Алиса в стране математики

НАТУРАЛЬНЫЙ РЯД В НАТУРАЛЬНУЮ ВЕЛИЧИНУ

Пройдя мимо нескольких чисел, Алиса оглянулась и с удивлением обнаружила, что перед единицей появилось что-то круглое.

— Это нуль! — воскликнула Алиса. — Но как я не заметила его раньше?

Она повернула обратно, но, чем ближе к нулю она подходила, тем удивительнее он ей казался. Во-первых, сама его форма была странной — он почему-то был похож на яйцо. А во-вторых, Алиса ясно различила глаза, нос и рот!

— Да это же Шалтай-Болтай! — догадалась Алиса. И действительно, это был Шалтай-Болтай собственной персоной — он сидел на струне, скрестив по-турецки маленькие ножки. И Алиса начала тихонько напевать:

— Ну уж если он отсюда свалится, его вообще никто не соберёт! — рассудила вслух Алиса.

— «Никто» не соберёт, а кто-то соберёт! — неожиданно заявил Шалтай-Болтай и покачнулся. — Это твоя четвёртая ошибка.

— Почему четвёртая? — опешила Алиса: такого начала разговора она никак не ожидала!

— Во-первых, ты приняла меня за нуль, — начал загибать пальцы Шалтай-Болтай. — А это, знаешь, не очень приятно, когда тебя принимают за нуль!

— Простите, пожалуйста, — сказала Алиса. — Я совсем не хотела вас обидеть. А какая моя вторая ошибка?

— Ты приняла нуль за натуральное число, — произнёс Шалтай-Болтай. — Разве ты не знала, что это натуральный ряд? — показал он на ряд светящихся чисел.

— Мне об этом сказал Чеширский Кот, — ответила Алиса. — Но что это значит, я ещё не знаю.

— Натуральный ряд состоит из натуральных чисел, — важно пояснил Шалтай-Болтай. — Это числа, которые получаются при счёте, а счёт обычно начинается с единицы.

— Я постараюсь это запомнить, — пообещала Алиса. — А какая моя третья ошибка?

— Ты забыла представиться! — упрекнул Шалтай-Болтай.

— Но ведь и вы не представились, — попыталась оправдаться Алиса.

— Ты же знаешь, как меня зовут, — возразил Шалтай-Болтай, — только что ты даже пела обо мне песню!

— Пожалуй, он прав, — подумала Алиса и сказала:

— Меня зовут Алиса.

— Ужасное имя! — скривился Шалтай-Болтай.

— Почему? — обиделась Алиса.

— Алис много, — объяснил Шалтай-Болтай. — Разве у тебя не бывало такого: слышишь «Алиса!», оборачиваешься, а зовут, оказывается, совсем не тебя?

— Бывало, — вспомнила Алиса.

— Это, наверное, было не очень приятно, — заметил Шалтай-Болтай. — А вот если я слышу «Шалтай-Болтай!», то знаю, что зовут именно меня, потому что я — единственный Шалтай-Болтай во всем мире! — и он попытался выпятить грудь ещё больше.

— Не могут же у всех людей быть разные имена, — возразила Алиса. — Людей очень много — на всех просто не хватит имён!

— А сколько всего людей? — поинтересовался Шалтай-Болтай.

— Я не знаю точно, — сказала Алиса, — но, кажется, больше миллиарда, а ведь миллиард — это тысяча миллионов...

— Разве это много? — пренебрежительно перебил Шалтай-Болтай. — Вот что такое много! — круто повернулся он в сторону натурального ряда. — Натуральных чисел бесконечно много, но среди них нет даже двух с одинаковыми именами!

— И правда, — поразилась Алиса, посмотрев на уходящий вдаль ряд чисел, — все числа здесь разные, а ведь у разных чисел и названия разные!

— Это потому, что числа себя уважают, — пояснил Шалтай-Болтай. — Каждое из них — чем-то особенное!

— Неужели каждое? — усомнилась Алиса. — А по-моему, числа, которые стоят рядом, очень похожи друг на друга...

