Алиса в стране математики

О БЕЗГРАНИЧНОЙ ДЕЛИМОСТИ И ЗАГАДКЕ ДВИЖЕНИЯ

В V веке до нашей эры в Древней Греции жил очень странный учёный: он прославился тем, что доказывал, будто не может быть того, что есть! Но даже самые великие из древних греков не могли найти ошибок в его рассуждениях.

Звали этого учёного Зенон. Например, он доказывал, что легендарный герой Ахилл, прекрасный бегун, не сможет догнать обыкновенную черепаху (рассуждения Зенона были очень похожи на рассуждения Грифона — помните, как тот сокрушался, что не сможет догнать Черепаху Будто?).

Вот как Зенон доказывал, что движение вообще невозможно. Прежде чем дойти до конца пути, говорил Зенон, надо дойти до половины пути. Однако прежде чем достигнуть половины пути, надо сначала пройти половину этой половины, то есть четверть пути, и так далее. А поскольку делить пополам можно без конца, то получается, что невозможно даже стронуться с места! Так же Зенон доказывал, что если кому-то все-таки удалось сойти с места, то дойти до конца пути ему никогда не удастся: ведь ему придётся пройти сначала половину всего пути, потом половину оставшейся половины и так далее... (помните рассуждения Алисы о том, что Соня не смог бы съесть весь торт?)

О Зеноне писал даже далёкий от математики Пушкин:

«Брадатый мудрец» — это и есть Зенон, а тот, который смолчал и стал ходить — известный философ Диоген (тоже, кстати, странный человек: он жил в бочке, считая, что лучшего жилья философу и не надо, и ходил днём с фонарём, приговаривая: «Я ищу человека»).

Зенон, конечно, видел, что движение есть, но дело в том, что древнегреческие учёные не умели описывать движение! Ведь движение непрерывно: за очень малые промежутки времени движущееся тело проходит очень малые расстояния, причём промежутки времени и расстояния можно делить на всё меньшие и меньшие части. Но как раз безграничной делимости древние греки и не признавали! Они считали, что при этом разрушается понятие числа — главное понятие всей греческой математики.

Представьте себе, какая огромная разница между целыми числами и дробными: у любого целого числа есть два ближайших «целых» соседа (целое число, которое на единицу меньше, и целое число, которое на единицу больше), а между любыми дробными числами находится бесконечно много других дробных чисел — ни у одного дробного числа ближайших «дробных» соседей нет! (Не напоминает ли это вам отсутствие последнего момента перед шестью часами?)

А благодаря открытию Пифагора, о котором мы недавно рассказывали, обнаружилось, что существуют числа, которые невозможно записать даже в виде дроби! Действительно, какой дробью можно представить длину диагонали квадрата со стороной единица, если у диагонали нет никакой общей меры со стороной? Когда сам Пифагор осознал значение своего открытия, он даже испугался (хотя был олимпийским чемпионом по кулачному бою!) и потребовал от своих учеников, чтобы они ни в коем случае не разглашали это открытие. Один ученик ослушался, и, согласно легенде, боги покарали его за это: он погиб во время кораблекрушения.

Страх перед безграничной делимостью длился почти два тысячелетия, и первые подходы к описанию непрерывного движения предприняли только Галилей и Декарт в XVII веке. (Мы уже писали о том, как Галилей открыл закон свободного падения тел). Становилось ясно, что для описания движения нужна совершенно новая математика, в которой возможность безграничной делимости принята за основу.

Создали такую математику в конце XVII века независимо друг от друга двое учёных — англичанин Ньютон и немец Лейбниц (хотя друзьями-то они как раз и не были!). Называется она «дифференциальное и интегральное исчисление». Справедливость требует сказать ещё, что «почву» для великого немца и великого англичанина подготовили два великих француза — Ферма и Паскаль; в своих работах они подошли вплотную к открытию дифференциального и интегрального исчисления.