Избранные произведения. т.1

существования, которое будет абсолютно невозможно. Если же,

напротив, бесконечно увеличивать ее степени, то она окажется

содержащей высшее и, следовательно, необходимейшее

существование. Это — первая часть теоремы. Далее, так как

необходимость и совершенство никоим образом не могут быть

разделены (как очевидно из акс. 6 и всей первой части этого доказ.),

то становится ясным и то, что подлежит доказательству на втором

месте.

Примечание 1. О многом утверждают, что оно необходимо

существует лишь потому, что есть определенная причина для его

возникновения; я же говорю не об этом, а лишь о той

необходимости и возможности, которая следует из простого

рассмотрения природы или сущности вещи, не принимая во

внимание никакой причины.

207

Примечание 2. Я говорю здесь не о красоте или других

совершенствах, которые люди выставили по суеверию или

невежеству. Но я под совершенством понимаю только реальность

или бытие. Так, например, я замечаю, что в субстанции содержится

более реальности, чем в ее модусах или акциденциях, и отсюда ясно

познаю, что она содержит также более необходимое и более

совершенное бытие, чем акциденции, как вполне очевидно из акс. 4 и

6. Королларий. Отсюда следует, что то, что заключает в себе

необходимое существование, есть совершеннейшее существо, или

бог.

Лемма 2

Природа того, кто имеет силу поддерживать себя, содержит

необходимое существование.

Доказательство. Кто имеет силу поддерживать себя, имеет также

силу сотворить себя (по акс. 10), т.е. (как легко допустить) он не

нуждается ни в какой внешней причине для своего существования,

только его собственная природа, скорее, будет достаточной причиной

того, что он существует возможным или необходимым образом. Но

«возможным образом» не подходит, ибо тогда (по тому, что уже было

доказано в связи с акс. 10) из того, что он уже существует, не

следовало бы, что он и позже будет существовать (что противоречит

допущению). Поэтому он должен необходимо существовать, т.е. его

природа содержит необходимое существование, что и требовалось

доказать.

Доказательство седьмой теоремы. Если бы я имел силу

сохранять себя, то моя природа была бы такова, что я содержал бы

необходимое существование (но лемме 2), и потому моя природа

содержала бы (по кор. к лемме 1) все совершенства. Но я нахожу в

себе как мыслящем существе много несовершенств (например, то,

что я сомневаюсь, что я желаю и т.д.), а именно таких, в которых я

уверен (по сх. к т. 4); следовательно, я не имею никакой силы

поддерживать себя. Я также не могу сказать, что я потому лишен тех

совершенств, что хочу теперь отказать себе в них, ибо это, очевидно,

противоречило бы первой лемме и тому, что я ясно нахожу в себе (по

акс. 5).

208

Далее, пока я существую, я могу существовать, лишь будучи

сохраняем либо самим собою, если я имею к этому силу, либо

другим, имеющим эту силу (по акс. 10 и 11). Но я существую (по

сх. к т. 4), и все-таки я не имею силы сохранять себя сам, как уже

доказано, следовательно, меня сохраняет другой. Но этот другой не

таков, чтобы не иметь силы сохранять самого себя (по той же

причине, по которой, как я только что доказал, я сам не могу себя

сохранять); следовательно, этот другой имеет силу сохранять себя,

т.е. (по лемме 2) его природа заключает необходимое существование,

т.е. (по кор. к лемме 1) он содержит все совершенства,

принадлежащие, по моему ясному разумению, совершеннейшему

существу. Следовательно существует совершеннейшее существо, т.е.

бог, что и требовалось доказать.

Королларий. Бог может совершить все, что мы представляем

ясно и отчетливо, и так именно, как мы это представляем.

Доказательство. Все это очевидно из предыдущей теоремы. Там

доказано, что бог существует потому, что должен существовать кто-

нибудь, содержащий все совершенства, идеи которых мы имеем. Но

мы имеем идею столь великого могущества, что им одним,

обладающим этим могуществом, может быть создано небо, земля и

все прочее, что я считаю возможным. Поэтому вместе с

существованием бога доказано о нем и все это.

Теорема 8

Дух и тело действительно различны.

Доказательство. То, что мы представляем ясно, может быть

создано богом так, как мы это представляем (по предыдущему кор.).

Но мы ясно представляем себе дух, т.е. мыслящую субстанцию (по

опр. 6) без тела, т.е. (по опр. 7) без протяженной субстанции (пот. 3 и

т. 4), и также, наоборот, тело без духа (как всякий легко допустит).

Поэтому по крайней мере благодаря божественному могуществу дух

может существовать без тела и тело без духа.

Субстанции же, которые могут существовать одна без другой,

действительно различны (по опр. 10); но дух и тело суть субстанции

(по опр. 5, 6, 7), которые могут существовать одна без другой;

следовательно, дух и тело действительно различны.

209

См. предл. 4 у Декарта в конце его «Ответа на вторые возражения»

и сказанное в § 22-29, ч. 1 «Начал», так как я не считаю нужным

приводить это здесь.

Теорема 9

Бог всеведущ (summe intelligens).

Доказательство. Если оспаривать это, то бог или ничего не знает,

или знает не все, но лишь нечто. Но знание одного и незнание

остального предполагает ограниченный и несовершенные разум,

который приписывать богу абсурдно (по опр. 8). Если же бог ничего

не знает, то это или показывает у бога недостаток знания, как у

людей, когда они ничего не знают, и содержит в таком случае

несовершенство, какого не может быть у бога (по опр. 8); или это

показывает, что совершенству бога противоречит, чтобы он знал

нечто. Однако если у бога таким образом вполне отрицается

способность познания, то он не может творить никакого разума (по

акс. 8). Но так как мы представляем разум ясно и отчетливо, то бог

может быть его причиной (по кор. к т. 7). Поэтому совершенству бога

не может никоим образом противоречить знать нечто, а

следовательно, он всеведущ, что и требовалось доказать.

Схолия. Хотя надо допустить, что бог бестелесен, как это

доказано в т. 16, однако этого нельзя понимать так, как будто все

совершенства протяжения должны быть удалены от него; это скорее

необходимо лишь постольку, поскольку природа и свойства

протяжения содержат несовершенства. Это имеет силу и для знания

бога, как признают все, желающие подняться над общей массой

философов, и как будет подробно изложено в моем «Приложении»,

ч. II, гл. 7.

Теорема 10

Всякое совершенство, находимое в боге, происходит от бога.

Доказательство. Если не допустить этого, то в боге было бы

совершенство, исходящее не от него; тогда это совершенство будет в

боге или само по себе, или от чего-то,

210

отличного от бога. Если оно само по себе, то оно имеет необходимое

существование (по лемме 2 к т. 7), и тогда оно будет (по кор. леммы

1 той же теоремы) чем-то в высшей степени совершенным,

следовательно (по опр. 8), самим богом. Поэтому, если говорят, что в

боге есть нечто, исходящее от самого себя, то одновременно говорят,

что оно исходит от бога, что и требуется доказать. Если же, напротив,

оно исходит от чего-нибудь, отличного от бога, то бог не может быть

представлен вопреки опр. 8 совершеннейшим сам через себя.

Поэтому все, находимое в боге совершенным, исходит от бога, что и

требовалось доказать.

Теорема 11

Нет нескольких богов.

Доказательство. Если кто это оспаривает, то пусть представит

себе, если возможно, несколько богов, например А и В. Тогда (по т. 9)

как А, так и В необходимо будут всеведущи, т.е. А знает все,

следовательно, себя и В, и, наоборот, В знает себя и А. Но так как А и

В (по т. 5) необходимо существуют, то В является само причиной

истины и необходимости своей идеи в А; и, наоборот, 4 является

причиной истины и необходимости своей идеи в B. Таким образом, в

А будет совершенство, исходящее не из него самого, и в B

совершенство, исходящее не из него, а потому оба (по пред. теореме)

не будут богами. Поэтому, нет нескольких богов, что и требовалось

доказать.

Надо заметить, что из одного того, что вещь заключает в себе

необходимое существование, как это имеет место в боге,

необходимо следует, что эта вещь единственна. При внимательном

размышлении всякий заметит это сам; и я мог бы это здесь тоже

доказать, но, конечно, не таким общепонятным образом, как это

сделано в этой теореме.

Теорема 12

Все существующее сохраняется лишь силою бога.

Доказательство. Если км оспаривает это, пусть допустит, что

нечто сохраняет само себя; тогда (по лемме 2 к т. 7) его природа

содержит необходимое существование, и потому (по кор. к лемме 1,

т. 7) оно должно быть богом;

211

тогда было бы несколько богов, что противоречиво (по т. 11). Итак,

все сохраняется силою бога, что и требовалось доказать.

Королларий 1. Бог есть творец всех вещей.

Доказательство. Бог сохраняет все (по т. 12), т.е. (по акс. 10) он

сотворил все, что существует, и творит его непрестанно снова.

Королларий 2. Вещи сами по себе не имеют сущности, которая

могла бы быть причиной познания бога: скорее бог является

причиной вещей также и в отношении их сущности.

Доказательство. Так как в боге нет совершенства, не исходящего

от него (по т. 10), то вещи сами по себе не могут иметь сущности,

которая могла бы быть причиной познания бога. Так как бог все

производит не из другого, но вполне творит (по т. 12 с кор.) и

действие творения не допускает иной причины, кроме действующей

(ибо так я определил творение), которая является богом, то скорее

следует, что вещи до их творения были совершенно ничем, и потому

бог есть причина их сущности, что и требовалось доказать.

Этот королларий очевиден из того, что бог есть причина и творец

всех вещей (по кор. 1) и что причина должна содержать в себе все

совершенства действия (по акс. 8), как каждый легко может заметить.

Королларий 3. Отсюда ясно следует, что бог не ощущает и

собственно не воспринимает; ибо его разум не определяется никакой

внешней вещью, но все исходит из него самого.

Королларий 4. Бог согласно причинности предшествует

сущности и существованию вещей, как это очевидно из 1 и 2 кор.

этой теоремы.

Теорема 13

Бог в высшей степени правдив и никоим образом не может быть

обманщиком.

Доказательство. Богу нельзя приписать ничего (по опр. 8), что

содержит несовершенство. Но всякий обман (как само собою

разумеется) * или всякое намерение об-

__________________

* Я не поместил этой аксиомы среди других аксиом, так как в этом не

было необходимости. Ибо она мне нужна лишь для доказательства

только этой теоремы и также потому, что, пока я еще не знал о бытии

бога, я хотел считать истинным лишь то, что я мог

212

мануть исходит лишь из злобы или страха, а страх предполагает

умаляющую силу, злоба же — недостаток доброты. Поэтому богу, как

наиболее могущественному и в высшей степени благому существу,

нельзя приписать обмана или намерения обмануть; он должен скорее

считаться в высшей степени правдивым и ни в коей мере не

обманщиком, что и требовалось доказать. См. «Ответ на вторые

возражения» № 4 Декарта.

Теорема 14

Все, воспринимаемое ясно и отчетливо, истинно.

Доказательство. Способность отличать истину от лжи, которой

мы обладаем (как это всякий находит в самом себе и как это очевидно

из всего доказанного выше), создана богом и постоянно сохраняется

им (по т. 12 с кор.), т.е. (по т. 13) существом в высшей степени

правдивым и ни в коей мере не обманщиком. Он не дал нам

способности (как каждый замечает в себе) воздерживаться от того и

не соглашаться с тем, что мы воспринимаем ясно и отчетливо; так

что, если бы мы были введены в заблуждение здесь, то мы были бы

также обмануты богом во всех обстоятельствах и бог был бы

обманщиком, что (по т. 13) нелепо. Поэтому то, что мы

воспринимаем ясно и отчетливо, истинно, что и требовалось

доказать.

Схолия. Итак, то, с чем мы необходимо должны соглашаться, если

оно воспринято нами ясно и отчетливо, необходимо должно быть

истинным. Мы имеем способность не соглашаться с темным или

сомнительным, или тем, что не может быть выведено из

надежнейших принципов, как это каждый замечает в себе. Отсюда

очевидно, что мы можем всегда остерегаться, чтобы не впасть в

заблуждение, и никогда не обманываться (что еще яснее окажется из

следующего), если мы твердо решимся не считать ничего истинным,

что мы не воспринимаем ясно и отчетливо, или что но выведено из

ясных и твердых принципов.

