Алиса в стране математики

КАК СЪЕСТЬ ЦЕЛЫЙ ТОРТ?

Шляпник сразу же стал вытаскивать блюдо с тортом из-под Сони. Однако Заяц вцепился в блюдо с другой стороны и стал тянуть в противоположную сторону. Блюдо рывками ездило по столу туда-сюда, и всё это время Соня сквозь сон быстро ел торт. Наблюдая эту сцену, Алиса смеялась до слёз.

Когда Шляпнику удалось, наконец, вырвать блюдо, оно было таким чистым, будто на нём никогда и не бывало шоколадного торта! Зато Соня был весь в шоколаде и сладко облизывался, продолжая спать.

Шляпник посмотрел на пустое блюдо и увидел в нём себя — полированное блюдо отражало, как зеркало!

— Привет, дружище! — приподняв цилиндр, обратился Шляпник к своему отражению, и оно ответило ему тем же. — Теперь ты застрял тут надолго — может быть, навсегда: похоже, что шесть часов так и не наступят...

— Мне кажется, шесть часов тут ни при чём, — вмешалась Алиса в разговор Шляпника с его отражением. — Ведь для того, чтобы наступил любой момент времени, должны пройти все предыдущие моменты, а их бесконечно много...

— В том-то и дело! — подхватил Шляпник. — В одной только секунде и то бесконечно много моментов! Как же они все могут пройти?

— Но время всё-таки идёт... — попыталась возразить Алиса.

— Оно стоит! — вскричал Шляпник, показывая на часы. — Разве ты не видишь, что оно стоит?

— А Соне всё-таки достался целый торт одному! — в наступившей тишине заметил Заяц.

— Как ты можешь думать о каком-то торте, когда время остановилось! — упрекнул его Шляпник.

И тут у Алисы родилась удивительная мысль.

— Если бы время остановилось из-за того, что в любом промежутке бесконечно много моментов, Соня не смог бы съесть весь торт! — воскликнула она.

— Ты шутишь? — печально спросил Шляпник. — При чём здесь торт?!

— Когда Соня ел торт, — начала объяснять Алиса, — он должен был сначала съесть половину торта, потом половину оставшейся половины, потом — половину половины половины... и у него всегда должно было что-то оставаться — ведь делить пополам можно без конца!

— Это и правда похоже чем-то на последний момент! — оживился Шляпник.

— Но Соня съел торт до конца! — напомнил Заяц, показывая на сверкающее блюдо.

— До конца... — задумчиво подтвердил Шляпник и посмотрел на блюдо с обеих сторон. — Как же у него это получилось? — спросил он у своего отражения, но оно ответило ему тем же вопросом. — Послушай! — толкнул он Соню. — Как ты ухитрился съесть весь торт?

Соня приоткрыл один глаз, но ничего не ответил.

Тогда Заяц взял чайную ложку, обмакнул её в вазочку с вареньем и начал старательно писать что-то вареньем на скатерти. Он писал в одну строку, и эта строка становилась всё длиннее и длиннее.

Какое-то время Шляпник молча наблюдал за Зайцем, но, наконец, не выдержал:

— Что ты делаешь? — крикнул он. — Это же последнее варенье!

Но Заяц был так увлечён, что ничего не слышал: он встал со своего места, взял вазочку с вареньем и, продолжая писать, пошёл вдоль стола. Время от времени он поднимал голову и, шевеля губами, что-то считал.

Алиса подошла к Зайцу и увидела, что он написал:

— Что это вы складываете? — спросила Алиса.

— Я хочу узнать, сколько Соня съел, — объяснил Заяц, не отрываясь от писания. — Он съел половину торта, потом еще четверть, потом одну восьмую, потом — одну шестнадцатую...

— Так записываются дробные числа! — догадалась Алиса. — Но ведь вы же никогда не допишете эту сумму до конца! — воскликнула она. — У этой суммы нет конца, потому что делить пополам можно без конца!

— А как же тогда Соня съел торт до конца? — недоверчиво спросил Заяц.

— Соня съедал каждую следующую часть вдвое быстрее, — подумав, сказала Алиса, — потому что каждая следующая часть вдвое меньше, чем предыдущая!

— А я, наоборот, на каждое новое слагаемое трачу всё больше и больше времени, — вздохнул Заяц, утирая лапкой пот со лба. — Ведь в числителе каждой дроби единица, а знаменатели становятся всё больше и больше...

— Поразительно! — воскликнул Шляпник, тоже подойдя к Зайцу. — Чем меньше число, тем дольше приходится его писать — я бы никогда в это не поверил!

И тут Алису осенило.

— Дальше можно не писать! — воскликнула она. — Я знаю, чему равна вся эта сумма!

— Ты хочешь сказать, что сложила в уме бесконечно много слагаемых? — удивился Шляпник. — Выписать их нельзя, а сложить в уме можно?!

