Большая Советская Энциклопедия (ДИ)

Дифференциальный бином

Дифференциа'льный бино'м, биномиальный дифференциал, выражение вида

x^m (а + bxⁿ)^pdx,

где а и b — постоянные, отличные от нуля, m, n и р — рациональные числа. Интеграл от Д. б.

выражается в конечном виде через элементарные функции лишь в трёх случаях: 1) если р — целое число; 2) если (m + 1)/n — целое число; 3) если [(m + 1)/n]+p — целое число. Эти три случая интегрируемости Д. б. были известны ещё Л. Эйлеру. П. Л. Чебышев в 1853 показал, что во всех остальных случаях интеграл от Д. б. в конечном виде через элементарные функции не выражается. Это один из первых случаев, когда вопрос об интегрируемости в конечном виде какого-либо достаточно общего класса аналитических выражений был решён до конца. Результат Чебышева может быть поставлен в ряд с классическими теоремами о невозможности алгебраического решения различных классов алгебраических уравнений и о неразрешимости при помощи циркуля и линейки задачи о квадратуре круга.