Григорий Перельман и гипотеза Пуанкаре

Гл. 2 Первый релятивист

Рис. 12. На первом Сольвеевском конгрессе 1911 года

Пуанкаре, крайний справа в нижнем ряду, беседует с Марией Кюри, за ним, второй справа, стоит Эйнштейн.

-30-

Встреча и беседа двух гениев произошла лишь однажды — в 1911 году на первом Сольвеевском конгрессе. Главный вывод из доклада Пуанкаре звучал так:

«На основе всех этих результатов должна появиться новая динамика, которая помимо всего прочего характеризовалась бы правилом, что ничто не может иметь скорость, превышающую скорость света».

На что впоследствии Эйнштейн с сожалением заметил:

«Пуанкаре по отношению к релятивистской теории отвергал все полностью и, как мне показалось, при всей своей умственной проницательности показал слабое понимание ситуации».

Есть в истории науки дискуссионные вопросы, которые со временем, по мере открытия новых обстоятельств, становятся только запутаннее. Один из таких вопросов касается доли участия Пуанкаре в создании основ теории относительности. До сих пор научное сообщество разделено на три группы ученых. Две из них, сравнительно небольшие, ожесточенно спорят между собой: первые отстаивают определяющую, другие — крайне незначительную роль Пуанкаре. В третьей группе, гораздо большей по численности, бытует более взвешенное мнение. Его лучше всего выразил крупнейший исследователь истории становления релятивизма Алексей Алексеевич Тяпкин (1926–2003) в своей книге «Об истории возникновения теории относительности»:

«Созданная в первые годы нашего века теория положила начало радикальному преобразованию ранее сложившихся физических представлений, легла в основу современной физики. Но, несмотря на столь значительное место этой теории во всей системе современных научных знаний, в традиционном изложении истории ее создания на долгие годы утвердился односторонний подход с несвойственными для точной науки весьма существенными пробелами. В сложившейся историографии оказался особенно недооценен период, непосредственно предшествующий созданию, когда в поисках решения возникших противоречий были выдвинуты исходные положения новой физической теории».

-31-

А в послесловии к сборнику «Принцип относительности» профессор Тяпкин резюмировал:

«Итак, кого же из ученых мы должны считать создателями СТО?.. Конечно, открытые до Эйнштейна преобразования Лоренца включают в себя все содержание СТО. Но вклад Эйнштейна в их объяснение, в построение целостной физической теории и в интерпретацию основных следствий этой теории настолько существенен и принципиален, что Эйнштейн с полным правом считается создателем СТО. Однако высокая оценка работы Эйнштейна не дает никакого основания считать его единственным создателем СТО и пренебрегать вкладом других ученых».

Как предтеча понятия релятивизма в физической науке Пуанкаре заложил первые краеугольные камни в будущее здание теории относительности, деятельно развивая теорию Лоренца. В этой теории принималось, что существует неподвижный эфир и скорость света относительно эфира не зависит от скорости источника. При переходе к движущейся системе отсчета выполняются именно преобразования Лоренца, а не классические преобразования, предложенные в свое время еще Галилео Галилеем. Надо отметить, что Лоренц считал полученные преобразования вполне реальными и даже искал физические механизмы, которые могли бы лежать в основе изменения линейных размеров тел. Пуанкаре удалось не только найти уточненную форму преобразований Лоренца, который получил их только в первом приближении, но и математически строго показать, что они образуют группу преобразований.

Факт остается фактом, и следует признать, что еще в 1898 году, задолго до знаменитой работы Эйнштейна 1905 года, Пуанкаре в своем труде «Измерение времени» сформулировал общий и универсальный принципы относительности. В интерпретации ученого они выглядели как фундаментальный физический принцип, согласно которому абсолютно все физические процессы в инерциальных системах отсчета протекают одинаково, независимо от того, неподвижна ли система или она находится в состоянии равномерного и прямолинейного движения. Отсюда Пуанкаре сделал вывод, что все известные законы природы одинаковы во всех инерциальных системах

-32-

отсчета. Затем он даже ввел революционное понятие четырехмерного пространства-времени, теорию которого гораздо позднее разработали Альберт Эйнштейн и Герман Минковский.

