Алиса в стране математики

НАСТОЯЩЕЕ И ВООБРАЖАЕМОЕ

Слова мистера Доджсона о математике не шли из головы у Алисы. На следующий день она попросила у Лорины её учебник математики и удобно устроилась на диване вместе с учебником и кошкой Диной.

— Сейчас мы посмотрим, что это за выдумка без обмана! — сказала Алиса и раскрыла книгу.

Увы — эта книга оказалась не похожей на книгу сказок!

Она вообще не была похожа ни на одну из книг, которые Алиса читала до сих пор.

— Что толку в книге, если буквы в ней не всегда складываются в слова? — удивлённо думала Алиса. — Всё это действительно похоже на выдумку... Но о чём же эта выдумка? Я вижу здесь только числа и фигуры... Впрочем нет, тут есть и портреты! Какие красивые имена: Пифагор, Евклид, Архимед... Здесь написано, что это великие математики... Значит, они и придумали всю эту историю о числах и фигурах? Но как можно проверить, что в этой выдумке нет обмана? Этого я себе даже не представляю!

Алиса посмотрела на Дину и увидела, что та уставилась в книгу немигающими глазами.

— Кажется, ты тоже не всё тут понимаешь, — сказала Алиса. — Однако тут есть и слова... попробуем их прочитать...

Первыми ей попались на глаза слова «параллельные прямые». Слово «параллельные» Алиса прочла только со второй попытки (такое слово стоило запомнить, чтобы при случае удивить им кого-нибудь в разговоре), зато слово «прямые» было совсем простым и понятным! И к тому же Алиса увидела рисунок, под которым была подпись: «параллельные прямые».

— Это же просто линии, похожие на рельсы! — воскликнула Алиса. — Но зачем для таких простых вещей нужны такие непростые слова?

Она стала читать дальше и обнаружила, что простое слово «прямая» не такое уж простое: оказывается, так называется бесконечная прямая линия, то есть прямая линия, у которой нет концов!

Алиса честно попыталась представить себе такую линию: сначала она представила просто длинную прямую линию, потом очень длинную линию, потом очень-очень длинную линию... Концы линии уходили всё дальше и дальше, но они оставались!

Алиса закрыла глаза и представила, что прямая линия пронизывает стены комнаты, выходит за пределы Оксфорда, всей Англии, уходит к звёздам и простирается в обе стороны всё дальше и дальше... дальше самых далёких звёзд... и ещё дальше... У Алисы даже голова закружилась.

— Вот это выдумка! — признала Алиса. — Такой выдумки я не встречала ни в одной сказке...

Ей представилось, что она идёт по прямой дороге, у которой нет конца... идёт, идёт и идёт...

И вдруг её обогнал Белый Кролик — тот самый Белый Кролик, из той самой Страны Чудес, о которой вчера рассказывал мистер Доджсон. На бегу Кролик то и дело вытаскивал часы из жилетного кармана и причитал:

— Боже мой! Боже мой! Как я опаздываю!

— По этой дороге вы никуда не дойдете! — хотела крикнуть ему вслед Алиса и проснулась.

— Когда же я заснула? — удивилась она и вздохнула. — Бедный Кролик! Теперь его никто уже не остановит, и ему придётся бежать вечно...

Стряхнув сон, Алиса захотела посмотреть рисунки — к счастью, их в книге было много. Однако почти все рисунки оказались какими-то безжизненными: прямые линии да кружочки!

— Почему так мало портретов? — удивлялась Алиса, листая учебник. — Неужели это всё математики? Как же они тогда смогли придумать столько книг по математике — целый шкаф? Наверное, дело в другом, — догадалась она, — просто художник только учился рисовать, и ему ещё не разрешали часто рисовать людей!

Алиса вспомнила, что когда она сама училась рисовать, ей тоже задавали сначала рисовать прямые линии и кружочки. Зато потом оказалось, что с их помощью можно нарисовать очень многое! И Алиса решила, что сейчас как раз подходящий случай применить свои знания. Она взяла карандаш и в одном из кружков нарисовала два глаза, нос и рот — страница сразу ожила:

— Вот и стало одним портретом больше! — обрадовалась Алиса. — Только чей же это портрет?