__________________

вывести из первоначально известного «я существую», как я напомнил в

схолии к т. 4. Затем определения страха и злобы я равно не поместил

среди определений, данных выше, так как всякий знает их, и я нуждаюсь

в них лишь для этой теоремы.

213

Теорема 15

Заблуждение не есть нечто положительное.

Доказательство. Если бы заблуждение было чем-либо

положительным, то оно имело бы причиной бога и должно было бы

постоянно твориться им (по т. 12). Но это нелепо (по т. 13);

следовательно, заблуждение не представляет ничего положительного,

что и требовалось доказать.

Схолия. Поскольку заблуждение не представляет в человеке нечто

положительное, оно может быть только лишением истинного

употребления свободы (по сх. к т. 14); следовательно, подобно тому

как отсутствие солнца мы называем причиной мрака или бога,

сотворившего дитя, подобным остальным детям, но не давшего ему

зрения, мы считаем причиной его слепоты, бог считается и причиной

заблуждения, потому что он дал нам разум, простирающийся лишь

на немногое. Чтобы ясно понять ото, а также то, как заблуждение

происходит от простого злоупотребления нашей волей и, наконец, как

мы можем предохранить себя от заблуждения, вызовем в памяти

различные модусы мышления, т.е. все модусы восприятия (как

ощущение, воображение и чистое познание) и воли (как желание,

нежелание, утверждение, отрицание и сомнение); ибо все они могут

быть сведены к этим двум видам.

При этом следует заметить: 1) что дух, когда он что-либо

постигает ясно и отчетливо и соглашается с этим, не может

заблуждаться (по т. 14); так же мало дух может заблуждаться, когда

он что-либо лишь представляет, но соглашаясь с этим. Ибо если я

представлю себе крылатую лошадь, то это представление не

содержит ничего ложного, пока я не допускаю существования

крылатой лошади и пока также я сомневаюсь в существовании такой

лошади. II, поскольку согласие есть не что иное, как определение

воли, отсюда следует, что заблуждение зависит лишь от применения

воли.

Чтобы это стало еще ясное, надо заметить, 2) что мы имеем власть

соглашаться не только с тем, что мы воспринимаем ясно и отчетливо,

но и с тем, что мы представляем каким-либо иным образом, ибо наша

воля не ограничена никакими пределами. Всякий может это ясно

видеть, если только подумает, что если бы бог хотел дать нам

неограниченную силу разумения, то он не должен был бы наделить

нас большей силой соглашения, чем мы уже

214

имеем для того, чтобы соглашаться со всем понятым. Тем более

достаточной была бы сила, какой мы теперь обладаем, чтобы

соглашаться с бесконечно многим. Действительно, мы узнаем, что

соглашаемся со многим, чего мы не вывели из определенных аксиом.

Отсюда очевидно, что, если бы разум простирался так же далеко, как

сила воли, или последняя не могла бы простираться далее разума,

или, наконец, мы могли бы удержать силу воли внутри границ

разума, то мы никогда не впадали бы в заблуждение (по т. 14).

Но мы не имеем силы выполнить оба первые требования, ибо для

этого нужно было бы, чтобы воля не была неограничена, а созданный

разум был неограничен. Таким образом, остается исследовать третье

условие, т.е. имеем ли мы силу удержать нашу волю в пределах

нашего разума. Но наша воля свободна в определении самой себя,

следовательно, мы имеем силу удерживать способность соглашения в

пределах нашего разума и таким образом предохранять себя от

заблуждения. Отсюда вполне очевидно, что быть всегда

обеспеченным от ошибок зависит лишь от употребления нашей воли.

Свобода же нашей воли подробно доказана в § 39, ч. I «Начал» и в

«Четвертом размышлении» и мною самим в последней главе

«Приложения». И если мы должны соглашаться с ясно и отчетливо

воспринятым, то это необходимое согласие зависит не от слабости

нашей воли, но только от ее свободы и совершенства. Ибо согласие

является в нас поистине совершенством (как это само собой

разумеется), и воля никогда не бывает совершеннее и свободнее, чем

когда она вполне определяет себя сама. Так как это может наступить

лишь тогда, когда дух постигает что-либо ясно и отчетливо, то он

необходимо тотчас дает себе это совершенство (по акс. 5). Поэтому

мы вовсе не должны считать себя менее свободными потому, что при

восприятии истины ни в какой мере не остаемся равнодушными.

Скорее может считаться достоверным, что мы тем менее свободны,

чем более равнодушны.

Итак, здесь остается еще объяснить, как заблуждение

представляет в отношении к человеку только лишение, а в

отношении к богу отрицание. Это легко понять, если предварительно

принять во внимание, что, воспринимая наряду с ясно познанным

еще многое другое, мы являемся более совершенными, чем если бы

последнее не имело

215

места. Это ясно вытекает из того, что если бы мы вовсе ничего не

могли воспринимать ясно и отчетливо, но все лишь смутно, то мы не

обладали бы ничем более совершенным, чем это смутное восприятие,

и тогда ничто другое не было бы желательно для нашей природы.

Далее, согласие с чем-либо даже смутным, поскольку это есть

деятельность, представляет совершенство. Это было бы всякому

ясно, если, как сделано выше, предположить, что ясное и отчетливое

восприятие противоречит человеческой природе. Тогда стало бы

ясно, что для человека гораздо лучше соглашаться даже со смутным

и упражнять свою свободу, чем оставаться всегда равнодушным, т.е.

(как мы только что показали) на низшей степени свободы. Это

окажется совершенно необходимым, если обратить внимание на

целесообразное и полезное в человеческой жизни, как этому в

достаточной мере учит ежедневный опыт каждого.

Поэтому, поскольку все отдельные виды нашего мышления,

рассматриваемые сами по себе, совершенны, постольку они не могут

содержать того, что составляет форму заблуждения. Если же

обратить внимание на различные виды хотения, то одни окажутся

совершеннее других в той мере, в какой они делают волю менее

равнодушной, т.е. более свободной. Далее видно, что, пока мы

соглашаемся со смутно представленным, мы делаем наш дух менее

способным отличать истину от заблуждения и потому еще не

обладаем высшей степенью свободы. Поэтому согласие со смутными

представлениями, поскольку оно является чем-то положительным,

еще не содержит несовершенства или формы заблуждения; оно

является несовершенством лишь постольку, поскольку мы лишаем

себя этим лучшей свободы, принадлежащей нашей природе и

находящейся в нашей власти. Таким образом, все несовершенство

заблуждения состоит только в этом лишении высшей степени

свободы, что и называют заблуждением. Оно называется лишением,

так как мы им лишаемся совершенства, присущего нашей природе, и

заблуждением, так как по нашей вине мы не обладаем этим

совершенством, поскольку мы, хотя и могли бы, не удерживаем воли

в пределах разума. Если поэтому заблуждение в отношении к

человеку является только лишением совершенного или правильного

употребления свободы, то следует, что она не содержится ни в одной

из способностей, какие человек имеет от бога, и ни в какой

деятельности этих способно-

216

стей, поскольку она зависит от бога. Нельзя также сказать, что бог

лишил нас большего разума, который он мог дать нам, и потому

сделал нас способными впадать в заблуждение. Ибо природа любой

вещи не может требовать от бога ничего, кроме того, что воля бога

хотела ей даровать; ибо до воли бога нечто не существует и даже не

может быть представлено (как мы более подробно покажем в нашем

«Приложении», гл. 7 и 8). Поэтому бог так же мало лишил нас

большего разума или более совершенной способности разумения, как

круг свойств шара или окружность свойств сферической

поверхности.

Поэтому, так как ни одна из наших способностей, как бы их ни

рассматривать, не может указать никакого несовершенства в боге,

отсюда ясно следует, что это несовершенство, в котором состоит

форма заблуждения, представляет лишение лишь в отношении

человека, напротив, в отношении к богу, как причине, оно не может

быть названо лишением, но лишь отрицанием.

Теорема 16

Бог бестелесен.

Доказательство. Тело есть непосредственный субъект местного

движения (по опр. 7): так что, если бы бог был телесен, то он мог бы

делиться на части. Но так как это содержит несовершенство, то было

бы противоречием допускать это о боге (по опр. 8).

Другое Доказательство. Если бы бог был телесен, то он мог бы

быть разделен на части (по опр. 7). Но каждая из этих частей либо

могла бы существовать сама по себе, либо нет; в последнем случае

она была бы подобна остальным вещам, созданным богом, и потому,

как всякая созданная вещь, созидалась бы далее той же силою бога

(по т. 10 и акс. 11), и потому, как все остальные сотворенные вещи,

уже не принадлежала бы природе бога, что противоречиво (по т. 5).

Если же каждая часть существует сама по себе, она должна включать

необходимое существование (по лемме 2, т. 7), и потому каждая часть

была бы существом в высшей степени совершенным (по кор. к

лемме 2, т. 7). Но это также нелепо (по т. 11), следовательно, бог

бестелесен, что и требовалось доказать.

217

Теорема 17

Бог простейшее существо.

Доказательство. Если бы бог состоял из частей, то эти части (как

каждый легко согласится) должны были бы, по крайней мере по их

природе, предшествовать богу, что нелепо (по кор. 4 к т. 12);

следовательно, бог — простейшее существо, что и требовалось

доказать.

Королларий. Отсюда следует, что разум бога, его воля, или

решение, и власть различаются от его сущности лишь до точке

зрения.

Теорема 18

Бог неизменен.

Доказательство. Если бы бог был изменчив, то он должен был бы

изменяться не только по частям, но всей своей сущностью (по т. 17).

Но сущность бога пребывает с необходимостью (по т. 5, 6 и 7),

следовательно, бог неизменен, что и требовалось доказать.

Теорема 19

Бог вечен.

Доказательство. Бог в высшей степени совершенное существо

(по опр. 8), отсюда следует (по т. 5), что он необходимо существует.

Если же приписать ему ограниченное существование, то пределы его

существования необходимо должны познаваться, если не нами, то

богом (по т. 9), так как он всеведущ. Таким образом, бог познавал бы,

что он, будучи совершеннейшим существом (по опр. 8), не

существует за этими пределами, что нелепо (по т. 5); поэтому бог

имеет не ограниченное, а беспредельное существование, что

обозначают вечностью (ср. гл. 1, ч. II моего «Приложения»). Поэтому

бог вечен, что и требовалось доказать.

Теорема 20

Бог все предопределил от вечности.

Доказательство. Так как бог вечен (по т. 19), то и разум его вечен,

ибо он принадлежит его вечной сущности (но кор. к т. 17). По его

разум по существу не отличается

218

от его воли или решения (по кор. к т. 17); поэтому, когда говорят, что

бог от вечности познал все вещи, то одновременно говорят, что он от

вечности все вещи восхотел или решил, что и требовалось доказать.

Королларий. Отсюда следует, что бог в высшей степени

постоянен в своих творениях.

Теорема 21

Субстанция, протяженная в длину, ширину и глубину,

действительно существует; и мы соединены с одной частью ее.

Доказательство. Протяженная вещь, как мы ясно и отчетливо

постигаем, не принадлежит к природе бога (по т. 10). Но она может

быть сотворена богом (по кор. к т. 7 и по т. 8). Далее мы понимаем

ясно и отчетливо (как каждый, поскольку он мыслит, заметит в себе),

что протяженная субстанция есть достаточная причина, чтобы

вызвать в нас щекотку, боль и подобные идеи, т.е. ощущения, которые

постоянно возбуждаются в нас даже без нашего содействия. Если бы

мы кроме этой протяженной субстанции захотели представить себе

другую причину наших ощущений, например бога или ангела, то мы

тотчас нарушили бы ясное и отчетливое понятие, которое мы имеем.

Поэтому, если * мы обращаем должное внимание на наши

представления и ничего не признаем, кроме ясно и отчетливо

воспринятого, то мы будем вполне склонны и ни в коей мере не

равнодушны к тому, чтобы допустить, что протяженная субстанция

— единственная причина наших ощущений, и поэтому утверждать,

что существует протяженная вещь, сотворенная богом. В этом мы во

всяком случае не можем ошибаться (по т. 14 со сх.); поэтому

правильно утверждают, что существует субстанция, протяженная в

длину, ширину и глубину. Это — во-первых.