В книге «Об истории возникновения "теории относительности"» профессор Тяпкин пишет:

«…В 1898 г. Пуанкаре в статье "Измерение времени", обсуждая проблему определения количественных характеристик физического времени, пришел к важным выводам о конвенциональной сущности понятия одновременности, представляющим не только исторический интерес, но и позволяющим уяснить ограниченность существующей трактовки пространственно-временного аспекта специальной относительности. Пуанкаре отметил, что постулат постоянства скорости света "дал нам новое правило для поиска одновременности". Но в отношении используемого при этом предположения о независимости скорости света от направления распространения автор сделал следующее категорическое утверждение: "Это есть постулат, без которого нельзя было бы предпринять никакого измерения этой скорости. Данный постулат никогда нельзя проверить прямо на опыте"».

Рис. 13. Математик, философ, физик

-33-

Эти весьма глубокие соображения дали ему полное основание закончить статью следующим категорическим выводом:

«Одновременность двух событий или порядок их следования, равенство двух длительностей должны определяться таким образом, чтобы формулировка естественных законов была бы настолько простой, насколько это возможно. Другими словами, все эти правила, все эти определения являются лишь плодом неосознанного соглашения».

Надо также честно признать, что наряду с передовыми идеями, намного опередившими свое время, Пуанкаре продолжал использовать устаревшую концепцию эфира, хотя и придерживался мнения, что его никогда не удастся обнаружить. В 1900 году он одним из первых высказал замечательную мысль, что одновременность событий не абсолютна, а представляет собой некое условное соглашение между физиками — своеобразную «конвенцию». Наряду с этим Пуанкаре также сделал предположение, что скорость света не только конечна и неизменяема в однородной среде, но и предельна по своему значению.

Все эти работы оказали очень большое, если не сказать определяющее влияние на Лоренца, который в 1904 году разработал новый вариант своей теории. В ней он предположил, что при больших скоростях механика Ньютона нуждается

-34-

в релятивистских поправках. В 1905 году Пуанкаре значительно развил эти идеи в статье «О динамике электрона». Две части этой удивительной работы появились летом 1905 года, а заключительная статья, содержащая все основополагающие выводы, — в начале 1906-го, причем по непонятным причинам ученый опубликовал ее в малоизвестном итальянском математическом журнале.

В этой итоговой статье снова и снова подчеркивалась важность применения всеобщего принципа относительности для всех физических явлений, включая механические (их рассматривал еще Галилей), электромагнитные и гравитационные. При этом Пуанкаре выписал единственно возможные преобразования координат, сохраняющие одинаковую для всех систем отсчета запись физических уравнений. Именно в этой форме они впоследствии и получили название «преобразования Лоренца». Кроме того, Пуанкаре нашел точное выражение для четырехмерного интервала как инварианта преобразований Лоренца, включая четырехмерную формулировку принципа наименьшего действия. В этой статье он также предложил первый набросок релятивистской теории гравитации; в его модели тяготение распространялось в эфире со скоростью света, а сама теория была достаточно нетривиальной, чтобы снять полученное еще Лапласом ограничение снизу на скорость распространения гравитационного поля.

Эйнштейн в своих первых работах по теории относительности использовал, по существу, ту же математическую модель, включающую преобразования Пуанкаре — Лоренца и релятивистскую форму для сложения скоростей. Однако в отличие от старших коллег Эйнштейн сделал значительный шаг вперед и решил не привлекать понятие эфира только для того, чтобы доказать невозможность его наблюдения. Он полностью упразднил в своих последующих работах как понятие эфира, так и опирающиеся на него понятия абсолютного движения и абсолютного времени, которые продолжал настойчиво использовать Пуанкаре. Сейчас эта теория носит имя «специальная теория относительности» (СТО) и именно ее наши дети и внуки изучают в средней школе.

