Пифагор и его школа

Раннегреческая математика и Восток

Собственно историю математики принято начинать с VI–V вв. до н. э., когда в Греции возник новый тип изысканий, составивший в дальнейшем суть математики как теоретической науки. Но у математической науки есть и предыстория — математика Древнего Востока, прежде всего Египта, Шумера и Вавилона. Восточная математика в отличие от греческой произошла из практической сферы и носила в целом эмпирический характер. В ней содержалось немало важных открытий и большое число ценных сведений, позволявших с успехом решать сложные задачи в строительстве, землемерии, составлении календаря, распределении и учете рабочей силы, продуктов и т. п. Правда, вавилоняне, развивая свою математику, дошли до таких вещей, которые едва ли вызывались сугубо практическими потребностями. В ходе своего обучения вавилонские писцы решали квадратные уравнения, которые, хотя и были сформулированы в численном виде и носили характер хозяйственных задач, явно выходили за пределы того, что было реально нужно на практике. Однако вавилонская математика (равно как и астрономия) оставалась вычислительной, а не теоретической: «В подавляющем большинстве случаев конечная цель исследования заключалась в составлении школьной задачи и указании способа ее решения»^{73}.

Коренное отличие греческой математики от восточной состоит в том, что в ней впервые появляется исследование математических проблем в общем виде и дедуктивное доказательство^{74}. Именно эти качества позволяют нам отделить математическую науку от занятий числами вообще, начало которых относится (к первым системам устного счета, т. е. действительно к доистории. Хотя это разделение (как и многие другие) в какой-то степени условно, оно тем не менее представляется важным и плодотворным. Называя греческую геометрию и восточные вычисления одним; и тем же словом «математика», мы должны помнить о том, что имеем в виду разные вещи — в противном случае критерий, отделяющий науку от «донауки», может быть утрачен.

Между тем исследования зачастую направляются именно на поиск истоков греческой науки на Востоке^{75}. Причина этого заключена не только в свидетельствах самих греков, но и в отсутствии источников, касающихся греческой практической математики VIII–VI вв. до н. э. — того фона, на котором возникли первые теоретические изыскания Фалеса и Пифагора. До нас не дошло ни хозяйственных текстов этой эпохи, ни учебных задач, которые в таком изобилии предоставляют египетские папирусы и вавилонские таблички, и об уровне практической математики можно судить лишь косвенно, по остаткам архитектурных памятников и строительных сооружений. Достижения Фалеса и Пифагора казались многим возникшими едва ли не на пустом месте — отсюда естественное стремление видеть в них результат заимствования. К этому добавлялась и неясность причин возникновения теоретической математики в Греции, и удивительная быстрота, с которой она сформировалась, — ведь от Фалеса до Евклида не прошло и трех веков!

Уже в середине XIX в. было принято считать, что греки восприняли начала математической науки в Египте. Эти взгляды были сформулированы окончательно в капитальном труде *. Кантора — главы немецкой школы истории математики: египтяне знали почти все теоремы, традиционно приписываемые Фалесу и Пифагору; различие между египетской и греческой математикой состояло лишь в методе: индуктивном — у первой и дедуктивном — у второй^{76}.

Однако рост сведений о египетской математике, в частности, издание знаменитого папируса Ринда, показавшего очень примитивный характер египетской геометрии, а также критика чрезмерных увлечений Востоком, которая прозвучала со стороны крупнейшего знатока античной мысли Э. Целлера^{77}, привели к гораздо более сдержанной оценке достижений египтян и их. влияния на математику греков.

Новое звучание эта проблема приобретает в 30-х гг. XX в., когда в результате дешифровки математических табличек вавилонян впервые появилась возможность непосредственно познакомиться с их результатами в этой области. Уровень вавилонской математики, гораздо более высокий, нежели египетской, и сходство некоторых ее проблем с математикой греков склонили многих ученых к убеждению, что истоки эллинской науки следует искать именно здесь. Эта точка зрения представлена и в переведенных у нас работах известных историков науки О. Нейгебауэра и Б. Л. ван дер Вардена^{78}.

Насколько подтверждены фактическим материалом эти гипотезы? Нам представляется, что тезис о прямой преемственности греческой науки от математики Востока должен быть ныне окончательно оставлен. Спорить можно лишь о степени использования некоторых данных, тем или иным путем дошедших до греков, и об их роли в становлении греческой науки. В раннегреческой науке действительно использовались отдельные сведения, пришедшие с Востока, но масштабы этих заимствований никак не следует преувеличивать, а их влияние на развитие собственно математических изысканий вообще едва различимо.

Почти все достоверные сведения о египетских заимствованиях относятся к практической математике, причем к арифметике, а не к геометрии. Например, в одном из текстов говорится о дробях типа 1/n и методе последовательного удвоения, которые прямо названы «египетскими»^{79}. Очевидно, что эти примитивные арифметические примеры заимствовали и применяли отнюдь не ученые люди, а скорее купцы или мореплаватели, куда более тесно связанные с Востоком, чем греческие мыслители. Хотя и таких примеров крайне мало, эта сторона культурных контактов представляется во всяком случае более плодотворной почвой для поиска заимствований, чем путешествия на Восток ученых. Даже в тех случаях, когда о них достоверно известно, возможность прямых «научных контактов» кажется очень маловероятной.

Языковой барьер был здесь едва ли не самым главным препятствием: чтобы разобраться в вавилонской или египетской математике, нужно было изучать чужой язык и сложнейшую письменность. На Востоке писцов, занимавшихся вычислениями, обучали долгие годы — мог ли грек освоить их за время недолгой поездки? Кроме того, общеизвестно упорное нежелание греков учить чужие языки и вникать в суть чужих учений^{80}. Оно ярко проявляется и в эпоху эллинизма, когда контакты греков с Востоком были гораздо интенсивней, чем раньше: недаром египетским, вавилонским или древнееврейским ученым и философам приходилось писать по-гречески, если они хотели быть доступными для греческой образованной публики. Чужой язык мог выучить человек, которому он был необходим для профессиональной деятельности: лекарь или наемник, служивший при дворе восточного царя, купец, часто бывавший в восточных странах, или греческий колонист, живший в Египте и вынужденный общаться с местным населением. Но даже в позднее время нам неизвестен ни один греческий автор, который бы знал египетский язык и письменность, причем это касается и тех, кто действительно побывал в этой стране и оставил о ней сочинения^{81}. При всем желании нельзя обнаружить ничего египетского в тринадцати книгах Евклида, а ведь он прожил в Александрии большую часть жизни. То же самое можно сказать и о других математиках III в. до н. э. — Архимеде, Эратосфене, Аполлонии из Перги, каждый из которых в принципе мог ознакомиться с математикой Востока.

Нет никаких сведений и о том, чтобы кто-нибудь из греческих ученых знал аккадский язык, на котором написаны математические тексты Вавилона. Отчетливые следы заимствования вавилонских вычислительных приемов и сведений видны лишь с середины II в. до н. э.^{82}, уже после того, как появились труды некоторых вавилонских астономов, написанные по-гречески. Фигура же греческого ученого, изучавшего в VI–V вв. до н. э. египетскую иероглифику или аккадскую клинопись в надежде проникнуть в тайны чужих знаний, остается лишь плодом научного воображения и не имеет отношения к реальным контактам между Востоком и Западом в ту эпоху.

Факт путешествия Фалеса в Египет бесспорен, но из него вовсе не следует вывод о его заимствованиях в области математики. Что нам известно о математике Фалеса? О двух теоремах, которыми он занимался, упоминает перипатетик Евдем Родосский, автор нескольких ценных трудов по истории греческой науки (фр. 134, 135). О двух других говорит Прокл, автор весьма поздний (V в.), но черпавший свои сведения из сочинения того же Евдема. Еще одну упоминает писательница I в. Памфила. Эту традицию нельзя отвергнуть как позднее изобретение: уже в V в. до н. э. было хорошо известно о занятиях Фалеса математикой, иначе бы Аристофан не стал называть его в своих комедиях великим геометром (Облака. 180; Птицы. 1009). По всей вероятности, Евдем узнал о теоремах Фалеса из сочинения софиста Гиппия Элидского (вторая половина V в. до н. э.), на которого он сам ссылается (фр. 133).