Далее, мы замечаем среди наших ощущений, которые должны

(как выше показано) вызываться в нас протяженной субстанцией,

большое различие; например, когда я говорю, что вижу или

воспринимаю дерево, или когда говорю, что чувствую жажду или

боль, и т.д. Причину различия, как я ясно вижу, я не могу понять

ранее, чем

__________________

* См. док. т. 14, и сх. к теор. 15.

219

я познаю, что я тесно соединен с одной частью материи, а с другими

частями не так тесно. Так как я это понимаю ясно и отчетливо и не

могу себе представить никаким другим образом, то истинно (по т. 14

со сх.), что я соединен с частью материи. Это — во-вторых. Таким

образом, доказано то, что и требовалось доказать.

Примечание. Если читатель рассматривает себя здесь не как

только мыслящую вещь, не имеющую тела, и если он не отвергает

как предрассудки все свои прежние основания для допущения

существования тела, то он напрасно будет стараться понять это

доказательство.

ВТОРАЯ ЧАСТЬ

ПОСТУЛАТ

Здесь требуется только, чтобы каждый обращал самое тщательное

внимание на спои восприятия, чтобы отличать ясное от смутного.

ОПРЕДЕЛЕНИЯ

1. Протяжение есть то, что состоит из трех измерений, но мы

под этим не понимаем ни акта распространения, ни чего-либо,

отличного от величины.

2. Под субстанцией мы понимаем то, что нуждается для своего

существования лишь в помощи бога.

3. Атом — неделимая по своей природе часть материи.

4. Безграничное (Indefinitum) — то, границы чего (если они

имеются) не могут быть постигнуты человеческим умом.

5. Пустота есть протяжение без телесной субстанции.

6. Между пространством и протяжением различие существует

лишь в мысли, в действительности же между ними различия нет (см.

§ 10, ч. II «Начал»).

7. Мы называем делимым, по крайней мере в возможности, то,

что может быть разделено мысленно.

8. Местное движение (Motus localis) есть перенос одной части

материи или одного тела из соседства тел, непосредственно

касающихся его и предполагаемых в покое, в соседство других тел.

221

Декартпользуется этим определением, чтобы объяснить

местное движение. Чтобы его понять как следует, надо заметить:

1) Что под частью материи он понимает все, что

передвигается целиком, хотя бы оно само опять состояло из многих

частей;

2) что для избежания путаницы в этом определении он говорит

лишь о том, что постоянно находится в подвижной вещи, т.е. в

переносе, чтобы оно не смешивалось, как это случалось часто со

многими, с силой или действием, которое вызывает перенос.

Вообще думают, что эта сила, действие нужны лишь для

движения, но не для покоя; это, однако, заблуждение. Ибо,

разумеется, нужна равная сила для того, чтобы сообщить

покоящемуся телу известные степени движения, как и для того,

чтобы у него снова отнять эти степени и привести его к покою.

Опыт также учит этому; ибо нужна почти равная сила для того,

чтобы привести в движение судно, находящееся в спокойной воде,

как и для того, чтобы привести движущееся судно в покой. Обе

силы были бы, конечно, равны, если бы одна сила не поддерживалась

тяжестью и косностью воды, подымаемой судном при остановке

его; 3) что он говорит о переносе из соседства смежных тел в

соседство других, а не из одного места в другое. Ибо место (как он

сам объясняет в § 13 ч. II) не представляет ничего действительного,

но находится лишь в нашей мысли, почему о том же самом теле

можно сказать, что оно в одно и то же время меняет а не меняет

место. Но нельзя также сказать, что оно одновременно

переносится и не переносится из соседства одного смежного тела,

ибо в одно и то же мгновение лишь некоторые определенные тела

могут касаться того же подвижного тела;

4) что он не говорит, что перенос происходит вообще из

соседства смежных тел, но лишь таких, которые считаются

покоящимися. Ибо для того, чтобы тело А было перенесено от

покоящегося тела В, нужна та же сила с одной и другой стороны,

что очевидно, например, в случае лодки, завязшей в тине и песке на

дне воды, так как для передвижения лодки нужно приложить ту же

силу ко дну, как и к лодке. Поэтому сила, с которой должно

двигаться тело, тратится как на движущееся, так и на покоящееся

тело. Но передвижение взаимно; ибо, когда лодка отделяется от

песка, то и песок отделяется от

222

лодки. Таким образом, если мы хотим сообщить равные движения в

противоположном направлении двум удаляющимся друг от друга

телам, то, для того чтобы и первое и второе тело обладало одним

и тем же действием, мы были бы вынуждены тогда сообщать и

телам, которые всеми считаются покоящимися,

например песку, от которого лодка должна

отделиться, столько же движения, как и

движущимся телам; ибо, как я показал,

требуется одинаковое действие с одной и другой

стороны и перемещение взаимно. Однако это

сильно отступало бы от обыкновенного способа

выражения. Если даже тела, от которых отделяются другие,

считаются покоящимися и так обозначаются, то мы всегда

должны помнить, что все, что находится в движущемся теле

(почему его называют «движущимся»), содержится и в покоящемся

теле;

5) наконец, из определения также очевидно, что каждое тело

имеет лишь одно свойственное ему движение, так как оно может

удаляться лишь от тех же самых

смежных и покоящихся тел. Если же

подвижное тело есть составная часть

других тел, имеющих другое движение, то

можно ясно видеть, что и оно может

принимать участие в бесчисленных других

движениях. Но, так как не легко познать

одновременно столько движений и все они

даже не могут быть познаны, то

достаточно рассмотреть лишь одно, свойственное каждому телу

(см. § 31 ч. II «Начал»).

9. Под кругом движущихся тел разумеется лишь то, что последнее

тело, движущееся под влиянием толчка другого тела,

непосредственно касается первоначально двигавшегося, хотя бы

линия, описываемая всеми телами в результате толчка одного этого

движения, была очень кривая (см. фиг. 2).

АКСИОМЫ

1. Ничто не обладает свойствами.

1. То, что без нарушения целостности вещи может быть отнято

от нее, не составляет ее сущности; напротив,

223

то, что при отнятии уничтожает вещь, образует ее сущность.

3. Относительно твердости ощущение не учит нас ничему, и мы

не имеем о ней никакого иного ясного и отчетливого представления,

кроме того, что части твердого тела оказывают сопротивление

движению наших рук.

4. Приближаются ли тела друг к другу или удаляются одно от

другого, от этого они не занимают большего или меньшего

пространства.

5. Часть материи не теряет природы тела ни вследствие

податливости, ни вследствие сопротивления.

6. Движение, покой, форма и тому подобное не могут быть

представлены без протяжения.

7. Кроме чувственно воспринимаемых свойств в теле остается

лишь протяжение с его состояниями, как они выведены в части I

«Начал».

8. То же самое пространство или любое протяжение не могут

быть один раз больше, чем другой.

9. Всякое протяжение делимо, по крайней мере мысленно.

В истине этой аксиомы не усомнится никто, кто только изучал

элементы математики. Так, пространство между кругом и его

касательной можно разделить бесконечно многими все большими

кругами. То же очевидно для ассимптот гиперболы.

10. Никто не может представить себе пределы протяжения или

пространства, не представляя себе за ними другого пространства,

непосредственно примыкающего к первому.

11. Если материя разнородна и одна материя не соприкасается

непосредственно с другой, то каждая необходимо заключена в

границы, за которыми нет материи.

12. Наименьшие тела легко уступают движению наших рук.

13. Одно пространство не проникает через другое, и один раз не

бывает больше, чем другой.

14. Если канал А такой же длины, как канал С, а С вдвое шире А,

и жидкое вещество проходит чрез канал А вдвое скорее, чем

одинаковое вещество чрез канал С, то в равное время равное

количество вещества проходит чрез канал А, как и чрез канал С; и

если чрез А проходит то же количество, как через С, то оно должно

двигаться в А вдвое быстрее, чем в С.

224

15. Вещи, согласующиеся с третьей вещью, согласуются между

собою; и если они вдвое больше третьей, то они равны между собою.

16. Если материя движется различным образом, то она имеет по

крайней мере столько действительно (actu) раздельных частей,

сколько в ней одновременно наблюдается различных степеней

скорости.

17. Прямая линия есть кратчайшее расстояние между двумя

точками.

18. Если тело А, движущееся от С к В, отражается противным

толчком, то оно будет двигаться по той же линии по направлению к

С. 19. Если встречаются тела с противоположными движениями, то

оба или по крайней мере одно из них должно испытать известное

изменение.

20. Изменение в одной вещи исходит от большей силы.

21. Если тело 1 (см. фиг. 2) движется против тела 2 и толкает его,

а тело 8 от этого Толчка движется к 1, то тела 1, 2, 3 и т.д. не могут

находиться на прямой линии, но должны образовать полный круг

вместе с 8. См. опр. 9.

Лемма 1

Где есть протяжение или пространство, там необходимо есть и

субстанция.

Доказательство. Протяжение или пространство не может быть

чистым ничто (по акс. 1), следовательно оно атрибут, который

необходимо должен быть сообщен вещи, которая не может быть

богом (по т. 16, ч. I). Следовательно, оно может быть сообщено лишь

вещи, которая для своего существования нуждается в помощи бога

(по т. 12, ч. I), т.е. субстанции (по опр. 2 той же части), что и

требовалось доказать.

225

Лемма 2

Разрежение и сгущение ясно и отчетливо представляются нами,

хотя мы не допускаем, что тела в состоянии разрежения занимают

большее пространство, чем при сгущении.

Доказательство. Действительно, они могут быть ясно и

отчетливо представлены уже потому, что части одного тела

удаляются друг от друга или приближаются одно к другому. Поэтому

они (по акс. 4) не будут занимать большего или меньшего

пространства. Ибо, когда части тела, например, губки, сближаясь,

вытесняют тела, наполняющие их промежутки, то вследствие этого

тело становится плотнее, и поэтому его части не будут занимать

меньшего пространства, чем прежде (по акс. 4). Если же они потом

опять удалятся друг от друга и промежутки наполнятся другими

телами, то наступит разрежение, причем части не займут большего

пространства. То, что на примере губки отчетливо воспринимается

чувствами, на примере всех тел можно представить себе в уме, хотя

промежутки между частями недоступны восприятию человеческих

чувств. Таким образом, разрежение и сгущение ясно и отчетливо

представляются нами и т.д., что и требовалось доказать.

Предпослать это казалось нужным для того, чтобы разум

избавился от ложных представлений о пространстве, разрежении и

т. д. и стал способен к пониманию нижеследующего.

Теорема 1

Если даже отнять от тела твердость, вес и другие чувственные

свойства, то, несмотря на это, природа тела останется не

нарушенной.

Доказательство. О твердости, например камня, ощущение не

сообщает нам ничего, и мы относительно нее не усматриваем ничего

ясно и отчетливо, кроме того, что части твердого тела оказывают

сопротивление движению наших рук (по акс. 3); поэтому и твердость

но представляет ничего больше (по т. 14, ч. I). Если же такое тело

растолочь на мельчайшие частицы, то его части легко будут уступать

рукам (по акс. 12) и все-таки не потеряют природы тела (по акс. 5),

что и требовалось доказать.

Точно так же ведется доказательство для веса и прочих

чувственных свойств.

226

Теорема 2

Природа тела, или материи, состоит только в протяжении.

Доказательство. Природа тела не устраняется от устранения его

чувственных свойств (по т. 1); следовательно, они не составляют его

сущности (по акс. 2). Так остается лишь протяжение и его состояние

(по акс. 7). Поэтому, если и их устранить, то не останется ничего

принадлежащего природе тела, и оно будет этим совершенно

устранено; следовательно, природа тела состоит (по акс. 2) только в

его протяжении, что и требовалось доказать.

Королларий. Пространство и тело в действительности не

различаются.

Доказательство. Тело и протяжение в действительности не

различаются (по предыдущей т.); точно так же пространство и

протяжение не различаются реально (по опр. 6), поэтому

пространство и тело (по акс. 15) также не различаются реально, что и

требовалось доказать.

