Пожар миров. Избранные статьи из журнала «Возрождение»

По причине громадного и всестороннего значения исчисления бесконечно малых нам не мешает вкратце обозреть путь, пройденный человечеством в направлении его двух вершин – Ньютона и Лейбница (и Лейбница в большей степени и независимо от Ньютона). По всей вероятности, идея исчисления бесконечно малых в применении к проведению касательной и к выпрямлению кривых линий и поверхностей, к нахождению объемов и несоизмеримого числа «пи», выражающего отношение длины диаметра к длине окружности, столь же стара, как мир и человечество. Но ее формулировки и практическое использование, равно как и ее символическое знакоположение должны были дожидаться веками и тысячелетиями. Древние греки, в частности Архимед (287–212 до P. X.), интересовались главным образом задачами, связанными с тем, что в наше время именуется интегральным исчислением, обратным дифференциальному. Этому удивляться не приходится, приняв во внимание громадное практическое значение интегрального исчисления. Сравнительно недавно найденные Гейбергом сочинения Архимеда показывают очень высокую для того времени технику в решении такого рода труднейших задач, как квадратура сегментов параболы и проблема шара, вписанного в цилиндр, и вообще целого ряда задач по спрямлению, по квадратурам и кубатурам. Сочинение Иоганна Кеплера «Стереометрия винных бочек», появившееся в 1615 г., включало в себя старую проблему Архимеда о шаре и цилиндре. Значительно подвинули дело книга миланского ученого Кавальери (1591–1647) «Метод неделимых» (Metodus indivisibilium) и знаменитый Галилео Галилей (1564–1642). Этим же методом пользовался ученик Галилея – Торричелли, известный создатель ртутного барометра. Это, в сущности, метод определения интеграла. Он заключается в том, чтобы рассматривать часть плоской поверхности как совокупность хорд, параллельных некоторой неподвижной прямой, а тело – как совокупность плоских сечений, параллельных неподвижной плоскости. Немного позже во Франции воцарился наиболее строгий в доказательствах и наиболее практичный в вычислениях метод квадратур. Сюда относятся такие славные имена, как Ферма (1601–1665), Роберваль (1602–1672), Блез Паскаль (1623–1662). Этот метод через посредство Вьета (1540–1603) сочетался с аналитическим методом Декарта (1596–1650) и вполне подчинился ему, что можно рассматривать как большой шаг вперед. К современному своему виду исчисление бесконечно малых приблизилось, когда им стали пользоваться для построения касательной и решения задач о максимуме и минимуме. Минуя работы голландца Гюйгенса и англичанина Барроу, переходим к Лейбницу.

В 1672 г. он прибыл в Париж в качестве дипломата. Двор «Короля-Солнца» был настоящим созвездием великих ученых и артистов. Там Лейбниц, между прочим, познакомился с уже названным голландским физиком и математиком Гюйгенсом, который к тому времени написал очень важный и содержательный труд «О колебании маятника». Известно, какой богатый и сложный комплекс проблем связан был с проблемой качания маятника. Принявшись со всевозможным усердием и настойчивостью пополнять свое недостаточное для понимания этих проблем математическое образование, главным образом через тщательное изучение творений Декарта и Паскаля, Лейбниц вскоре поднялся так высоко, что из ученика превратился в учителя и сам стал делать открытия первостепенной важности. Он вывел общую теорему квадратур и установил сходящийся ряд с переменными знаками для числа «пи». Этим одним, а также общей проблемой сходящихся рядов с переменными знаками, столь важной для анализа бесконечно малых, он мог бы уже тогда обессмертить свое имя. Вот эта формула, простая и изящная:

Позже он дал строгое доказательство своей теоремы, согласно которой «ряд с переменными знаками сходится только тогда, когда общий член имеет пределом нуль». Простота и изящество формулировки этой чрезвычайно важной теоремы таковы, что она кажется сама собой понятной и не требующей доказательств. По всей вероятности, это и послужило причиной того, что за вполне строгое доказательство этой теоремы он принялся позже, именно 10 января 1714 г., в известном письме к Бернулли.