-35-

Все новые эффекты, которые Лоренц и Пуанкаре считали динамическими свойствами эфира, в теории относительности Эйнштейна вытекают из объективных свойств пространства и времени, то есть фактически перенесены Эйнштейном из динамики в кинематику. В этом главное отличие подходов Пуанкаре и Эйнштейна, замаскированное внешним сходством их математических моделей: они по-разному понимали глубокую физическую (а не только математическую) сущность этих моделей. Перенос в кинематику позволил Эйнштейну создать целостную и всеобщую теорию пространства и времени, а также решить в ее рамках ранее не поддававшиеся проблемы, например вопросы о разных видах масс — гравитационной и инерционной, зависимости массы от энергии, соотношении местного и «абсолютного» времени и др. Еще одно существенное отличие позиций Пуанкаре и Эйнштейна заключалось в том, что сокращение длины по Лоренцу, рост инертности со скоростью и другие релятивистские выводы Пуанкаре вместе с Лоренцем понимал как вполне реальные физические эффекты, а Эйнштейн — как кажущиеся нам в своей относительности и не имеющие абсолютно никаких физических проявлений в собственной системе отсчета.

Вероятно, недостаточно глубокий анализ физической сущности СТО в работах Пуанкаре и послужил причиной того, что физики не обратили на эти работы должного внимания. Соответственно, широкий резонанс первой же статьи Эйнштейна в огромной степени был вызван ясным и глубоким анализом основ исследуемой физической картины.

Обоснование новой механики также было различным. У Эйнштейна в статьях 1905 года принцип относительности с самого начала не утверждается как вывод из динамических соображений и экспериментов, а кладется в основу физики как кинематическая аксиома (также для всех явлений без исключения). Из этой аксиомы, а также из постоянства скорости света математический аппарат Лоренца — Пуанкаре получается автоматически. Отказ от эфира позволил свободнее подчеркнуть, что покоящаяся и движущаяся системы коор-

-36-

динат совершенно равноправны и при переходе к движущейся системе те же эффекты обнаруживаются уже в покоящейся. Биограф Эйнштейна Пайс утверждает, что и у Пуанкаре, причем даже раньше, этот вопрос был разобран достаточно подробно, однако сама концепция эфира, от которой Пуанкаре не отказывался, невольно вызывала у читателя представление о выделенности системы отсчета, в которой эфир покоится, мешая воспринимать идею относительности в чистом виде. В дальнейшем (после работы Эйнштейна) Пуанкаре тоже высказал это положение.

Эйнштейн, по его позднейшему признанию, в момент начала работы над теорией относительности не был знаком с последними публикациями Пуанкаре. Более того, ни Эйнштейн, ни авторы других первых работ по теории относительности не ссылались на работы Пуанкаре. Профессор А. А. Тяпкин замечает по этому поводу:

«Столь невнимательное отношение к периоду формирования исходных принципов фундаментальной теории нельзя объяснить потерей интереса ученых к историческим деталям возникновения новых научных концепций. В тот же период в физике формировались также исходные положения другой новой, еще более радикальной физической теории — квантовой механики. Но в описании истории создания этой теории начальный период развития исходных идей всегда высоко оценивался как важнейший этап отхода от господствующих тогда принципов классической механики…

Необычность выводов новой теории по самым, казалось бы, простым вопросам неизменно вызывала огромный интерес и за пределами научных кругов. Пожалуй, в широкой известности этой теории, в ее популярности, организованной, в основном, далекими от науки литераторами, и заключена одна из причин историографических отступлений от точного и объективного описания истории крупнейшего научного открытия XX века. Искажения истории состояли не только в полном забвении решающего вклада выдающегося французского ученого Анри Пуанкаре в начальный период формирования

-37-

исходных идей новой теории, но и в недооценке его фундаментальных работ 1905–1906 гг. по созданию самой теории».