Схолия. Хотя мы и говорим *, что бог повсюду, мы не

предполагаем тем самым, что бог протяжен, т.е. (по т. 2) телесен; ибо

вездесущие (esse ubique) относится лишь к могуществу бога и его

содействию, которым он поддерживает все вещи. Поэтому

вездесущие бога так же мало относится к протяжению или телу, как к

ангелам и человеческим душам. Если же мы говорим, что его

могущество повсюду, то этим его сущность не должна быть

исключена, потому что, где его могущество, там находится и его

сущность (по кор. к т. 17, ч.]). Скорее должна быть исключена лишь

телесность, т.е. бог находится повсюду, не через телесное

могущество, но лишь чрез божественное могущество и сущность,

которые сообща охраняют протяжение и мыслящие вещи (по т. 17,

ч. I), которых он действительно не мог бы сохранить, если бы его

могущество, т.е. его сущность, было телесным.

Теорема 3

Пустота сама по себе противоречивое понятие.

Доказательство. Под пустотой разумеют протяжение без

телесной субстанции (по опр. 5), т.е. (по т. 2 этой части) тело без

тела, что нелепо.

* См. об этом подробнее в «Приложении», ч. II, гл. 3 и 9.

227

Для полного выяснения и устранения ложных представлений о

пустоте прочти § 17 и 18, ч. II « Начал», где особенно отмечается,

что тела, между которыми ничего не находится, необходимо

соприкасаются, и далее, что ничто не обладает свойствами.

Теорема 4

Часть тела не занимает один раз большего пространства, чем

другой раз, и наоборот, то же пространство не содержит один раз

более тела, чем другой раз.

Доказательство. Пространство и тело реально не различаются

(по кор. к т. 2). Поэтому, говоря, что пространство один раз не

является большим, чем другой (по акс. 13), мы в то же время

говорим, что тело не может быть один раз больше, т.е. занимать

большее пространство, чем другой; это было первое. Далее, из того,

что тело и пространство реально не различаются, следует, что,

говоря, что одно и то же тело не может занимать один раз большее

пространство, чем другой, мы в то же время говорим, что одно и то

же пространство не может содержать один раз больше тела, чем

другой, что и требовалось доказать.

Королларий. Тела, занимающие равное пространство, например

золото или воздух, содержат также равное количество материи или

телесной субстанции.

Доказательство. Телесная субстанция состоит не в твердости,

например золота, не в мягкости, например воздуха, не в других

чувственных качествах (по т. 1, ч. II), но лишь в протяжении (по т. 2,

ч. II). Но, так как (по предположению) в первом столько же

пространства, или (по опр. 6) протяжения, как во втором, то в каждом

заключается столько же телесной субстанции, что и требовалось

доказать.

Теорема 5

Нет никаких атомов.

Доказательство. Атомы суть части материи, не делимые по своей

природе (по опр. 3), но, так как природа тела состоит в протяжении

(по т. 2, ч. II), которое по своей природе, как бы оно ни было мало,

делимо (по акс. 9 и

228

опр. 7), то всякая самая малая часть материи по природе делима, т.е.

нет никаких атомов или неделимых по своей природе частей

материи, что и требовалось доказать.

Схолия. Вопрос о существовании атомов всегда был труден и

запутан. Некоторые утверждают, что атомы существуют, так как одна

бесконечность не может быть больше другой, и, если бы две

величины, например А и 2 А, были бесконечно делимы, то они могли

бы могуществом бога, который усматривает их бесконечные части

одним взором, действительно быть разделены на бесконечно многие

части. Но если, как сказано, одна бесконечность не может быть

больше другой, то величина А была бы равна 2А, что нелепо. Далее,

задают вопросы, бесконечна ли также половина бесконечного числа,

четная она или нечетная, и другие подобные этим. Декарт отвечает на

все это, что нельзя отвергать постижимое для нашего разума и

представляемое ясно и отчетливо ради того, что превосходит наш

разум и наше понимание и потому не постигается нами вовсе или же

весьма недостаточно. Но бесконечность и ее свойства превосходят

конечный по своей природе человеческий разум, и потому было бы

безумно отвергать или сомневаться в том, что мы представляем ясно

и отчетливо в отношении пространства, только потому, что мы не

можем понять бесконечности. Поэтому то, в чем мы не замечаем

никаких границ, каковы протяжение мира, делимость частей материи

и т.д., Декарт обозначает как безграничное (indefinitum) (см. об этом

§ 26, ч. I «Начал»).

Теорема 6

Материя безгранично протяженна, и материя неба и земли одна и

та же.

Доказательство первой части. Нельзя представить себе никаких

границ протяжения, т.е. (по т. 2, ч. II) материи, не представляя себе

тотчас за ними непосредственно прилегающие пространства (по

акс. 10), т.е. (по опр. 6) протяжение или материю, и так без конца. Это

— первое.

Доказательство второй части. Сущность материи состоит в

протяжении (по т. 2, ч. II), притом лишенном границ (по первой части

этого доказательства), т.е. (по

229

опр. 4) таком, которое не может быть представлено человеческим

разумом как ограниченное. Поэтому, она не многообразна (по

акс. 11), но везде одна и та же. Это — второе.

Схолия. До сих пор мы рассуждали о природе или сущности

протяжения. Но, что оно, как мы его представляем, создано богом и

существует, доказано в последней теореме, ч. I, а из т. 12, ч. I следует,

что это протяжение поддерживается той же силой, которая его

создала. Далее, в последней теореме, ч. I мы доказали, что мы как

мыслящие существа соединены с одной частью этой материи и с ее

помощью в состоянии воспринимать и что действительно

существуют все те различия, к которым материя, как мы знаем из ее

созерцания, способна, как, например, делимость, местное движение

или перенос части материи с одного места на другое, который

познается отчетливо и ясно, поскольку мы видим, что на место

уходящих являются другие части материи. Это деление материи и это

движение представляются нами бесконечно различными способами,

и потому можно представить бесконечно многие разновидности

материи. Я говорю, что они воспринимаются нами ясно и отчетливо,

пока мы воспринимаем их как виды протяжения, а не вещи, которые

реально отличны от протяжения, как подробно объяснено в ч. I

«Начал». Правда, философы придумали еще много других видов

движения, но мы можем допустить лишь то движение, которое

представляем ясно и отчетливо, а ясно и отчетливо мы видим, что

лишь это местное движение причастно протяжению. А так как ни

одно другое движение не доступно нашему воображению, то можно

допустить лишь одно местное движение.

Правда, говорят, что Зенон отрицал местное движение по разным

основаниям. Циник Диоген опроверг это на свой лад, прохаживаясь

по школе, где Зенон обучал этому, смущая тем самым его

слушателей. Заметив, что один из них задержал его, мешая прогулке,

Диоген выбранил помешавшего, говоря: «Как ты смеешь опровергать

таким образом доводы твоего учителя?» Однако пусть никто не

заблуждается относительно доводов Зенона и не думает, что чувства

показывают нам нечто такое — а именно движение, — что

противоречит разуму, так что самый дух заблуждается в том, что он

воспринимает ясно и отчетливо с помощью разума. Я приводу здесь

главные до-

230

воды Зенона и покажу, что они основаны лишь на ложных

предрассудках, именно потому, что этот философ не имел

правильного понятия о материи.

Во-первых, говорят, он утверждал, что если бы существовало

местное движение, то очень быстрое круговое движение тела не

отличалось бы от покоя. Но последнее нелепо, а следовательно,

нелепо и первое, как это доказывается следующим образом. Именно,

в покое находится то тело, все точки которого

всегда остаются на том же месте; но все

точки тела, которое с наибольшей скоростью

вращается по кругу, остаются на том же

месте, следовательно и т.д. Зенон, говорят,

объяснял это сам на примере колеса. Пусть

это будет колесо АВС. Если оно вращается с

известной скоростью вокруг центра, то точка

А будет совершать свой оборот через В я С

скорее, чем если бы оно вращалось

медленнее. Допустим, например, что по

истечении часа точка А при медленном

движении будет там, откуда она вышла. Если

же допустить, что движение вдвое скорее, то она в полчаса достигнет

прежнего места; а если движение вчетверо скорее, то в четверть часа.

Если же принять бесконечно большую скорость, то это время

уменьшится до одного мгновения. Тогда точка А при этой высшей

скорости во все мгновения, т.е. всегда, будет на том же месте, и то,

что здесь очевидно для одной точки, очевидно и для всех остальных

точек этого колеса. Поэтому все точки его при этой наибольшей

скорости остаются на том же месте.

Однако, чтобы ответить на это, следует заметить, что это

доказательство имеет силу больше против наибольшей скорости, чем

против самого движения; впрочем, я не собираюсь рассматривать,

правильно ли доказывал Зенон, а хочу лишь вскрыть предрассудки,

на которых основана вся эта аргументация, поскольку он с ее

помощью хочет опровергнуть движение. Прежде всего Зенон

предполагает, что можно себе представить такую скорость движения

тел, большая которой невозможна. Затем он допускает, что время

слагается из мгновений, подобно

231

тому как другие предполагают, что величина состоит из неделимых

точек. Но то и другое ложно. Никогда нельзя себе представить такого

быстрого движения, чтобы нельзя было допустить еще более

быстрого. Нашему разуму противоречит представление столь

быстрого движения, хотя бы оно описывало лишь малую линию, при

котором не могло бы быть еще более быстрого. То же имеет силу и

для медленности; никогда нельзя себе представить столь медленное

движение, чтобы не могло быть еще более медленного. То же я

утверждаю о времени, которое служит мерой движения; и здесь

нашему разуму противоречит

представление такого времени, короче которого не может быть.

Чтобы все это доказать, последуем по стопам Зенона. Допустим

вместе с ним, что колесо АВС так быстро вращается вокруг центра,

что точка А во все мгновения находится в месте А, откуда она

выходит. Но я говорю, что я ясно представляю себе скорость, которая

безгранично больше той и где, следовательно, промежутки времени

бесконечно меньше. Ибо допустим, что, в то время как колесо АВС

движется вокруг своего центра, оно с помощью привода Н заставляет

другое колесо DEF (которое я принимаю в половину меньше) также

вращаться вокруг своего центра. Но так как колесо DEF вдвое

меньше колеса АВС, то, очевидно, оно вращается вдвое скорее колеса

АВС и, следовательно, точка D в половинные промежутки времени

опять будет находиться в том месте, откуда она вышла. А если

сообщить колесу АВС движение DEF, то последнее будет двигаться

вчетверо скорее прежнего; если же заставить колесо АВС двигаться с

этой скоростью, то колесо DEF будет двигаться в 8 раз скорее и так

до бесконечности. Это абсолютно ясно из одного

232

лишь понятия материи. Ибо сущность материи, как мы показали,

состоит в протяжении, или в постоянно делимом пространстве, а без

пространства нет движения. Мы доказали также, что одна и та же

часть материи не может одновременно занимать два места; ибо это

было бы то же, как если бы я сказал, что одна и та же часть материи

равна вдвое большей, как это очевидно из ранее изложенного.

Поэтому если часть материи движется, то она движется в

определенном пространстве, и, как бы это пространство, а

следовательно, и время, которым измеряется движение, ни были

малы, однако это пространство делимо, а следовательно, и

длительность этого движения, т.е. время, делимо и так до

бесконечности, что и требовалось доказать.

Перейдем теперь к другому софизму, приписываемому Зенону.

Если тело движется, то оно движется в месте, где оно находится или

где оно уже не находится. Первого не может быть, ибо если оно где-

либо находится, то необходимо находится в покое. Но оно также не

может двигаться и в том месте, где его нет, и потому оно вовсе не

движется. Это доказательство совершенно подобно предыдущему; и

здесь предполагается столь малое время, меньше которого

невозможно представить. Ибо если ответят, что тело движется не в

одном месте, а с места, где оно находится, к месту, где его нет, то

Зенон спросит, не было ли оно на промежуточных местах? Если мы в

своем ответе прибегнем к следующему различению: если под словом

«было» разуметь «покоилось», то мы оспариваем, чтобы тело где-

либо находилось, пока оно двигалось; если же под «было» разуметь

«существовало», то мы скажем, что тело необходимо существовало,

пока оно двигалось. Но Зенон тогда спросит: где же оно находилось

во время своего движения? Если он этим «где оно находилось» хочет

спросить, какое место оно занимало, пока двигалось, то мы ответим,

что оно не занимало никакого места. Если же это значит — «какое

место оно оставило», то мы скажем, что все места, какие только

можно указать в пространстве, пройденном телом. Если затем Зенон

спросит, могло ли тело в одно мгновение занимать и менять место, то

мы и здесь укажем новое различение, ответив, что если он под

мгновением разумеет такое время, меньше которого нет, то он

спрашивает о немыслимой вещи, как мы уже показали,

следовательно, это и не нуждается в ответе.

