Теории всего на свете

Квазиэлегантность

Моим первым знакомством с элегантностью в науке стала короткая научно-популярная книга под названием «Сим мет рия», написанная авторитетным математиком Германом Вейлем. Я обнаружил эту книгу на четвертом курсе и затем перечитывал некоторые ее фрагменты раз в несколько лет. Начиная с простого эстетического объяснения симметрии для рядового читателя, автор приводит любопытные примеры из искусства, архитектуры, различных орнаментов и биологии. В четвертой, и последней, главе Вейль, тем не менее, обращается к точной науке и рассказывает об элементах теории групп – математических понятиях, которые превращают симметрию в мощный инструмент.

Демонстрируя его возможности, Вейль поясняет, как теория групп может быть использована для объяснения формы кристаллов. Кристаллы завораживают нас своими красивыми гранеными формами. Большинство горных пород содержит смесь различных минералов, каждый из которых образует кристаллы, но их грани, сформированные рядом, прижатые друг к другу или испытавшие воздействие стихии, неразличимы. Случается, однако, что те же самые минералы образуют крупные, отдельные кристаллы – именно их мы считаем наиболее эстетически привлекательными. «Оксид алюминия», быть может, звучит не слишком впечатляюще, но добавьте немного хрома, дайте природе достаточно времени, и вы получите рубин, достойный короля.

Грани встречающихся в природе кристаллов расположены под определенными углами, соответствующими ограниченному числу типов симметрии. Почему предпочтение отдается тем или иным формам? Какую научную информацию они несут? Вейль объясняет, как получить ответы на эти вопросы с помощью, на первый взгляд, не связанной с ними отвлеченной математики, отвечающей на другой вопрос: какие формы следует использовать, чтобы выложить мозаикой плоскость или заполнить пространство, если все формы одинаковы, соприкасаются сторонами и не оставляют свободного места?

Эту задачу можно решить с помощью квадратов, прямоугольников, треугольников, параллелограммов и шестиугольников. Возможно, вы полагаете, что с таким же успехом годятся и другие многоугольники – попробуйте, и вы убедитесь, что других возможностей не существует. Пяти-, семи и восьмиугольники, как и остальные правильные многоугольники, не совмещаются друг с другом таким образом, чтобы не оставалось свободного пространства. Книга Вейля перечисляет все математически возможные решения – в общей сложности 17 для двух измерений (так называемые «узоры обоев») и 230 для трех.

Этот перечень потрясает тем, что перечисленные в нем формы в точности совпадают с формами кристаллов, обнаруженными в природе. Можно сделать вывод, что вещество кристалла напоминает мозаику, состоящую из одинаковых неделимых строительных блоков, повторение которых образует общее целое. Конечно, мы теперь знаем, что эти строительные блоки представляют собой соединения атомов и молекул. Тем не менее следует принять во внимание, что взаимосвязь между математикой и строением кристаллов была установлена в XIX веке, когда атомная теория еще подвергалась сомнению. Забавно, что отвлеченное изучение строительной плитки и блоков и всех вероятных комбинаций из них может привести к глубокому проникновению в сущность строения вещества. Это типичный пример того, что физик Юджин Вигнер называл «безосновательной эффективностью математики в естественных науках».

История этим не заканчивается. В квантовой механике теория групп и принципы симметрии оказались полезными для предсказания электрических, магнитных и прочих свойств твердых веществ. Не останавливаясь на достигнутом, физики успешно применили принципы симметрии для объяснения фундаментальных свойств ядра и элементарных частиц, а также сил, посредством которых они взаимодействуют.

Когда, будучи юным студентом, я читал книгу Вейля, кристаллография казалась мне идеалом, к которому должна стремиться наука: элегантная математика, обеспечивающая понимание всех физических возможностей. По иронии судьбы, через много лет я сыграл роль в том, чтобы этот идеал существенно подпортить. В 1984 году Дэн Шехтман, Илан Блех, Денис Гратиас и Джон Кан сообщили об открытии загадочного искусственного сплава алюминия и марганца с икосаэдрической симметрией[13]. Подобная симметрия, с шестью пятикратно симметричными осями – самая известная из запрещенных кристаллических симметрий. По удачному стечению обстоятельств, Дов Левайн (Технион, Хайфа, Израиль) и я разрабатывали гипотезу новой формы твердого вещества, которую назвали «квазикристаллы», сокращенно от «квазипериодические кристаллы». (Квазипериодическое расположение атомов может быть описано суммой колебательных функций, где частота имеет иррациональное выражение.) Нас вдохновила двумерная мозаика, придуманная сэром Роджером Пенроузом и известная как «мозаика Пенроуза», которая состоит из двух мозаик, объединенных в пятикратно симметричную структуру. Мы показали, что квазикристаллы способны существовать в трех измерениях и не подчиняются законам кристаллографии. Фактически они могут обладать любой симметрией, запрещенной для кристаллов. Более того, мы продемонстрировали, что дифракционные решетки, предсказанные для икосаэдрических квазикристаллов, соответствовали наблюдениям Шехтмана и его коллег.

Начиная с 1984 года, в лабораториях были синтезированы квазикристаллы с другими запрещенными типами симметрии. В 2011 году Дэн Шехтман получил Нобелевскую премию за экспериментальные достижения, которые изменили наши представления о возможных формах вещества. Позднее мои коллеги и я представили доказательства того, что квазикристаллы могли быть одними из первых минералов, образованных в Солнечной системе.

Кристаллография, с которой я познакомился в книге Вейля, предположительно была исчерпывающей и непреложной, но оказалась крайне неполной, упускающей из виду без преувеличения неисчислимое множество типов симметрии вещества. Наверное, из этого следует извлечь урок: хотя простота и элегантность – полезные критерии оценки теорий, иногда они могут ввести нас в заблуждение.