Алиса в стране математики

КОРОЛЕВСКАЯ ПРОГУЛКА

— А если бы я не собрала Шалтая-Болтая? — спросила Алиса, когда они с Белым Королём пошли по дороге для королевских прогулок. — Ведь я не смогла бы дать вам торт: у меня ничего нет!

— Ну что ж, — пожал плечами Король, — значит, у тебя стало бы тогда ещё меньше, чем ничего!

— Но разве бывает меньше, чем ничего? — удивилась Алиса.

— Конечно, бывает, — сказал Король. — Например, если ты кому-то должна, у тебя ведь меньше чем ничего, правда?

— Правда, — согласилась Алиса.

— Вот ты и была бы должна мне один торт. Можно сказать, — добавил Король, — что у тебя тогда стал бы минус один торт.

— Минус один? — переспросила Алиса.

— Это число, которое на единицу меньше нуля, — пояснил Король.

— Но разве бывают числа меньше нуля? — ещё больше удивилась Алиса.

— Сколько угодно, — охотно отозвался Король. — Берёшь любое число, большее нуля, скажем, пять, отнимаешь его от нуля — и, пожалуйста — получаешь «минус пять», число, которое на пять меньше нуля! У таких чисел и название есть — отрицательные числа.

— А как называются числа, которые больше нуля? — спросила Алиса.

— Положительные, — ответил Король.

— Значит, отрицательных чисел столько же, сколько положительных? — догадалась Алиса.

— Ровно столько же, — подтвердил Король. — И тех и других бесконечно много!

— А сам нуль — какое число, положительное или отрицательное? — спросила Алиса.

— Нуль — единственное число, которое не положительное и не отрицательное, — сказал Король.

— Так вот почему Шалтай-Болтай согласился теперь быть нулём! — подумала Алиса. — Он ведь так любит быть единственным в своём роде! Но зачем нужно так много отрицательных чисел? — снова спросила она. — Неужели только для долгов?

— Ты, наверное, думаешь, что число может отвечать только на вопрос «сколько?» — предположил Король.

— А на какой же ещё? — удивилась Алиса.

— Если я тебя спрошу, где мы сейчас находимся, что ты ответишь? — поинтересовался Король.

Алиса посмотрела по сторонам в поисках какой-нибудь приметы и обратила внимание, что они с Королём как раз проходят мимо числа «сто».

— Я бы сказала, что мы находимся на дороге для королевских прогулок возле числа «сто», — ответила Алиса.

— Ну вот, ты сама и ответила числом на вопрос «где?»! — воскликнул Король.

— Но ведь это число тоже отвечает на вопрос «сколько?» — возразила Алиса. — Оно говорит, сколько шагов вы сделали, отойдя от нуля.

— Дорога для королевских прогулок идёт от нуля в две стороны, — заметил Король. — Мы с тобой пошли вправо, но ведь могли пойти и влево! Однако если бы я прошёл сто шагов влево от нуля, разве я был бы там, где нахожусь сейчас?

— Конечно, нет! — сказала Алиса. — Вы были бы... — она секунду подумала, — вы были бы за двести шагов отсюда.

— Правильно, — отозвался Король. — Так вот: число «сто» говорит не только о том, сколько шагов я сделал, отойдя от нуля, но и в какую сторону я шел! Ведь «сто» — положительное число, а все положительные числа расположены справа от нуля.

— А сто шагов влево от нуля — это будет «минус сто»? — догадалась Алиса.

— Конечно, — подтвердил Король. — «Сто» и «минус сто» называют противоположными числами: они расположены на равных расстояниях от нуля, но с противоположных сторон.

— Так почему бы не говорить просто «сто шагов влево от нуля» или «сто шагов вправо от нуля»? — спросила Алиса. — По-моему, это было бы понятнее.

— Но зато не так удобно, — возразил Король. — Сейчас дорога размечена так, что когда идёшь вправо, числа всегда увеличиваются, а когда идёшь влево — уменьшаются!