В 1673 г. он занимается проблемой касательной, столь важной для анализа бесконечно малых, и, наконец, в 1675 г. устанавливает технику дифференциального и интегрального исчислений в том виде, которым в настоящее время пользуется весь мир. Сюда же относится и введение символов d и J, которым Лейбниц придавал очень большое значение, как и символике вообще, что обнаружило в нем душу великого метафизика. Об этом он говорит в письме, позже написанном маркизу дел\'Опиталь в 1693 г. и представляющем драгоценный философско-метафизичеосий и научный перл. В нем он смело признает, что если не вся тайна анализа бесконечно малых, то ее существенная часть заключена в ее символических обозначениях и вообще в ее символике. Впрочем, он писал об этом и раньше – именно 25 марта 1677 г.

Другой и еще более знаменательный день, это 29 октября 1675 г. Лейбниц, приняв во внимание соотносительность дифференциала и интеграла, сразу же и установил оба всем известных символа – d и J. Почувствовав, так сказать, золотой, как бы магический «софийный» ключ в своей руке, он немедленно принялся за операции, окончательно установившие основные правила анализа бесконечно малых и окончательно обессмертившие его имя. Первые работы Лейбница по анализу появились в 1684 г. в Acta eruditoriim. Но еще до этого, в письме к Ньютону за 1677 г., были даны основы дифференциального исчисления.

В истории науки имеется тягостная и тревожная страница, которую смело можно назвать именем комедии Шекспира «Много шуму из ничего». Это – спор Лейбница и Ньютона и их друзей за первенство в открытии дифференциального и интегрального исчисления. Теперь, когда страсти улеглись (хотя, впрочем, не совсем), можно смело утверждать, что оба гениальных и по заслугам прославленных мужа равны, хотя первенство осталось за символикой Лейбница, а мы видели, какое значение Лейбниц придавал символам, и мы сами знаем всю силу и весь творческий смысл символики…

Но будем справедливы в этом отношении и к гению Ньютона. И тогда выясняется, что в философски-метафизическом смысле оба они дополняют друг друга, и это именно в терминологическом смысле, равно как в исходных моментах их физико-математического мышления и в построении высшего анализа как орудия космической механики.

Речь идет о том, что термин « флюксия », играющий у Ньютона ту же роль, что « дифференциал » у Лейбница, указывает на текущий, то есть на временной, так сказать, « гераклитовский », момент терминологии и символики Ньютона, а термин « дифференциал» у Лейбница указывает на « пространственный », стремящийся к устойчивости, к геометризму, так сказать, к « элеатизму » характер его символики и исходного понятия высшего анализа. Но даже и не искушенному в тайнах высшей математики ясно, что и в физико-математическом и механическом смысле, и в смысле философско-метафизическом, как временные , так и пространственные представления и исходные моменты одинаково необходимы и дополняют друг друга, подобно тому, как элеаты и Гераклит дополняют друг друга в великом синтезе Платона. Обе символики подадут друг другу руку, если мы лейбнице-ньютоновскую терминологию сформулируем так: в высшем физико-математическом и механическом анализе речь идет о прирагцении бесконечно малой пространственной величины во времени. Этим весь этот ненужный и во всех смыслах вредный и нелепый спор о первенстве в открытии высшего анализа в физико-математике и механике сам собой прекращается. И на первый план выступает великая идея Лейбница о примирении и согласовании, также и о том, что их согласует и объединяет, а не о том, что поселяет в них разногласие и раздор. Равно как и в диалектике на первом месте стоит синтез, объединяющий тезис и антитезис, но не вечный и бесплодный раздор тезиса и антитезиса, что мы видим у марксистов. Против этого русская философия восстала с такой силой в лице одного из своих блестящих представителей, проф. Б.П. Вышеславцева, в одном из лучших его творений – «Философская нищета марксизма».

В следующей, заключительной статье настоящего очерка мы займемся лейбницианством в русской научно-философской мысли и ролью в ней идеи бесконечности. Здесь же заметим предварительно, что идея великого диалектического синтеза Платона, объединяющего в древней философии тезисы пространственной геометрической стабильности у элеатов и вечного течения во времени у Гераклита, то есть идея диалектики в древней философии в применении к самой историософии древней философии, принадлежит автору этих строк В.Н. Ильину и изложена им в труде «Слияние великой эллинской мысли в веках». Равным образом ему принадлежит и идея диалектического синтеза в отправных моментах ньютоновой флюксии илейбницева дифференциала. Этот синтез (элеатско-гераклитовский в платонизме и ньютоно-лейбницевский в высшем анализе) добыт путем изобретенной им морфологической логики, представляющей осуществление «универсальной характеристики», задуманной Лейбницем, но им не осуществленной и даже по-настоящему не обоснованной.