Знание – сила, 2000 №12

Вновь на грани веков

Очень мы любим разные юбилеи. Ах! 20 веков назад в Палестине родился Иисус Христос! Ох! 10 веков назад князь Владимир крестил Русь! Эх! 300 лет назад царь Петр основал Санкт-Петербург, а Ньютон стал президентом Королевского общества! Ух! 200 лет назад родился Пушкин, а Гаусс написал «Арифметические исследования» – основу современной алгебры! И так далее – хватило бы междометий…

И вот очередной юбилей: сто лет назад Пуанкаре и Гильберт сделали на первых между народных конгрессах два доклада о развитии математики. Оба лидера старались угадать судьбу своей науки в грядущем веке и в меру сил повлиять на развитие международного ученого сообщества. Прошло сто лет: что сбылось, что удалось, что не состоялось? Есть ли смысл делать такие прогнозы впредь? Если да, то почему их не сделал раньше Ньютон или Гaycc? Не потому ли, что сообщество ученых изменяется за один век столь же радикально, как персоны его лидеров?

Например, Ньютон работал в одиночку: он предпочитал диалог с природой беседам с коллегами. Понятно, что он был плохой лектор, хотя очень внимательный слушатель и читатель. Ведь даже зеленый мальчишка или выживающий из ума старик может нечаянно высказать такую мысль, которая заиграет в полную мощь в руках мастера! Именно таким мастерам прядущих поколений Ньютон адресовал скупые намеки и вопросы об основах физики, рассеянные в предисловиях к его книгам. Как передается тяготение от тела к телу? Из каких частиц состоит свет, и почему не удается опровергнуть гипотезу Гюйгенса, будто свет состоит из волн? Какие математические принципы регулируют симметрию природных тел? Все это – новые аксиомы старой физики, которые Ньютону не удалось угадать.

Напротив – вопрос о новых аксиомах и определениях МАТЕМАТИКИ Ньютона совсем не заботил. Зачем строго определять понятия «флюксии» и «флюенты», если и без того ясно, как с ними работать? Если каждую полезную функцию можно изобразить графиком и разложить в степенной ряд, то стоит ли размышлять о том, ПОЧЕМУ это удается? Мир полон увлекательных задач, поставленных Богом или природой; сначала надо их решить, а потом станет ясно, почему они поддаются решению!

Сто лет спустя Гаусс был бы рад рассуждать о науке столь же беспечно и уверенно. Но увы – это не получалось. Удачная попытка построить правильный 17-угольник с помощью комплексных чисел привела к удивительному открытию: НЕВОЗМОЖНО построить правильный 7- или 9-угольник! Значит, в математике есть свои неразрешимые проблемы – вроде вечного двигателя в физике! Доказать их неразрешимость удается, лишь вводя строгие определения удачно выбранных понятий. Таковы в физике сила, энергия и импульс, а в математике – поле и кольцо, группа и векторное пространство.

После осмысления этих вещей выполнимость или невыполнимость многих построений циркулем и линейкой стала простым следствием из делимости размерностей числовых полей; неразрешимость в радикалах уравнений пятой степени следует из отсутствия нормальных подгрупп в группе перестановок длины 5. Напротив – недоказуемость евклидова постулата о параллельных прямых не потребовала новых понятий или определений. Зато понадобились два примера необычно изогнутых поверхностей: сфера и псевдосфера.

Таким путем Гаусс и его наследники (Галуа, Риман, Куммер, Кляйн) открыли с XIX веке своеобразный закон сохранения и превращения научных понятий и законов в новые научные проблемы – или наоборот. Тот и другой процессы требуют высочайшей активности ученых людей. Так, Архимед пытался понять законы движения планет с помощью численных экспериментов и механических моделей. В этом деле великий грек потерпел неудачу: не владея позиционной записью чисел, он тратил слишком много времени на довольно простые расчеты. В XVI веке десятичная запись целых и дробных чисел стала достоянием всех просвещенных европейцев: сразу после этого Кеплер успешно решил астрономическую проблему, над которой бился Архимед.