— Даже если идти влево от нуля? — спросила Алиса. — Ведь тогда после числа «минус один» будет число «минус два»...

— Ты, наверное, забыла, что «минус два» на единицу меньше, чем «минус один», — напомнил Король.

— Действительно, забыла, — призналась Алиса. — Но почему мы идём всё дальше и дальше вправо от нуля, если торт принесут к числу «минус тысяча»? — спохватилась она. — Может, нам лучше развернуться и пойти влево — ведь аппетит можно нагуливать, гуляя в любую сторону!

— Во-первых, торт испекут не так скоро, — сказал Король, — а, во-вторых, короли просто так не гуляют. Как ты думаешь, зачем размечена дорога для королевских прогулок?

— Действительно, зачем? — удивилась Алиса.

— Во время прогулок я занимаюсь королевскими делами, и у меня бывают важные встречи, — объяснил Король. — А чтобы удобнее было назначать место встречи, я и приказал разметить эту дорогу.

— Это вы хорошо придумали, — сказала Алиса. — А где вы назначили встречу? Возле какого числа?

— Вот ты уже и привыкла, что число может отвечать на вопрос «где?», — заметил Король. — Меня должны ждать возле числа «триста», и, кажется, уже ждут!

И действительно, Алиса увидела впереди фигуры двух всадников. Скоро она различила, что это тоже шахматные фигуры — Белый Рыцарь и Чёрный Рыцарь*. Каждый Рыцарь держал большую булаву с шипами.

Когда Алиса и Король подошли поближе, Рыцари почтительно поклонились.

— Что просил передать мне Чёрный Король? — спросил Белый Король.

Рыцари посмотрели друг на друга, и после некоторого молчания Белый Рыцарь торжественно произнёс:

— Я уступаю сэру Чёрному Рыцарю честь ответить на вопрос Вашего Величества.

Король вопросительно посмотрел на Чёрного Рыцаря, но тот произнёс не менее торжественно:

— А я уступаю эту честь сэру Белому Рыцарю. И снова воцарилось молчание.

— Они что — так и будут молчать всё время? — тихо спросила Алиса, и Король так же тихо ответил:

— Наверное, им придётся сразиться за право уступить другому: оба они очень благородны, потому что происходят из самых древних родов!

После молчания, которое затянулось минут на пять, Чёрный Рыцарь предложил:

— Решим наш спор в честном поединке.

Рыцари размахнулись своими страшными дубинами и первым же ударом свалили друг друга на землю — при этом раздался такой грохот, будто с третьего этажа бросили дюжину каминных щипцов.

Встревоженная Алиса подбежала к Рыцарям и увидела, что они, к счастью, живы: оба моргали глазами, пытаясь понять, что произошло. Разобрать, какой Рыцарь Белый, а какой Чёрный, стало невозможно: от пыли они стали серыми.

— Мы победили оба? — подняв голову, спросил один из Рыцарей.

— Вы оба побеждены! — заявил Белый Король. — И поэтому оба должны отвечать на мой вопрос первыми!

Гремя доспехами, Рыцари поднялись и сказали хором:

— Их Чёрное Величество передаёт привет Вашему Белому Величеству.

— Спасибо, — отозвался Король. — Может быть, Белый Король просил передать мне что-нибудь ещё, кроме привета?

— Кажется, просил, — так же хором сказали Рыцари и, наморщив лбы, уставились друг на друга.

— Наверное, у них при падении всё остальное вылетело из голов, — шепнула Алиса Королю.

— Уж лучше бы вылетел привет, — тихо отозвался Король.

— Их Чёрное Величество приглашает Ваше Белое Величество совершить прогулку по Китайскому Саду! — вспомнили одновременно оба Рыцаря.

— А где мы должны встретиться с Чёрным Королём? — спросил Белый Король.

— На перекрёстке двух аллей! — дружно ответили Рыцари.

— До этого я бы и сам догадался, — сказал Белый Король. — Но на каком перекрёстке? Ведь в Китайском Саду много аллей — и продольных и поперечных!