И тут она увидела, что квадрат, нарисованный на той же странице, тихо соскользнул со своего места, подхватил с соседних рисунков чёрточку и два маленьких кружочка и направился к новому портрету — через секунду на Алису уже смотрел человек в шляпе-цилиндре:

— Ты отгадала загадку? — спросил он после некоторого молчания. — Что общего у ворона с конторкой?

— Это Шляпник из Страны Чудес! — догадалась Алиса и начала вежливо объяснять ему, что он перепутал её с другой Алисой — той, что была в Стране Чудес. Но Шляпник молча смотрел на Алису широко раскрытыми глазами, и было непонятно: слышит он её или нет, а если слышит, то понимает ли?

— До свидания, — сказала Алиса Шляпнику, перевернула страницу и вздрогнула: прямо со страницы на неё в упор смотрел огромный глаз!

Под рисунком было написано, что это — окружность, а точка в самой середине — «центр окружности». Чтобы нарисовать окружность, прочитала Алиса, надо поставить одну ножку циркуля в центр окружности, и тогда вторая ножка как раз обежит окружность.

«Взгляд окружности» словно пронизывал Алису, и ей пришла в голову удивительная мысль:

— Может, это не точка, а прямая, которая идет оттуда сюда или... или отсюда туда?

Вдруг Алиса заметила, что бумага внутри окружности стала темнеть, и там начали зажигаться звёзды, как на ночном небе. Алиса подалась вперёд: в голове у неё пронеслось, что такого она ещё никогда не видела!

То ли окружность выросла, то ли Алиса уменьшилась, но в следующее мгновение Алиса оказалась внутри окружности — она стояла на светящейся туго натянутой струне, которая уходила в звёздное небо. Сгорая от любопытства, Алиса побежала по струне.

Пробежав несколько шагов, она остановилась и осмотрелась: со всех сторон её окружало звёздное небо — звёзды были даже внизу! Алиса испугалась, что упадёт, но тут же успокоила себя:

— Даже если я упаду, то не разобьюсь — здесь просто не обо что удариться!

Обернувшись назад, Алиса увидела, что струна, на которой она стоит, выходит из центра большой светящейся окружности.

— Значит, то была действительно не точка, а прямая! — воскликнула Алиса. — И теперь я смогу сама проверить — есть концы у прямой или нет!

Она проследила взглядом вдоль струны в обе стороны — концов струны не было видно.

— Но это ещё не значит, что концов нет, — рассудила Алиса. — Может, они просто очень далеко отсюда?

И Алиса побежала по струне дальше. Бежать было на удивление легко: казалось, ноги её вот-вот оторвутся от струны, и она полетит.

— Да я уже лечу! — поняла вдруг Алиса.

И действительно, обернувшись, она увидела, что светящаяся окружность стремительно удаляется, становясь всё меньше и меньше — через несколько минут она стала такой маленькой, что Алиса совсем перестала её различать.

— Как же теперь узнать, лечу я или не лечу? — забеспокоилась Алиса: взгляд её скользил по струне, и ему не за что было зацепиться!

Алиса с надеждой посмотрела на звёзды, но они были так далеки, что по ним никак нельзя было определить, движется она или нет. К тому же, оглядываясь, она повернулась несколько раз кругом, и поэтому теперь не знала даже, откуда и куда она летела!

— Никогда ещё я не попадала в такое глупое положение! — огорчилась Алиса. — Заблудиться на одной-единственной струне — я бы ни за что не поверила, что такое возможно!

Она посмотрела на безумно далёкие звёзды, и ей стало так жалко себя, что слёзы брызнули у неё из глаз.

— Как бы я хотела, чтобы рядом со мной появился хоть кто-нибудь! — подумала Алиса.

И тут же рядом с ней кто-то появился.

Смахнув слёзы, Алиса увидела огромного кота — причём не целого кота, а только одну голову! Голова улыбалась во весь рот, и при этом было видно очень много зубов.

— Я подойду в качестве «кого-нибудь»? — осведомилась голова.

Алиса кивнула (говорить она не могла!), и кот, не торопясь, стал появляться дальше.

— Это Чеширский Кот из Страны Чудес! — мелькнуло в голове у Алисы. — Так появляться умеет только он!

— Ты угадала, — потягиваясь, произнёс Кот: он уже появился полностью и оказался ростом как раз с Алису.