Согласно сведениям Евдема, Фалес доказывал, что диаметр делит круг пополам, а угол, опирающийся на диаметр, — прямой, утверждал, что углы при основании равнобедренного треугольника равны, открыл равенство углов, образующихся при пересечении двух прямых и, наконец, доказал теорему о равенстве треугольников по двум углам и стороне. Что из. этого можно соотнести с восточной математикой? — Ровным счетом ничего. Конечно же, Фалесу не нужно было ездить в Египет, чтобы убедиться в том, что диаметр делит круг пополам: этот элементарный факт интуитивно ясен любому ребенку, который делит на две части лепешку или круглый кусок сыра. В равенстве накрест лежащих углов легко удостовериться способом наложения, так же как и в равенстве углов в равнобедренном треугольнике. Отмечено, что теоремы, приписываемые Фалесу, «либо прямо связаны с проблемой симметрии, и доказываются взаимным наложением, либо такого рода, что первый шаг доказательства явно основан на соображении симметрии, а второй, который приводит доказательство к выводу, является простым сложением и вычитанием»^{83}.

Греки отнюдь не утруждали себя поисками материала для доказательства — они начали с таких вещей, которые до них никому и в голову не приходило доказывать. Как проницательно отмечал один из современных исследователей, «действительно оригинальной и революционизирующей идеей греческой геометрии было стремление найти доказательство «очевидных» математических фактов»^{84}. В этом собственно и заключался переход от практической и вычислительной математики к теоретической науке.

Четыре теоремы Фалеса, связанные с углами и треугольниками, никак не могут соотноситься с египетской математикой еще и потому, что египтяне никогда не занимались сравнением углов по величине и подобием треугольников. Ни у египтян, ни у вавилонян вообще не было понятия угла как измеряемой величины. В отличие от греческой геометрии, в которой углы впервые стали объектом измерения, их геометрия была «линейной»^{85}. (Известное деление круга на 360° появилось в вавилонской астрономии не ранее III в. до н. э.^{86}).

Признавая восточные вычисления первым этапом развития математики, а греческую дедуктивную геометрию — вторым, мы видим в них логическую связь, но следует ли из нее историческая преемственность? Ведь при этом из поля зрения выпадает греческая практическая математика, которая, хотя и не была столь развита, как вавилонская, несомненно включала в себя многие факты, служившие материалом для доказательств первых математиков. Характерно, что вся терминология греческой математики — местного происхождения (за исключением слова «пирамида»), причем многие термины пришли из практической сферы^{87}.Это в очередной раз ставит под сомнение реальность заимствований — они, как правило, оставляют свой след и в языке.

Математическая теория отнюдь не обязательно появляется на определенном этапе развития практической математики. Отсутствие теории во всех математиках древности, кроме греческой, показывает, что причины, приведшие к зарождению и последующему развитию с практических вычислений, не могут сами по себе вызвать стремление к дедуктивному доказательству. Если греки начали с доказательства положений, для практики явно бесполезных, значит, импульсы, приведшие к этому, шли из иных сфер общественной жизни.

Дедуктивное доказательство

В поисках истоков строгого логического доказательства, кроме самой математики, обычно называют еще две сферы общественной жизни, в которых оно могло зародиться: 1) философию, 2) политическое и судебное красноречие. Венгерский историк науки А. Сабо полагает, например, что математика VI — начала V в. до н. э. развивалась эмпирическим путем, а дедуктивное доказательство (в частности, доказательство от противного) и основанная на нем математическая теория стали возможны только после изысканий философов элейской школы — Парменида и Зенона (ок. 480–450 гг. до н. э.)^{88}.

На первый взгляд философия оказывается в более удачном положении, чем математика. Первыми дошедшими до нас образцами дедуктивного доказательства считаются фрагменты философской поэмы Парменида и сочинений его ученика Зенона. Парменид выдвигает свое основное положение: бытие есть, а небытия нет (28 В 2–4), из которого логическим образом выводит признаки бытия (неизменность, единство, вневременность и т. д.), и опровергает альтернативные варианты (возникновение бытия, его качественное разнообразие и т. д.). Зенон, опровергая возможность движения и множественности, регулярно прибегает к доказательству от противного (29 А 25, В 1–2). Парменид, вероятно, был первым философом, выдвигавшим свои идеи с опорой на логические доказательства, но изобрел ли он сам дедуктивный метод? Ведь этот метод мог быть воспринят им из математики, в которой он применялся еще со времен Фалеса.

А. Сабо утверждает, что Фалес «доказывал» свои ^теоремы эмпирическим путем, аппелируя к наглядности геометрических чертежей. Действительно, Фалес использовал метод наложения (от которого, кстати, не мог полностью избавиться и Евклид) и опирался на факты, истинность которых в ряде случаев наглядна. Но в том-то и дело, что Фалес этой наглядностью не удовлетворился, и его доказательства вовсе не сводились к ее демонстрации! Одно из них, сохранившееся у Аристотеля (Перв. Анал. 41 b 13–22), показывает нормальную процедуру логических рассуждений.

АВС — равнобедренный треугольник с вершиной в центре круга. Требуется доказать, что углы при его основании равны. *1 = *2, поскольку оба они являются углами полуокружности; АЗ=А4, поскольку два угла любого сегмента круга равны между собой. Отняв от равных углов 1 и 2 равные же углы 3 и 4, мы получим, что углы САВ и СВА равны между собой.

Заметим, что для наглядной демонстрации достаточно было просто перегнуть пополам папирусный чертеж, однако доказательство Фалеса пошло совсем другим путем.

О дедуктивном характере по крайней мере части математических выводов Фалеса свидетельствует и Евдем. В одном случае он говорит о доказательстве теоремы, в другом — что она была «найдена» Фалесом, в третьем, что тот не дал научного доказательства. У него же мы читаем: «Одному Фалес учил более абстрактным образом, а другому — более чувственным, наглядным» (фр. 133).

Взглянем теперь, каков был уровень математических изысканий в начале второй половины V в. до н. э. Известно, что Демокриту (род. ок. 470 г. до н. э.) принадлежала книга «Об иррациональных линиях и телах», следовательно, к этому времени иррациональность *2 была уже доказана. Выдающийся математик Гиппократ Хиосский (ок. 440 г. до н. э.) занимался популярной тогда проблемой удвоения куба. Ей должна была предшествовать соответствующая проблема в планиметрии — удвоение квадрата, тесно связанная с открытием несоизмеримых отрезков. Из фрагмента Гиппократа о квадратуре луночек — первого дошедшего до нас образца греческого математического текста (Евд. фр. 140) — можно заключить, что он знал немалую часть положений I–IV книг Евклида. (Напомним, что «Начала» Евклида — это собрание предшествующих ему достижений в математике, а не самостоятельное произведение). Ясно также, что они были доказаны еще до него, ибо строгость доказательств самого Гиппократа была оправдана только в том случае, если положения, на которые он опирался, имели ту же логическую форму и завершенность, что и его собственные. Гиппократу же Евдем приписывает первые «Начала», в которых известные на то время теоремы и проблемы были сведены воедино и выстроены в логической последовательности. Все это демонстрирует такую зрелость тогдашней математики, которую нельзя объяснить, полагая, что дедуктивный метод проник в нее из философии только в конце первой половины V в. до н. э.