Рыцари снова наморщили лбы и посмотрели друг на друга.

— Придётся мне, видно, искать Чёрного Короля по всему саду... — огорчился Белый Король, но тут один из Рыцарей хлопнул по своему шлему железной перчаткой.

— Вспомнил! — воскликнул он, пошатнувшись от удара. — Этот перекрёсток находится на третьей продольной аллее!

— И на седьмой поперечной! — добавил второй Рыцарь, ударив по своему шлему.

— Хорошо, что вас двое! — обрадовался Белый Король. — Китайский Сад недалеко отсюда, — обратился он к Алисе. — Хочешь, я познакомлю тебя с Чёрным Королём?

— Мне бы очень хотелось, — сказала Алиса, предвкушая ещё одну королевскую прогулку, на этот раз с двумя королями!

Попрощавшись с Рыцарями, Король и Алиса свернули на боковую улочку и через несколько минут вышли к Китайскому Саду — он раскинулся внизу и был похож на шахматную доску с большими белыми и фиолетовыми клетками. Между клетками шли продольные и поперечные аллеи золотистого цвета.

— Как красиво! — воскликнула Алиса. — Но, по-моему, этот сад больше похож на шахматный, чем на китайский.

— Он и есть шахматный, — отозвался Король. — Только китайский шахматный.

— Что это значит? — не поняла Алиса.

— В китайских шахматах фигуры ходят не по клеткам, а по линиям, которые разделяют клетки, — объяснил Король. — И мы в нашем саду тоже гуляем по аллеям, а встречи назначаем на перекрёстках аллей.

— Странные деревья в этом саду, — заметила Алиса, когда они с Королём спускались в сад по красивой лестнице (лестница тоже была выложена в шахматную клетку). — Они похожи на огромные колокольчики — белые и фиолетовые...

— Это и есть колокольчики, — сказал Король. — Но почему ты говоришь, что они огромные? Они, правда, выше меня, но ведь колокольчики и должны быть выше шахматного короля!

— Значит, это я стала такой маленькой, — догадалась Алиса и вспомнила свой спор с Чеширским Котом, когда они встретились в межзвёздном пространстве.

— Получается, что прав был всё-таки Чеширский Кот, — подумала Алиса, — и это я тогда уменьшилась, а не он увеличился! Ну конечно, ведь я стала одного роста и с Шалтаем-Болтаем, и с шахматными фигурами... — Алисе вспомнились ещё огромные листья плюща на стене вдоль дороги для королевских прогулок, и она окончательно уверилась в том, что стала очень маленькой.

В другое время это, может быть, и огорчило бы Алису, но сейчас ей очень нравилось идти рядом с Белым Королём по аллеям, посыпанным золотым песком, под сенью белых и фиолетовых колокольчиков, которые тихо позванивали, наполняя воздух прозрачной музыкой.

Алиса заметила, что на каждом перекрёстке двух аллей стоит шахматная ладья, похожая на башню крошечного замка, и на каждой ладье написаны два числа.

— Это номера двух пересекающихся аллей — продольной и поперечной, — объяснил Король. — Как видишь, чтобы договориться о встрече на перекрёстке Китайского Сада, надо указывать не одно число, а два!

— А если бы на перекрёстках стояли многоэтажные башни, и встречи назначались в этих башнях, то понадобились бы три числа, — заметила Алиса. — Ведь надо было бы указывать ещё, на каком этаже башни назначена встреча!

— Это хорошая идея, — подумав, отозвался Белый Король. — Пожалуй, мы так и сделаем: построим на перекрёстках многоэтажные башни!

— Только вот может ли этаж быть отрицательным? — усомнилась Алиса.

— Конечно, может, — ответил Король. — У каждой уважающей себя башни должно быть по крайней мере несколько этажей внизу, под землёй!

— Но чтобы запомнить три числа, понадобятся, наверное, три рыцаря, — улыбнувшись, сказала Алиса.

— Они устроят настоящий турнир! — воскликнул Король. — Однако мы подходим к перекрёстку третьей продольной и седьмой поперечной аллеи — где же Чёрный Король?

