Экономическая эволюция. Новый взгляд на мальтузианство, этнический отбор и теорию системной конкуренции

Приложение. Товары Гиффена и множественное равновесие

Если вы когда-либо проходили курс по основам экономики, то наверняка слышали о предметах роскоши и первой необходимости. Первые — товары, эластичность спроса по доходу которых превышает 1. Когда ваш годовой доход составляет 100000 юаней, вы тратите 2000 юаней в год на путешествия; когда ваш годовой доход составляет 200000 юаней, на то же самое вы тратите 10000 юаней в год. Темпы роста туристического спроса превышают темпы роста доходов, туризм становится продуктом роскоши. Продукты первой необходимости — те, эластичность спроса по доходу которых находится в диапазоне от 0 до 1. Когда ваш годовой доход составляет 100000 юаней, вы тратите 2000 юаней на рис, а когда годовой доход составляет 200000 юаней, его употребление обходится в 2200 юаней. Темпы роста спроса на рис не могут идти в ногу с темпами роста доходов, поэтому рис — продукт первой необходимости. Полезные продукты включают по большей части предметы роскоши, а эластичность спроса по доходу у них выше, чем у продуктов для выживания. Следовательно, когда случается прогресс в технологиях производства полезных продуктов и увеличивается доход на душу населения, спрос на полезные продукты также будет расти, а кривая безразличия станет более пологой, что, в свою очередь, приведет к дальнейшему увеличению равновесного дохода на душу населения.

Если учесть различную эластичность спроса на полезные продукты и продукты для выживания, то можно получить интересный результат. В традиционной мальтузианской модели, если такие бедствия, как землетрясения и цунами, уничтожат основную массу средств производства, население уменьшится, а доход на душу в итоге вернется к уровню, существовавшему до стихийного бедствия. Однако в двухсекторной модели, если продукты для выживания не становятся ни предметами роскоши, ни предметами первой необходимости, они оказываются низшего качества, и эластичность спроса по доходу у них будет меньше 0 (чем выше доход, тем меньше спрос), тогда, вероятно, может случиться так, как показано на рис. П.1, а: после того как средства производства оказываются уничтожены и граница производственных возможностей сужается, в стремлении выжить люди отказываются от праздной и роскошной жизни, затягивают пояса и экономят деньги на еду и одежду, чтобы пережить неблагоприятный период. Этот жесткий и простой метод позволяет избежать сокращения численности населения. Экономика переместилась из точки Е в точку Е’, опустившись не на левую, а на правую сторону линии баланса населения. В итоге популяция не уменьшилась, а увеличилась. В краткосрочной перспективе это кажется великой победой человека над природой, но в итоге долгосрочное равновесие замыкается в нижней точке Е’’ и не может вернуться в исходную Е. Читатели, знакомые с экономическими исследованиями, могут догадаться, что за этим стоит множественное равновесие. В таких условиях сокращение насущных продуктов как мера преодоления кризиса ввергнет экономику в долгосрочную ловушку бедности. Похоже на кейнсианство, но механизм иной. Можно доказать, что множественное равновесие возникает только в том случае, если продуктом для выживания становится продукт Гиффена (экстремальный и редкий «неполноценный продукт»; доказательство требует небольшого навыка, если вас интересует анализ множественного равновесия, можете перейти к следующему разделу).

^{Рис. П.1. Множественные равновесия}

Даже если возникает несколько равновесий, реальный переход экономики от одного равновесия к другому зависит от множества совпадений, которые в реальном мире довольно редки. Однако в XIX в. Ирландия, возможно, пережила скачок от низкого равновесия к высокому. Страна потеряла почти половину населения после Великого голода, но после этого численность населения не возобновила рост, а продолжала сокращаться, пока не достигла дна век спустя (во второй половине XX в.). Скорее всего, это связано с тем, что картофель был своего рода продуктом Гиффена. Как только люди перестали питаться только им, они пришли в состояние высокого равновесия. В сочетании с расцветом промышленной революции Ирландия наконец избавилась от кошмара, в котором структура производства была ориентирована на продукты для выживания. Так совпало, что в экономическом издании Journal of Political Economy вышла статья, в которой отмечается, что в Ирландии в первой половине XIX в. картофель был своего рода продуктом Гиффена [Davies, 1994]. Если это верно, то действительно возможно, что Ирландия пережила многократные скачки равновесия после Великого голода. И тогда это, вероятно, первый случай, когда концепция объектов Гиффена превзошла теоретический интерес, и ее значительное влияние обнаружилось в реальном мире[154].

