Человек начал думать с тех пор, как он стал человеком (по-латыни он так и называется — homo sapiens, то есть «человек разумный»). Однако десятки тысяч лет человек думал, совершенно не задумываясь о том, как он думает. И делал из-за этого много ошибок.
Первыми задались вопросом «что такое рассуждение?» древние греки. Они сделали величайшее открытие: рассуждение — это способ получения новых знаний.
Помните прославленный «дедуктивный метод» Шерлока Холмса?
— Я могу распутать преступление, даже не выходя из своей комнаты, — говаривал знаменитый сыщик удивлённому доктору Ватсону и погружался в глубокое раздумье.
Это раздумье и есть способ получения новых знаний! Такие знания называются «умозаключения», то есть заключения (выводы), полученные с помощью ума (рассуждения)
Получать новые знания с помощью рассуждений можно не только распутывая преступления — мы занимаемся этим, решая любую задачу, когда ответ её нам неизвестен: ведь этот ответ и есть новое для нас знание!
Бо́льшая часть знаний, которыми обладает человечество, получены с помощью умозаключений — ведь и то, что люди узнали опытным путем, они тоже должны были осмыслить
Но откуда берётся уверенность, что рассуждение правильно? Всегда ли можно доверять новому знанию, полученному посредством умозаключений?
Размышляя над этими вопросами, древнегреческий учёный Аристотель открыл законы мышления — правила, пользуясь которыми можно делать правильные умозаключения. Наука о законах мышления называется логикой от греческого слова «логос», что означает «мысль». Логикой Аристотеля мы пользуемся до сих пор.
Науку о мышлении Аристотель создавал не на пустом месте — у него были великие предшественники. С некоторыми из них мы уже знакомы. Так, Фалес, первый математик в истории, высказал идею доказательства, а доказательство — это как раз и есть установление правильности рассуждения. Строгих доказательств от своих учеников требовал и учитель Аристотеля Платон, который, в свою очередь, был учеником Сократа. Сократ учил рассуждать не только в математике, но и в жизни, причем учил очень интересным методом: он задавал вопросы, которые будили мысль у его собеседника — этот замечательный метод так и называется «сократовским». Сам Сократ был настолько мудр, что учился у каждого, кто мог сообщить ему что-то для него новое.
Особенность математики состоит в том, что правильность новых знаний можно установить только с помощью рассуждений — их невозможно проверить на опыте!
Объясним это на примере. Возьмём линейку, начертим на бумаге несколько разных треугольников и вырежем их. А затем обрежем у них углы — вот так:
Приложим теперь эти углы друг к другу. Мы обнаружим, что у всех наших треугольников сумма углов одна и та же — она равна как раз развёрнутому углу:
Мы получили новое знание: «у некоторых треугольников сумма углов равна развернутому углу». Это знание получено опытным путём. Но поскольку мы брали разные треугольники, у нас возникает догадка: может быть, у всех треугольников сумма углов равна развёрнутому углу?
Мы испытываем нашу догадку на десяти, ста, тысяче треугольниках и с радостью обнаруживаем, что она подтверждается! Однако можно ли считать, что мы её доказали? Нет, нельзя — ведь в нашей догадке речь идёт о всех треугольниках, а их бесконечно много! Там же, где появляется бесконечность, опыт бессилен (это слова французского математика Пуанкаре).
Поэтому здесь требуется математическое доказательство: можно доказать, что сумма углов у всех треугольников равна развёрнутому углу, если... Вот это «если» и есть самое главное!
На что должно опираться математическое доказательство? Прежде всего, конечно, на уже доказанные утверждения (как мы помним, они называются «теоремами»). Но, оказывается, при этом возникает новая бесконечность, очень похожая на бесконечную цепочку вопросов «почему?» в беседе с четырёхлетним homo sapiens: вы отвечаете малышу на первый вопрос, но ваш ответ сразу же рождает у него второе «почему?», и ... новый ответ будет рождать новый вопрос без конца!
Учёные по своей любознательности почти не уступают четырёхлетним малышам, и поэтому они тоже столкнулись с бесконечной цепочкой вопросов и ответов — было это ещё в Древней Греции. И тогда стало ясно, что для того, чтобы можно было что-то доказать, какие-то утверждения придётся принять без доказательств, например: «через две точки проходит одна и только одна прямая». Такие утверждения греки назвали аксиомами, что в переводе с греческого означает «достойные почестей».