233

Если же время понимается в объясненном мною выше смысле, т.е.

в истинном его смысле, то никогда нельзя указать столь малого

отрезка времени, в которое, как бы оно ни было мало, тело не могло

бы занять и переменить место, как это ясно всякому при должном

внимании. Отсюда очевидно, что Зенон предполагает, как я показал

выше, столь малое время, меньше которого нельзя себе представить,

а следовательно, и здесь ничего не может доказать.

Кроме этих двух доказательств часто говорят о другом, которое

вместе с его опровержением можно прочесть у Декарта в

предпоследнем письме первого тома «Писем».

Я хотел бы, однако, обратить внимание моих читателей на то, что

я противопоставил доводам Зенона мои собственные, т.е. опроверг

его с помощью доказательств разума, а не посредством чувств, как

это сделал Диоген. Ибо ищущему истину чувства могут дать лишь

явления природы, которые заставляют его отыскивать их причины;

но они никогда не могут представить ложным то, что разум ясно и

отчетливо познал как истинное. Это мое мнение и мой метод; я хочу

доказывать вещи, обсуждаемые мною, при помощи доводов, которые

ум познал ясно и отчетливо, не обращая внимания на то, что

противопоставляют им чувства, ибо, как сказано, чувства могут лишь

заставить ум скорее исследовать одно, нежели другое, но они не

могут представить ложным то, что познано ясно и отчетливо.

Теорема 7

Ни одно тело не вступает на место другого, если последнее

одновременно не вступает на место третьего.

Доказательство (см. фиг. 7). Если кто-нибудь оспаривает это, то

пусть допустит, если это возможно, что тело А занимает место тела В,

которое равно А и не отступает со своего места. Поэтому

пространство, содержавшее до сих пор лишь В, теперь (по

предположению) будет содержать А и В, т.е. вдвое больше прежнего

телесной субстанции, что (по т. 4, ч. II) нелепо. Поэтому ни одно тело

не вступает на место другого и т.д., что и требовалось доказать.

234

Теорема 8

Если одно тело вступает на место другого, то одновременно

оставленное им место занимается третьим телом, которое

непосредственно соприкасается с ним.

Доказательство. Если тело В движется к D, то тела А и С либо

будут одновременно сближаться и касаться друг друга, либо нет.

Если произойдет первое, то тем самым наша теорема признается

верной. Если же они не сближаются и все оставленное В

пространство лежит между А и С, то (по кор. к т. 2 и кор. к т. 4, ч. II)

между ними лежит тело, равное В. Но это тело

(по предположению) не есть В; следовательно,

другое тело, занимающее его место в то же

мгновение, и поскольку это происходит в то же

мгновение, то этим телом может

быть лишь тело, соприкасающееся с В; в

схолии к т. 6, ч. II мы показали, что нет такого

движения из одного места в другое, которое не

требовало бы столь малого отрезка времени, меньше которого

невозможно представить. Отсюда следует, что место, занимаемое

телом В, но может быть занято в тот же момент другим телом,

которое должно было бы пройти некоторое пространство, прежде

чем занять это место. Следовательно, лишь тело, непосредственно

касающееся В, может одновременно занять его место, что и

требовалось доказать.

Схолия. Так как части материи действительно отличаются друг от

друга (по § 61, ч. Т «Начал»), то одна может существовать без другой

(по кор. к т. 7, ч. 1), и они но зависят друг от друга. Поэтому все

вымыслы о симпатии и антипатии должны быть отвергнуты как

ложные. Далее, причина всякого действия должна представлять нечто

положительное (по акс. 8, ч. 1), а потому никогда нельзя сказать, что

тело движется лишь для того, чтобы не возникло пустоты, но оно

скорее нуждается для этого в толчке со стороны другого тела.

Королларий. При всяком движении движется одновременно

целый круг тол.

Доказательство. В то время как тело 1 занимает место тела 2,

последнее должно вступить на место другого тела,

235

например 3, и т.д. (по т. 7, ч. II). Далее, в то мгновение, когда тело

1 занимает место тела 2, место, оставленное телом 1, должно быть

занято другим (по т. 8, ч. II), например телом 8 или другим, которое

непосредственно касается тела 1. Но так как это может произойти

лишь благодаря толчку со стороны другого тела (по предыдущей

схолии), каковым здесь предполагается тело 1, то эти совместно

движущиеся тела не могут находиться на одной прямой линии (по

акс. 21), но описывают (по опр. 9) полный круг, что и требовалось

доказать (см. фиг. 2).

Теорема 9

Если круговой канал АВС наполнен водой и в месте А он вчетверо

шире, чем в месте В, то в то самое время, когда вода ( или другая

жидкость), находящаяся в А, начинает двигаться к В, вода,

находящаяся в B, будет двигаться вчетверо

скорее.

Доказательство. Когда вся вода с места А

движется к В, то одновременно столько же

воды в С, соприкасающейся с А, должно

занять ее место (по т. 8, ч. II), а из В столько

же воды должна занять место С (по той же

т.), следовательно, вода должна в месте В

двигаться вчетверо скорее (по акс. 14), что и

требовалось доказать. То, что здесь сказано о

круговом канале, справедливо и для всех

неравных пространств, через которые должны проходить

одновременно движущиеся тела; доказательство этого будет тем же.

Лемма

Если два полукруга описываются вокруг того же центра, как А и

В, то пространство между обеими перифериями будет везде

одинаковым. Если же они описываются около различных центров,

как С и Д, то это простран-

235

ство между двумя окружностями будет везде неодинаковым

Доказательство. Очевидно из самого определения круга.

Теорема 10

Жидкость, движущаяся через канал АВС (см. фиг. 8), принимает

бесконечно много различных скоростей.

Доказательство. Пространство между А и В везде неодинаково

(но предыдущей лемме); поэтому скорость (по т. 9, ч. II), с которою

жидкость движется через канал АВС, везде неодинакова. Так как

далее между А и В можно мысленно себе представить бесконечно

много все более мелких пространств (по т. 5, ч. II), то, очевидно, что

неравенства пространства существуют повсюду в бесконечном числе,

а потому и степени скорости будут бесконечно различны (по т. 9,

ч. II), что и требовалось доказать.

Теорема 11

В материи, текущей через канал АВС (см. фиг. 8), существует

разделение на бесконечное множество частиц.

Доказательство. Материя, текущая через канал АВС, имеет

одновременно бесконечно много скоростей (по т. 10, ч. II),

следовательно (по акс. 16), она имеет бесконечно много

действительно различных частей, что и требовалось доказать (см.

§ 34 и 35, ч. II «Начал»),

Схолия. До сих пор мы рассуждали о природе движения. Теперь

нам нужно исследовать его причину, которая двояка, а именно:

первая, или всеобщая, причина, которая является причиной всех

происходящих в мире движений, и частная причина, посредством

которой отдельные части материи получают движения, которых они

ранее не имели. Поскольку (по т. 14 и сх. к т. 17, ч. I) истинным

237

можно признавать лишь воспринятое ясно и отчетливо, то, очевидно,

что всеобщей причиной можно считать только бога, потому что

нельзя понять ясно и отчетливо никакой другой причины, кроме бога

(как творца материи). То, что я здесь говорю о движении, имеет силу

и для покоя,

Теорема 12

Бог есть главная причина (causa principalis) движения.

Доказательство. См. предыдущую схолию.

Теорема 13

То количество движения и покоя, которое бог однажды сообщил

материи, и теперь еще сохраняется его содействием.

Доказательство. Так как бог есть причина движения и покоя (по

т. 12, ч. II), то он сохраняет их той же силой, которой он их сотворил

(по акс. 10, ч. I), а именно в том же количестве, в котором он их

первоначально сотворил (по кор. к т. 20, ч. I), что требовалось

доказать.

Схолия 1. Хотя в теологии говорится, что бог делает многое по

своему усмотрению, чтобы показать людям свое могущество, однако

то, что зависит лишь от его усмотрения, может быть понято только

через божественное откровение, и потому в философии, где

исследуется лишь то, чему учит разум, это не может быть допущено,

так как философию не должно смешивать с теологией.

Схолия 2. Хотя движение представляет лишь состояние

движущей материи, однако оно имеет известное и определенное

количество; из последующего обнаружится, как это надо понимать

(см. § 36, ч. II «Начал»).

Теорема 14

Всякая вещь, поскольку она проста и не разделена и поскольку она

рассматривается сама по себе, остается всегда, поскольку это

зависит от нее, в том же состоянии.

Эта теорема многим представляется как бы аксиомой, мы,

однако, ее докажем.

Доказательство. Так как все может быть в определенном

состоянии лишь с помощью бога (по т. 12, ч. I), а бог

238

в своих делах в высшей степени постоянен (по кор. к т. 20, ч. I), то,

если не обращать внимания ни на какие внешние, т.е. особенные,

причины, а рассматривать вещь самое по себе, следует утверждать,

что она всегда будет оставаться в своем настоящем состоянии, что и

требовалось доказать.

Королларий. Тело, раз пришедшее в движение, продолжает вечно

двигаться, если не задерживается внешними причинами.

Доказательство. Это очевидно из предыдущей теоремы. Но,

чтобы исправить ложные представления о движении, прочти § 37

и 38, ч. II «Начал философии» Декарта.

Теорема 15

Всякое движущееся тело само по себе стремится двигаться по

прямой линии, а не по кривой.

Эту теорему следовало бы считать аксиомой, но я докажу ее из

предыдущего.

Доказательство. Так как движение имеет причиной только бога

(по т. 12, ч. II), то само по себе оно не имеет никакой силы

существования (по акс. 10, ч. I), но в каждое мгновение как бы вновь

создается богом (по доказанному в той же аксиоме). Поэтому, пока

обращается внимание на одну только природу движения, никогда

нельзя приписать ему такой, зависящей только от его природы,

длительности, которая могла бы быть представлена больше другой.

Если же сказать, что природа движущегося тела требует, чтобы оно

описывало своим движением кривую линию, то надо приписать

природе движения большую длительность, чем при допущении, что

природа движущегося тела требует продолжения его движения по

прямой линии (по акс. 17). Но так как (по доказанному) мы не можем

приписать природе движения такой длительности, то нельзя также

приписать ее природе движения по кривой, но только по прямой

линии, что и требовалось доказать.

Схолия. Это доказательство для многих, может быть, покажется

доказывающим только то, что природе движения одинаково

свойственно описывать как кривую, так и прямую линию; и ото

потому, что нельзя указать никакой прямой линии, менее которой но

была бы возможна другая прямая или кривая линия, и никакой

кривой,

239

в сравнении с которой но было бы другой менее кривой. Но и в этом

отношении я считаю доказательство правильно построенным, так как

оно выводит доказываемое из одной всеобщей сущности, т.е. из

существенного различия линий, а не из какой-либо величины или

случайного их различия. Но, чтобы в результате доказательства не

сделать более темными вещи сами по себе ясные, я отсылаю

читателей к самому определению движения, которое не утверждает о

движении ничего, кроме того, что оно есть перенесение части

материи из соседства одних в соседство других и пр. Если мы не

представим этого перенесения простейшим, т.е. по прямой линии, то

мы должны присоединить к движению нечто, не содержащееся в его

определении или сущности и потому не принадлежащее к его

природе.

Королларий. Из этой теоремы следует, что всякое тело,

движущееся по кривой, постоянно отклоняется от линии, по которой

оно двигалось бы само по себе, а именно в силу какой-либо внешней

причины (по т. 14, ч. II).

Теорема 16

Всякое тело, движущееся по кругу, как, например, камень в

праще, постоянно определяется к движению в направлении

касательной.

Доказательство. Тело, движущееся по кругу, постоянно

удерживается внешней силой от дальнейшего движения по прямой

линии (по предыдущему королларию), а если эта сила прекращается,

то тело само по себе начинает двигаться по прямой (по т. 15). Я

говорю далее, что тело, движущееся по кругу, определяется внешней

причиной к дальнейшему движению в направлении касательной.

