Теории всего на свете

Обратные степенные законы

Меня весьма интригует тот факт, что большинство аспектов нашего мира и нашего общества дают математическое распределение, которое соответствует так называемым обратным степенным законам. Иными словами, многие графики распределения имеют форму колокола, причем его нижние линии асимптотически прижимаются к горизонтальной оси.

Обратные степенные законы изящно-просты и глубоко таинственны, но скорее раздражают, чем вызывают восхищение своей красотой. Эти законы самоорганизуются и сами себя поддерживают. По не вполне понятным причинам они спонтанно возникают в широком спектре «параллельных вычислений» – касающихся как социальных, так и природных процессов.

Одним из первых гуманитариев, обративших внимание на обратный степенной закон, стал филолог Джордж Кингсли Ципф, сформулировавший наблюдение, известное ныне как закон Ципфа. Это статистический факт: в большинстве текстов частотность любого слова примерно пропорциональна обратной величине позиции слова в общем рейтинге частотности («рейтинге популярности»). Таким образом, второе по популярности слово будет использоваться вдвое реже первого по популярности, десятое – в десять раз реже популярнейшего слова и т. п.

В обществе сходные разновидности обратных степенных законов управляют вознаграждением, которое общество выделяет. Как писатель я подметил, к примеру, что у сотого по популярности автора продается в сто раз меньше книг, чем у автора, занимающего вершину рейтинга. Если автор с первого места распродаст миллион экземпляров, то у автора вроде меня купят около десяти тысяч.

Обозленные писаки иной раз воображают себе утопический рынок, где естественно возникающее распределение, подчиняющееся обратным степенным законам, принудительно заменяют распределением линейным – т. е. вышеописанные продажи лежат на слегка наклонной прямой, а не на колоколообразной кривой с ее бесстыдно высоким пиком и нижними частями, бесславно прозябающими близ горизонтальной оси.

Однако очевидного способа, каким можно было бы изменить кривую продаж книг, не существует. И само собой, незачем надеяться на попытки какой-нибудь правящей группировки силой ввести иное распределение. В конце концов, люди сами выбирают, какие книги им читать.

Разумеется, многих особенно тревожит проявление обратных степенных законов в распределении доходов. Получается, второй богач в том или ином обществе должен иметь вдвое меньше, чем богатейший человек в этом социуме; занимающий десятую строчку рейтинга обеспеченности – вдесятеро меньше главного богача, а занимающий тысячную строчку (и влачащий жалкое существование где-нибудь в пригородных трущобах) – лишь одну тысячную того, что имеет главный толстосум.

Вот наглядный пример. Допустим, генеральный директор компании зарабатывает 100 миллионов долларов в год, программист той же компании – 100 тысяч в год, а рабочий на одном из заокеанских сборочных предприятий компании – всего-навсего 10 тысяч долларов в год, т. е. в 10 тысяч раз меньше, чем гендиректор фирмы.

Распределение согласно обратным степенным законам можно увидеть и при анализе сборов нового фильма в первые выходные проката, и в количестве заходов на интернет-страницы, и в количестве зрителей телевизионных шоу. Есть ли какая-то причина, по которой верхние строчки рейтинга так бессовестно процветают, а нижние так несправедливо наказываются? Короткий ответ – нет, особой причины тут не существует. Чтобы распределять награды столь несправедливо, никакой заговор не нужен. Пусть это и кажется демонстративной наглостью, но распределения, подчиняющиеся обратным степенным законам, ведут себя в соответствии с фундаментальным законом, определяющим поведение самых разных систем.

Обратные степенные законы проявляют себя не только в обществе: они доминируют и в статистике мира природы. Десятое по размеру озеро, скорее всего, будет примерно в 10 раз меньше самого крупного, сотое по высоте дерево в лесу – в 100 раз ниже самого большого, а тысячный по величине камень на берегу моря окажется в 1000 раз меньше самого крупного.

Нравятся они нам или нет, обратные степенные законы неизбежны, как турбулентность, энтропия или закон всемирного тяготения. При всем при том мы можем несколько сглаживать их проявления в социальном контексте: все-таки не стоит с безнадежным видом утверждать, что мы совсем не в состоянии контролировать имущественное неравенство между нашими богатыми и нашими бедными. Но общие очертания графиков для обратных степенных законов никуда не денутся. Можно сколько угодно негодовать на обратный степенной закон, а можно принять его, надеясь когда-нибудь сгладить безжалостную кривую, чтобы она не вздымалась вверх так круто.