— Бесконечно много слагаемых только в уме и можно сложить, — ответила Алиса. — Ни на какой бумаге они просто не поместятся. И даже на скатерти, — добавила она, посмотрев на Зайца.

— И чему же, по-твоему, равна эта сумма? — поинтересовался Шляпник.

— Единице, — сказала Алиса. — Она равна в точности единице, потому что Соня съел как раз один торт!

— Но торт был довольно большой, — заметил Заяц.

— Величина торта не имеет значения, — сказала Алиса.

— Теперь, конечно, не имеет, — огорченно вздохнул Заяц. — Ведь торт уже съеден...

— И совсем не поэтому! — начала сердиться Алиса. — Вы же сами приняли весь торт за единицу, когда выписывали эту сумму! Вот, например, одна восьмая — это же одна восьмая всего торта, правильно?

— Правильно! — подтвердил Заяц. — Я писал правильно, даже не понимая, что пишу! — с радостным удивлением повернулся он к Шляпнику.

— Это действительно странно, — отозвался Шляпник. — Ведь обычно ты не понимаешь того, что говоришь.

Заяц аккуратно обмакнул ложечку в варенье и стал писать новые слагаемые: он решил продолжать правильное дело, даже если у него нет конца.

— И всё-таки я не понимаю, как сумма бесконечного числа слагаемых может быть равна единице! — немного помолчав, сказал Шляпник.

— Мне кажется, дело в том, что новые слагаемые становятся всё меньше и меньше, и поэтому с каждым новым слагаемым сумма увеличивается всё медленнее и медленнее... — начала рассуждать вслух Алиса.

— Но увеличивается! — перебил её Шляпник. — С каждым новым слагаемым сумма всё-таки увеличивается! Как же она может не перерасти в конце концов какую-то несчастную единицу?

Это действительно казалось странным, и Алиса задумалась. Она вытащила из кармана карандаш — тот самый, который дал ей Чеширский Кот в межзвёздном пространстве, и нарисовала на скатерти отрезок:

— Представьте себе, что это весь торт, который мы приняли за единицу, — сказала Алиса.

Шляпник нагнулся к столу и внимательно посмотрел на линию, нарисованную на скатерти.

— Представил, — сказал он, наконец.

— А теперь разделим отрезок пополам, — предложила Алиса и поставила точку посредине отрезка:

— Если весь отрезок — единица, то его половина — одна вторая, — сказала Алиса и написала эту дробь под левой половиной отрезка:

— Теперь правую половину снова разделим пополам, — продолжила Алиса и поставила ещё одну точку:

— Каждая из новых частей будет равна одной четвертой, — заметил Шляпник.

— Конечно, — кивнула Алиса и написала ещё одну дробь:

— Самую правую четверть можно опять разделить пополам! — воскликнул Шляпник. — Кажется, я начинаю понимать, к чему ты ведешь... — Он взял у Алисы карандаш, отметил на отрезке ещё одну точку и написал ещё одну дробь:

— Самый правый кусок можно делить пополам снова и снова! — возбужденно продолжал Шляпник, ставя все новые и новые точки и подписывая под ними дроби — каждую новую дробь в два раза меньше предыдущей. — Получаются одна шестнадцатая, одна тридцать вторая, одна шестьдесят четвёртая... как раз те слагаемые, которые написал Заяц! И этих слагаемых будет бесконечно много!

— Но сумма всех этих слагаемых равна в точности единице! — воскликнула Алиса, показывая на рисунок. — Ведь это как раз длина всего отрезка!

— Ты права! — восхищенно произнёс Шляпник, разглядывая рисунок. — Теперь это даже видно!

Алиса была очень довольна: она сама не ожидала, что её доказательство окажется таким наглядным! А присмотревшись к рисунку, она заметила и кое-что ещё!

— Смотрите, — сказала она, — каждая следующая точка правее предыдущей, но все они левее конца отрезка! А последней точки перед концом вообще нет! Так же, как и нет последнего момента перед шестью часами...

— Но до конца отрезка всё-таки можно дойти! — воскликнул Шляпник. — Ведь смогла же ты провести эту линию... — он перевёл взгляд на застывшие стрелки часов, и тут в его взгляде родилась какая-то мысль.

Он схватил первое, что попалось ему под руку — это был Соня — и запустил в часы. Соня на лету развернулся и ловко ухватился за цепь, на которой висели часы — при этом он даже не проснулся!

Часы качнулись и... начали бить!

Алиса и Шляпник, как зачарованные, смотрели и слушали — смотрели, как раскачиваются часы со спящим Соней, и слушали, как они бьют. Заяц тоже оторвался от своей бесконечной писанины и, поражённый, уставился на часы.