Тогда же нечаянное техническое чудо – подзорная труба -произвело революцию в наблюдательной астрономии. Галилей открыл спутники Юпитера и заметил вращение Солнца вокруг его оси; Гюйгенс обнаружил кольцо Сатурна и построил точные часы с маятником; и так далее. Очутившись в центре такой революции и активно продолжая ее, Ньютон не имел ни времени, ни охоты задуматься: каковы движущие силы этого стихийного процесса и что делать ученым людям, если он начнет затухать?

Полвека спустя такое затухание стало очевидным фактом и вызвало две разные инстинктивные реакции ученого сообщества. Одни удальцы начали ЭКСПОРТ плодов «механико-математической революции» в сопредельные области естествознания, прежде всего в химию, где азартная охота за новыми элементами переросла в изучение атомов и молекул. Другие энтузиасты увлеклись научным образованием немалого множества просвещенных европейцев. Пусть ВСЕ поймут величие открытий Галилея и Ньютона! Тогда многие захотят им подражать – и, авось, у некоторых счастливцев получится что-нибудь стоящее…

Получилось много всего: от аэростата до гильотины, от паровой машины до государственного культа Разума, от египтологии до электромотора. Все это Гаусс наблюдал своими глазами: многое он испытал на своей шкуре. И решил для себя: в экспорте научной революции он участвует, но в массовом просвещении любителей-полузнаек – нет! Ибо учитель не вправе оставить пробужденных им учеников на произвол судьбы: он должен указать им не только пути, ведущие к открытиям, но и способы избегать дурного воплощения этих открытий. Таких способов Гаусс не нашел. Оттого многие юноши, заразившись от геттингенского мудреца любовью к математике, уезжали доучиваться и работать в Берлин или Париж – туда, где нечаянно сложились тесные ученые содружества.

Их организаторы – Фурье. Якоби, Дирихле – заметно уступали Гауссу и Ньютону калибром своих научных достижений. Но благодаря душевной открытости они стали властителями дум очередного поколения европейских ученых. Благодаря их усилиям обновленное математическое сообщество в XIX веке не отставало от великих успехов физики и химии. Вспомним такие пары научных ровесников, как Фарадей и Риман, Максвелл и Кантор, Кельвин и Вейерштрасе… К концу века на плечах этих гигантов выросли Пуанкаре и Гильберт.

Их обоих обожгла внезапная война 1870 года. Но Гильберт рос в Кенигсберге – столице победившей Пруссии, а Пуанкаре рос в Нанси – на французской земле, захваченной пруссаками. Понятно, что Пуанкаре всю жизнь чурался политики – подобно Ньютону, выросшему в разрухе английской революции, или Гауссу, разоренному войнами Наполеона. Гильберт тоже не увлекся политикой: его увлекла наука. Но для Гильберта математика не стала наркотиком, заслонявшим неприглядную реальность. Он предложил немцам и прочим европейцам иной путь интеллектуальных трудов и побед – не связанных с массовым кровопролитием, но доставляющих не меньшую радость, чем победа на поле боя. Характерно, что наставником Гильберта в педагогической работе стал блестящий немей Кляйн, недавно побежденный и сломленный в честном бою гениальным французом Пуанкаре.

Оба молодых человека одновременно увлеклись прекрасной дамой – теорией функций комплексного переменного. Среди таких функций обнаружились особенно красивые – связанные с геометрией Евклида или Лобачевского общей группой симметрий. Как велико множество этих красавиц? Кто первый найдет все такие функции? Началась изнурительная гонка к желанной цели:

Пуанкаре пришел к финишу первым,

Кляйн отстал и надорвался. Что делать дальше?

Победитель-француз ощутил себя богатырем и отправился на поиски новых богатырских задач в сопредельные сферы: в небесную механику электродинамику и в теорию дифференциальных уравнений. Побежденный немец ощутил предел своих творческих сил и решил стать просветителем – вовлекать в научный поиск новые поколения молодежи. Но Кляйн понимал, что сам он не сумеет довести молодежь до высших вершин науки: это под силу лишь первооткрывателю, который действует скорее живым примером, чем мастерством педагога. Чтобы вырастить дружину гениев, нужно иметь хоть одного гения-самородка. Кляйн следил и ждал. Вскоре он заметил молодого Гильберта и решил: вот мой соратник и наследник!