Для начала беседы Алиса решила задать вопрос, довольно важный для нее:

— Скажите, пожалуйста, куда я попала? Это Страна Чудес?

— Смотря что ты называешь чудесами, — отозвался Кот.

— Чудеса — это то, чего не бывает на самом деле, — сказала Алиса, удивляясь, что Кот не знает таких простых вещей.

— А где же тогда это бывает? — поинтересовался Кот.

— Это бывает только в нашем воображении, — подумав, ответила Алиса.

— В воображении? — переспросил Кот. — Тогда считай, что ты действительно попала в Страну Чудес, потому что всё здесь — одна сплошная выдумка! Правда, довольно большая...

И тут Алису осенила внезапная догадка.

— Эта выдумка — без обмана? — быстро спросила она. В ответ Кот обиженно пожал плечами.

— Значит, я попала в Страну Математики! — воскликнула Алиса.

— Ты опять угадала! — ответил Кот.

— А что-нибудь настоящее тут есть? — поинтересовалась Алиса. — Или всё только воображаемое?

— Разве ты умеешь отделять одно от другого? — удивился Кот.

Алиса внимательно посмотрела на Кота, пытаясь понять: шутит он или говорит серьёзно. Но понять это было довольно трудно, потому что Кот улыбался всё время.

И Алиса продолжила разговор.

— Настоящее можно увидеть, а воображаемое — нельзя, — сказала она.

— Увидеть? — задумчиво повторил Кот. — А ты когда-нибудь видела линию горизонта?

— Много раз, — с готовностью ответила Алиса. — Особенно хорошо эта линия видна на море...

— Значит, по-твоему, линия горизонта — настоящая? — спросил Кот.

— Я этого не говорила, — возразила Алиса.

— Как? — удивился Кот. — Ты же сказала, что видела линию горизонта, и что увидеть можно только настоящее!

Вопросы Кота становились всё труднее!

— Жаль, что здесь нет глобуса или хотя бы мяча, — сказала Алиса. — Я бы показала вам, что такое линия горизонта, и вы бы тогда поняли...

— Лови! — крикнул Кот, бросая Алисе неизвестно откуда взявшийся голубой мяч.

Она поймала мяч и стала объяснять дальше.

— Представьте, что это земной шар, и здесь находится корабль, — прикоснулась Алиса к мячу. — И пусть этот корабль уплывает от нас... — Она повела пальцем по поверхности мяча. — Видите: когда корабль уплывает далеко, он как бы прячется за Землю! Это и означает, что корабль уходит за линию горизонта... Так что, как видите, линия горизонта — это воображаемая линия...

— Вижу? — перебил Кот. — Но ты же говорила, что воображаемое увидеть нельзя!

— Получается, что можно, — признала Алиса.

— То-то же, — сказал Кот. — Настоящее и воображаемое так переплетены друг с другом, что в одном без другого просто не разберёшься! А вот скажи: у мяча линия горизонта — настоящая или воображаемая?

— Но разве у мяча есть линия горизонта? — удивилась Алиса и вдруг заметила, что на голубом мяче начали проступать жёлто-зелёные пятна со знакомыми очертаниями: она держала в руках уже не мяч, а глобус!

Алиса держала глобус, касаясь Северного и Южного полюсов, и в следующее мгновение ощутила жгучий холод: глобус превратился в маленький земной шар! Она отдернула руки, и земной шар медленно поплыл в пространстве.

Когда Алиса пришла в себя от удивления, земной шар был уже далеко.

— Земля и мяч действительно очень похожи друг на друга, — сказала Алиса, провожая взглядом уплывающий мяч-глобус-земной шар.

— Они не просто похожи, — отозвался Кот. — Они подобны друг другу!

— Что это значит? — не поняла Алиса.

— Это значит, что у них одинаковая форма, — ответил Кот.

— А что такое форма? — задала Алиса новый вопрос (она была довольна, что теперь, наконец, спрашивает она!).

— Сейчас ты поймёшь это на собственном примере, — сказал Кот и стал так быстро увеличиваться, что Алиса испугалась.

— Ты стала сейчас в десять раз меньше, — к её удивлению сказал Кот, — но форма твоя осталась прежней.

— По-моему, я осталась такой же, какой была, — возразила Алиса, оправившись от испуга. — А вот вы стали в десять раз больше!