Часы звучно пробили шесть раз, и в наступившей тишине стало слышно, что хрипение прекратилось, зато часы начали тикать! Скоро стало не только слышно, но и видно, что часы идут: большая стрелка сдвинулась и пошла по своему привычному кругу.

Минут через десять Алиса вежливо сказала:

— Наверное, я пойду...

Никто не ответил ей: Шляпник и Заяц замерли в неподвижности, слушая тиканье часов, как волшебную музыку, а Соня по-прежнему спал.

Алиса взяла блюдо (это был королевский подарок, и к тому же она любила посмотреться в зеркало!) и направилась к воротам. Выходя, она обернулась.

— Теперь тут всё стало наоборот, — подумала она. — Часы пошли, зато Шляпник и Заяц застыли как вкопанные!

Знакомой тропинкой Алиса пошла через поле и скоро увидела, что впереди на тропинке кто-то сидит.

— Это зверь или птица? — спросила себя Алиса. — Кажется, похоже и на то и на другое...

Подойдя ближе, она поняла, что это Грифон: голова и крылья у него были орлиные, а туловище — как у льва. Алиса хотела поздороваться с Грифоном, но он заговорил первым.

— Она ушла, — сообщил Грифон печальным голосом.

— Кто? — не поняла Алиса.

— Будто, — ответил Грифон.

— Будто ушла? — совсем запуталась Алиса. — А на самом деле не ушла? Но о ком это вы?

Она проследила за взглядом Грифона и увидела, что впереди по тропинке ползёт большая черепаха с телячьей головой и копытами. Черепаха уползала всё дальше и дальше.

— Так это Черепаха Будто! — догадалась Алиса*. — Вы с ней поссорились?

— Что ты! — горячо запротестовал Грифон. — Мы никогда не ссоримся!

— Так почему же она ушла? — удивилась Алиса.

— Не знаю, — сокрушенно ответил Грифон. — Я заснул на солнышке, а она ушла!

— Она, наверное, думает, что вы её догоните, — предположила Алиса. — Она ползёт медленно, а вы ведь бегаете быстро?

— Очень быстро! — глотая слёзы, подтвердил Грифон. — Но догнать её я всё равно не смогу...

— Почему? — удивилась Алиса.

— Пока я добегу до того места, где она сейчас находится, она уползёт ещё дальше! — воскликнул Грифон.

— Бегите и вы дальше! — посоветовала Алиса.

— Но пока я добегу до её нового положения, она опять отползёт, — возразил Грифон.

— Но раз вы бежите быстрее, чем она ползёт, в конце концов вы догоните её! — воскликнула Алиса.

— В том то и дело, что конца не будет, — горестно вздохнул Грифон, — каждый раз, когда я буду добегать до её нового положения, она будет отползать ещё дальше...

— Но расстояние между вами будет всё время уменьшаться! — сказала Алиса.

— Будет, — согласился Грифон. — Оно будет становиться всё меньше и меньше... но равным нулю оно не станет никогда! — и он разрыдался.

Эта душераздирающая сцена напомнила Алисе что-то очень знакомое, но тут она увидела, что по тропинке со стороны дома Мартовского Зайца бежит Белый Кролик. Скоро послышались и его причитания:

— Как я опаздываю! Боже мой, как я опаздываю! Пробегая мимо Алисы и Грифона, Белый Кролик на бегу бросил:

— На суде быть всем обязательно!

— На каком суде? — вдогонку ему крикнула Алиса, но Кролик не обернулся.

— Не волнуйся, на суд тебя приведут, — успокоил Грифон Алису.

— А за что меня будут судить? — встревожилась Алиса.

— Судить, наверное, будут не тебя, — отозвался Грифон и посмотрел в ту сторону, откуда прибежал Белый Кролик. Потом он повернул голову и увидел, что Белый Кролик догнал Черепаху Будто, перебросился с ней несколькими словами и побежал вперёд.

— Он догнал её! И перегнал! — вскричал Грифон. — Значит, это возможно!

Меньше чем за минуту он догнал Черепаху Будто и чинно пошёл с ней рядом.

— Они тут все немного странные, — подумала Алиса. — Но в чём же была ошибка Грифона?

Размышляя об этом, она пошла дальше, надеясь догнать Грифона и Черепаху Будто — она-то знала, что это возможно! Но догнать их Алисе не удалось: через несколько шагов она подошла к развилке и остановилась, чтобы прочитать, что написано на столбе. К столбу были прибиты две стрелки, но обе они указывали в одну сторону — не в ту, куда пошли Черепаха Будто и Грифон. На одной стрелке было написано «ХА-ХА», а на другой «АХ-АХ».

— Грифона и Черепаху Будто я ещё встречу на суде, — подумала Алиса, — а вот кто такие Ха-Ха и Ах-Ах, не мешало бы узнать!

И она пошла по тропинке, на которую указывали стрелки.