Григорий Перельман и гипотеза Пуанкаре

Гл. 3 Гипотеза Пуанкаре

Рис. 18. Топологическое многообразие Пуанкаре

Всякое односвязное компактное трехмерное многообразие без края гомеоморфно трехмерной сфере.

-47-

Страсть великого французского ученого к построению фундаментальных основ математической науки и его релятивизм, отраженный в зеркале собственного философского учения — конвенционализма, привели в итоге к довольно необычной гипотезе строения Мира. В истории науки эту абстрактную математическую проблему, приводящую к важнейшим космологическим выводам, так часто и называют — топологическая гипотеза (теорема, задача, проблема) Пуанкаре.

С помощью молодого математика и непременного члена клуба знатоков «Что? Где? Когда?» Сергея Игоревича Николенко вспомним, что все началось с исследований, которые Пуанкаре вел в области алгебраической геометрии. Он работал над одним из краеугольных камней этой науки — теорией гомологии, особого класса топологических инвариантов. В 1900 году он опубликовал статью, в которой доказывал, что если у трехмерной поверхности гомология совпадает с гомологией сферы, то и сама поверхность — сфера; на самом деле это утверждение даже более сильное, чем утверждение гипотезы Пуанкаре.

Однако в его рассуждения вкралась ошибка, которую он сам и нашел, к 1904 году разработав важнейшее понятие фундаментальной группы и построив на его базе контрпример

-48-

к собственной теореме. Тогда же он наконец поставил вопрос правильно.

Достаточно долго на гипотезу не обращали внимания. Интерес к ней пробудил Джон Генри Константин Уайтхед (1904–1960) — выдающийся английский математик, один из основателей теории гомотопий. Не следует путать его с дядей Альфредом Уайтхедом, тоже математиком, но специализировавшемся на логике и алгебре, написавшем вместе с Бертраном Расселом знаменитую монографию «Принципы математики», который в 30-е годы прошлого века объявил о том, что нашел-таки доказательство теоремы Пуанкаре. К сожалению, представленные расчеты в итоге оказались неверны, однако в процессе поиска и попыток исправить свои неточности он обнаружил интереснейшие классы трехмерных поверхностей и значительно продвинул теорию, которая позднее получила название топологии малых (или низших) размерностей. В 1950-1960-е годы всплеск интереса к проблеме вновь породил несколько ошибочных заявлений о том, что теорему удалось доказать, но после всесторонних проверок математики наконец поняли, что гипотеза Пуанкаре при своей внешней простоте, подобно знаменитой теореме Ферма, содержит множество подводных камней.

К тому времени топология низших размерностей стала отдельной ветвью математики и аналоги задачи Пуанкаре были доказаны для более высоких размерностей. Этому послужила удивительная причина: оказалось, что в невообразимом мире многих измерений эта часть геометрии устроена гораздо проще! Тем временем привычный нам «Трехмерный случай» продолжал оставаться камнем преткновения.

Гипотеза Пуанкаре является одной из наиболее известных задач топологии. Она дает достаточное условие того, что пространство является трехмерной сферой с точностью до деформации.

В гипотезе Пуанкаре утверждает, что:

«Всякое односвязное компактное трехмерное многообразие без края гомеоморфно трехмерной сфере».

Гипотеза Пуанкаре — одна из тех задач, в которых даже ошибочные решения приводят к появлению новых областей

-49-

математики; в этом с ней может соперничать разве что великая теорема Ферма. Кроме общедоступности формулировки у задачи Пуанкаре есть еще и внешние параллели с теоремой Ферма. Обе математические проблемы были сформулированы великими математиками вне сферы их основных интересов и были решены гениальными одиночками после многолетнего глубокого погружения в задачу.

Многочисленные книги по занимательной математике, мимо которых мало кто прошел в детстве, любят рассказывать о топологии — странной науке, в которой два предмета сравниваются только по количеству дырок в них: чайная чашка ничем не отличается от бублика, а апельсин — от Солнца. На самом деле топология — очень глубокая наука и объекты и свойства, которые она изучает, весьма многочисленны и разнообразны. Прежде чем выяснить, в чем состоит гипотеза Пуанкаре, необходимо разобраться именно в топологии, к которой эта гипотеза и относится.

Топология многообразий занимается свойствами поверхностей, которые не меняются при определенных деформациях. Приведем классический пример. Предположим, что на столе лежит бублик и стоит пустая чашка. С точки зрения геометрии и здравого смысла это разные объекты хотя бы потому, что выпить кофе из бублика не получится при всем желании.