Графическая модель, представленная в главе 2, видимо, предполагает, что при сохранении других условий неизменными, если структура производства (или социальная культура) больше ориентируется на полезные продукты, равновесное благосостояние экономики на душу населения будет выше. К сожалению, это утверждение неверно (и в книге это поясняется). Исключения существуют, но все они вызваны состоянием множественного равновесия. Следовательно, стоит нам обойти множественные равновесия, мы можем получить теорему, аналогичную приведенному выше идеальному утверждению.

Из этих двух теорем одна связана со структурой производства, а другая — с социальной культурой. В каждой из них по два утверждения. Первое (А) используется для анализа влияния технологии (или культуры), а второе (Б) — для сравнения между различными обществами. Все утверждения содержат условия, исключающие множественные равновесия. Условием утверждения А стало «положительное технологическое (или культурное) воздействие». Условие утверждения Б состоит в том, что «продукты для выживания не стали товарами Гиффена». Эти два условия не слишком строгие, поэтому теорема имеет хорошую применимость.

Теперь приступим к доказательству теоремы. Сначала я сформулирую шесть предположений, которых она требует. Из них предположение 1 — решающее, о противоречии между группой и индивидом, гарантирующем существование двух секторов. Предположения 2–6 призваны превратить модель в знакомую нам картину.

Вот эти предположения:

1. Предположение о конфликте интересов: функция полезности U(E) не является преобразованием функции темпа роста населения n(E).

2. Предположение о гомогенности: люди имеют одинаковые предпочтения.

3. Предположение о строгой монотонности: функция полезности U(E) и функция темпов роста населения n(E) строго увеличивают потребление E.

4. Предположение об эндаумент-экономике: представим эндаумент-экономику, где рабочая сила не становится фактором производства. Когда численность населения равна H, набор потребительских предпочтений индивида составляет 1/H от общего набора производственных возможностей. (До тех пор, пока есть гарантии, что границы производственных возможностей будут масштабироваться пропорционально численности населения, это предположение может быть смягчено.)

5. Предположение о сохранении предпочтений: если продукт полезный по отношению к другому в определенной точке потребления E, то первый будет полезным продуктом по отношению ко второму в любой точке потребления.

6. Предположение о вогнутости и непрерывности: функция полезности непрерывна, строго вогнута и непрерывно дифференцируема. Граница производственных возможностей непрерывна и строго вогнута, а производственная функция непрерывна и дифференцируема.

Доказательство

Возьмем двухсекторную мальтузианскую модель (см. главу 2): изолированная экономика, описываемая линией баланса численности населения, кластером кривых безразличия и кластером границ возможностей производства на душу населения.

Как показано на рис. П.2, проведем луч от начала системы координат до первого квадранта и запишем угол между этим лучом и горизонтальной осью как Точка пересечения луча и линии баланса населения определяется k и записывается как E(k).

^{Рис. П.2. Наклонные функции u(k) и p(k)}

Поскольку набор предпочтений полон, должна быть единственная кривая безразличия, проходящая через точку E(k). Обозначим абсолютное значение ее наклона в точке E(k) как u(k).

Должна существовать и уникальная граница производственных возможностей, проходящая через точку E(k). Обозначим абсолютное значение наклона границы производственных возможностей в точке E(k) как p(k). Поскольку граница производственных возможностей непрерывна и строго вогнута, производная p(k) меньше нуля: p'(k) < 0 — чем больше угол, тем меньше p(k).

Изобразим функции u(k) и p(k) в одной системе координат (рис. П.3, а). Тогда и только тогда, когда u(k) = p(k), экономика достигает равновесия. Поскольку u(0) < p(0), а u(π/2) > p(π/2), равновесие обеспечивается, пока u(k) непрерывно. Вдоль убывающей кривой p(k) могут возникнуть множественные состояния равновесия. Легко понять, что точка, где u(k) пересекает p(k) снизу, отражает устойчивое равновесие, а точка, где u(k) пересекает p(k) сверху, — неустойчивое. На рис. П.3, б показано неустойчивое равновесие E(k₁). Когда k₂ немного больше, чем k₁, u(k₂) на самом деле меньше, чем p(k₂). Очевидно, что, когда экономика находится в точке E(k₂), население должно сокращаться, а граница производства на душу — расширяться, только так можно восстановить равновесие. Следовательно, E(k₁) — неустойчивое равновесие.