— А вот и нет, — возразил Шалтай-Болтай, — ведь одно из них обязательно чётное, а другое — нечётное!

И в тот же миг все чётные числа стали оранжевыми, а нечётные — голубыми. Алиса посмотрела на разноцветный ряд чисел — он стал ещё красивей, и ей захотелось, чтобы цветов стало больше.

— Хорошо, если бы здесь были все цвета радуги! — тихо сказала она, и по натуральному ряду сразу же побежала разноцветная волна: единица стала красной, двойка осталась оранжевой, тройка стала жёлтой, четвёрка — зелёной, пятёрка — осталась голубой, шестёрка — стала синей, семёрка — фиолетовой, — и снова: красное число, оранжевое, жёлтое...

— Как красиво! — невольно вырвалось у Алисы.

— Не только красиво, но и удобно, — одобрил Шалтай-Болтай. — Теперь сразу видно, какие числа делятся на семь!

— Действительно, — присмотревшись, согласилась Алиса. — Все такие числа — фиолетовые!

— Кстати о делении, — воскликнул Шалтай-Болтай. — Сейчас я покажу тебе особенно замечательное число! — с неожиданной легкостью он вскочил на ножки, взял Алису за руку, и они побежали по струне.

Вдруг Шалтай-Болтай так резко остановился, что Алиса чуть не столкнула его со струны.

— Вот! — показал он на число «60».

— Чем же это число замечательно? — поинтересовалась Алиса.

— Разве тебе не видно? — удивился Шалтай-Болтай. — Шестьдесят делится на один, на два, на три, на четыре, на пять, на шесть, на десять, на двенадцать, на пятнадцать, на двадцать, на тридцать и на шестьдесят!

— Это действительно замечательно, — согласилась Алиса. — Но разве это можно увидеть?

— Конечно, Можно! — сказал Шалтай-Болтай. — Представь, что у тебя шестьдесят солдатиков...

— Мне легче представить кукол, чем солдатиков, — заметила Алиса.

— Представляй, — согласился Шалтай-Болтай. — Но чтобы их было ровно шестьдесят!

И Алиса постаралась представить шестьдесят кукол — это было не так просто, потому что, представляя кукол, она должна была их считать!

Через минуту куклы уже кружились вокруг Алисы и Шалтая-Болтая.

— Ты уверена, что их шестьдесят? — спросил Шалтай-Болтай, уворачиваясь от кукол, которые налетали на него со всех сторон.

— Не очень, — призналась Алиса.

— А ну-ка, станьте в пары! — крикнул куклам Шалтай-Болтай.

И хотя куклы не солдатики, они тут же выполнили приказание. Каждой кукле нашлась пара.

— Число кукол делится на два, — заключил Шалтай-Болтай. — Ты это видишь?

— Да, — подтвердила Алиса.

— А теперь возьмитесь за руки по три! — снова скомандовал Шалтай-Болтай.

Куклы опять послушались; и на этот раз «лишних» кукол тоже не осталось.

— Число кукол делится и на три! — воскликнула Алиса и приказала сама:

— Возьмитесь за руки по четыре!

Таким образом Алиса быстро проверила, что число кукол делится на четыре, на пять и на шесть; когда куклы взялись за руки по шесть, они образовали кружки, и Алиса легко пересчитала, что кружков как раз десять.

— Их ровно шестьдесят — теперь это видно! — воскликнула Алиса. — И то, что шестьдесят делится на два, на три, на четыре, на пять, на шесть и на десять, я тоже видела. Действительно, шестьдесят — замечательное число!

— А теперь посмотри на числа, которые стоят с ним рядом, — предложил Шалтай-Болтай. — Ни пятьдесят девять, ни шестьдесят один не делятся ни на одно число, кроме, конечно, единицы и самих себя.

— Значит, эти числа — ничем не замечательные? — спросила Алиса.

— Наоборот! — возразил Шалтай-Болтай. — Они как раз тем и замечательны, что делятся только на два числа — на единицу и само себя. Такие числа называются простыми.