Оспаривая это, надо предположить, что, например, камень пращи в B

определяется не в направлении касательной BD, но в другом

направлении, которое представляется от этой точки внутри или вне

круга, например по BF, когда праща представляется идущей из части

L к В, или по ВС (о которой я предполагаю, что она образует с

диаметром ВН угол, равный FBH), когда предполагается обратное

движение пращи от С к В. Если же предположить, что в точке В

камень пращи, движущейся по кругу от L к В, определяется к

дальнейшему движению к F, то при дви-

240

женил пращи в обратном направлении от С к В камень необходимо

должен (по акс. 18) продолжать движение в направлении,

противоположном линии BF, и потому будет

стремиться к K, а не к С, что противно

допущению. Но так как * кроме касательной

через точку В нельзя провести линии,

образующей с линией Н с обеих сторон

равные углы, подобно DBH и АВH, то лишь

одна касательная в состоянии не

противоречить одному и тому же

допущению, как бы ни двигалась праща, от

L к В или от С к В, и, следовательно, можно

принять лишь касательную как линию, по

которой камень стремится двигаться, что и требовалось доказать.

Другое доказательство. Возьмем вместо круга шестиугольник,

вписанный в круг АВН, и пусть тело С на одной стороне АВ

находится в покое, затем представим себе

линейку DBE (один конец которой укреплен в

центре D, а другой подвижен), которая

движется вокруг центра и притом постоянно

пересекает линию АВ. Очевидно, что при

таком движении линейки DBE она встретит

тело С в то мгновение, когда она пересечет

линию АВ под прямым углом, и что своим

толчком она заставит тело С двигаться по

прямой линии FBAC по направлению к С, т.е.

по стороне АВ, продолженной в бесконечность.

Но мы взяли здесь шестиугольник совершенно

произвольно, то же верно и для всякой иной фигуры, которую можно

себе представить вписанной в круг. Именно, если тело С,

находящееся в покое на одной стороне фигуры, получит толчок от

линейки DBE в то мгновение, когда она пересекает эту сторону под

прямым углом, то тело будет приведено

__________________

* Это очевидно из т. 18 и 19, кн. III «Элементов» Эвклида,

241

линейкой в движение по направлению этой стороны, продолженной в

бесконечность. Поэтому если вместо шестиугольника представим

себе прямолинейную фигуру с бесконечным числом сторон (т.е. круг,

по определению Архимеда), то очевидно, что линейка DBE, где бы

она ни встретила тело, всегда встретит его в то время, когда она

пересечет одну сторону такой фигуры под прямым углом. Поэтому

она никогда не встретит тела С, не приведя его одновременно в

движение в направлении линии, продолженной в бесконечность. Но

так как всякая сторона, продолженная по обоим направлениям, всегда

должна пройти вне фигуры, то такая неопределенно продолженная

сторона фигуры с бесконечным числом сторон, т.е. круга, будет

всегда касательной. Если же представить себе вместо линейки пращу,

движущуюся в круге, то она постоянно будет приводить камень в

движение в направлении касательной, что и требовалось доказать.

Следует заметить, что оба доказательства можно отнести к

любой криволинейной фигуре.

Теорема 17

Всякое тело, движущееся по кругу, стремится удалиться от

центра круга, который оно описывает.

Доказательство. Пока тело движется по кругу, оно приводится в

движение внешней причиной, с прекращением которой оно

продолжает двигаться в направлении

касательной (по предыдущей теореме),

все точки которой, кроме той, где она

касается круга, лежат вне круга (по т. 16,

кн. II «Элементов» Эвклида) и потому

дальше отстоят от него. Поэтому камень,

находящийся в праще ЕА и движущийся

по кругу, когда он находится в точке А,

стремится двигаться по прямой, все

точки которой отстоят от центра Е

дальше, чем все точки окружности LAB,

т.е. он стремится удалиться от центра

описываемого им круга, что и требовалось доказать.

242

Теорема 18

Если тело, например А, движется к покоящемуся телу В, а В,

несмотря на толчок А, не теряет своего покоя, то и В не потеряет

ничего из своего движения, но удержит вполне то же количество

движения, какое оно имело раньше.

Доказательство. Если кто оспаривает это, то допустим, что тело

А теряет нечто из своего движения, не перенося потерянного

движения на другое тело, например В. Тогда в природе окажется

меньшее количество движения, чем прежде, что нелепо (по т. 13,

ч. II). Таково же доказательство в отношении к покою тела

В. Поэтому если ни одно из обоих тел ничего не переносит на другое,

то В сохранит весь свой покой, а A все свое движение, что и

требовалось доказать.

Теорема 19

Движение, рассматриваемое само по себе, отлично от своего

определения следовать в том или другом направлении к

определенному месту, и вовсе не необходимо, чтобы тело,

движущееся или отталкиваемое в противоположную сторону,

некоторое время покоилось.

Доказательство. Предположим, как в предыдущей теореме, что

тело А движется по прямой линии к телу В и удерживается от

дальнейшего движения телом В. При этом оно (по предыдущему)

сохранит все свое движение и ни минуты не будет в покое. Но при

продолжении своего движения оно не может удержать прежнего

направления, так как, по допущению, оно задержано телом

В. Поэтому оно, не уменьшая своего движения, но лишь изменяя свое

направление, будет двигаться в противоположном направлении

(согласно сказанному в гл. 2 «Диоптрики») 12. Поэтому (по

акс. 2) направление не принадлежит сущности движения, но отлично

от нее, и движущееся тело, отталкиваясь таким образом, ни минуты

не остается в покое, что и требовалось доказать.

Королларий. Отсюда следует, что ни одно движение не

противоречит другому.

243

Теорема 20

Если тело А встречает тело В и увлекает его за собой, то А

потеряет столько движения, сколько В при этой встрече получит

от А.

Доказательство (см. фиг. 1). Если кто-нибудь оспаривает это, то

он тем самым допускает, что В получает больше или меньше

движения, чем А теряет, тогда вся эта разница должна увеличить или

уменьшить количество движения всей природы, что (по т. 13, ч. II)

нелепо. Таким образом, если тело В не может получить ни меньше,

ни больше, то оно может получить лишь столько, сколько А теряет,

что и требовалось доказать.

Теорема 21

Если тело А вдвое больше тела В и движется с такой же

скоростью, то тело А будет иметь вдвое больше движения, чем В,

или вдвое больше силы, чтобы удержать равную с В скорость ( см.

фиг. 1).

Доказательство. Предположим, например, вместо А два В, т.е. (по

допущению) А, разделенное на две части; тогда каждое из этих двух

В будет иметь силу оставаться в том состоянии, в котором оно

находится (по т. 14, ч. II), и эта сила в обоих одинакова (по

предположению). Если же оба эти В связаны, то возникнет одно А,

сила которого или количество равны обоим В, или вдвое больше

одного В, что и требовалось доказать.

Впрочем, это следует также из простого определения движения.

Именно, чем больше движущееся тело, тем более материи может

отделиться от другого тела, следовательно, будет более

отделения, т. е. ( по опр. 8) более движения. См. наше четвертое

замечание относительно определений движения.

Теорема 22

Если тело А равно телу В и движется вдвое скорее В, сила или

движение в А будет вдвое больше, чем в В.

Доказательство. Допустим, что тело В при первоначальном его

приведении в движение получило четыре

244

степени скорости. Если к этому ничего не присоединится, то оно

будет продолжать свое движение (по т. 14, ч. II) и оставаться

(perseverare) в своем состоянии. Теперь предположим, что оно

благодаря новому толчку, равному первому, получает новую силу;

тогда кроме первых четырех степеней оно получит новые четыре

степени скорости, которые оно также удержит (по той же теореме),

т.е. оно будет двигаться вдвое скорее или со скоростью, равной А, и

одновременно будет иметь силу вдвое больше прежней, т.е. равную

силе А. Следовательно, движение А вдвое больше движения В, что и

требовалось доказать.

Надо заметить, что под силой в движущихся телах мы разумеем

здесь количество движения, которое в телах равной величины

должно возрастать со скоростью движения,

поскольку

посредством этой скорости равновеликие тела в равное время

больше отделяются от непосредственно прилегающих тел, чем при

более медленном движении, и потому ( по опр. 8) обладают большим

движением. Напротив, в покоящихся телах под силой сопротивления

понимают количество покоя. Отсюда следует:

Королларий 1. Чем медленнее движутся тела, тем более они

причастны покою, ибо они более сопротивляются встречным телам,

движущимся быстрее и имеющим силу, меньшую, чем они сами, а

также менее отделяются от непосредственно прилегающих тел.

Королларий 2. Если тело А движется вдвое скорее тела В, а В

вдвое больше А, то в большем В столько же движения, как в

меньшем А, следовательно, сила в обоих одинакова.

Доказательство. Если В вдвое больше А, а A движется вдвое

скорее В, и далее С вдвое меньше В и движется вдвое медленнее А, то

(по т. 21, ч. II) В будет иметь вдвое большее движение и (по т. 22,

ч. II) А — вдвое большее движение, чем С, следовательно (по

акс. 15), А и В будут иметь равное движение, так как движение обоих

вдвое больше С, что и требуется доказать.

Королларий 3. Отсюда следует, что движение отлично от

скорости. Ибо очевидно, что из двух тел, имеющих равную скорость,

одно может иметь вдвое большее движение, чем другое (по т. 21,

ч. II), и наоборот, тела с неравной скоростью могут иметь равное

движение (по предыдущему королларию). Впрочем, это очевидно

также из

245

простого определения движения, так как оно представляет лишь

перенос тела из соседства и т.д.

Однако здесь надо заметить, что этот третий королларий не

противоречит первому. Ибо скорость можно понимать двояким

образом: или по тому, как одно тело более или менее отделяется от

непосредственно прилегающего тела в равное время и поэтому

более или менее участвует в покое или движении, или по тому, как

оно в равное время описывает большую или меньшую линию и

постольку отличается от движения.

Я мог бы здесь прибавить еще другие теоремы, чтобы лучше

выяснить т. 14, ч. II и объяснить силы вещей во всяком состоянии,

как это сделано здесь относительно движения. Но достаточно

перечитать § 43, ч. II « Начал» и прибавить здесь лишь одну

теорему, необходимую для понимания следующего.

Теорема 23

Если модусы какого-либо тела принуждены испытать перемену,

то эта перемена всегда будет наименьшей.

Доказательство. Эта теорема довольно очевидно вытекает из

теоремы 14, ч. II.

Теорема 24. Первое правило.

Если два тела, например А и В (см. фиг. 1), вполне равны друг

другу и движутся друг к другу с равной скоростью, то при встрече

их каждое отразится в противоположную сторону, не теряя своей

скорости.

В этом предположении ясно, что для устранения

противоположности этих двух тел или оба они должны отразиться в

противоположном направлении, или одно должно увлечь за собой

другое, так как они противоположны друг другу не в отношении

движения, а лишь направления.

Доказательство. Если А и В сталкиваются, то они должны

испытать некоторое изменение (по акс. 19). Но так как одно

движение не противоположно другому (по кор. к т. 19, ч. II), то они

нисколько не должны терять свое движение (по акс. 19). Поэтому

изменение коснется

246

лишь направления. Но нельзя себе представить, что меняется лишь

направление одного из этих тел, например В, в том случае, если А, от

которого оно должно получить изменение, не будет предположено

сильнее В (по акс. 20). Но последнее было бы противно допущению.

Поэтому если перемена направления может произойти лишь у одного

тела, то она произойдет у обоих, причем A и В отразятся в

противоположном направлении (по изложенному в «Диоптрике»,

гл. 2), но сохранят все свое движение, что и требовалось доказать.

Теорема 25. Второе правило.

Если оба тела неравны по своей массе, именно В больше А ( см.

фиг. 1), остальные же предложенные условия остаются прежними,

то отразится лишь А, и оба тела будут продолжать движение с

равной скоростью.

Доказательство. Поскольку А предполагается меньше В, то оно

имеет также меньшую силу, чем В (по т. 21, ч. II). Но так как при

этом предположении, так же как и в предыдущем, противоположны

лишь направления, и потому, как показано в предыдущей теореме,

изменение может касаться только направления, то оно произойдет

только в А, а не в В (по акс. 20); поэтому только А будет отражено

более сильным В в противоположном направлении, не теряя, однако,

нисколько своей скорости, что итребовалось доказать.