^{Рис. П.3. Неустойчивое равновесие}

Если при u(k)/p(k), показанном на рисунке, есть только одно (стабильное) равновесие, то как теорема о структуре производства, так и теорема о «бесплатности» полезных продуктов, в форме А или Б, очевидно, верны. По мере того как структура производства становится все более ориентированной на полезность, граница производственных возможностей оказывается более крутой, p(k) увеличивается для каждого значения k, кривая p(k) смещается вверх. Как показано на рис. П.4, а, новое равновесие k₁ должно быть больше, чем старое k₀, и благосостояние на душу населения также будет выше. Когда культура общества становится более ориентированной на полезные продукты, кривая безразличия оказывается более пологой, а кривая u(k) смещается вниз. Как показано на рис. П.4, б, новое равновесие k₁ также должно быть больше, чем старое k₀, что соответствует более высокому благосостоянию на душу населения.

^{Рис. П.4. Доказательство теоремы}

Однако при наличии множественных равновесий может возникнуть ситуация (рис. П.5), когда новое равновесие меньше старого. Поэтому нам нужен теоретический «обходной путь», чтобы благополучно пройти этот уровень. Их у нас два.

^{Рис. П.5. Проблема, вызванная состоянием множественных равновесий}

Первый «обходной путь» ограничивает сценарии использования теоремы ситуациями технического прогресса. Чтобы структура производства, более ориентированная на полезные продукты, соответствовала более низкому равновесию, движение вверх p(k) должно сопровождаться крайним сокращением производства[155]. Если мы посмотрим только на технологический прогресс, а не на упадок, то сможем устранить эту аномалию (ирландский картофельный кризис — негативный технологический шок, поэтому нельзя исключать появление контрпримеров). Так мы получим теорему о структуре производства в форме А: пока экономика начинается с состояния устойчивого равновесия, положительное технологическое воздействие на полезные продукты (продукты для выживания) неизбежно будет увеличивать (уменьшать) равновесное благосостояние на душу населения.

Второй «обходной путь» идет по более строгим условиям, чтобы исключить возможность множественных равновесий. Обычно функция u(k) должна иметь наклон вверх. При таком раскладе она пересечет p(k) только один раз, что приведет к устойчивому равновесию. Предпосылка множественных равновесий состоит в том, что функция u(k) склоняется вниз. Еще одно доказательство состоит в том, что если функция u(k) склоняется вниз, то продукт для выживания оказывается товаром Гиффена. Следовательно, пока продукт для выживания не будет товаром Гиффена, u(k) не уйдет вниз и не будет многажды пересекаться с p(k), создавая множественные равновесия. В отсутствие множественных равновесий, как упоминалось ранее, теорема верна.

Доказательство теоремы о бесплатности полезных продуктов аналогично. Что и требовалось доказать.

Здесь мы при помощи простой алгебраической модели объясним три сравнительных статических результата для изолированной двухсекторной экономики. Типичный человек выбирает потребление продуктов для выживания x и потребление полезных продуктов y, чтобы максимизировать функцию полезности Кобба — Дугласа:

Свойство постоянной отдачи от масштаба этой функции придает значению полезности особый смысл: когда оба типа потребления удваиваются, значение полезности также увеличивается в том же размере.

Пусть функция производства продуктов для выживания будет а функция производства полезных продуктов

L_A и L_B — земля, используемая для производства продуктов для выживания A и полезных продуктов B соответственно, а их сумма равна L:

H_A и H_B — рабочая сила (население), используемая для производства продуктов для выживания A и полезных продуктов B соответственно, их сумма Н:

А и В — технологические уровни двух секторов соответственно.

Предположение 1:

Допустим, что γ_A = γ_B, рост и сокращение населения повлияют на оба сектора в равной пропорции[156]. В графической модели это соответствует инвариантному к форме масштабированию границы производственных возможностей по мере изменения численности населения. Из-за снижения заработка γ_A и γ_B становятся меньше 1.