Б. Л. ван дер Варден убедительно показал, что «Началам» Гиппократа предшествовал раннепифагорейский учебник математики, содержавший основу первых четырех книг Евклида^{89}. Опираясь на эту реконструкцию, подтверждаемую свидетельствами о близости Гиппократа к пифагорейцам (42 А 5), мы вплотную подходим к пифагорейской математике первой трети V в. до н. э., т. е. к тому источнику, откуда Парменид и Зенон могли почерпнуть идею дедуктивного доказательства. Согласно традиции (28 А 1), Парменид был близок к пифагорейской среде (он фигурирует и в каталоге Аристоксена), и у нас, таким образом, есть все основания присоединиться к словам Т. Гомперца: «Система Парменида обязана своей формой математике Пифагора»^{90}.

В истории науки можно найти множество примеров того, как одна научная отрасль заимствует методы, оказавшиеся успешными в других областях знания. Но никто не будет перенимать метод, если его первое применение не дало ощутимых результатов на материале той области, в которой он возник. Между тем дедуктивное доказательство в философии элеатов, да и вообще в философии, отнюдь не обладает той логической убедительностью и неопровержимостью, что и в математике^{91}. Ни Пармениду, ни Зенону не удалось, собственно, ничего доказать, они лишь пытались это сделать. Уже их младшие современники атомисты отвергают идею о том, что небытия (т. е. пустоты) нет — их космос состоит именно из пустоты и движущихся в ней атомов. Не имели успеха (да и не могли иметь) и попытки Зенона опровергнуть возможность движения и множественности, хотя поднятые им проблемы во многом стимулировали развитие философии. Влияние элеатов на последующих философов объясняется глубиной и смелостью их мысли, а не дедуктивным доказательством.

Разве не были восприняты некоторые идеи Гераклита, стиль рассуждений которого очень далек от доказательности? После сравнения весьма скромных успехов дедуктивного метода в философии с тем, что он дал математике, вопрос «у кого он был заимствован?» кажется риторическим.

Не более убедительна и гипотеза, связывающая зарождение дедуктивного доказательства с красноречием, будь то политическим или судебным. Дело даже не в том, что начало риторики принято относить ко второй трети V в. до н. э., а свое полное развитие она получила еще позднее, — в конце концов греки могли аргументированно доказывать свои взгляды и во времена Фалеса. Но там, где речь идет о жизненных интересах людей, логические аргументы не могут иметь решающей силы, — а именно с этой ситуацией мы сталкиваемся в народном собрании и в суде^{92}. В то время как греческая математика отталкивалась в своих доказательствах от вещей очевидных и всеми признававшихся истинными, для политической и судебной аргументации такой общей основы нет. Здесь мы имеем дело не только с фактами, но и с различием взглядов и ценностных ориентаций: то, что очевидно для аристократа, может быть совершенно неубедительным для сторонника демократии. Хорошо известно, что в Греции один и тот же человек часто писал убедительные речи и для истца, и для ответчика, а обвиняемые в тяжелых преступлениях приводили в суд жену и детей, больше надеясь смягчить судей их несчастным видом и плачем, чем своими аргументами. Трудно представить, что в этой атмосфере могло зародиться стремление строго следовать фактам и ни в чем не погрешать против логики.

Итак, можно быть уверенным: математика не заимствовала дедуктивное доказательство у философии или красноречия — оно зародилось в ней самой. В то же время дедуктивный метод в отличие от просто логических рассуждений нельзя считать чем-то внутренне присущим обращению с числами и фигурами: на Древнем Востоке (включая Индию и Китай) математика развивалась, без него. Что же заставило Фалеса искать ее именно дедуктивное доказательство очевидных фактов? Играли ли здесь роль чисто математические соображения или следует искать стимулы, внешние по отношению к математике?

На наш взгляд, наиболее убедительный ответ на эти вопросы дал А. И. Зайцев^{93}. Одно из центральных положений его концепции состоит в том, что в Греции в силу специфических исторических условий впервые в истории человечества получили общественное одобрение все формы творчества, все формы продуктивной духовной деятельности, в том числе и лишенные непосредственно-утилитарного значения·. Только в такой атмосфере Фалес, влиятельный и богатый человек, мог, не будучи профессионалом (какими были египетские и вавилонские писцы), взяться за доказательство того, что диаметр делит круг пополам. Более того, он не просто взялся, а приобрел на этом поприще общественное признание. Традиция сохранила его имя и донесла до нас суть тех теорем, которыми он занимался (одну из них до сих пор изучают в школе как теорему Фалеса). Значит, общественная и культурная обстановка того времени была такова, что широкую известность получали авторы даже таких открытий, которые не имели практической ценности, — тем самым создавались мощные стимулы для новых поисков в этой области.

Вторым важным фактором А. И. Зайцев считает особый тип соревновательности, присущий греческому обществу того времени, а именно такой, в котором главным признавалась победа, дававшая славу, а не связанные с ней материальные блага — их зачастую могли и не быть. Этот дух чистого соперничества зародился в греческой агонистике (спортивных состязаниях), а затем распространился и на сферы интеллектуального творчества — сначала на литературу, а вслед за ней на философию и науку, удесятеряя силы тех, кто стремился к истине.

Став на путь свободного, не стесненного узким практицизмом исследования, математики очень быстро убедились в том, что добиться общепризнанных и неопровержимых результатов на этом поприще можно, лишь применяя строго логическое доказательство. Эмпирический, вычислительный, метод (в пределах четырех действий арифметики), доступный грекам в то время, не обладал такой убедительной силой и не мог дать столь интересных результатов, следовательно, он был ненадежным средством в достижении успеха. Ведь сколько бы ни измерял Фалес углы при основании равнобедренного треугольника, всегда оставалась возможность возразить, что один из них больше или меньше другого. Иное дело — дедуктивное доказательство: любой скептик мог самостоятельно пройти по всем его этапам и убедиться в его. неопровержимости. История геометрии VI–V вв. до н. э. позволяет нам проследить последовательное вытеснение из нее приемов, опиравшихся в основном на чувственное восприятие, и решительную победу дедуктивного метода. Бесспорность достигнутых с его помощью выводов была настолько очевидна и притягательна, что вслед за математиками к нему обращаются и философы.

Причину «отрыва» греческой геометрий от ее эмпирической основы следует видеть именно в сочетании всех этих факторов, а не в. особых чертах греческого характера (рационализме, ясности, особой одаренности в математике), на которые так часто ссылаются. Высокий уровень вычислительных приемов вавилонян ясно показывает, что природа не обделила их математическими способностями — все дело в том, в каком направлении они использовались.

Математика Пифагора

Вернемся еще раз к вопросу о том, приписывались ли Пифагору научные открытия его учеников, — ведь, по общему мнению, это обстоятельство служит главным препятствием в реконструкции его математики. Допустим, что Ямвлих прав — в таком случае картина пифагоровой математики была бы следующей. 1) Число) открытий, приписываемых Пифагору, явно превышало бы возможности одного человека. 2) С его именем связывались бы открытия, сделанные уже после его смерти и выходящие за пределы доступных ему сведений. Известно, например, что «отцу медицины» Гиппократу Косскому приписываются сочинения, написанные в более позднее время. 3) Одни и те же открытия связывались бы и с Пифагором, и с некоторыми из его учеников. Именно так дело обстоит с «Послезаконием» — продолжением платоновских «Законов»: в разных источниках его автором называют то Платона, — то его ученика Филиппа Опунтского..

Соответствует ли реальности эта картина? Обратимся сначала к наиболее ранней части традиции — авторам IV в. до н. э.

1. В речи «Бусирис» Исократ утверждал, что Пифагор заимствовал свою философию у египтян, точнее, у египетских жрецов (Бус. 28). Это, разумеется, выдумка Исократа, но чрезвычайно интересно то, как описывалась им «жреческая философия». Она (помимо всего прочего) состояла в изучении геометрии, арифметики и астрономии (Бус. 23). Все это, конечно, не имеет отношения к деятельности жрецов, но хорошо согласуется с тем, что говорят другие источники о бытовании этих дисциплин в пифагорейской школе. Очевидно, что Исократ проецировал на жрецов то, что знал о пифагорейцах.