— А как называются остальные числа? — поинтересовалась Алиса.

— Почти все остальные числа называются составными, — ответил Шалтай-Болтай. — Любое из них можно составить, умножая простые числа друг на друга: например, шесть — это два умножить на три, а шестьдесят — это два умножить на два, потом на три и еще на пять.

— Понятно, — сказала Алиса. — Но почему вы сказали «почти»? Разве есть числа, которые не простые и не составные?

— Есть, — загадочно произнёс Шалтай-Болтай. — Правда, такое число — одно-единственное!

— Какое? — заинтересовалась Алиса.

— Попробуй угадать, — ответил Шалтай-Болтай. — Мы сейчас мимо него пройдём: смотри внимательно! — И, покачиваясь на тонких ножках, он пошёл по струне к началу натурального ряда.

Алиса последовала за ним, глядя на числа, мимо которых они проходили: какое же из них то единственное число, которое и не простое и не составное?

— Пятьдесят восемь? — думала Алиса. — Это число делится на два — значит, оно составное... Пятьдесят семь? Делится на три — составное... Пятьдесят шесть? Тоже делится на два... кстати, все чётные числа делятся на два, значит, все они составные — буду поэтому следить только за нечетными числами! Пятьдесят пять делится на пять — составное... Пятьдесят три... на что же оно делится? Кажется, ни на что! Может, это и есть то число, которое не простое и не составное? Ах нет, оно же делится на само себя и на единицу — значит, это простое число! Так ведь любое же число делится на себя и на единицу! И если оно ни на что больше не делится, то оно простое, а если делится, то составное! Неужели Шалтай-Болтай меня просто дурачит?

Пройдя мимо всех чисел, Шалтай-Болтай уселся на то место, где сидел вначале, когда Алиса приняла его за нуль. Сама Алиса остановилась рядом с ним, перед единицей.

— Ну что? — спросил Шалтай-Болтай. — Догадалась, какое число не простое и не составное?

— По-моему, такого числа нет, — решительно сказала Алиса. — Любое натуральное число либо простое, либо составное: если оно делится на какое-то другое число, то оно составное, а если не делится, то простое — ведь на единицу и само себя делится любое число!

— И! — воскликнул Шалтай-Болтай.

— Что «и»? — испугалась Алиса: она решила, что Шалтаю-Болтаю стало плохо.

— На единицу и само себя! — спокойно пояснил Шалтай-Болтай. — Любое простое число делится на два разных числа: единицу и само себя. Но есть такое число, которое делится только на одно число...

— Это единица! — догадалась Алиса, глядя на число, перед которым она как раз стояла.

— Ну что, ловко я тебя провёл? — с довольным видом спросил Шалтай-Болтай. — Но ты не огорчайся: зато теперь ты знаешь, что особенного в числе «один»! А вот скажи: что особенного в числе «два»?

— Это чётное число, — начала размышлять вслух Алиса, — но ведь чётных чисел много...

— Их бесконечно много, — заверил Шалтай-Болтай. — Ведь к любому чётному числу можно прибавить два, и получится большее чётное число!

— Значит, в том, что два — чётное число, ничего особенного нет, — заключила Алиса, продолжая рассуждать вслух. — Кроме того, два — простое число, потому что оно делится на два разных числа — на само себя и на единицу... Но ведь простых чисел тоже, наверное, много?

— Давай посмотрим, — предложил Шалтай-Болтай, и ряд чисел померк: многие числа погасли. В начале ряда, например, светились только числа 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19...

— Это простые числа! — догадалась Алиса. — И конца им не видно...

— Не видно, — согласился Шалтай-Болтай. — А что видно?

— Видно, что некоторые простые числа стоят почти рядом, а между другими — большие промежутки... — заметила Алиса.

— У тебя неплохое зрение, — отметил Шалтай-Болтай. — А что тебе ещё видно?

— Чем дальше, тем промежутки становятся всё больше и больше, — присмотревшись, ответила Алиса, — поэтому кажется, что ряд простых чисел становится всё реже и реже...