Рис. 19. Гипотеза Перельмана для топологии низших измерений

Если представить себе ячейку высокоразмерного континуума и постепенно избавляться от «лишних» изменений,

-50-

то на определенном этапе «уплощенное» пространство начнет автомодельным образом «само по себе» сворачиваться в идеальную сферу.

Гипотеза, сформулированная французским математиком Анри Пуанкаре в 1904 году, является центральной проблемой топологии, науки о геометрических свойствах тел, которые не меняются, когда тело вытягивается, скручивается или сжимается. Топологически двухмерную сферу можно сравнительно легко представить как планетарную поверхность, например лунную или земную. Но трехмерный шар в четырехмерном пространстве вообразить уже довольно сложно. Между тем Пуанкаре утверждал, что трехмерная сфера — это единственное ограниченное трехмерное пространство без дыр. Предположение о подобных свойствах многомерного пространства он сделал в 1904 году, когда только начинал заниматься топологией.

Однако тополог скажет, что чашка и бублик — это одно и то же. И объяснит это так. Вообразите, что чашка и бублик представляют собой поверхности, полые внутри и изготовленные из очень эластичного материала (математик бы сказал, что имеется пара компактных двумерных многообразий). Проведем умозрительный эксперимент: сначала раздуем дно чашки, а потом ее ручку, после чего она превратится в тор (именно так математически называется форма бублика).

Разумеется, у пытливого читателя возникает вопрос: раз поверхности можно мять, то как же их различать? Ведь интуитивно понятно: как ни мни тор, без разрывов и склеек сферу из него не получишь. Тут в игру вступают так называемые инварианты — характеристики поверхности, которые не меняются при деформации, — понятие, необходимое для формулировки гипотезы Пуанкаре.

Здравый смысл подсказывает, что тор от сферы отличает дырка. Однако дырка — понятие далеко не математическое, поэтому его надо формализовать. Делается это так: представим, что на поверхности имеется очень тонкая эластичная нить, образующая петлю (саму поверхность в этом умозрительном опыте, в отличие от предыдущего, считаем твердой).

-51-

Будем двигать петлю, не отрывая ее от поверхности и не разрывая. Если нить можно стянуть до очень маленького кружочка (почти точки), то говорят, что петля стягиваема. В противном случае петля называется нестягиваемой.

Можно легко увидеть, что на сфере любая петля стягиваема, а вот для тора это уже не так: на бублике есть целых две петли — одна продета в дырку, а другая обходит дырку по периметру, которые нельзя стянуть. На рис. 19 показаны примеры нестягиваемых петель. Когда на поверхности есть петли, математики говорят, что «фундаментальная группа многообразия нетривиальна», а если таких петель нет — то тривиальна.

Теперь, чтобы правильно сформулировать гипотезу Пуанкаре, осталось потерпеть еще немного: надо разобраться, что такое трехмерное многообразие в общем и трехмерная сфера в частности.

Вернемся на секунду к поверхностям, которые мы обсуждали выше. Любую из них можно разрезать на очень мелкие кусочки, каждый из которых будет напоминать кусочек плоскости. Так как у плоскости всего два измерения, то говорят, что и многообразие двумерно. Трехмерное многообразие — это такая поверхность, которую можно разрезать на мелкие кусочки, каждый из которых очень похож на кусочек обычного трехмерного пространства.

Главным «действующим лицом» гипотезы является трехмерная сфера. Представить себе трехмерную сферу как аналог обычной сферы в четырехмерном пространстве, не потеряв при этом рассудок, все-таки, наверное, невозможно. Однако описать этот объект, так сказать, «по частям» достаточно легко. Все, кто видел глобус, знают, что обычную сферу можно склеить из северного и южного полушарий по экватору. Так вот, трехмерная сфера склеивается из двух шаров (северного и южного) по сфере, которая представляет собой аналог экватора.

На трехмерных многообразиях можно рассмотреть такие же петли, какие мы брали на обычных поверхностях. Так вот, гипотеза Пуанкаре утверждает: «Если фундамен-

-52-

тальная группа трехмерного многообразия тривиальна, то оно гомеоморфно сфере». Непонятное словосочетание «гомеоморфно сфере» в переводе на неформальный язык означает, что поверхность может быть преобразована в сферу.

Будем чуточку более формальны. Говорят, что поверхность k-связна, если на ней можно провести k-1 замкнутую кривую, которая не делит ее на две части. Сфера (поверхность апельсина) односвязная: как ни проводи на ней замкнутую кривую, кусочек вырежется; а вот поверхность бублика двусвязная — ее можно, например, разрезать поперек, превратив в цилиндр, но сохранив целостность (а вот повторно разрезать цилиндр уже не получится). Для поверхностей в трехмерном пространстве это свойство как раз и означает, что в поверхности есть k-1 «дырка». В общем случае поверхность односвязная, если на ней любую замкнутую кривую можно непрерывной деформацией стянуть в точку, но поверхность бублика этим свойством не обладает (меридиан или параллель в точку не стягиваются).

