Большая Советская Энциклопедия (ВО)

Волновое уравнение

Волново'е уравне'ние, дифференциальное уравнение с частными производными, описывающее процесс распространения возмущений в некоторой среде. В случае малых возмущений и однородной изотропной среды В. у. имеет вид:

где х , у , z — пространственные переменные, t — время, u = u (х , у , z ) — искомая функция, характеризующая возмущение в точке (х , у , z ) в момент t , а — скорость распространения возмущения. В. у. является одним из основных уравнений математической физики и широко используется в приложениях. Если u зависит только от двух (одной) пространственных переменных, то В. у. упрощается и называется двумерным (одномерным). В. у. допускает решение в виде «расходящейся сферической волны»:

u = f (t - r /a )/r ,

где f — произвольная функция, a

Особый интерес представляет так называемое элементарное решение (элементарная волна):

u = δ (t - r /a )/r

(где δ — дельта-функция ), дающее процесс распространения возмущения, произведённого мгновенным точечным источником (действовавшим в начале координат при t = 0). Образно говоря, элементарная волна представляет собой «бесконечный всплеск» на окружности r = at , удаляющийся от начала координат со скоростью а с постепенным уменьшением интенсивности. При помощи наложения элементарных волн можно описать процесс распространения произвольного возмущения.

Малые колебания струны описываются одномерным В. у.:

Ж. Д'Аламбер предложил (1747) метод решения этого В. у. в виде наложения прямой и обратной волн: u = f (x - at ) + g (x + at ), а Л. Эйлер (1748) установил, что функции f и g определяются заданием так называемых начальных условий .

Лит.: Тихонов А. Н. и Самарский А. А., Уравнения математической физики, 3 изд., М., 1966.

П. И. Лизоркин.