— Нет, — стоял на своем Кот. — Это ты стала меньше! Впрочем, — посмотрел он по сторонам, — здесь мы всё равно не сможем разрешить наш спор.

— Конечно, — согласилась Алиса, тоже посмотрев вокруг. — Ведь здесь мы можем сравнивать себя только друг с другом!

И Кот сразу же уменьшился до размеров Алисы. (Или Алиса увеличилась до размеров Кота? Это осталось загадкой!).

— Кажется, я поняла, что такое форма, — сказала Алиса. — Это то, что сохраняется, когда меняются только размеры!

— Правильно, — подтвердил Кот. — Так вот, скажи: форма — это что-то настоящее или воображаемое?

— Наверное, воображаемое, — ответила Алиса. — Хотя все настоящие предметы обязательно имеют какую-то форму, но ведь самой по себе формы без предмета не существует!

— В том-то и дело, — отозвался Кот. — А ты говорила, что настоящее так просто отделить от воображаемого!

— Теперь я вижу, что это действительно не так просто, — согласилась Алиса.

Она хотела обдумать это получше, но Кот спросил:

— А как ты думаешь: числа — настоящие или воображаемые?

— С помощью чисел считают настоящие предметы, — начала размышлять вслух Алиса, — числа можно увидеть...

— Ты когда-нибудь видела хотя бы одно число? — удивился Кот.

— Я видела много разных чисел! — воскликнула Алиса. — Если бы здесь были карандаш и бумага...

Кот протянул Алисе большой белый лист бумаги и карандаш, и она нарисовала большую красивую пятерку.

— Вот число «пять», — сказала Алиса.

— Я вижу только цифру «пять», — возразил Кот.

— Но разве цифра — это не число? — удивилась Алиса.

— Конечно, нет! — воскликнул Кот. — С помощью цифр только записывают числа, да и то в разные времена разные народы делали это по-разному. Древние египтяне, например, записывали число «пять» так, Кот нарисовал пять палочек:

— А у древних римлян, — продолжал Кот, — для числа «пять» был такой знак:

— Действительно, числа и цифры — это не одно и то же, — признала Алиса, глядя на разные записи числа «пять». — И всё-таки мне трудно поверить, что числа — только воображаемые... Например, пять девочек можно не только вообразить — они могут быть и на самом деле! У меня как раз пять подружек...

— Они приходят к тебе в гости? — поинтересовался Кот.

— Как раз позавчера они приходили на чай, — сказала Алиса.

— И перед каждой из них поставили одну чашку? — спросил Кот.

— Конечно! — удивилась Алиса такому странному вопросу.

— Тогда скажи, — продолжал Кот, — было ли что-нибудь общее у девочек и чашек?

Алиса закрыла глаза и представила стол, за которым сидят пять ее подружек, и перед каждой из них стоит чашка чая — чашек, конечно, тоже было пять...

— Тоже пять! — осенило Алису, и она радостно воскликнула: — Девочек и чашек одинаковое число!

— Правильно! — обрадовался Кот не меньше Алисы. — Число — это и есть то общее, что есть у пяти девочек, пяти чашек, пяти пальцев и даже пяти чувств! Вот и скажи теперь: число — это настоящее или воображаемое?

— Наверное, тоже воображаемое, — признала Алиса. — Но отделить число девочек от самих девочек довольно трудно...

— Трудно, — согласился Кот, — но можно! Как видишь, для того, чтобы по-настоящему разобраться в настоящем, надо иметь хорошее воображение!

Кот сделал знак лапой, и от Алисы к звёздам протянулся ряд светящихся цифр — ими были записаны числа, которые стояли по порядку: 1, 2, 3, 4, 5... Числа выстроились как раз вдоль светящейся струны и уходили вдаль, насколько хватал глаз. Алиса, как зачарованная, смотрела на светящийся ряд чисел: он был очень красив на фоне звёздного неба!

— Вот чудо, с которого начинается вся математика, — торжественно произнёс Кот. — Оно называется «натуральный ряд».

Алиса повернулась к Коту, но обнаружила, что от него осталась одна улыбка. Несколько секунд улыбка Кота ещё витала в пространстве и, наконец, исчезла совсем.

Алиса ступила на струну и пошла вдоль светящихся чисел.