2. Ученик Платона Ксенократ свидетельствует об открытии Пифагором численного выражения гармонических интервалов (фр. 9). По, единодушному мнению более поздних источников, речь идет о первых трех интервалах: октаве (2:1), квинте (3:2) и кварте (4:3). Это открытие тесно связано с теорией пропорций, которая, скорее всего, предшествовала ему. Математическая теория музыки окончательно сформировала круг; родственных дисциплин, которыми занимались в пифагорейской школе: геометрия, арифметика, астрономия и гармоника — будущий квадривиум средневековья. Заслуга их объединения принадлежит Пифагору, связавшему музыку не только с математикой, но и с астрономией — в известном учении о небесной гармонии.

3. Во фрагменте книги Аристотеля о пифагорейцах, как мы помним, говорится: «Пифагор, сын Мнесарха, первоначально посвятил себя занятию математическими науками, в частности числами, но впоследствии не удержался и от чудотворства Ферекида» (14 А 7). Принадлежность этих слов Аристотелю неоднократно оспаривалась^{94}, но никаких убедительных аргументовприведено не было.

4. В другом месте Аристотель пишет: «Одновременно с этими философами (Левкиппом и Демокритом. — Л. Ж.) и раньше их так называемые пифагорейцы были первыми, кто, занявшись математическими науками, продвинул их вперед; воспитавшись на них, пифагорейцы стали считать их начала началами всех вещей» (Мет. 985 b 23). Кого имеет в виду Аристотель, говоря о математиках, живших до Левкипйа и Демокрита? В первой трети V в. до н. э. нам известен пифагорейский математик и философ Гиппас, но он считал началом всего погонь, а не число — об этом писал сам Аристотель (18 А 7). Следовательно, речь должна идти в первую очередь о самом Пифагоре^{95},хотя, вероятно, и не только о нем.

5. Аристоксен в сочинении «Об арифметике» утверждал, что «Пифагор ценил учение о числах больше, чем кто бы то ни было другой. Он продвинул его вперед, отведя от практических расчетов и уподобляя все вещи числам…» (фр. 23). Что подразумевал Аристоксен под «учением о числах»? В последующей части фрагмента говорится о четных и нечетных числах, причем приводится их типично пифагорейское определение. Можно поэтому полагать, что выше шла речь об учении о четных и нечетных числах, сохранившемся в IX книге Евклида. Это учение относится к самому древнему пласту пифагорейской математики^{96}, таким образом, его можно связывать’ непосредственно с Пифагором. По всей вероятности, ему же принадлежит и примыкающее к этой теории построение «фигурных» чисел с помощью гномона (о нем пойдет речь дальше).

6. Неоплатоник Прокл в комментарии к I книге Евклида приводит знаменитый «Каталог геометров», материал которого восходит в своих основных чертах к Евдему Родосскому. О Пифагоре здесь говорится следующее: «После них (Фалеса и Мамерка. — Л. Ж.) Пифагор преобразовал философию геометрии, сделав ее формой образования свободного человека, рассматривая ее начала абстрактным образом и исследуя теоремы с нематериальной, интеллектуальной точки зрения. Он же открыл теорию пропорций и конструкцию космических тел» (58 В 1).

Несмотря на многочисленные возражения, приводившиеся против признания аутентичности этого пассажа^{97}, большинство специалистов относит к Евдему по крайней мере, его первое предложение. Действительно, было бы очень странным, если бы Евдем, хорошо осведомленный о геометрии Фалеса, не мог узнать о Пифагоре хотя бы столько, сколько знали о нем Аристотель и Аристоксен!

Во втором предложении пассажа Пифагору приписывается теория пропорций и конструкция космических тел (т. е. пяти правильных многогранников). Хотя чтение «теория пропорций» является более принятым, оно опирается лишь на одну рукопись сочинения Прокла, в других же стоит «теория иррациональных величин» (расхождения в рукописях сводятся к двум буквам). Тем не менее первое чтение представляется предпочтительным по многим соображениям. Применительно ко времени Пифагора вообще нельзя говорить о «теории» иррациональных величин, но лишь об открытии иррациональности *2, о чем Евдем, как, впрочем, и Прокл, не мог не знать. Теория же пропорций тесно связана с акустическими исследованиями Пифагора и с его математическими открытиями: по-видимому, опираясь на нее, он доказал свою знаменитую теорему. О его знакомстве с этой теорией говорят и другие авторы. Если бы Пифагор открыл иррациональность *2 это безусловно нашло бы отражение в античной литературе. Между тем об этом не говорит больше ни один античный автор — все сведения так или иначе связаны с именем Гиппаса.

Сложнее дело обстоит с конструкцией: пяти правильных многогранников. Евдем не мог приписать Пифагору конструкцию всех пяти тел, так как в схолиях к Евклиду (XIII, 1) говорится, что первые три тела (тетраэдр, куб и додекаэдр) открыли пифагорейцы, а октаэдр и икосаэдр — Теэтет (рубеж V–IV вв. до н. э.). Эта информация, как сейчас уже общепринято, восходит к Евдему. Построение же додекаэдра связывается в традиции с Гиппасом (18 А 4). Из всего этого с определенной степенью вероятности можно заключить, что Пифагору принадлежит построение первых двух многогранников: тетраэдра и куба.

Версия о том, что Пифагор — автор всех пяти тел, встречается еще до Прокла, в доксографической традиции (44 А 15). Это немаловажно для нас, поскольку авторы историко-математических сочинений гораздо строже относились к фактам, чем доксографы, у которых можно найти множество произвольных интерпретаций. Так или иначе, ясно, что лишь некоторые поздние авторы связывают с Пифагором чужие открытия, а не ранние пифагорейцы — свои.

7. В этом перечне свидетельств необходимо привести и знаменитую эпиграмму Аполлодора-логистика о теореме Пифагора:

Впервые ее приводит Цицерон, а вслед за ним — Витрувий, Плутарх, Диоген Лаэрций, Порфирий и Прокл. Единодушие, с которым Пифагора называют автором этой теоремы, отсутствие иных претендентов, а также ее тесная связь с другими его открытиями, говорят в пользу достоверности слов Аполлодора. Автором эпиграммы, по всей вероятности, является философ IV в. до н. э. Аполлодор из Кизика^{98}.

То, что эпиграмма противоречит утвердившемуся впоследствии мнению о вегетарианстве Пифагора, служит свидетельством ее древности, а не наоборот. (Интересно, что Прокл — единственный, кто сомневался в авторстве Пифагора, — исходил скорее всего из того, что Пифагор не мог приносить в жертву животных). Согласно преобладавшему в IV в. до н. э. взгляду, пифагорейцы употребляли в пищу мясо жертвенных животных, воздерживаясь лишь от отдельных его частей.

8. Последнее заслуживающее внимания свидетельство: известный математик Герои Александрийский (I в.), а вслед за ним и Прокл приписывают Пифагору метод определения целочисленных значений длины сторон прямоугольного треугольника (Пифагоровы тройки). Известно, что оба они пользовались сочинением Евдема, к нему, вероятно, и восходит эта информация — иной источник здесь трудно предположить.

Итак, мы можем предварительно очертить круг тех конкретных математических проблем, к решению которых Пифагор, вероятнее всего, был причастен: теория пропорций, учений о четных и нечетных числах, теорема о соотношении сторон в прямоугольном треугольнике, метод определения Пифагоровых троек и построение; первых двух правильных многогранников. Этим перечнем, разумеется, все открытия Пифагора в математике не исчерпываются, его следует рассматривать лишь как фундамент для дальнейшей реконструкции.

Но прежде чем двигаться дальше, отметим, во-первых, непротиворечивость приведенных свидетельств и тесную взаимосвязь тех проблем, о которых они сообщают, и, во-вторых, соответствие всех этих открытий уровню греческой математики конца VI в. до н. э. Пифагору не приписывают ничего такого, что не могло бы ему принадлежать!

Но, может быть, эта тенденция проявилась в более поздний период, так что с течением времени его делали автором все новых и новых открытий? Однако и это не подтверждается известным нам материалом.

