Юный техник, 2013 № 12

ЗА СТРАНИЦАМИ УЧЕБНИКА Заблуждения математики

Еще древнегреческий мудрец Зенон Элейский предлагал своим ученикам такую задачу. «Обгонит ли быстроногий Ахиллес черепаху?» — спрашивал он. Ученики, конечно, отвечали, что обогнать черепаху ничего не стоит. Тогда Зенон приводил такие рассуждения. Допустим, Ахиллес бежит в 10 раз быстрее, чем черепаха, и поначалу находится позади нее на 1000 шагов. За то время, пока он пробежит это расстояние, черепаха, допустим, проползет 100 шагов. Когда Ахиллес сделает 100 шагов, черепаха проползет еще 10. И так далее. И сколько бы Ахиллес ни старался, черепаха хоть на какую-то ничтожную долю длины, но всегда будет опережать бегуна.

Мудрец при этом, конечно, понимал, что на самом деле это далеко не так. Аналогичной точки зрения придерживался и всем известный Платон, который полагал, что главное в науке — логика, чистая теория, а не практика.

Такие апории, или рассуждения, с тех древних времен не раз пытались математически опровергнуть и тем самым «закрыть тему». Например, построив ряд из уменьшающихся интервалов для апории «Ахиллес и черепаха», можно доказать, что он математически сходится, так что Ахиллес обгонит черепаху.

Однако в этих «опровержениях» подменяется суть спора. В апориях Зенона речь идет не о математической модели, а о реальном движении, и поэтому бессмысленно ограничить анализ парадокса чисто математическими рассуждениями. Ученые ХХ века Д. Гильберт и П. Бернайс в монографии «Основания математики» пишут по поводу апории «Ахиллес и черепаха» следующее:

«Обычно этот парадокс пытаются обойти рассуждением о том, что сумма бесконечного числа этих временных интервалов все-таки сходится и, таким образом, дает конечный промежуток времени. Однако это рассуждение абсолютно не затрагивает парадокс, заключающийся в том, что некая бесконечная последовательность следующих друг за другом событий, последовательность, завершаемость которой мы не можем себе даже представить (не только физически, но хотя бы в принципе), на самом деле все-таки должна завершиться».

То есть, говоря проще, современным логикам и математикам так и не удалось, образно говоря, положить Зенона на лопатки. Более того, многие современные математики и не стремятся к этому, поскольку незаметно для себя придерживаются подобной же философии. Так, во всяком случае, полагает Дерек Эбботт, профессор электротехники и электроники в Университете Аделаиды, Австралия. Многие математики, увлеченные чисто логическими рассуждениями, даже не отдают себе отчета, к чему могут привести их вычисления, пишет он. Так, скажем, известный всем академик А.Д. Сахаров, увлеченный сложностью задачи, разработал теорию термоядерного взрыва. А потом, побывав на испытаниях, ужаснулся тому, что он наделал, и стал одним из самых ярых борцов за запрет ядерных испытаний.

И такой исход — это еще полбеды, полагает Дерек Эботт. Куда хуже, когда математика вообще не может дать точного описания реальности и делает это довольно условно, приближенно. По мнению ученого, тогда наука может лишь создать иллюзию понимания мира. Несмотря на успешные примеры использования математики, все множатся случаи, когда она оказывается бессильна.

Возвращаясь к той же теории термоядерного взрыва, можно припомнить: вычисления показали, будто существует некая доля вероятности, отличная от нуля, что, однажды начавшись, термоядерная реакция не закончится, пока не исчерпает все запасы водорода на планете. И наше счастье, что математики тогда ошиблись.

Профессор Эбботт приводит многие другие доводы, подтверждающие, что математика является продуктом человеческого воображения, и попытки приспособить ее к картине окружающей реальности могут привести к разным результатам. Подробно результаты исследования Дерека Эбботта представлены в издании Proceedings of the IEEE.

Мы же здесь скажем лишь вот о чем. На самом деле гипотеза Эбботта, как и рассуждения чистой воды математиков, тоже далеко не нова. Его исследование интересно тем, что Дерек Эбботт инженер, а не математик.

По мнению Эбботта, математика очень удобна, когда надо сжато описать суть того или иного явления. Иногда она даже помогает выявить те или иные особенности данного процесса наперед, не прибегая к физическому моделированию. Тем не менее, «математика кажется чудесным универсальным языком потому, что мы выбираем именно те задачи, которые можно блестяще решить с ее помощью, — пишет профессор Дерек Эбботт. — На миллионы неудачных математических моделей при этом никто не обращает внимания».

Взять хотя бы транзистор, без которого трудно представить существование нашей цивилизации. В 1970 году, когда транзисторы только начинали применять в радиотехнике, ученые описывали суть процессов, происходящих в твердом теле, с помощью красивых элегантных уравнений. Однако современные субмикронные микрочипы демонстрируют эффекты, которые в старые уравнения не укладываются и требуют сложных компьютерных моделей для объяснения принципов их работы.

Относительность математики проявляется очень часто, утверждает профессор. Даже простой счет имеет свои пределы. При подсчете, например, бананов в какой-то момент их количество станет настолько велико, что гравитация массы бананов заставит их коллапсировать в «черную дыру». Чистая же математика массы бананов никак не учитывает, ей важно лишь их количество.

Конечно, Дерек Эбботт не призывает отказаться от математики, а лишь советует математикам время от времени озирать окружающий мир трезвым взглядом, чтобы не оказаться в положении древнегреческих мудрецов, утверждавших, что Ахиллес никогда не догонит черепаху.