После появления в 1905 году первых работ Эйнштейна по теории относительности Пуанкаре неожиданно полностью перестал публиковаться на эту тему. Ни в одной работе последних семи лет жизни он не упоминал ни имени Эйнштейна, ни теории относительности как таковой. Он также ни при каких обстоятельствах не называл теорию эйнштейновской, хотя в то же время писал по другому поводу об «эйнштейновской теории фотоэффекта». Более того, Пуанкаре по-прежнему продолжал обсуждать свойства эфира и упоминал абсолютное движение относительно эфира.

Рис. 14. Альберт Эйнштейн и Хендрик Лоренц

Несмотря на неприятие теории относительности, лично к Эйнштейну Пуанкаре относился вполне нейтрально, если не сказать доброжелательно. Например, он даже дал молодо-

-38-

му ученому положительную характеристику для соискания места профессора цюрихского Высшего политехнического училища:

В апреле 1909 года Пуанкаре по приглашению Гильберта приехал в Германию и прочитал там ряд лекций, в том числе и о принципе относительности. Пуанкаре ни разу не упомянул в этих лекциях не только Эйнштейна, но и своего коллегу — математика Минковского. О причинах «молчания Пуанкаре» высказывалось множество гипотез. Некоторые историки науки предположили, что всему виной обида Пуанкаре на немецкую школу физиков, которая недооценивала его заслуги в создании релятивистской теории. Другие считают это объяснение неправдоподобным, так как Пуанкаре никогда не был замечен в обидах по поводу приоритетных споров, а теорию Эйнштейна

-39-

предпочли не только в Германии, но и в Великобритании и даже самой Франции. Выдвигалась и такая гипотеза: эксперименты Кауфмана, проведенные в эти годы, поставили под сомнение принцип относительности и формулу зависимости инертности от скорости, так что не исключено, что Пуанкаре решил просто подождать с выводами до прояснения этих вопросов.

В 1897 году немецкий физик Вальтер Кауфман одновременно с английским коллегой Дж. — Дж. Томсоном измерил отношение заряда к массе для катодных лучей. Результаты у обоих экспериментаторов были похожи, однако Кауфман, в отличие от Томсона, был осторожен в своих выводах, и слава первооткрывателя электрона досталась Томсону.

Еще до создания специальной теории относительности Кауфман в 1901–1903 годах провел серию экспериментов, впервые установивших зависимость отношения заряда к массе для электрона от его скорости (впрочем, теоретически этот факт был ранее предсказан Хевисайдом и Дж. — Дж. Томсоном). В то время данный эффект трактовали как наличие у электрона, кроме (или вместо) обычной, еще и особой «электромагнитной» массы. В конце 1905 года, уже после эйнштейновской публикации СТО, Кауфман провел новые измерения, несколько повысив их точность по сравнению с предыдущими. Опубликованные результаты этих экспериментов не подтверждали формулу Лоренца, вошедшую и в теорию относительности, и тем самым ставили под сомнение выполнение принципа относительности для электродинамики. Сам Кауфман к теории относительности с самого начала отнесся с недоверием и объявил, что его опыты свидетельствуют в пользу не эйнштейновской, а альтернативной теории Макса Абрагама. Однако несколько позднее независимые измерения показали, что принцип относительности в электродинамике тоже выполняется, и теория Абрагама была отвергнута. Вопрос о том, была ли точность упомянутых опытов достаточной для такого вывода уже в те годы, является спорным.

-40-

Рис. 15. Смещение перигелия Меркурия: V — орбитальная скорость, F — сила притяжения, S — Солнце, P — точка перигелия (ближайшего расстояния до Солнца) Меркурия

В своих немецких лекциях Пуанкаре сделал важное предсказание: релятивистские поправки к теории тяготения должны объяснить вековое смещение перигелия Меркурия. Это предсказание сбылось в 1915 году, когда Эйнштейн закончил разработку общей теории относительности.