Первой Чёрного Короля увидела Алиса — он сидел под одним из фиолетовых колокольчиков и безмятежно спал.

— Придётся отложить твоё знакомство с Чёрным Королём, — огорчённо сказал Белый Король. — Теперь вы увидитесь только на балу...

— На балу? — воскликнула Алиса. — А я попаду на этот бал?

— Я приглашаю тебя, — торжественно произнёс Белый Король. — И разрешаю тебе пригласить всех, кого ты захочешь.

— Спасибо! — поблагодарила Алиса. — А где и когда будет этот бал?

— Вот об этом нам с Чёрным Королём и надо договориться... — озабоченно сказал Белый Король и снова посмотрел на спящего Чёрного Короля.

— Может, всё-таки разбудить его? — предложила Алиса.

— Я вижу, он очень устал, — возразил Белый Король. — Ведь у королей так много дел!

— Да ещё и прогулки, — со знанием дела добавила Алиса.

— Придётся мне подождать, пока он проснётся, — вздохнул Белый Король. — Ты сможешь сама найти дорогу к числу «минус тысяча»?

— Дорогу до нуля я помню, — сказала Алиса, — а потом надо всё время идти влево от нуля?

— Правильно, — подтвердил Король. — Ну, тогда иди: торт тебя уже, наверное, ждёт. До встречи на балу!

Обратно Алиса не шла, а бежала: ей придавала силы мысль о шоколадном торте с орехами. Когда Алиса пробегала мимо нуля, ей показалось, что он подмигнул ей, причём в точности так, как это сделал бы Шалтай-Болтай!

Возле числа «−1000» Алису действительно ожидали восемь поварят — они держали на серебряном блюде торт невиданной величины. Торт был такой большой, что Алиса даже огорчилась.

— Как же можно съесть такой торт? — спросила Алиса.

— С чаем, — дружно ответили поварята. — Мы проводим тебя к Мартовскому Зайцу — там сейчас как раз пьют чай!

— А на меня не рассердятся, если я приду без приглашения? — поинтересовалась Алиса.

— С таким тортом можно приходить и без приглашения, — уверенно сказали поварята и двинулись в путь, торжественно неся торт.

Алисе ничего не оставалось, как пойти следом за ними.

Скоро они вышли из города и зашагали по лесной дороге. Присмотревшись, Алиса заметила, что лес кругом довольно странный: длинные-длинные листья росли прямо из земли. Иногда встречались диковинные деревья с высоким стволом; кроны этих деревьев были похожи на огромные цветы одуванчиков и ромашек.

— Это и есть одуванчики и ромашки! — догадалась Алиса, вспомнив о своём теперешнем росте. — А длинные листья — это трава!

Алиса посмотрела на поварят и вдруг поняла, что это просто белые пешки!

— Так вот почему их восемь, — подумала Алиса. — У каждого шахматного короля как раз по восемь пешек! Правда, только в начале игры...

Скоро впереди показался большой дом; трубы дома имели форму заячьих ушей, а крыша была покрыта мехом, и Алиса догадалась, что это дом Мартовского Зайца.

— Как же я приду к чаю такая маленькая? — оробела Алиса. — Я и за стол-то сесть не смогу! Хорошо бы мне подрасти...

И тут же всё кругом начало уменьшаться: растения с длинными листьями превратились в обычную траву, деревья с необычными кронами стали одуванчиками и ромашками, а лесная дорога оказалась тропинкой, идущей через поле!

Впереди Алисы семенили, неся торт, восемь маленьких пешек. Торт, конечно, остался шоколадным, но, увы — он перестал быть огромным! Подходя к дому, Алиса даже засомневалась: прилично ли с таким тортом приходить к чаю без приглашения? И тут она услышала грохот бьющейся посуды.

— Стоит ли вообще туда идти? — подумала Алиса, но было уже поздно: пешки-поварята входили в ворота, и Алиса поняла, что её ждут новые приключения.