Теорема 26

Если тела различны, как по своей массе, так и по скорости,

именно В вдвое больше А ( см. фиг. 1), но движение А вдвое скорее В,

а в остальном все остается по-прежнему, то оба тела отразятся в

противоположном направлении и каждое удержит прежнюю

скорость.

Доказательство. Так как А и В по предположению движутся друг

против друга, то в одном столько же движения, как и в другом (по

кор. к т. 22, ч. II). Поэтому движение одного не противоречит

движению другого (по кор. к т. 19, ч. II) и силы обоих равны (но кор.

2 к т. 22, ч. II). Таким образом, это предположение совер-

247

шенно подобно предположению т. 24, и потому, согласно

предыдущему доказательству, А и В отразятся в противоположном

направлении, и каждое при этом сохранит всю свою скорость, что и

требовалось доказать.

Королларий. Из трех последних теорем очевидно, что

направление тела требует для своей перемены столько же силы, как

изменение движения. Отсюда следует, что тело, теряющее более

половины своего определения следовать в данном направлении и

более половины своего движения, испытывает большую перемену,

чем тело, теряющее все свое определение.

Теорема 27. Третье правило.

Если два тела равны по массе, но В движется немного скорее А,

то не только А отразится в противоположном направлении, но и В

перенесет на А половину своего излишка скорости, и оба будут

продолжать движение с равной скоростью в одном направлении.

Доказательство. А (по допущению) противоположно В не только

по своему направлению, но и по медленности, поскольку последняя

причастна покою (по кор. к т. 22, ч. II). Поэтому простым отражением

в противоположном направлении изменяется только направление, но

не устраняется вся противоположность обоих тел. Следовательно (по

акс. 19), перемена должна наступить как в направлении, так и в

движении, и так как В по допущению движется скорее А, то В (по

т. 22, ч. II) сильнее А, и потому (по акс. 20) перемена в А произойдет

через В, и А будет посредством В отражено в противоположном

направлении. Это первое. Далее, А, пока оно движется медленнее В,

противоположно последнему (по кор. 1 к т. 22, ч II), следовательно,

должна наступить перемена (по акс. 19), по которой А не будет

двигаться медленнее В. Но А не принуждается при этом допущении

никакой достаточно сильной причиной к тому, чтобы двигаться

скорее В.

Таким образом, если А не может двигаться медленнее В, так как

оно сталкивается с В, ни скорее В, то А должно двигаться с такой же

скоростью, как В. Но, если бы В переносило на А менее половины

своего излишка скорости, то А продолжало бы двигаться медленнее

В; а если бы В переносило более половины своего излишка скорости

на

248

А, то А двигалось бы скорее В. Но, как уже показано, то и другое

нелепо. Поэтому перемена будет происходить лишь, пока В не

перенесет на А половину своей большей скорости, которую В должно

потерять (по т. 20, ч. II), и, следовательно, оба будут продолжать

движение с равной скоростью в том же направлении без всякого

противоречия, что и требовалось доказать.

Королларий. Отсюда следует, что, чем скорее движется тело, тем

более оно определено продолжать движение в направлении линии

своего следования, и наоборот, чем оно медленное движется, тем

менее оно склонно к этому.

Схолия. Для того чтобы читатели не смешали здесь силу

направления с силой движения, кажется, неплохо прибавить

несколько замечаний, отчего станет яснее различие обоих. Итак, если

предположить, что тела А и С равной величины и движутся с равной

скоростью прямо друг против друга, то оба (по т. 24, ч. II) отразятся в

противоположном направлении, удержав все свое движение. Если же

тело С находится в B и движется косвенно к А, то, очевидно, оно ужо

менее склонно двигаться в направлении BD или С А (см. фиг. 13).

Поэтому оно, правда, имеет одинаковое движение с А, но сила

направления тела С, если оно движется прямо по направлению к В,

которая тогда одинакова с силой направления А, больше силы

направления С, если оно движется от В к А, а именно настолько

больше, насколько линия В А больше С А. Ибо, чем больше линия С

А, тем более времени (именно, если В и А движутся, как здесь

допущено, с одинаковой скоростью) требует В, чтобы двигаться в

направлении BD или С А, по которому оно движется прямо

противоположно направлению тела А. Итак, если С идет из В

навстречу А косвенно, то оно направляется так, как будто оно

продолжало двигаться в направлении АВ’ к В’ (я предполагаю, что,

когда С находится в точке, где линия АВ’ пересекает продолженную

линию ВС, то эта точка отстоит от С так же далеко, как С от В).

Напротив, А удерживает все свое движение и направление и

продолжает свое движение к С и захватит тело В с собой, так как В,

имея при своем движении направление по диагонали АВ’, требует

больше времени, чем А, для прохождения части линии АС и лишь

постольку противоположно направлению более сильного тела А. Но

сила направления С, движущегося из В к А, поскольку оно совпадает

с линией

249

С А, равна силе направления С, когда оно движется прямо к А (пли,

по допущению, силе самого А). Поэтому В должно иметь настолько

степеней движения больше А,

насколько линия В А больше

линии С А, так что, если С

направляется к А косвенно, А

отразится в противоположном

направлении к А’, а В к В’,

причем каждое тело удержит все

свое движение. Если же излишек

движения В над А больше

излишка линии В А над С А, то В

оттолкнет тело А к А’ и сообщит

ему столько своего движения,

сколько нужно, чтобы движение

В относилось к движению А, как

линия В А к линии С А, а В

потеряет столько движения,

сколько перенесет на А, и будет с остатком его продолжать свое

движение в прежнем направлении. Если, например, линия АС

относится к АВ, как 1 к 2, а движение тела А к движению тола В, как

1 к 5, то В сообщит одну степень своего движения А и оттолкнет его в

противоположном направлении, а В с остальными четырьмя

степенями будет продолжать свое движение в том же направлении,

как прежде.

Теорема 28. Четвертое правило.

Если тело А ( см. фиг. 1) находится в совершенном покое и

немного больше тела В, то В, как бы велика ни была его скорость,

никогда не приведет тела А в движение, но будет им отражено в

противоположном направлении и удержит при этом свое движение

неизменным.

Надо заметить, что противоположность между этими телами

может быть устранена тремя способами: или так, что одно тело

увлечет другое, и оба будут двигаться с равной скоростью по одному

направлению; или так, что одно тело отразится в противоположном

направлении, а другое удержит весь свой покой; или так, что одно

оттолкнется в противоположном направлении, но перенесет часть

своего движения на другой. Четвертого случая

250

не может быть (по т. 13, ч. II); таким образом, нужно (по т. 23, ч. II)

доказать, что эти тела при нашем предположении испытают

наименьшую перемену.

Доказательство. Если В двигало А до тех пор, пока они оба стали

бы двигаться с равной скоростью, то В должно бы было (по т. 20,

ч. II) перенести на А столько своего движения, сколько А

приобретает, и (по т. 21, ч. II) поэтому оно должно бы потерять

больше половины своего движения, а также (по кор. к т. 27, ч. II)

потерять больше половины своего направления. Таким образом, оно

(по кор. к т. 26, ч. II) испытало бы большую перемену, чем если бы

оно потеряло только свое направление. А если бы А потеряло часть

своего покоя, но не столько, чтобы продолжать свое движение со

скоростью, равной В, то противоположность между обоими телами

не была бы устранена. В самом деле, А своей медленностью,

поскольку оно причастно покою (по кор. 1 к т. 22, ч. II),

противостояло бы скорости В, следовательно, В также должно бы

отразиться в противоположном направлении, причем В потеряло бы

все свое направление и часть своего движения, перенесенную на А;

эта перемена также больше, чем если бы В потеряло только свое

направление. Поэтому перемена, допущенная в нашем

предположении и касающаяся только направления, будет наименее

возможной для этого тела, так что (по т. 23, ч. II) никакой другой не

может произойти, что и требовалось доказать.

Надо заметить при доказательстве этой теоремы, что то же

самое имеет место и в других случаях, именно мы не привели т. 19,

ч. II, в которой доказывается, что направление может полностью

измениться, причем само движение ничего не теряет. Однако на это

надо обратить внимание, чтобы правильно понять силу

доказательства. Ибо в т. 23, ч. II мы не сказали, что перемена

безусловно всегда будет наименьшей, но лишь возможно

наименьшей. Но то, что возможна перемена только в одном

направлении, как предполагается в этом доказательстве, очевидно

из т. 18 и 19, ч. II с кор.

Теорема 29. Пятое правило.

Если покоящееся тело А ( см. фиг. 1) меньше В, то В, как бы

медленно оно ни двигалось к А, захватит его с собой и перенесет

часть своего движения на А, а именно столько,

251

что потом оба тела будут двигаться с равной скоростью ( см. § 50,

ч. II « Начал»).

Для этого правила, как и в предыдущем случае, также можно

представить лишь три случая, в которых устраняется настоящая

противоположность. Но мы докажем, что при моем предположении

происходит наименьшая перемена в телах, и потому (по т. 23, ч. II) они

должны измениться таким образом.

Доказательство. По нашему предположению, В переносит на А

(по т. 21, ч. II) менее половины своего движения и (но кор. к т. 17,

ч. II) менее половины своего направления. Но если бы В но

захватывало за собой А, но отталкивало его в противоположном

направлении, то оно потеряло бы все свое направление и перемена

была бы больше (по кор. к т. 26, ч. II); она была бы гораздо больше,

если бы В потеряло все свое направление и, кроме того, еще часть

своего движения, как предполагается в третьем случае. Поэтому

предположенная мною перемена будет наименьшая, что и

требовалось доказать.

Теорема 30. Шестое правило.

Если покоящееся тело А совершенно равно движущемуся к нему

телу В, то оно частью будет увлекаться им, частью тело В будет

отталкиваться телом А в противоположном направлении.

И здесь, как в предыдущем случае, можно представить себе лишь

три возможности, и потому я должен доказать, что при нашем

предположении имеет место возможно меньшая перемена.

Доказательство. Если тело В увлекает за собою тело А так, что

оба начинают двигаться с равной скоростью, то в одном будет

столько же движения, сколько в другом (по т. 22, ч. II и по кор. к т. 27,

ч. II). Тело В в этом случае должно потерять половину своего

направления, а также (по т. 20, ч. II) половину своего движения. Если

же В отталкивается телом А в противоположную сторону, то оно

потеряет все свое направление, но удержит все свое движение (по

т. 18, ч. II): но эта перемена равна предыдущей (но кор. к т. 26, ч. II).

Но ни то, ни другое не может произойти, ибо если бы А удерживало

свое состояние и могло изменить направление В, то А должно быть

(по акс. 20) сильнее В, что было бы противно пред-

252

положению. Если же В увлекло бы с собой А, пока оба нестали бы

двигаться с равной скоростью, то В было бы сильнее А, что также

противоречит допущению. Но так как ни одно из двух не может

иметь места, то остается лишь третье, именно, что В подвигает тело

А немного далее и само немного отталкивается им, что и требовалось

доказать (см. § 51, ч. II «Начал»).

Теорема 31. Седьмое правило.

Если В и А движутся по одному направлению, А медленнее, а В,

следуя за ним, быстрее, так что, наконец, тело В нагоняет А, и если

при этом А больше В, но избыток скорости В больше избытка

величины А, то В перенесет на А столько своего движения, что

после этого оба тела будут двигаться с равной скоростью и в том

же направлении. Ио если бы излишек величины А был больше

излишка скорости В, то В было бы отражено телом А в

противоположном направлении, но удержало бы при этом все свое

движение.

Прочти § 52, ч. II «Начал». Здесь, как и раньше, можно себе

представить лишь три случая.

Доказательство первой части. Тело В не может отталкиваться

телом А в противоположном направлении, так как В предполагается

сильнее А (по т. 21 и 22, ч. II и акс. 20), следовательно В, будучи

сильнее, увлечет с собой А, притом так, что оба тела будут двигаться

с равной скоростью. Ибо тогда наступит возможно меньшая

перемена, как это очевидно из вышесказанного.

Доказательство второй части. Тело В в этом случае не может

увлечь А, так как оно (по т. 21 и 22, ч. II) предполагается слабое (по

акс. 20); оно не может также сообщить ему части своего движения.

