такой «площадный» интерес: «Был бы подобный резонанс, если бы не было пышного объявления о премии Клэя? Наверное, нет. Решение Великой проблемы Ферма Вайлсом в 1996 году не вызвало такого бума, и не потому, что проблема не столь значима, как проблема Пуанкаре».

«Объяснение состоит в том, что слишком тесно увязаны мало совместимые вещи: серьезный научный результат и миллион, вылезающий на первый план», — подчеркнул А. Вершик.

Вместе с тем, оценивая уже в 2010 году научный вклад коллеги, он заметил, что достижение Г. Перельмана, безусловно, выдающееся событие в науке: «Оно подтвердило еще раз то замечательное обстоятельство, что действительно

-103-

трудные и ключевые проблемы никогда не решаются только средствами той науки, в терминах которой они сформулированы. Гипотеза Пуанкаре и более общая гипотеза Терстона о геометризации трехмерных многообразий, которую также ("заодно") доказал Перельман, — суть чисто топологические проблемы…

Были многочисленные и неудавшиеся попытки их доказать, в частности весьма крупными математиками, топологическими средствами. Возможно ли такое доказательство — и сейчас неизвестно, эти попытки продолжаются. Совсем недавно я получил письмо от одного серьезного математика, в котором он пишет о своей работе такого плана…

Перельман использовал новый подход, который можно назвать динамическим: исследовалось, что может произойти с многообразием в процессе его "естественной" эволюции. Здесь сыграла свою роль инициатива другого американского математика Р. Гамильтона, который в 1980-х годах предпринял такую попытку и получил ряд результатов, однако они не решали главных и труднейших проблем, которые с блеском разрешил Перельман».

В заключение своего комментария математик заметил, что «помимо огромной пробивной силы таланта Перельмана… здесь сыграла роль и традиция, характерная для некоторых наших (российских) математических школ (в данном случае геометрической школы А. Д. Александрова): стремиться рассматривать задачу в широком контексте, использовать методы смежных областей, обнаруживать универсальный характер изучаемых явлений».

По мнению ученого, «уже сейчас видно, что данная работа Г. Перельмана окажет огромное влияние на разные ветви математики и, возможно, теоретической физики. Работы (пока не в России, в основном в США) на эту тему уже начали появляться».

В рейтинге гениев современности, по версии газеты «Дейли Телеграф», Григорий Перельман находится на 9-м месте. Кроме него, там еще два россиянина — Гарри Каспаров, мно-

-104-

гократный чемпион мира по шахматам, и Михаил Калашников, создатель стрелкового оружия.

Тут самое время вспомнить слова Германа Вейля, сказанные им в «Философии математики и естественных наук»: «Насколько убедительнее и ближе к фактам эвристические аргументы и последующие систематические построения в общей теории относительности Эйнштейна или в квантовой механике Гейзенберга — Шредингера. Подлинно реалистическая математика наряду с физикой должна восприниматься как часть теоретического описания единого реального мира и по отношению к гипотетическим обобщениям своих оснований занять такую же трезвую и осторожную позицию, какую занимает физика».

-105-