Более понятной позиция Пуанкаре становится после лекции «Пространство и время», с которой он выступил в мае 1912 года в Лондонском университете. В ней ученый считает первичными в перестройке физики новые законы механики и принцип относительности. Свойства пространства и времени, по мнению Пуанкаре, должны выводиться из этих законов и принципа или устанавливаться конвенционально. Эйнштейн же поступил наоборот: он вывел динамику из новых свойств пространства и времени. Пуанкаре по-прежнему считает переход физиков на новую математическую формулировку принципа относительности (преобразования Лоренца вместо преобразований Галилея) делом соглашения:

«Это не значит, что физики были вынуждены это сделать; они считают новое соглашение более удобным, вот и все; и те, кто не придерживается такого рода мысли, могут вполне законно сохранять старый, чтобы не нарушать своих привычек. Между нами говоря, я думаю, что они еще долго будут это делать».

-41-

Из этих слов можно понять, почему Пуанкаре не только не завершил свой путь к теории относительности, но даже отказался принять уже созданную теорию.

Как бы заочно полемизируя со своим великим предшественником, Эйнштейн в «Эволюции физики», написанной им совместно с польским физиком Леопольдом Инфельдом, размышлял:

«Физические понятия суть свободные творения человеческого разума, а не определены однозначно внешним миром, как это иногда может показаться. В нашем стремлении понять реальность мы отчасти подобны человеку, который хочет понять механизм закрытых часов. Он видит циферблат и движущиеся стрелки, даже слышит тиканье, но не имеет средств открыть их корпус. Если он остроумен, то может нарисовать себе некую картину механизма, которая отвечала бы всему, что он наблюдает, но он никогда не может быть уверен в том, что его картина единственная, которая могла бы объяснить его наблюдения. Он никогда не будет в состоянии сравнить свою картину с реальным механизмом, и он не может даже представить себе возможность или смысл такого сравнения».

Рис. 16. Пространство-время Минковского в теории относительности Эйнштейна

-42-

Вместе с тем можно смело предположить: внутренне Эйнштейн был глубоко убежден в том, что «интеллектуальные продукты человеческого разума» и, в частности, математика во многом определяются окружающей физической реальностью. Как видно, подходы Пуанкаре и Эйнштейна к постижению действительности внешнего Мира существенно отличаются. То, что Эйнштейн понимает как относительное, но объективное, Пуанкаре понимает как чисто субъективное, условное (конвенциональное). Различие в позициях Пуанкаре и Эйнштейна и его возможные философские корни подробно исследованы историками науки. Так, профессор Тяпкин размышлял:

«История завершающего периода создания специальной теории осложнена лишь различием в оценках значения известных параллельных работ и проистекающим отсюда недостаточным вниманием к альтернативным подходам. В этих расхождениях проявились прежде всего объективные трудности понимания теоретических построений — в одном случае, и постижения логики размышления — в другом случае. Но, к сожалению, здесь присутствовала и необъективность оценок работ, вызванная тенденциозным выделением работы, первой получившей широкое признание. Конечно, в историческом анализе не следует впадать в крайности и нужно трезво оценивать как значение первых, но весьма еще нечетких формулировок новой физической теории (Лармор, Лоренц), так и преимущества возникших несколько позднее изложений той же теории (Эйнштейн, Пуанкаре, Минковский). Тогда при объективном рассмотрении нетрудно будет установить, что эта теория, как и квантовая механика, создана рядом выдающихся ученых начала XX века».