Поэт Каллимах (III в. до н. э.) упоминает об изучении треугольников и открытии. Пифагором какой-то «фигуры», в чем можно видеть намек на знаменитую теорему. Плутарх (I–II в.), приводя эпиграмму Апол-лодора, затрудняется решить, к чему именно она относится: к теореме Пифагора или к задаче на так называемое приложение площадей, которую он считает более важным открытием. Совершенно ясно, что Плутарх не располагал никакими сведениями, прямо называющими Пифагора автором этой задачи.

Неопифагореец Никомах из Герасы пишет о том, что Пифагору были известны арифметическая, геометрическая и гармоническая пропорции (Intr. II, 22) и три средних пропорциональных (Intr. II, 28). Ямвлцх к этому добавляет, что Пифагор знал еще одну пропорцию, «музыкальную». Наконец, он приписывает Пифагору открытие «дружественных» чисел, у которых сумма делителей одного равна другому, например, 220 и 284.

Вот, наверное, и все, что можно найти о математических открытиях Пифагора, остальные свидетельства мы уже приводили выше. Никто из упомянутых авторов не соединяет с его именем никаких грандиозных достижений. Собственно говоря, за пределы области, очерченной авторами IV в. до н. э., выходит лишь информация Ямвлиха о дружественных числах. Такое единодушие, пожалуй, достойно удивления, и его едва ли могут нарушить слова Прокла о пяти космических телах, особенно если учитывать, что он жил через тысячу лет после Пифагора.

Вернемся теперь к тому, о чем, уже говорилось выше: к тесной внутренней связи всех научных открытий Пифагора, которую можно считать дополнительным подтверждением достоверности собранных выше свидетельств.

Одним из важных связующих звеньев между арифметикой, геометрией и гармоникой была теория пропорций. Пифагору, безусловно, были известны три средние пропорциональные: арифметическое c = a+b/2, геометрическое — с = *ab и гармоническое — c = 2ab/a+b, а также «музыкальная» пропорция — a: a+b/2 = 2ab/a+b: b, непосредственно связанная с его акустическим экспериментом.

Интересное подтверждение принадлежности Пифагору теории пропорций нашел немецкий ученый; Г. Френкель^{99}. Он показал, что некоторые идеи Гераклита Эфесского выражены в форме геометрической пропорции. Например: бог/человек==человек/ребенок (22 В 79); бог/человек=человек/0безьяна (22 В 82–83); пьяный человек/ребенок = ребенок/трезвый чело-век (22 В 117). Поскольку до Пифагора пропорции были неизвестны, а сам Гераклит математикой не занимался, он, по всей вероятности, воспринял эту идею у пифагорейцев.

Арифметическую теорию пропорций, приложимую к соизмеримым величинам, Пифагор скорее всего использовал и при доказательстве своей знаменитой теоремы. Ход этого доказательства, согласно реконструкции крупнейшего исследователя античной математики Т. Хита^{100}, таков. Исходя из того, что в подобных треугольниках ABC, ABD и ACD стороны пропорциональны, получаем следующие равенства:

AB/ВС = BD/AB

следовательно, AВ² = ВС * BD;

AC/BC = DC/AC

следовательно, AC² = BC * DC.

Складывая их, мы получаем: АВ²⁺AC² = BC(BD+DC), или AB²+AC² = BC².

У Евклида (I, 47) приводится другое доказательство этой теоремы, принадлежащее ему самому.

Следующий раздел Пифагоровой математики — учение о четном и нечетном, положившее начало теории чисел. По мнению большинства историков греческой математики, оно сохранилось у Евклида почти в неизменном виде (IX, 21–34). Приведем в качестве примера первые пять положений этого учения (в сокращенных формулировках):

21) сумма четных чисел является четной;

22) сумма четного количества нечетных чисел четна;

23) сумма нечетного количества нечетных чисел нечетна;

24) четыре минус четное есть четное;

25) четное минус нечетное есть нечетное.

Доказательства этих положений опираются на определения VII книги Евклида и в строго логическом порядке следуют друг за другом. Хотя Евклид иногда представлял числа в виде отрезков (впрочем, это было скорее исключением, чем правилом), а пифагорейцы пользовались счетными камешками (псефами), суть дела от этого совершенно не меняется. Сохраненные Евклидом доказательства легко иллюстрируются при помощи псефов. Абсолютно неправдоподобно, чтобы Пифагор выдвигал предложения без доказательств (которые были добавлены кем-то позднее) — большинство положений этого учения очевидны любому, кто знаком с элементарными вычислениями. Аристотель и Аристоксен не могли ставить в заслугу Пифагору открытие, или «иллюстрацию», того, что сумма четных чисел всегда будет четной, но лишь доказательство этого и сходных с ним положений. Точно так же, как Фалес в геометрии, Пифагор начал в арифметике с простейших фактов, относительно которых ранее не ощущалось потребности в доказательстве.

Насколько быстро он продвинулся в разработке дедуктивного метода, показывает следующий факт: четыре предложения этого учения (IX, 30–31, 33–34) доказываются от противного. При этом они совершенно естественно следуют из доказываемых прямым образом, ничем не отличаясь от них по сложности. Так, например, для доказательства предложений 33 и 34 не требуется ничего, кроме 8 и 9 определений VII книги. Приведем одно из них: «Если число имеет нечетную половину, то оно будет только четно-нечетным» (т. е. таким, которое измеряется четным числом нечетное число раз — опр. 9).

«Пусть четное число А имеет нечетную половину; я утверждаю, что А будет только, четно-нечетным. Теперь, что оно будет четно-нечетным, очевидно, ибо его половина, будучи нечетной, измеряет его четное число раз (опр. 9). Вот я утверждаю, что и только. Действительно, если А будет и четно-четным, то, оно измерится четным по числу единиц в четном числе (опр. 8), так что и половина его измерится четным числом, будучи нечетной; это же нелепо. Значит, А будет только четно-нечетным, что и требовалось доказать» (IX, 33).

Было бы крайне странно полагать, что первоначальное прямое доказательство было заменено косвенным — греческая математика, систематически избегала таких операций. Словом, все говорит за то, что это учение дошло, до нас в своем, первоначальном виде. Отсюда следуют два важных «вывода: 1) наглядность математических фактов, и их дедуктивное доказательство вовсе, не находятся в непримиримом противоречии;

2) доказательство от противного родилось внутри математики, причем на самом раннем этапе ее развития, и лишь затем элеаты попытались применить его в философии.

Другой пример очень раннего применения косвенного доказательства — теорема о равенстве сторон треугольника, стягивающих равные углы (Евкл. I, 6), обратная доказанной Налесом теореме о равенстве углов в равнобедренном треугольнике. Она относится к реконструированному ван дер Верденом ранцепифагорейскому учебнику математики и была, вероятно, доказана либо в поколении Пифагора, либо в следующем за ним^{101}.

Своеобразным связующим звеном между геометрией и арифметикой была теория фигурных чисел, устанавливавшая взаимосвязь чисел с геометрическими фигурами. Хотя прямых свидетельств, относящих ее к Пифагору, нет, многое говорит в пользу его авторства.

Построение фигурных чисел (треугольных, квадратных, прямоугольных и т. д.) с помощью гномона (угольника) представляет собой суммирование простых арифметических рядов, например, четных и нечетных чисел:

1+3+5+.. +(2n–1)=n² — квадратное число;

2+4+6+.. +2n=n (n–1) — прямоугольное число.

По своему характеру оно принадлежит к тому же типу раннепифагорейской «псефической» арифметики, что и теория четных и нечетных чисел. В то же время это учение явно предшествует развитому в первой половине V в. до н. э. методу приложения площадей (II книга Евклида), в котором также присутствуют построения с помощью гномона. Наконец, принято считать, что метод определения Пифагоровых троек, который приписывают Пифагору, был найден им как раз при построении квадратных чисел.