Подобно Ньютону, Гильберт не был вундеркиндом. Он просто находил огромное удовольствие в размышлениях о науке, постоянно думал о ней и старался решать новые красивые задачи из всех областей математики. Для начала Кляйн решил превратить «вольного охотника» в универсального ученого. По его инициативе Германское математическое общество поручило Гильберту и его друзьям составить доклад о современном состоянии теории чисел – через сто лет после того, как ее преобразил Гаусс. Этот труд вылился в учебник объемом 400 страниц. По ходу дела Гильберт открыл уйму новых фактов, ввел несколько необходимых понятий, доказал ряд давних гипотез, нашел много новых трудных задач для себя и своих коллег. Оценив этот успех, Кляйн принял все меры, чтобы переманить Гильберта из провинциального Кенигсберга в славный Геттинген. Пусть молодой профессор ощутит себя наследником Гаусса – и превзойдет его, сделавшись не только открывателем новых истин, но главою универсальной научной школы!

Этот план удался: в Германии выросла «школа Гильберта», наследниками которой являются все нынешние математики и большинство физиков-теоретиков. Как произошло такое чудо?

Составляя обзор теории чисел, Гильберт понял простую вещь: задачник столь же важен, как учебник? Более того – одно невозможно без другого, потому что труд исследователя состоит в чередовании двух разновидностей работы. То решается новая задача – для этого приходится вводить новые понятия или угадывать необычные сочетания знакомых понятий. То автор пытается соединить ворох новых фактов и объектов в цельное здание – при этом на стыках блоков вспыхивают, как искры, новые задачи.

Каждый исследователь поочередно занимается тем или другим делом, уподобляясь качающемуся маятнику. Учитель же следит за множеством маятников – учеников, своевременно добавляя им энергию в нужной форме: то подбрасывая новые задачи, то излагая новые понятия в форме лекции или главы учебника.

К 38 годам Гильберт стал кумиром молодых математиков Геттингена и задумался над более широкой проблемой: можно ли воспитывать все мировое сообщество ученых? Конечно, можно: вольно или невольно это делает каждый автор нового учебника или монографии, излагающий цельную модель одной из областей науки. Почему нет столь же популярных и глубоких ЗАДАЧНИКОВ по всем ведущим наукам? Это упущение нужно исправить! В 1900 году Гильберт построил свой доклад на Международном математическом конгрессе, как обзор 23 крупных проблем из разных ветвей математики, намечающих возможные направления роста древней науки.

Почти все они родились на стыках бурно развивающихся теорий. Так, норвежец Софус Ли ввел «группы Ли» симметрий физических процессов и дифференциальных уравнений, которые их описывают. Гильберт поставил задачу: классифицировать ВСЕ возможные группы Ли! Сделав это, мы опишем многообразие ВСЕХ возможных физических миров по типам их симметрии – так же, как геометры разобрались во множестве всевозможных кристаллов. Сделав это нелегкое дело, мы сможем заняться ПЕРЕХОДАМИ физического мира от одного типа симметрии к другому. Для этой цели Исайя Шур и его коллеги только что создали новую ветвь алгебры – Теорию Представлений Групп. Пусть на очередном конгрессе они познакомят нас с самыми трудными и важными задачами этой науки! А пока запишем общую проблему: создать аксиоматику всей математической физики…

Ньютон начал эту работу в механике; Лагранж и Гамильтон завершили его труд, выяснив роли действия, энергии и импульса в механической картине мира. Максвелл и Герц перенесли энергетический подход в теорию электричества и магнетизма. Остается математически увязать механику и электромагнетизм между собой и с новинками атомной физики – вроде электронов и рентгеновых лучей. Обновленная математика не имеет права отставать от обновления физики – так же, как было при Кеплере и Ньютоне! Для этого математики должны сделать свое сообщество таким же гибким и динамичным, каким стало сообщество физиков после трудов Фарадея и Максвелла. И конечно, мы должны превзойти физиков в полноте и цельности своей картины мира!