— Это не только кажется, — отозвался Шалтай-Болтай. — Так оно и есть на самом деле. Не наводит ли это тебя на какую-то мысль?

— Наводит, — подумав, сказала Алиса. — Если простые числа встречаются всё реже и реже, значит, где-то они заканчиваются совсем?

— То есть, ты думаешь, что есть какое-то самое большое простое число? — уточнил Шалтай-Болтай.

— Так мне кажется, — осторожно ответила Алиса.

— А вот это тебе действительно только кажется! — обрадовался Шалтай-Болтай так сильно, что стал даже подскакивать на струне, то и дело рискуя свалиться с неё. — Я тебя снова провёл! Самого большого простого числа не существует, потому что простых чисел бесконечно много!

— Но откуда это известно? — возразила Алиса. — Ведь если к простому числу прибавить два, то совсем не обязательно получится снова простое число: например если к семи...

— С простыми числами не всё так просто! — перебил Шалтай-Болтай. — Хотя они и называются простыми, разобраться в них труднее всего! Но то, что их бесконечно много, доказать не так трудно. Это доказал еще Евклид...

— Евклид? — радостно воскликнула Алиса. — Я видела его...

— Евклида?! — поразился Шалтай-Болтай и с интересом посмотрел на Алису. — Тогда ты неплохо сохранилась!

— Я видела его портрет в учебнике математики, — объяснила Алиса. — Кажется, он был древним греком?

— Не таким уж он был и древним, — отозвался Шалтай-Болтай. — Он и до шестидесяти не дожил... Так ты поняла уже, что особенного в числе два?

— Ещё нет, — сказала Алиса. — Два — число чётное и простое... но ведь и тех и других чисел бесконечно много...

— Два — это единственное число, которое и чётное и простое одновременно! — торжественно произнёс Шалтай-Болтай, показывая на двойку. — Подумай только — единственное из бесконечно многих!

— А я уже было решила, что все чётные числа — составные! — призналась Алиса.

— Три — тоже особенное число, — важно заметил Шалтай-Болтай.

— Это единственное простое число, которое делится на три? — спросила Алиса.

— Не только, — ответил Шалтай-Болтай. — Три — единственное натуральное число, равное сумме всех предыдущих натуральных чисел! И ещё: посмотри на эти два числа, — показал он на двойку и тройку.

— Это единственные простые числа, которые стоят рядом! — воскликнула Алиса.

В этот момент все числа в натуральном ряду зажглись снова, и Алиса обратила внимание на появившуюся четвёрку.

— Четыре — тоже замечательное число! — тут же сказала Алиса. — Ведь это первое составное число!

— Мало этого, — подхватил Шалтай-Болтай. — Ты заметила, что четыре — это дважды два и в то же время — два плюс два?

— Что же тут особенного? — спросила Алиса.

— Как? —воскликнул Шалтай-Болтай. — Ты берёшь два одинаковых числа, один раз умножаешь их, а другой раз складываешь — но получаешь одно и то же! Разве это не удивительно?

— Удивительно, — согласилась Алиса. — Но разве так получается только для четырёх?

— Только! — радостно подтвердил Шалтай-Болтай.

— А что замечательного в числе пять? — спросила Алиса: она уже поверила, что каждое натуральное число и правда чем-то замечательно. Ей показалось даже, что числа в натуральном ряду ожили — каждое число превратилось в живое существо!

Шалтай-Болтай не ответил на вопрос Алисы. Она взглянула на него и увидела, что он начал засыпать. В голове у Алисы вихрем пронеслась строка из песенки: «Шалтай-Болтай свалился во сне»!

— Не засыпайте! — крикнула Алиса и бросилась к Шалтаю-Болтаю. Но не успела: Шалтай-Болтай покачнулся во сне и... свалился со струны!

Алиса посмотрела вслед Шалтаю-Болтаю — он летел, медленно вращаясь в полете.

— Вся королевская конница и вся королевская рать не сможет Шалтая-Болтая собрать! — вспомнила Алиса и, оттолкнувшись от струны, полетела за Шалтаем-Болтаем.