Основные положения теории фигурных чисел не попали в собрание Евклида, они даются в популярней форме в книгах Никомаха, Тебнй Смирнского и Ямвлиха. Никомах не приводит в своей книге никаких доказательств, тем не менее очевидно, что они содержались в том материале, который он использовал и к которому практически ничего не добавил. Это следует хотя бы из предложений, совпадающих с Евклидом: у последнего доказательства есть, а у Никомаха они опущены, потому что он писал для публики, которая ими не интересовалась. Если Пифагор строго доказывал все элементарные положения о четных и нечетных числах, то и теорию фигурных чисел он должен был строить на той же дедуктивной основе. Вот, например, как могла доказываться одна из ее теорем, упоминаемая Ямвлихом^{102}.

Требуется доказать, что прямоугольное число — это удвоенное треугольное число. По определению, прямоугольное число — это сумма ряда четных чисел, начиная с 2, а треугольное число — это сумма ряда натуральных чисел, начиная с 1. Поскольку последовательный ряд четных чисел представляет собой удвоение ряда натуральных чисел, очевидно, что прямоугольное число, является удвоением треугольным числом.

Доказательство легко иллюстрируется при помощи псефов:

От построения треугольных, и квадратных чисел можно перейти к стереометрической задаче и попытаться построить тело, ограниченное равносторонними треугольниками и квадратами, — в таком случае получится тетраэдр и куб. При исследовании свойств квадратных чисел был вероятнее всего, найден и метод определения Пифагоровых троек — длин сторон прямоугольного треугольника. Его можно представить следующим образом. Прибавляя к квадрату гномон, мы получаем следующий квадрат, следовательно, нужно найти такой гномон, который сам был бы квадратным числом:

Пусть а и а₁ — стороны квадратов, гномон m²=2а+1; тогда:

a = m²-1/2 (1)

a₁ = a+1 = m²+1/2 (2)

Чтобы т² удовлетворяло (1) и (2) равенствам, т должно быть нечетным. Отсюда получаем:

m2+(m²-1/2)² = (m²+1/2)²

что отвечает теореме Пифагора. Другой метод определения сторон в прямоугольном треугольнике (начиная с четного числа) был предложен позже Архитом.

Выше мы уже цитировали Ямвлиха, приписывавшего Пифагору открытие дружественных чисел, каждое из которых равно сумме делителей другого, например, 220 и 284. Хотя в целом Ямвлих источник ненадежный, в данном случае у нас как будто нет оснований для сомнений. Сложнее дело обстоит с родственной задачей — совершенными числами, равными сумме собственных делителей:

1+2+3=6 или 1+2+4+7+14=28.

Совершенные числа рассматриваются у Никомаха, который даеъ общее правило их^; отыскания: если сумма членов геометрического ряда будет простым числом, то умножив ее на последний член ряда, — мы получим совершенное число (Intrj I, 16). Доказательство этого правила у Никомаха, как обычно; отсутствует, но оно есть у Евклида (IX, 36), причем непосредственно примыкает к учению о четном и нечетном (IX, 21–34). При некогором изменении оно может быть дано лишь с опорой на предложения 21–34^{103}. Если это доказательство действительно было первоначальным, его можно отнести к самому раннему этапу пифагорейской арифметики.

Рассматривая математические занятия Пифагора, нельзя не заметить в них преобладания арифметической части над геометрической. Едва ли это можно объяснить лишь состоянием наших источников. Так, например, Архит (47 В 4) считал арифметику более строгой, чем геометрия, — это должно указывать на развитость пифагорейской арифметики еще в первой половине V в. до н. э. Диоген Лаэрций со ссылкой на историка конца IV в. до н. э. Антиклида писал, что Пифагор уделял больше всего внимания арифметической стороне геометрии (Д. Л. VIII, 11). Упоминал об этом и Аристотель: «Пифагор занимался математическими дисциплинами, и в частности числами». Тем не менее, очень вероятно, что Пифагору принадлежит еще целый ряд теорем, относящихся к планиметрии первых четырех книг Евклида. Хотя свидетельств об этом не сохранилось, данный нами перечень открытий Пифагора в математике не следует, естественно, рассматривать. как исчерпывающий.

Вместе с тем нас не должна удивлять сравнительная немногочисленность его математических открытий. Греки часто писали о математически окрашенной философии Пифагора, но никогда не рассматривали, его как математика по преимуществу, и прежде всего потому, что он им не был. Среди самых разнообразных областей, в которых проявился его талант — политика, религия, философия и наука, — математика по самой сути вещей не могла занимать ведущее положение. Мы можем предполагать, что уже первые «профессиональные» математики — Гиппократ, Теэтет, Евдокс — занимались наукой систематически и с полной отдачей сил, в то время как для Пифагора не менее важными были его политическая деятельность и религиозно-этическое учение.

Однако, для того чтобы дать сбалансированную оценку роли Пифагора в развитии математики, необходимо рассматривать его в реальной исторической перспективе и сравнивать не с Архитом или Евдоксом, а с его предшественником Фалесом, для которого математика также не была основной сферой приложения интеллектуальных сил. При таком сравнении можно с полным основанием говорить о новом этапе греческой математики, начавшемся с Пифагора.

Основа математической науки — дедуктивный метод— был применен в ней впервые Фалесом, причем прилагался к фактам, истинность которых очевидна. Теорема Пифагора такой наглядностью не обладает и является, следовательно, важным шагом вперед. Неоднократно отмечавшуюся тенденцию раннегреческой математики перенести центр тяжести от наглядности геометрического построения на логическое доказательство следует связывать именно с Пифагором. Об этом в сущности писал уже Евдем, подчеркивая более абстрактный характер геометрии Пифагора по сравнению с Фалесом.

Хотя применительно ко времени Пифагора еще нельзя говорить о сколько-нибудь развитой теории в геометрии, потребность в ней уже явно ощущалась. Она выражалась в формулировании как первых основных аксиом геометрии (они были уже в пифагорейском математическом учебнике)^{104}, так и первых геометрических определений. Согласно традиции, Пифагор первым стал давать определения в математике (Д. Л. VIII, 48).

Если Фалес впервые занялся «угловой» геометрией в отличие от «линейной» геометрии египтян и вавилонян, то Пифагор сделал следующий шаг и положил начало стереометрии, построив правильный тетраэдр и куб.

Помимо геометрии, он распространил дедуктивный метод и на арифметику, создав в ней первые образцы теории чисел: учение о четном и нечетном и теорию фигурных чисел. С них начинается засвидетельствованное Аристоксеном отделение арифметики как отрасли теоретической науки от практического искусства счета. Здесь же, вероятно, было впервые применено доказательство от противного, хотя с таким же успехом оно могло возникнуть и в геометрии.

Упомянем, наконец, и о других заслугах Пифагора, которые по важности не уступают его собственным достижениям в математике. Пифагор был основателем славной школы математиков, более века, определявшей развитие этой науки в Греции. Мы имеем в виду не только Гиппаса, Феодора из Кирены или Архита, но и тех, кто воспринял от пифагорейцев основы этой науки: Демокрита, Гиппократа, Гиппия Элидского, Теэтета или Евдокса. За пределами этой группы фактически не остается почти никого из крупных математиков V — первой трети IV в. до н. э.

Причина столь значительных успехов лежит, конечно, не в приверженности математиков тому направлению пифагорейской мысли, которое считало число ключом к познанию мира. Хотя подобная идея неоднократно высказывалась, никто еще не смог объяснить, каким образом это убеждение могло помочь кому-нибудь именно в математических изысканиях в отличие, скажем, от приложения математики к исследованию природы. Во всяком случае, Гиппас, который считал началом всего не число, а огонь, добился в математике куда больших успехов, чем, например, Филолай, активно развивавший числовую философию (а вместе с ней и математическую мистику).