Такую программу действий и целей предложил ученому миру Гильберт в 1900 году Сейчас, сто лет спустя, видно, что программа была выполнена – и даже перевыполнена. Но беда в том, что перевыполнили ее не только математики! И не только ученые люди, заполнившие мир своими сообществами: от школьных кружков до «невидимых колледжей», процветающих в компьютерных сетях…

Столь же проворно и успешно действовали революционеры иного склада: политические и религиозные. Они апеллировали не к разуму профессионалов, а к чувствам толпы; призывали слушателей не к самостоятельным размышлениям, а к простым коллективным действиям, по примеру вождя-волшебника. Обещали не только великое счастье всем, кто уверует в их программу, но и великие бедствия всем несогласным. Эти обещания тоже были перевыполнены. В итоге человечество получило две мировые войны, чехарду разноцветных фашизмов и нацизмов, массовый голод и гражданские войны в «развивающихся» странах, устойчивые людоедские режимы – в странах, «среднеразвитых» по части техники. Наконец, полную атрофию доверия между властью и народом – в «самых развитых» странах современной Земли, которые сто лет назад казались путеводными маяками всего человечества.

Так причудливо воплотилась в XX веке давняя пословица: куда конь с копытом, туда и рак с клешней. К сожалению, гордый конь (сиречь, научное сообщество) не подумал вовремя о том, куда и как двинутся раки (а также щуки и лебеди), вдохновленные его примером, но возбужденные своими проблемами. Вот они и двинулись куда попало – вслед за самыми ловкими демагогами, не обремененными ни научной культурой, ни гражданской совестью. Результаты всем известны; эмоциональная реакция на них очевидна. А какова научная реакция на это природное чудо, нечаянно сотворенное человечеством в XX веке?

Первой реакцией стало появление нового жанра литературы – научной фантастики. Она помогает обывателю свыкнуться с непредсказуемыми социальными последствиями очередных научных открытий и их технических воплощений. Многим любознательным юношам эта литература помогла войти в науку; многие профессиональные ученые выразили в этом жанре те чувства и замыслы, которые им не удалось воплотить в научные теории. И самое главное: фантазируя о чудесах внеземной жизни и разума, писатели незаметно и ненамеренно подготовили читателей к общению с той искусственной жизнью, которую человечество плодит вокруг себя со все большей интенсивностью…

Вспомним, как еще в XVII веке проницательные ученые люди открыли две разновидности «нечеловеческой» жизни на Земле. Для этого Гуку и Левенгуку понадобился линзовый микроскоп, а Гоббсу – «политический телескоп», составленный из привычных универсалий исторической науки. В итоге Левенгук обнаружил вселенную МИКРОорганизмов, процветающих ВНУТРИ человеческого тела, а Гоббс заметил множество МЕГАорганизмов («левиафанов»), подчинивших человечество ИЗВНЕ. Таковы все организации, объединяющие людей: семья, племя, государство, церковь, партия, научное сообщество и т.п. Жить без них люди не умеют – так же, как они не могут жить без микрофлоры в кишечнике (общий вес которой равен весу мозга человека).

А в конце XX века лихие программисты нечаянно создали третий вид искусственной жизни. Он процветает внутри компьютерных сетей и состоит из программ разного уровня сложности: от «текстовых редакторов» до «вирусов». Эти новорожденные малютки сразу же проявили активность, достойную холерного вибриона, вируса гриппа или партии большевиков- Если люди не научатся регулировать размножение и эволюцию новых чудищ, то не все ли равно – который вид искусственной жизни уничтожит на Земле естественный вид разума, и возможно, станет его наследником (как описано в романе С.Лема «Непобедимый»)?

Все эти факты наводят на мысль, что не случайно конец XX века не отмечен такими титанами научной мысли, как конец предыдущего столетия или середина уходящего века. Математики Гильберт и Пуанкаре; физики Гайзенберг и Фейнман; биологи Крик и Ниренберг – все они были волшебниками ВНУТРИ своей науки, но не совершали чудес ВНЕ ее – на стыке с реальностью человеческого бытия. Показателен опыт А.Д. Сахарова – выдающегося физика, который оказался весьма неудачливым пророком в российской политике. Не потому ли, что наука XX века не доросла до решения самых сложных и насущных проблем земной ноосферы и биосферы? А если так, то успеет ли она дорасти до нужной мощи раньше, чем природа сотрет зазнавшийся человеческий разум с лица Земли?