Главное требование к аксиомам состоит в том, чтобы они не противоречили друг другу (иначе получится так, как с «королевскими законами», которые придумывала Королева Червей). Непротиворечивость аксиом далеко не всегда очевидна: даже очень «правдоподобные» аксиомы могут противоречить друг другу! Вот известный шуточный пример. Возьмём три «аксиомы»:
1. Чем больше учишь, тем больше знаешь.
2. Чем больше знаешь, тем больше забываешь.
3. Чем больше забываешь, тем меньше знаешь.
Каждая из этих «аксиом» по отдельности не вызывает сомнений. Однако из трёх «аксиом» вместе следует вывод: «Чем больше учишь, тем меньше знаешь»! С этим странным выводом можно было бы и согласиться, но он противоречит первой «аксиоме»! А из второй и третьей «аксиом» следует вывод, который вообще противоречит сам себе: «Чем больше знаешь, тем меньше знаешь»! Так что волей-неволей приходится признать, что эти правдоподобные «аксиомы» противоречат друг другу.
Но даже непротиворечивых аксиом для доказательств теорем недостаточно. Надо ещё, чтобы тот, кто доказывает, и тот, кто его слушает, правильно понимали друг друга — ведь недоразумение может возникнуть просто из-за того, что они по-разному понимают значение одного и того же слова (помните спор Шляпника с Королевой о том, что такое «шляпа»?). Чтобы таких недоразумений не возникало, математики пользуются определениями. Если теорема отвечает на вопрос «почему?», то определение отвечает на вопрос «что такое?». Например:
— Что такое квадрат?
— Это прямоугольник, у которого все стороны равны.
Однако тут сразу же возникает новый вопрос:
— А что такое прямоугольник?
И уже можно догадаться, что нас снова подстерегает бесконечность, только на этот раз не вопросов «почему?», а вопросов «что такое?». Поэтому некоторые понятия математикам пришлось принять за основные, то есть отказаться от попыток определить их. Например, основными понятиями являются «точка» и «прямая».
Когда есть основные понятия, аксиомы и правила логики, можно, наконец, доказывать теоремы! Теоремы — это и есть новые знания математиков: доказательством теорем математики занимаются со времён Фалеса до наших дней.
Через две тысячи лет после Аристотеля немецкий учёный Лейбниц задался целью создать универсальный язык науки, с помощью которого можно было бы записывать любые рассуждения в виде математических формул.
И тогда, надеялся Лейбниц, учёные перестанут, наконец, спорить до хрипоты — вместо этого они возьмут в руки карандаши и спокойно скажут друг другу: «Давайте вычислим истину». Лейбниц даже думал о машине, которая сама сможет доказывать теоремы!
Однако только через сто пятьдесят лет после того, как Лейбниц высказал свою идею, ирландский математик Буль создал тот язык, о котором мечтал Лейбниц. Буль построил «алгебру логики», в которой есть уравнения, похожие на уравнения «обычной» алгебры, только при решении логического уравнения ищется ответ не на вопрос «сколько?», а на вопрос «истинно или ложно?». И сегодня, пользуясь «алгеброй логики» (чаще её называют «булевой алгеброй»), электронно-вычислительные машины действительно начали доказывать теоремы! Правда, пока ещё с помощью математиков...
Уже в самом начале развития логики выяснилось, что кроме истины и лжи бывает еще и «чушь» — высказывания, которые вообще лишены смысла (например, потому, что они противоречат самим себе). Но иногда противоречие запрятано так глубоко, что его ищут многие годы. Одним из первые таких примеров был знаменитый «парадокс лжеца»: если кто-то говорит «я лгу», то его слова лишены смысла (помните «показания» Мартовского Зайца?). Очень интересный парадокс был предложен английским учёным Расселом в начале XX века: должен ли брить самого себя цирюльник, которому приказано брить тех и только тех, кто не бреется сам? (Помните похожий королевский закон о Шляпнике?).
Парадоксы всегда привлекали учёных, потому что разбор парадоксов позволяет лучше понять законы мышления и учит избегать ошибок. А кроме того, парадоксы неожиданны и интересны, и этого уже достаточно для того, чтобы с ними стоило познакомиться!
Кстати, «парадокс стоящих часов», которые показывают точное время чаще, чем идущие, принадлежит самому Льюису Кэрроллу, а точнее — Чарльзу Лютвиджу Доджсону, который занимался как раз математической логикой.