Другое важное понятие — гомеоморфизм — также уже встречалось в рассуждениях о неразличимости чашки и бублика. Именно в этой неразличимости и дело: гомеоморфизм — это непрерывное преобразование, деформация, которой можно подвергнуть множество, сохранив при этом его топологические свойства (например, k-связность). Чашку легко непрерывным преобразованием превратить в бублик, а апельсин — в Солнце. При этом преобразовании сохраняются важнейшие топологические инварианты, такие как число k. Два множества, которые можно гомеоморфизмом превратить друг в друга, с топологической точки зрения считаются эквивалентными.

Гипотеза Пуанкаре состоит в том, что каждая односвязная трехмерная поверхность гомеоморфна трехмерной сфере. Обратите особое внимание на то, что «трехмерная поверхность» может размещаться в пространстве, чья размерность как минимум 4! Трехмерная сфера — это поверхность четырехмерного шара (привычная нам двухмерная сфера — поверхность трехмерного шара).

-53-

Рис. 20. Дискретный код трехмерной поверхности Терстона

Изображенные так называемые ячейки Терстона образуют своеобразную геометрическую головоломку. Если выбрать определенные коды Терстона: 6-8-7, 1-17-9 или 3-20-21, то каждый из них будет подсказывать, в какую геометрическую фигуру сложится трехмерная поверхность.

-54-

Доказывать гипотезу Пуанкаре начинают с произвольной римановой метрики на односвязном трехмерном многообразии М и применяют к нему поток Риччи с хирургией. Важным шагом является доказательство того, что в результате такого процесса «выбрасывается» все. Это означает, что исходное многообразие М можно представить как набор сферических пространственных форм, соединенных друг с другом трубками. Подсчет фундаментальной группы показывает, что М диффеоморфно связанной сумме набора пространственных форм. Таким образом, М является связной суммой набора сфер, то есть сферой.

К теме гипотезы Пуанкаре примыкает важная для кибернетиков область математики — вычислительная топология. Вычислительные и распознавательные задачи, оказывается, есть и в этой абстрактной науке. С одной из таких задач связана предпринятая в 1974 году очень интересная попытка решения проблемы Пуанкаре в ее алгоритмической версии.

Каждая трехмерная поверхность задается некоторым (не будем вдаваться в подробности) дискретным кодом — конечным набором символов. Одна и та же поверхность имеет бесконечное число различных кодировок. Естественный вопрос: существует ли алгоритм, определяющийся по заданному кодовому слову, задает ли это слово трехмерную сферу в новой алгоритмической проблеме Пуанкаре? Именно эту задачу исследовал ряд видных российских математиков в 1974 году, предположив, что определенное свойство кода (оно было названо «волной») дает критерий «сферичности». Однако им удалось только доказать, что наличие «волны» гарантирует: перед нами сфера. Доказать же, что в любом коде, задающем сферу, имеется «волна», никак не получалось. Тогда авторы сделали весьма оригинальный по тем временам ход: провели масштабный компьютерный эксперимент. Была написана программа для машины БЭСМ-6, которая случайным образом генерировала коды, задающие трехмерную сферу, и проверяла наличие в них «волны». В эксперименте, потребовавшем весьма длительного счета, был проверен миллион таких случайных

-55-

представлений сферы — и во всех обнаружилась «волна»! Это был довольно веский аргумент в пользу корректности предложенного алгоритма. Но авторы, будучи серьезными математиками воздерживались от поспешных заявлений. И не напрасно: спустя пару лет был обнаружен контрпример…

Спустя 20 лет алгоритм распознавания 3-сферы (за экспоненциальное время) был все же построен. Однако общая проблема алгоритмического распознавания поверхностей размерности-3 открыта, она активно изучается и сегодня, в то время как для более высоких размерностей давно известна ее неразрешимость, а для размерности-2 она была решена еще раньше.

По мнению современного философа А. В. Дахина, особенно важно отметить, что теорема Пуанкаре — Перельмана содержит идею о возможности существования в глобальной Вселенной двух структур пространства.

Профессор Дахин считает, что имеет смысл обратиться к следующим закономерным вопросам: почему может существовать пространство с дыркой и почему может существовать пространство без дырки? Как существует пространство с дыркой и как существует пространство без дырки? И более глубокий вопрос: что находится внутри дырки и где это «что-то», когда дырка отсутствует?