Расцвет точных наук в этой школе, помимо общих причин греческого культурного переворота, связан с тем, что уже во времена Пифагора в ней были объединены четыре родственные науки — арифметика, геометрия, астрономия и гармоника^{105} — и этот квадривиум не только разрабатывался, но и преподавался последующим поколениям. Это позволяло постоянно накапливать новые знания и сохранять их, а вместе с тем приобщать к занятиям математикой именно в том возрасте, который благоприятен и для ее изучения, и для самостоятельного исследования. Пифагорейская традиция, — поддержанная софистами и закрепленная авторитетом Платона, пережила и античность, и средневековье, она сохраняет свою ценность и в наши дни.

Гиппас

Из пифагорейских математиков первой половины V в. до н. э. мы знаем одного Гиппаса. Имена других до нас не дошли, но это вовсе· не значит, что их не существовало. За время от Пифагора до Гиппократа Хиосского пифагорейцы достигли в математике слишком многого, чтобы все это связывать только с Гиппасом. Возможно, среди десятков ничего не говорящих нам имен в каталоге Аристоксена и упоминаются те, кто занимался математикой во времена Гиппаса, но никаких сведений об этих людях нет. Подобная ситуация в практике V в. до н. э. редка: как правило, греческие ученые подписывали свои сочинения, и их имена, таким образом, сохранялись в традиции. Но все же она не уникальна. Из более чем шестидесяти медицинских трактатов гиппократовского корпуса, созданных в V–IV вв. до н. э., до сих пор удалось установить авторство лишь нескольких, а из оставшихся ни один нельзя с полной уверенностью приписать самому Гиппократу Косскому.

Можно предположить, что анонимность пифагорейских математиков, помимо общей фрагментарности наших сведений, связана еще и с тем, что математический компендий, которым пользовался Гиппократ Хиосский, носил учебный характер. Он мог не содержать имена его авторов, представляя, так сказать, достижения школы в целом. Вероятно, поэтому первым пифагорейским математиком, которого Евдем упоминал по имени, был Феодор из Кирены, ровесник Гиппократа. В восходящих к Евдему фрагментах имя Гиппаса не встречается; впрочем, они слишком малочисленны, чтобы мы могли делать из этого какие-либо выводы.

Традиция связывает с Гиппасом два важных открытия: построение додекаэдра, вписанного в шар, и открытие иррациональных величин (18 А 4). Имя Гиппаса в поздних источниках появляется в обрамлении мрачных легенд. По одной из них, он присвоил себе открытие додекаэдра, принадлежащее Пифагору, и был за это изгнан из сообщества. Согласно другой, он разгласил непосвященным тайну иррациональности и по воле разгневанного божества погиб в кораблекрушении.

Недоброжелательность пифагорейской традиции к Гиппасу основана, вероятно, на том, что он участвовал в антипифагорейском выступлении конца VI в. до н. э. (18 А 5). Легенды же, связанные с разглашением иррациональности, возникли, скорее всего, потому, что слово ******* (букв, «невыразимый») значило одновременно «иррациональный» («не выразимый в числах») и «священный, тайный». Такое объяснение давал еще в древности Папп Александрийский (III в.), занимавшийся историей математики; его принимают и многие современные исследователи^{106}.

Классическое доказательство иррациональности *2 (т. е. несоизмеримости диагонали квадрата с его стороной) дается в приложении к X книге Евклида. Оно опирается на учение о четном и нечетном и ведется методом доказательства от противного. Обе эти детали указывают на его пифагорейское происхождение, но многие исследователи считают, что это доказательство слишком сложное, чтобы быть первоначальным. Существует несколько реконструкций первоначального доказательства иррациональности. Так, например, К. фон Фриц полагал, что Гиппас открыл иррациональность при построении додекаэдра: ведь диагональ правильного пятиугольника (образующего грань додекаэдра) также несоизмерима с его стороной^{107}. Однако более убедительными кажутся реконструкции, связывающие открытие иррациональности с диагональю и стороной квадрата. Вот, например, одно из них, предложенное У. Кнорром^{108}.

Дан квадрат ABCD. Из чертежа видно, что квадрат DBHI является его удвоением. Если сторона DB и диагональ DH соизмеримы, можно сосчитать, какое количество раз каждая из них измеряется их общей мерой. При этом из чисел DB и DH по крайней мере одно не должно быть четным. Квадраты DBHI и AGFE представляют собой квадратные числа. AGFE — это удвоенный DBHI, как ясно из чертежа. Следовательно, AGFE — эта, четное квадратное число, и его сторона AG, равная DH, должна быть четной. Значит, AGFE делится на 4. Поскольку ABCD — это 1/4 AGFE, он представляет собой четное число. Квадратное число DBHI является его удвоением. Отсюда DBHI и его, сторона DB — четные числа. Таким образом, вопреки предположению, мы приходим к тому, что числа DB и DH четные. Следовательно, эти две линии несоизмеримы.

Какую бы реконструкцию первоначального доказательства иррациональности *2 мы ни приняли, остается очевидным, что это открытие явилось важнейшим этапом становления греческой математики. «Открытие иррациональных чисел поставило проблему, ставшую центральной для древнегреческой математики»^{109}. Над решением этой проблемы плодотворно работали такие выдающиеся математики, как Гиппократ Хиосский, Феодор, Теэтет, Евдокс. Их результаты были собраны и обработаны в «Началах» Евклида, ставших образцом для всей последующей математики.

В середине нашего века значение открытия несоизмеримых велдчин многие были склонны даже переоценивать, полагая, что оно привело к так называемому кризису оснований в греческой математике — по аналогии с тем, что произошло, в математике, на рубеже XIX–XX вв.^{110}. Исследования последних десятилетий показали, что аналогия эта была неудачной: никакого «кризиса оснований» в математике V в. до н. э. не было^{111}. Столь, же мало подтверждений находит и идея о том, что открытие Гиппаса нанесло «смертельный удар» по пифагорейской догме «все есть число». К этому вопросу мы еще вернемся в главе о пифагорейской философии.

Пифагорейская математика первой половины V в. до н. э

Представление о том, чего достигли пифагорейцы в математике до начала деятельности Гиппократа Хиосского, можно получить, сопоставляя свидетельства Евдема с тем, что вытекает из фрагмента сочинения самого Гиппократа.

Часть сообщений Евдема сохранилась под его собственным именем. Так, например, Прокл отмечал, что Евдем приписывал пифагорейцам теорему о равенстве углов треугольника двум прямым (Евкл. I, 32) и задачи на приложение площадей, которые, трактуются в I и II книгах Евклида (фр. 136, 137). К Евдему восходит и ряд других свидетельств, сохранившихся у Прокла, Паппа Александрийского ^ги в схолиях; к «Началам» Евклида. Ведь именно Евдем занимался историей математики незадолго до того, как были написаны Евклидовы «Начала» и располагал обширными сведениями, позже утраченными.

К кому, например, может восходить сообщение о том, что пифагорейцы знали следующую теорему: плоскость вокруг точки могут заполнить только следующие правильные многоугольники: шесть треугольников, четыре квадрата и три шестиугольника? Теоремы этой у Евклида нет, а Евдем, живший до него, вполне мог о ней знать. Ему же <мы обязаны и некоторыми другими ценными сведениями, например, о том; что пифагорейцам принадлежит вся IV книга Евклида, рассматривающая отношения правильных. многоугольников. и круга, или о том, что три правильных многогранника (тетраэдр, куб и додекаэдр) построили пифагорейцы, а октаэдр и икосаэдр — Теэтет.

Теоремы, уже известные Гиппократу Хиосскому, подтверждают сообщения Евдема и одновременно расширяют наши представления об уровне пифагорейской математики. Гиппократ хорошо знал значительную часть теорем I книги Евклида, обобщенную теорему Пифагора для остроугольных и тупоугольных треугольников (Евкл. Щ 12–13), теорему о правильном шестиугольнике, вписанном в круг (Евкл. IV, 15). Вместе с тем правильный пятиугольник, вписанный в, круг, был известен уже Гиппасу. Мы еще раз убеждаемся в. том, что вся IV книга Евклида была известна пифагорейцам, за исключением, может быть, последнего предложения о правильном пятнадцатиугольнике (Евкл. IV, 16).