Решая задачу максимизации полезности при ограничениях на землю и рабочую силу, мы можем получить:

Подставим эти два уравнения в U = x^1–βy^β:

Мы уже знаем, что A(H/L)^γ–1(1 — β) = x, поэтому

Эта экономика стремится к равновесию за счет корректировки численности населения. В такой изолированной экономике чистые темпы роста населения g_H равны естественному приросту населения n. Предположим, что естественный прирост зависит только от душевого потребления продуктов для выживания.

Предположение 2:

Именно уровень потребления продуктов для выживания на душу сохраняет численность населения неизменной, что соответствует пересечению вертикальной линии баланса численности населения на оси x. В статическом равновесии x = , поэтому мы можем сделать ряд выводов.

Равновесная полезность на душу населения возрастает со степенью ориентации структуры производства на полезные продукты (B/A), относительным предпочтением полезных продуктов (β) и потреблением продуктов для выживания на душу, необходимых для поддержания демографического баланса ().

Вывод 1 точно соответствует трем сравнительным статическим результатам, полученным с помощью проиллюстрированной модели. Предположим, что в этой изолированной экономике технология производства продуктов для выживания А растет со скоростью g_A, а технология производства продуктов для выживания В — со скоростью g_В; какова же будет скорость роста g благосостояния на душу населения U?

Чтобы решить эту задачу, сначала докажем следующую лемму.

Лемма 2

g_A — (1 — γ)g_H стремится к 0.

Доказательство

Известно, что изменения популяции подчиняются после нормализации предложения земли до 1

Подставив выражение для g_H, получим

Используем M для обозначения ln A + (γ — 1) ln H, тогда

Действие М подчиняется

Поскольку (γ — 1) δ < 0, M стабилизируется на M*:

а dM = g_A + (γ — 1) g_H будет стремиться к 0. Что и требовалось доказать.

Теорема 3

g_U стремится к β(g_B — g_A).

Доказательство

Во-первых, U необходимо выразить как функцию от A и B. Поскольку динамическое равновесие будет незначительно отклоняться от статического, нам нужно начать с вывода:

Проведем логарифмическую линеаризацию обеих частей уравнения и получим

Из леммы 2 мы знаем, что g_A — (1 — γ)g_H стремится к 0, поэтому g_U будет стремиться к β(g_B — g_A). Что и требовалось доказать.

Предположим, существует бесчисленное множество деревень (целый океан), все изначально имеют одинаковый технический уровень и численность населения и последнее находится в состоянии равновесия. Со временем технологии продуктов для выживания и полезных продуктов во всех деревнях A’ и B’ застопорились, за исключением одной — алмазной. Там технология выживания А*, как и в других деревнях, всегда стагнировала на A’, но ее технология полезных продуктов В* стремилась к росту со скоростью g. Когда B* > B’, алмазная деревня привлечет мигрантов.

Предположение 3: торговля между деревнями отсутствует, но миграция бесплатна.

Миграция с нулевыми препятствиями означает, что между деревнями, находящимися в динамическом равновесии, нет различий в уровнях полезных продуктов. Поскольку вокруг море поселений, влияние иммиграции на любую окружающую деревню незначительно, поэтому в ситуации равновесия U* = U’.

Из вышеупомянутой двухсекторной модели получаем

поэтому при динамическом миграционном равновесии с нулевыми препятствиями

В данной формуле x* = x’, это потребление продуктов для выживания на душу населения в алмазной и других деревнях. После приведения и логарифмирования уравнения мы можем получить

Определим уровень миграции в алмазную деревню как m. В состоянии равновесия ее население сбалансировано, а мигранты лишь восполняют естественную убыль: m + n = 0.

Поэтому m = —n = —δ(ln x* — ln). В других деревнях в состоянии равновесия x’ = . Определим относительную производительность полезных продуктов как Получаем связь между миграцией и структурой производства.

Теорема 4

Уровень миграции пропорционален разнице в относительной производительности полезных продуктов между регионами. Регионы со структурой производства, ориентированной на полезные продукты, будут привлекать мигрантов. Те распространяют технологии. Предположим, что они заменяют технический уровень принимающей территории, замещая население в равных пропорциях.

Предположение 4: со времени t до t + ∆t технология производства полезных продуктов в алмазной деревне обновилась следующим образом:

Разделим левую и правую части приведенного выше уравнения на A’ и логарифмируем. Имея предел последовательности при ∆t → 0, можем получить

Это дифференциальное уравнение имеет устойчивое равновесие.