Чего не хватает сейчас для создания общей теории развития самоорганизующихся систем – будь то биоценозы или политические партии? Кажется, не хватает главного: общего представления о возможной структуре такой теории. Ибо ее задачи совсем иные, чем были у лидерских наук XX века: математики и ящерной физики, молекулярной биологии и сравнительной лингвистики. Конечно, и теперь речь идет о моделировании некоего природного процесса, но не с целью ПРЕДСКАЗАТЬ его дальнейший ход (это невозможно, ибо процесс неустойчив), ас целью УПРАВЛЯТЬ ходом процесса путем слабых воздействий извне или изнутри, без полного понимания существа дела. Почти так же действует учитель в школе. Сознавая, что большая часть жизни детей недоступна его вмешательству, он старается за краткий срок урока пленить детское воображение красотою очередной научной модели и придать порядок детской тяге к творчеству, подбросив ученикам очередные задачи – неожиданные, разнообразные и не слишком сложные. И ведь неплохие результаты получаются! Порою удается воспитать ученика более умного, чем учитель. Нечто подобное предстоит сделать ученым XXI века: создать теорию развития самоорганизующихся систем, которая опишет также деятельность своих творцов!

Такое моделирование началось еще в 1970-е годы, когда физики, установив основные факты и законы мира элементарных частиц, вернулись в более близкий, но более сложный мир неустойчивых процессов. Здесь обнаружилась уйма чудес: странные аттракторы в механике, циклические реакции в химии, фрактальные множества в геометрии и т.д. Эти чудеса стали любимыми игрушками многих ученых разного профиля – и пошла удивительная игра, где ансамбль фигур неуклонно расширяется, а свод известных правил растет параллельно с количественным и качественным ростом ансамбля игроков. Ибо каждый участник игры приходит в команду со своей картиной мира!

Программист действует в стиле Ньютона: он строит модель развития мира в форме АЛГОРИТМА некой игры приходных СИЛ. Физик-теоретик старается понять закономерности ИЗМЕНЕНИЙ в этом алгоритме, вызываемых многократными спонтанными скачками в природной ЭНЕРГЕТИКЕ открытой системы – наподобие того (единственного) скачка в дозвездном мире, который принято называть Большим Взрывом Вселенной и в динамике которого физики уже неплохо разобрались. Оказывается, что такие скачки вынуждают открытую систему (например, живое существо или коллектив таких существ) двигаться по необычным траекториям ЭКСТРЕМАЛЬНОГО, но НЕ минимального Действия. Математик небрежно называет их «седлами» и «холмами»; генетик говорит о «доминантных мутациях» в геноме некоторых особей, а социолог – о «пассионариях» в возбужденном человеческом коллективе (который в обычную пору состоит только из «гармоников»).

Кстати, сами участники Игры в Постижение Мира (точнее, их творческие биографии) изображаются в физической модели Игры «седлами» или «холмами»: это обстоятельство помогает физикам и математикам формализовать Игру Исследователи говорят об ИМПУЛЬСНОЙ модели взаимодействия между «холмами», «седлами» и «ямами» Действия, которые все вместе составляют некий ЦИКЛ или даже ГЛАДКОЕ МНОГООБРАЗИЕ (как заметил Анри Пуанкаре в начале XX века). Такое многообразие имеет КАСАТЕЛЬНЫЙ ПУЧОК: СЕЧЕНИЯ этого пучка образуют то силовое поле, которое остается после исчезновения первичных «холмов» и «седел». Оно связывает между собой уцелевшие «ямы» Действия, то есть биографии «гармоников», составляющих успокоившийся коллектив. Именно это поле программист старается представить с помощью алгоритма, регулирующего поведение гармоников.

Каково место Гильберта, Пуанкаре и подобных им лидеров ученого сообщества в такой модели Игры в познание Мира? Легко угадать, что их жизни изображаются «холмами» Действия; открытые ими факты и предложенные ими проблемы суть импульсы или кванты силового поля, связавшего великих учителей с их учениками в симметричный цикл (сиречь, многообразие с касательным пучком) и породившего великую Математику XX века. Сходные поля составили Физику, Биологию, Лингвистику, Экономику и Политику истекшего века. Каждый читатель может сам назвать все «холмы» и многие «седла» этих эволюционных циклов и, возможно, в одном из них он найдет место для своей биографии…

Александр Волков