Эти вопросы можно проиллюстрировать в терминах проблемы начала Вселенной. Резонно предложить две картины: одна из них показывает, что начало — это точечный объект (материальная частица), а другая картина будет отражать, что начало Вселенной — это не материя, а дырка (ничто или дух), где время и пространство отсутствуют.

-56-

Диалектический подход призывает к тому, чтобы найти концепт, обобщающий обе модели пространства. Базовая идея здесь была выдвинута именно Пуанкаре, который обосновал различие (и взаимосвязанность) между картезианской моделью пространства (трехмерная система) и моделью «живого» пространства, представленной в работах самого Пуанкаре (сферическая система). В частности, он дал собственное определение термина «точка пространства» для «живой» пространственной системы. Он показал точку пространства в качестве агента взаимодействий с другими предметами вокруг нее. Соответственно, как агент взаимодействий всякая точка пространства является одновременно и точкой времени, а потому должна быть оснащена собственной памятью.

Итак, было бы разумно заключить: точка пространства-времени — поскольку она является агентом собственных взаимодействий — действует под влиянием собственной памяти и поэтому считается «центром индетерминации» Вселенной. В то же время эта память — своеобразное проявление предшествующей истории агента, которая отсутствует для всех взаимодействий настоящего. Следовательно, память дает всякому агенту некоторую независимость от предметов и взаимодействий настоящего. Рассматривая ситуацию, мы можем заметить, что кроме причин и взаимодействий настоящего агент имеет и некоторые иные источники собственной активности. Иными словами, он имеет собственные источники активности, которые со стороны выглядят как дырки.

-57-

Обобщая сказанное, предположим, что точка пространства-времени имеет два онтологических измерения собственной активности.

• Одно измерение (сфера бытия) связано с влиянием его предшествующей истории; это измерение памяти, которое проявляется как дырка и является невидимой оснасткой активности «центра индетерминации».

• Второе измерение (сфера существования) связано с его взаимодействиями в настоящем; это измерение взаимодействий, и оно проявляется через активность материальных частиц, которые являются видимой оснасткой любой активности центра детерминации.

Рис. 21. Модельные переходы в центр индетерминации Вселенной Пуанкаре

Таким образом, в свете бытийного измерения пространство Вселенной будет проявляться как содержащее дырки, потому что любой предмет или фактор будут повернуты стороной своей памяти. В аспекте существования пространство Вселенной будет проявляться как содержащее материальные частицы, потому что любой предмет или фактор будут высвечены со стороны взаимодействий. В русле диалектики особенно важно подчеркнуть различие и взаимосвязь между обоими измерениями. В заключение своих логических построений профессор Дахин резюмирует, что теория глобаль-

-58-

ной эволюции Вселенной не может быть адекватной, если она будет по-прежнему оснащена только одним концептуальным измерением.

Итак, перед нами абстрактная геометрическая или, точнее, топологическая проблема, которая определенно сильно повлияла на умонастроения великого французского метафизика (так со времен Аристотеля называют ученых, занимающихся философией науки). Это было какое-то особое влияние, заставившее Пуанкаре связать в один тугой узел логических построений конвенционализм, релятивизм и топологию иных измерений. Что предстало перед изумленным взором ученого, когда ему удалось распутать эту научную проблему?

Это было какое-то новое миропонимание, настолько необычное, что оно и стало причиной знаменитого «молчания Пуанкаре»…

Однако проблема Пуанкаре при всей своей загадочности предполагала еще и решение, и оно тоже открывало нечто принципиально новое в облике нашего Мира…

Моррис Клайн в свое время писал, что, хотя математика и является чисто человеческим творением, она открыла доступ к некоторым тайнам природы и этим позволила добиться успехов, превзошедших все ожидания. Как это ни парадоксально, но именно столь далекие от реальности математические абстракции дали человеку возможность многого достичь. Сколь ни искусственно, а иногда и сказочно математическое описание, в нем есть своя мораль. Для мыслящего ученого математическое описание всегда было неиссякаемым источником удивления, рожденного тем, что природа проявляет столь высокую степень соответствия математическим формулам. Заложены ли регулярные зависимости, выражаемые физическими законами, в самой природе и мы лишь открываем их или их изобретает и применяет к природе разум ученого — в любом случае ученые должны надеяться, что их неустанный труд способствует более глубокому проникновению в тайны природы.

-59-

Именно здесь сходятся первые три пазла нашей исторической физико-математической головоломки: физический релятивизм, алгебраическая топология и философия конвенционализма. Все вместе это должно было вызвать какой-то прорыв в миросозерцании ученого. Прорыв настолько впечатляющий и открывающий такие горизонты познания, что Пуанкаре надолго погрузился в глубокое молчание, обдумывая новые перспективы постижения окружающей реальности.

-60-