Рассмотренный этюд из истории становления теории относительности предлагает нам еще один фрагмент головоломки, который, будучи сложенным вместе с конвенционализмом Пуанкаре, дает все основания считать, что в преддверии эпохи

-43-

релятивизма ученый открыл еще нечто совершенно необычное. Поскольку истории неизвестны иные основополагающие концепции Пуанкаре, то открытие явно относилось к области своеобразной математической метафизики. Это нечто не только в значительной степени отвлекло внимание ученого от «мира световых скоростей», но и заставило в очередной раз обратиться к фундаментальному обоснованию математической науки.

Моррис Клайн подчеркивал, что поскольку математика — творение человека и с ее помощью мы открываем совершенно новые физические явления, люди создают отдельные части окружающего их Мира: тяготение, электромагнитные волны, кванты энергии и т. д. Разумеется, математик работает не в пустоте, а руководствуется данными чувственного опыта и эксперимента Существует некий субстрат физического факта, но даже там, где налицо какая-то физическая реальность, совершенная организация, полнота, уточнение и понимание достаются только с помощью математики.

Наше знание зависит от человеческого разума ничуть не меньше (если не больше), чем от реальностей окружающего мира. Разум влияет даже на чувственное восприятие. Восприятие дерева без сознания его «древесности» лишено смысла. Набор чувственных восприятий сам по себе лишен смысла. Люди с их разумом составляют часть реальности. Наука более не противопоставляет природу как объект исследования и человека как субъекта, занимающегося ее описанием. Объект и наблюдатель неразделимы.

Граница между математическим и эмпирическим знанием не абсолютна. Мы непрестанно вносим коррективы в наши наблюдения и в то же время видоизменяем наши теории так, чтобы они соответствовали новым наблюдениям и экспериментальным результатам. Цель усилий, предпринимаемых как в развитии теории, так и в совершенствовании эксперимента, — всестороннее и непротиворечивое описание физического мира. Математика служит своего рода посредником между человеком и природой, между внутренним миром человека и окружающим его внешним миром.

Так мы приходим к бесспорному и неопровержимому выводу: математика и физическая реальность нераздельны. Ма-

-44-

тематика — поскольку она говорит нам о составляющих физического мира и поскольку наше знание этого мира может быть выражено только в математических понятиях — столь же реальна, как столы и стулья. Границы нашего знания реальности существуют, но они постепенно расширяются.

Вполне возможно, что человек, введя некоторые ограничения и даже искусственные понятия, только таким способом сумел «навести порядок» в природе. Созданная им математика может оказаться не более чем рабочей схемой. Не исключено, что природа в действительности устроена гораздо сложнее и в ее основе нет никакого «плана». Но и тогда математика как метод исследования, описания и познания природы не знает себе равных. В некоторых областях ею исчерпывается все, что мы знаем. Если она и не есть сама реальность, то по крайней мере подходит к таковой ближе, чем любая другая область человеческой деятельности.

Какое влияние оказала философия конвенционализма на формулировку и последующий анализ физико-математических исследований Пуанкаре и как это связано с его релятивистскими воззрениями?

Рис. 17. Континуальные представления Пуанкаре неевклидова пространства-времени

Пуанкаре в своих работах подчеркивал, что видимая нами реальность представляет собой лишь проекцию внешнего мира на четырехмерный пространственно-временной континуум.

-45-

Тут есть два взаимодополняющих взгляда. Во-первых, поскольку ученый всегда «примерял» как метафизик свои математические изыскания к реальной структуре Мироздания, в самой формулировке тех же топологических задач видится некий идеологический подтекст. Привнося новый принцип геометрической эволюции реальности, Пуанкаре в очередной раз демонстрировал перспективную, по его мнению, возможность самых различных интерпретаций своих топологических построений, рассматривая научную теорию как некую чисто логическую структуру, относительно которой теряет смысл само понятие истинности.

Во-вторых, связывая вместе метафизическое содержание открытых им принципов релятивизма, ученый допускал, что понятия теории относительности вполне могут быть абстрагированы от своей реальной почвы и войти в аппарат описания динамической эволюции топологии Вселенной.

-46-