Теории всего на свете

Уравнения непрерывности

Они вам уже знакомы – по крайней мере, в более доступной форме. Почти все слышали о законе сохранения массы (иногда вместо слова «масса» фигурирует «вещество») и, вероятно, о его спутнике – законе сохранения энергии. Эти законы говорят нам, что для явлений обычного, повседневного, «реального» мира (т. е. не квантового и не требующего описания в понятиях общей теории относительности) материя и энергия не могут возникать или бесследно исчезать, они лишь перетекают с места на место. Эта идея появилась еще у древних греков (если не раньше), получила четкую формулировку в XVIII веке (что стало мощным толчком к развитию современной химии) и в наши дни пронизывает практически каждый аспект естественных наук. Сохранение массы (или вещества) окончательно поставило крест на алхимических поползновениях найти способ превращения свинца в золото; сохранение энергии – причина того, почему невероятная мощь посоха волшебника Гэндальфа так поражает воображение бесчисленных поклонников «Властелина Колец».

Уравнения непрерывности выводят эти законы на важную новую ступень, давая четкое математическое выражение процессов сохранения и/или переноса массы (непрерывность массы) и энергии (непрерывность энергии) – в частности, при их перемещении из одного объема пространства в другой или из одного состояния в другое. Это не просто пара уравнений: они записываются во всевозможных формах, от очень простых до весьма сложных, дабы лучше представить физическое явление, которое они призваны описать в том или ином случае. Наиболее изящные их формы, обожаемые математиками и физиками, изобилуют тонкими подробностями, а следовательно, наиболее сложны. Классическим примером служит система уравнений Навье – Стокса (иногда их называют уравнениями Сен-Венана), помогающая понять движение жидкостей, ускорение их потоков и т. п. Красота уравнений Навье – Стокса в том, что здесь в явном виде разделены и отслежены во времени и пространстве масса, энергия и импульс. Однако на практике такая детализация приводит к тому, что решать эти уравнения трудно: требуются либо мощные компьютеры, либо всякого рода упрощающие допущения, применяемые к уравнениям.

Но широкая применимость уравнений непрерывности не ограничена их сложными формами, которые понятны лишь математикам да физикам. Так, лесоустроитель вполне может воспользоваться упрощенной формой уравнения непрерывности массы (так называемым уравнением массового равновесия), чтобы изучать свой лес, вводя в уравнение плотность посадок, количество и размер деревьев, определяя скорость приживания саженцев, вычитая уровень гибели деревьев и объем вывозимой древесины, чтобы узнать, возрастает, падает или остается стабильным общее количество биомассы леса. Конструкторы автомобилей часто применяют простые уравнения энергетического равновесия, когда им, к примеру, требуется создать гибридный электромобиль, способный накапливать кинетическую энергию тормозной системы. Никакая энергия здесь не возникает и не исчезает: она лишь переходит из одной формы в другую, в данном случае – от двигателя внутреннего сгорания, который получает ее от разрыва древних химических связей, которые некогда возникли благодаря реакциям фотосинтеза, которые произошли благодаря воздействию Солнца. Остальная энергия, не поглощенная тормозной системой, на самом деле, конечно же, не теряется: она передается в атмосферу в виде незначительного количества теплоты.

Главное допущение, лежащее в основе этих законов и уравнений, состоит в том, что масса и энергия в закрытой системе сохраняются. В принципе гибридный электромобиль удовлетворяет условиям энергетической непрерывности лишь в том случае, если потребление энергии проследить с самого начала (от Солнца) до самого конца (рассеяния энергии в виде тепла, выбрасываемого в атмосферу). Для этого потребовались бы изнурительные расчеты, так что подобные процессы обычно рассматривают как происходящие в открытой системе. Точно так же и металлы, применяемые для производства автомобиля, удовлетворяют закону непрерывности массы, лишь если проследить их путь от источника (руды) до свалки. Такое отслеживание осуществить легче, а значит, подобное изучение пути ресурсов «от их колыбели до могилы» (которому придают огромное значение многие защитники окружающей среды) более совместимо с законами природы, чем наша нынешняя экономическая модель, склонная исходить из того, что такие потоки ресурсов имеют место в открытых системах.

Подобно автомобилю, наша планета с практической точки зрения представляет собой открытую систему по энергии и закрытую – по массе. (Хотя Землю по-прежнему бомбардируют метеориты, их вклад в увеличение ее массы пренебрежимо мал.) Первая особенность делает возможной жизнь на Земле. Без постоянной подпитки солнечной энергией жизнь, какой мы ее знаем, быстро пришла бы к концу. Внешний источник энергии все-таки требуется, поскольку, хотя энергию нельзя разрушить, она постоянно переходит в более «слабые», менее полезные формы, в полном соответствии со вторым началом термодинамики. (Взять хотя бы тормозные колодки гибридного электромобиля. Тепло, которое они выделяют, вряд ли может принести кому-нибудь ощутимую пользу.) Открытость этой системы носит двусторонний характер, поскольку Земля отправляет тепловую инфракрасную энергию обратно в космическое пространство. Это излучение мы не в состоянии увидеть невооруженным глазом, однако спутники, наделенные «зрением» в соответствующей области электромагнитного спектра, воспринимают Землю как ярко светящийся шар, во многом напоминающий Солнце.

Любопытно, что эта дихотомия «закрытость/открытость» – одна из причин невозможности понять до конца физику климатических изменений. Сжигая топливо, полученное из полезных ископаемых, мы выводим углерод («массу») из слоев, залегающих под поверхностью Земли (но не слишком далеко от этой поверхности), где он практически не участвовал в общем энергетическом балансе планеты, в атмосферу, где он в этом балансе участвует. Можно считать доказанным, что изменение содержания уровня углерода в атмосфере влияет на энергетический баланс планеты. Физика этого явления известна еще с 1893 года благодаря шведскому ученому Сванте Аррениусу. Без углеродсодержащих и других парниковых газов наша планета была бы мрачной гибнущей глыбой, закованной в лед. Парниковые газы препятствуют этому, избирательным образом меняя энергетический баланс Земли в тропосфере (нижних километрах атмосферы), где сосредоточена основная часть газов, составляющих атмосферу. При этом может повышаться уровень теплового инфракрасного излучения, которое испускает Земля. Поскольку некоторая доля этой энергии направляется затем обратно к Земле, нижний слой тропосферы нагревается, чтобы достичь энергетического баланса. Так предписывает непрерывность энергии.

Однако непрерывность массы предписывает, чтобы атомы углерода нашей планеты пребывали с нами вечно. Вопрос в том, с какой скоростью и в каких масштабах нам извлекать углеродное сырье из земли. Физику природных ресурсов, климатические изменения и другие проблемы зачастую можно свести к относительно простым и элегантным уравнениям, да только у нас далеко не всегда имеются достаточно мощные и изощренные инструменты для того, чтобы провести в жизнь соответствующие решения.