Поэтому В (по кор. к т. 14, ч. II) сохранит все свое движение, но не в

том же направлении, так как предполагается, что оно в этом

встречает препятствие со стороны А. Таким образом, В отразится (по

сказанному в гл. 2 «Диоптрики») в противоположном направлении,

но удержит при этом все свое движение (по т. 18, ч. II), что и

требовалось доказать.

Надо заметить, что и здесь, и в предыдущих теоремах мы

считали доказанным, что всякое тело, встречающее по прямой

линии другое, которое безусловно препятствует

253

ему продолжать движение в том же направлении, должно

двигаться в противоположном и ни в каком ином направлении.

Чтобы убедиться в этом, прочти гл. 2 « Диоптрики».

Схолия. До сих пор для объяснения перемен, испытываемых

телами при столкновении, я рассматривал лишь два тела, как будто

они полностью отделены от всех других тел, и я не обращал

внимания на окружающие их тела. Теперь я намерен исследовать их

состояние и их перемены, принимая в расчет окружающие их тела.

Теорема 32

Если тело В окружено малыми движущимися телами,

толкающими его по всем направлениям с равной силой, то оно будет

оставаться неподвижно на одном и том же месте, пока не

присоединится еще другая причина.

Доказательство. Эта теорема очевидна само собой, ибо если бы

тело от толчка телец, движущихся с одной стороны, двигалось в

одном направлении, то движущие его тельца должны бы были

толкать его с большей силой, чем толкающие его одновременно

тельца с другой стороны, которые не могут устранить своего

действия (по акс. 20), что шло бы против допущения.

Теорема 33

При вышеизложенных условиях от приложения малейшей силы

тело В может двигаться по всякому направлению.

Доказательство. Все тела, непосредственно прилегающие к В,

будучи подвижны (по допущению), а В неподвижно (по т. 32), тотчас

при соприкосновении с В отразятся в другую сторону, не теряя своего

движения (по т. 28, ч. II). Поэтому В будет постоянно само

оставляемо непосредственно прикасающимися телами, и, как бы

велико ни было В, не нужно никакой силы для отделения его от

непосредственно соприкасающихся тел (согласно четвертому из

наших замечаний к опр. 8). Поэтому даже малейшая внешняя сила,

могущая сообщиться телу В, всегда больше той, которая стремится

удержать его на своем месте (ибо мы уже доказали, что ему не при-

254

суща никакая сила, которая могла бы удержать его у непосредственно

касающихся тел). Вместе с тем сила телец, толкающих В в том же

направлении, больше силы других телец, толкающих В в

противоположном направлении (так как сила и тех и этих

предполагается одинаковой, если не прилагается никакая внешняя

сила). Таким образом, тело В (по акс. 20) будет приводиться в

движение этой внешней силой, как бы она ни была мала, притом в

любую сторону, что и требовалось доказать.

Теорема 34

Тело В при этих условиях не может двигаться быстрее, чем оно

побуждается внешней силой, хотя бы окружающие его частицы

двигались гораздо быстрее.

Доказательство. Тельца, которые одновременно с внешней силой

толкают тело В в том же направлении, хотя бы они двигались гораздо

быстрее, чем может двигать В внешняя сила, все-таки (по

предположению) не будут иметь большей силы, чем тельца,

толкающие В в противоположную сторону, и потому их общая сила

будет истрачена на сопротивление последним тельцам, причем они

не перенесут на В (по т. 32, ч. II) какой-либо скорости. Но так как

никакие иные условия или причины не предполагаются, то В получит

свою скорость лишь от этой внешней причины, и потому оно (по

акс. 8, ч. 1) не может двигаться скорее, чем будучи приведено в

движение внешней силой, что и требовалось доказать.

Теорема 35

Если тело В приводится в движение внешним толчком, то оно

получает большую часть своего движения от постоянно

окружающих его тел, а не от внешней силы.

Доказательство. Каким бы большим ни предполагалось В, оно

все-таки приводится в движение малейшим толчком (по т. 33, ч. II).

Теперь предположим, что В вчетверо больше внешнего тела, сила

которого дает ему толчок; тогда оба (по предыдущей теореме) будут

двигаться с равной скоростью, и в В будет вчетверо больше

движения, чем во внешнем теле,

255

толкающем его (по т. 21, ч. II). Поэтому оно получит большую часть

своего движения (по акс. 8, ч. 1) не от внешнего тела. А так как сверх

этого не предполагается никаких иных причин, кроме окружающих В

тел (само В предположено неподвижным), то оно получит (по акс. 7,

ч. 1) большую часть своего движения только от окружающих его тел,

а не от внешней силы, что и требовалось доказать.

Надо заметать, что мы здесь не можем сказать, как выше, что

движение частиц, идущих из одного направления, необходимо для

сопротивления движению частиц, идущих с противоположной

стороны. Ибо тела, идущие друг против друга с равным движением

( как здесь предположено), противоположны одно другому лишь по

направлению *, а не по движению ( по кор. к т. 9, ч. II). Поэтому на

взаимное сопротивление они расходуют лишь свое направление, а не

движение, так что тело В не может получить от окружающих его

тел ни своего направления, ни ( по кор. к т. 27, ч. II) своей скорости,

поскольку она отличается от движения, но лишь свое движение.

Даже если появится внешняя причина, тело необходимо должно

приводиться в движение другими телами, как мы доказали в этой

теореме и как это очевидно из способа, которым доказана т. 33.

Теорема 36

Если бы тело, например наша рука, могла двигаться по любому

направлению с равным движением, нисколько не противодействуя

другим телам и не встречая противодействия со стороны других

тел, то в пространстве, по которому она движется, необходимо

будет двигаться столько же тел в одном направлении, сколько во

всяком другом, со скоростью, равной скорости руки.

Доказательство. Тело не может двигаться через пространство,

которое наполнено телами (но т. 3, ч. II). Поэтому я говорю, что

пространство, через которое наша рука может двигаться, наполнено

телами, которые будут

__________________

* См. т. 24, ч. II, где показано, что два тела, оказывающие взаимное

сопротивление, расходуют на него свое направление, а не свое движение.

256

двигаться по указанным условиям. Если кто оспаривает это, то мы

допустим, что тола находятся в покое или движутся другим образом.

Находясь в покое, они необходимо будут оказывать сопротивление

движению нашей руки до тех пор (по т. 14, ч. II), пока ее движение не

сообщится им, и они будут двигаться с нею в том же направлении и с

одинаковой скоростью (по т. 20, ч. II). Но мы предположили, что они

не оказывают сопротивления, следовательно, эти тела движутся. Это

первое.

Далее, они должны двигаться по всем направлениям. Если кто это

оспаривает, то допустим, что они не движутся в одном направлении,

например от А к В. Таким образом, если рука движется от А к В, то

она неизбежно встретится с движущимися телами (по первой части

этого доказательства), притом, как мы допустили, с телами,

движущимися в ином направлении, чем рука. Поэтому они будут ей

оказывать сопротивление (по т. 14, ч. II) до тех пор, пока они не будут

двигаться в одинаковом направлении с рукой (по т. 24 и сх. к т. 27,

ч. II). Но тела (по допущению) но оказывают ей сопротивления,

следовательно, они будут двигаться по всем направлениям. Это

второе.

Затем эти тела будут двигаться в любом направлении с одинаковой

степенью ( vis aequalis) скорости. Если же допустить, что это

происходит не с равной скоростью, то этим предполагается, что тела

движутся от А к В не с такой степенью скорости, как тела,

движущиеся от А к С. Поэтому, если бы рука двигалась с той же

скоростью (так как допускается, что она может двигаться равным

движением без сопротивления по всем направлениям), как тела

движутся от А к С, то тела, движущиеся от А к В, оказывали бы руке

сопротивление (по т. 14, ч. II) до тех пор, пока они но станут

двигаться с одинаковой скоростью, как и рука (по т. 31, ч. II). Но это

противно допущению, поэтому тела будут двигаться с равной силой и

скоростью по всем направлениям. Это третье.

Если, наконец, тела двигались бы не с одинаковой степенью

скорости, по сравнению с рукой, то рука должна

257

была бы двигаться или медленнее, т.е. сменьшей скоростью, или

скорее, т.е. с большей скоростью, чем тела. В первом случае рука

будет оказывать сопротивление толам, следующим за ней в том же

направлении (по т. 31, ч. II). В последнем случае тела, за которыми

следует рука и движется с ними в одном направлении, будут

оказывать ей сопротивление (по той же теореме). Но то и другое

противно допущению. Поэтому, если рука не может двигаться ни

медленнее, ни быстрее, то она должна двигаться с одинаковой

степенью скорости, как и тела, что и требовалось доказать.

Если не ясно, почему я говорю «с одинаковой степенью скорости»,

а не просто «с одинаковой скоростью», то надо прочесть сх. к кор.,

т. 27, ч. II. А если не ясно, почему рука, двигаясь, например, от А к В, не противится телам, которые одновременно с равной силой

движутся от В к А, то надо прочесть т. 33, ч. II. Из нее видно, что

сила этих тел уравновешивается силой тех тел, которые

одновременно с рукой движутся от А к В ( так как эта сила по

части этой теоремы равна той).

Теорема 37

Если какое-нибудь тело, например А, может в результате

приложения малейшей силы двигаться в любом направлении, то оно

необходимо окружено телами, которые движутся с равной между

собою скоростью.

Доказательство. Тело А должно быть окружено со всех сторон

телами (по т. 6, ч. II), которые движутся

равномерно по всем направлениям. Ибо если бы они находились в

покое, то А не могло бы двигаться в результате приложения

малейшей силы по любому направлению (как предположено); по

меньшей мере эта сила должна быть так велика, чтобы она могла

двигать за собой тела, непосредственно соприкасающиеся с А (по

акс. 20, ч. II). Далее, если бы тела, окружающие тело А, двигались в

одном направлении с большей силой, чем в другом, например от В к

С, с большей силой, чем от С к В, то, поскольку А со всехсторон

окружено телами (как уже доказано),

258

тела, движущиеся от В к С, будут необходимо (по доказанному в

т. 33) увлекать тело А в том же направлении. Таким образом, не

всякая малейшая сила б дет достаточна для передвижения А к В, но

только такая, которая могла бы восполнить избыток движения тел,

движущихся от В к С (по акс. 20). Поэтому тела, окружающие А,

должны двигаться по всем направлениям с равной силой, что и

требовалось доказать.

Схолия. Поскольку то, что мы предположили, происходит в так

называемых жидких телах, отсюда следует, что жидкие тела суть

такие, которые разделены на множество мелких частей, движущихся

с равной силой по всем направлениям. Хотя эти частицы не

различаются даже самым острым взором, тем не менее нельзя

оспаривать того, что выше мы ясно доказали. Ибо из т. 10 и

11 обнаруживается такая тонкость (subtilitas) природы, которая

мыслью (не говоря о чувствах) не может быть ни определена, ни

постигнута. Далее, из предыдущего довольно очевидно, что тела

оказывают сопротивление другим телам одним своим покоем; а при

наблюдаемой чувствами твердости оказывается, что части таких

твердых тел представляют сопротивление движению рук. Поэтому

можно с очевидностью заключить, что те тела, все частицы которых

находятся в покое друг возле друга, тверды (см. § 54, 55, 56, ч. II

«Начал»).

ТРЕТЬЯ ЧАСТЬ

После того как изложены самые общие основания естественных

вещей, надо перейти к объяснению того, что из них следует. Но

следствия этих оснований многочисленнее, чем наш дух в состоянии

когда-либо осветить их мыслью; притом у нас нет основания к

предпочтительному рассмотрению одних следствий по сравнению с

другими. Поэтому прежде всего надо дать краткое наглядное

изложение явлений, причины которых я здесь намерен исследовать.

Такое изложение находится в §§ 5-15, ч. III «Начал», а в

§§ 20-34 указано предположение, наиболее подходящее, по Декарту,

для того, чтобы не только понять небесные явления, но также

исследовать их естественные причины.

Затем лучший путь к познанию природы растений или человека

заключается в наблюдении того, как они возникают постепенно,

зарождаясь из некоторых семян. Поэтому надо придумать (excogitare)

такие основания, которые были бы весьма простыми и легко

понятными и из которых, как из семян, можно было бы вывести

происхождение звезд, земли и вообще всего, что встречается в

видимом мире, хотя бы нам и было известно, что они возникли не

таким образом. Ибо таким путем можно объяснить их природу