Поскольку IV книга прямо опирается на положения III книги, часть из которых была известна уже Фалесу, а некоторые другие активно использовал Гиппократ при решении проблемы квадратуры луночек, следует заключить, что к пифагорейцам восходит и большая часть III книги. Правда, позже к этой книге был добавлен ряд других теорем, а старые были частично переработаны самим Евклидом, либо кем-то незадолго до него. Незначительной переработке подверглись и несколько теорем IV книги, но в целом, обе эти книги, бесспорно, восходят к пифагорейцам^{112}.

Все 14 теорем II книги Евклида посвящены приложению площадей, которое, как мы помним, Евдем приписывал пифагорейцам Приложение площадей представляет собой квадрирование прямоугольной фигуры и решается нахождением среднего пропорционального x между двумя заданными отрезками а и b — квадрат со стороной х и будет равен прямоугольнику ab. Гиппократ не только отлично знал этот метод, но и развил его: он свел задачу удвоения куба к нахождению двух средних пропорциональных между двумя заданными отрезками. Здесь важно, отметить, что Гиппократу не просто были, известны предложения, которые мы возводим к пифагорейцам, — в конце концов он мог доказать, их и сам. Но дело, в том, что Гиппократ ставил перед собой уже гораздо более сложные задачи, и опирался на достижения пифагорейцев в решении своих собственных проблем, таких как квадратура луночек или удвоение куба.

Итак, можно заключить, что к середине V в. до н. э. пифагорейцами было создано содержание II и IV книг Евклида, большинство положений III книги и значительная часть I книги. I книга стоит здесь несколько особняком: это связано с тем, что во второй половине IV в. до н. э. она была сильно переработана и к ней были добавлены многие новые, предложения, например касающиеся параллелограммов, Что же касается частичной переработки II, III и IV книг, то она была произведена отнюдь не потому, что Евклида или его предшественников не удовлетворяла строгость доказательств пифагорейцев. Дело в том, что к середине IV в. до н. э. Евдокс создал новую теорию пропорций, приложимую и к несоизмеримым величинам. Евклид поместил ее в V книге и соответственно ему пришлось изменить доказательства всех тех положений первых четырех книг, которые опирались на старую теорию пропорций^{113}, например, теоремы Пифагора (Евкл. 1,47).

Завершая наш обзор пифагорейской математики первой половины V в. до н. э., обратим внимание еще на два обстоятельства. Во-первых, пифагорейцами были созданы отдельные части и других книг Евклида, например, IX (учение о четном и нечетном и совершенные числа) и XIII (построение трех правильных многогранников). Ван дер Варден даже полагает, что им принадлежит VII книга — первая из арифметических книг «Начал». Он убедительно доказывает, что VII книга была создана до Архита (рубеж V–IV; вв. до н. э.), однако не исключена вероятность, что ее автором является Феодор из Кирены, ровесник Гиппократа. Феодор тоже был пифагорейцем (его упоминает Аристоксен в своем каталоге), но его деятельность уже выходит за рамки занимающей нас сейчас эпохи.

Во-вторых, далеко не все положения, вошедшие в первые четыре книги Евклида, появились в период между Гиппасом, и Гиппократом. Часть из них была доказана еще Фалесом и Пифагором, а возможно, и какими-то другими математиками VI в. до н. э. Имя одного из них известно — это Мамерк, брат известного поэта Стесихора. К сожалению, о его конкретном вкладе в математику мы ничего не знаем. Наконец, маловероятно, чтобы с Гиппасом можно было связывать лишь те открытия, которые ему приписывает традиция — математик такого уровня должен был сделать гораздо больше.

«Геометрическая алгебра» и Вавилон

Исследуя II книгу Евклида, математики еще в XVII в. Обнаружили, что ее предложения могут быть переформулированы алгебраически, в виде тождеств 86 и квадратных уравнений. Так, например, предложение II, 2 можно рассматривать как тождество (а+b)с=ас+bс, а приложение площадей с недостатком в алгебраической интерпретаций сводится к решению квадратного уравнения ах-х² = b². Со времени Г. Цейтена (рубеж XIX–XX вв.) задачи II книги и сходные с ними предложения VI книги принято называть «геометрической алгеброй» и видеть в ней геометрическую переформулировку алгебраических проблем^{114}.

Особое значение этот вопрос приобрел после того, как было показано, что вавилоняне еще во II тыс. до н. э. умели решать основные типы квадратных уравнений, содержащиеся во II книге. Это побудило О. Нейгебауэра считать, что греки заимствовали вавилонские методы, переформулировав их геометрически^{115}.Б. Л. ван дер Варден же настаивает на том, что это сделал не кто иной, как Пифагор — единственный из пифагорейцев, кого традиция связывает с Востоком^{116}.Эквивалентность обоих методов — греческого и вавилонского— сомнения, не вызывает, но объяснить ее можно как их генетическим родством, так и типологическим сходством. Какой путь предпочтительнее?

В первом случае необходимо доказать, что: 1) теоремы II книги были переформулированы с алгебраического языка на геометрический, а не просто, что их можно переформулировать. алгебраически; 2) Пифагор или какой-то другой математик VI–V вв. до н. э. действительно побывал в Вавилоне и обучился местной математике; 3) в то время реально существовала возможность перевода вавилонских методов на язык геометрии.

Доказательство каждого из этих, пунктов наталкивается на очень серьезные трудности. Все больше историков математики склоняется к тому, что приложение площадей вовсе не было переформулировкой алгебраических методов и что оно возникло в ходе решения чисто геометрических проблем^{117}. Сам термин «алгебра» применительно к грекам того времени, а тем более к вавилонянам звучит неточно. Алгебры не было ни у тех, ни у других, а была арифметика у вавилонян и геометрия у греков. С‘ их помощью они решали те проблемы, которые, начиная по крайней мере с XV в., стали решать алгебраически.

Вавилонские решения сложны, требуют специального интереса и специальной же подготовки. Для их передачи нужен был человек, который помимо способности к математике обладал бы знанием аккадского языка и письменности и сумел бы устроиться в обучение к какому-нибудь вавилонскому писцу, причем на длительное время. Ничего подобного мы не знаем ни о Пифагоре, ни о каком-либо другом ученом — той эпохи.

Наконец, можно ли представить, что за две с лишним тысячи лет до того, как Декарт создал аналитическую геометрию, нашелся человек, сумевший перевести вавилонские уравнения на язык геометрии?^{118} Это кажется почти невероятным.

Ван дер Вардену столь же невероятным кажется случайное совпадение греческих приемов с вавилонскими. Но резонно ли за сходством отдельных математических положений непременно видеть чье-то заимствование, а не результат независимого развития? Основы математики носят универсальный характер и коренятся в способности человеческого разума к логическому постижению объективного строения мира. Если математики разных культур, отталкиваясь от этих универсальных принципов, приходят к сходным результатам, это сходство само по себе не может быть аргументом в пользу заимствования. Например, в древнекитайской математике есть задачи, очень похожие на те, которые содержатся во II книге Евклида, причем, по всей видимости, они возникли без всякого влияния греков^{119}.

Обнаружив в разных концах земного шара два сосуда одинаковой формы, расцветки и узора, мы, конечно, будем предполагать некую связь между ними, ибо этого сходства могло и не быть и оно требует какого-то объяснения. Если же в Египте и Китае мы находим одинаковую формулу объема усеченной пирамиды с квадратным основанием, то искать здесь «влияние или общий источник вовсе не обязательно. Существует только одна верная формула данного объема, и тот, кто ее захочет найти, вполне может это сделать. На мысль о внешних влияниях нас могут навести либо факты, говорящие о том, что какой-то из этих народов был не в состоянии самостоятельно вывести эту формулу, либо такое совпадение частных деталей, которое трудно объяснить независимым развитием, При отсутствии этих фактов нет оснований сомневаться в самостоятельности математиков обеих культур.