Теорема 5

В долгосрочной перспективе, даже если технология производства полезных продуктов в алмазной деревне В* будет иметь потенциал роста со скоростью g, относительная производительность полезных продуктов в ней по-прежнему будет стремиться к

Потенциал роста g оказывает только горизонтальное воздействие на точку стабильности и не дает никакого эффекта роста.

Модель демографической воронки — это модель локального равновесия, которая сводит на нет влияние алмазной деревни на другие при приеме мигрантов. Здесь мы исследуем ее для двух регионов, включающую эффект общего равновесия, которые игнорируются в модели демографической воронки.

Предположим, есть два региона: деревня 1 и деревня 2. Их технологии производства продуктов для выживания А₁ и А₂ всегда одинаковы и растут с одинаковой скоростью g_А (это гарантирует, что население двух регионов всегда будет равным, что делает модель разрешимой без потери общности основных выводов). Их технологии производства полезных продуктов В₁ и В₂ дрейфуют случайным образом по следующей формуле:

В этой формуле g > 0 отражает естественное преимущество технологий производства полезных продуктов перед технологиями продуктов для выживания в двух регионах. Возмущающий член — это параметр броуновского движения z_i(i = 1,2), z₁ и z₂ независимы друг от друга, и Var(σdz_i) = σ²dt, ∀i = 1,2.

Эти два параметра броуновского движения — источник различий между регионами, приводящих к миграции в форме демографической воронки. По-прежнему определяя s_i ≡ ln(B_i/A_i), приведенное выше уравнение можно записать как

Это естественное изменение относительной производительности полезных продуктов s, замещение технологий путем межрегиональной миграции не учитывалось. И это естественное изменение связано с тем, что g > 0, очевидно, имеет тенденцию к бесконечному росту. Однако технологическая конкуренция, порождаемая миграцией, будет «тянуть вниз» рост s. Пока s₁ ≠ s₂, конкуренция вступит в силу. Выражение эффекта конкурентного отбора можно получить из аналогичного расчета модели демографической воронки в предыдущем разделе, так что истинная скорость изменения s_i становится

— индикаторная функция; когда s_i > s_j, она равна 1, иначе 0. Если s₁ > s₂, то относительное изобилие полезных продуктов в деревне 1 привлечет мигрантов из деревни 2, тем самым относительную производительность полезных товаров в деревне 1 s₁ «подтащит» к уровню, приближающемуся к s₂. Если s₁ < s₂, в деревне 1 будет относительно много продуктов для выживания, из деревни 1 в деревню 2 будут мигрировать только люди, миграция не повлияет на технологии деревни 1.

Поскольку мы игнорируем различия и изменения в социальной культуре β, уровень полезности продуктов полностью зависит от относительной производительности полезных продуктов s. Следовательно, необходимо изучить изменения в полезных продуктах всего мира, состоящего из этих двух регионов, достаточно будет обратить внимание на среднюю величину µ = 1/2(s₁ + s₂) и дисперсию квадратов ν = 1/2(s₁ — s₂)² s₁ и s₂[157].

Согласно лемме Ито, имеем

где z — параметр броуновского движения. Возьмем долгосрочное математическое ожидание с обеих сторон выражения dμ, чтобы получить

Определим Здесь S — эффект конкурентного отбора. Положительные и отрицательные стороны (g — S) — результат конкуренции между эффектом роста и эффектом конкурентного отбора. Если g > S, то рост подавит конкуренцию, иначе будет наоборот. Сейчас ключевой вопрос в том, насколько велик Сейчас мы найдем разгадку.

Определим λ ≡ βδ и назовем это фактором конкурентного отбора. По-прежнему при помощи леммы Ито получаем

Поскольку после принятия долгосрочного математического ожидания в правой части приведенного выше уравнения оно также должно быть равно 0:

Пусть тогда приведенную выше формулу можно записать так:

И эта общая формула удовлетворяет

Общее решение этой формулы:

Пусть x = 1,

Определим тогда f(1) можно записать как Поэтому

Заменим его на S ≡ βδE(ν) и получим

Исходя из этого, мы можем решить граничные условия, при которых конкуренция может подавить рост.

Теорема 6

В модели двух городов конкуренция подавляет рост тогда и только тогда, когда иначе рост подавит конкуренцию.