Собрание сочинений. Том 1 (1970-1975)

К ВОПРОСУ О ПРИМЕНЕНИИ МАТЕМАТИКИ В ПОЛИТИЧЕСКОЙ ЭКОНОМИИ[10]

Настоящее сообщение ставит своей целью на одном примере продемонстрировать возможность использования математики для решения теоретических проблем политической экономии.

Положение о том, что цены производства на продукцию I подразделения стоят выше стоимости, а на продукцию II подразделения — ниже, и, следовательно, что цены производства перераспределяют стоимость из II подразделения в I, было строго доказано Марксом в «Капитале» лишь для того случая, когда применяемый капитал совпадает с потребляемым и исчислен в стоимости, а не в ценах производства. В действительности же применяемый капитал чаще всего больше потребляемого и исчислен уже через цены производства, причём именно по отношению к исчисленной таким образом величине применяемого капитала справедливо положение: цены производства приносят равную прибыль на равный капитал.

Однако учёт этого реального факта потребовал бы, как кажется, знания тех цен производства, которые ещё только должны быть выведены из условия: равная прибыль на равный капитал. Мы попадаем, следовательно, в «заколдованный круг», выйти из которого без использования математики было бы весьма затруднительно. Математическим же путём доказать упомянутое выше Марксово положение нетрудно, приняв во внимание как тот реальный факт, что составляющие капитал факторы приобретались уже по ценам производства, а не по стоимости, так и тот, что потребляемый капитал не тождествен с применяемым и составляет только часть последнего.

Перейдём к доказательству.

Обозначим через и множители, показывающие, во сколько раз цена производства соответственно средств производства и предметов потребления больше их стоимости, т. е. , где и – цены производства средств производства и предметов потребления, а и – их стоимости.

Для того чтобы доказать, что цены производства на продукцию I подразделения стоят выше стоимости, а на продукцию II подразделения — ниже, достаточно доказать, что .

В самом деле, невозможно, чтобы и были бы одновременно больше или одновременно меньше единицы. Это означало бы тогда (в силу равенства суммы цен производства сумме стоимостей ) либо, что , либо, что . Значит, один из и меньше единицы, а другой больше. Если доказать, что , то в силу того, что один из них меньше единицы, а другой больше, будем иметь: , а . Помножив первое неравенство на , а второе на , получим , а , или, приняв во внимание, что , а , получим: , a . Последние два неравенства и есть запись доказываемого положения: цены производства на продукцию I подразделения стоят выше стоимости, а на продукцию II подразделения — ниже.

Следовательно, если мы докажем, что , то доказательство будет закончено. Приступим к доказательству этого неравенства.

Возьмём величину не превосходящую ни величины переменного капитала I подразделения, ни величины переменного капитала II подразделения, и выделим мысленно из подразделений части с переменным капиталом одинаковой величины . Эти части всегда можно взять такими, что отношения цен производства и стоимости продукции в них будут равны отношениям цен производства и стоимости всей продукции соответствующих подразделений. В качестве таких частей можно выделить, например, части, являющиеся по объёму и номенклатуре продукции лишь пропорционально уменьшёнными копиями подразделений. В силу различного строения капиталов I и II подразделений и равенства переменных капиталов выделенных частей соответствующие этим частям постоянные капиталы связаны неравенством .

Предполагаем одинаковой норму прибавочной стоимости в обоих подразделениях. Тогда равным переменным капиталам будут отвечать одинаковые по величине прибавочные стоимости Стоимость продукции, соответствующей первому из выделенных капиталов, равна а стоимость продукции, соответствующей второму капиталу, , где – доля потреблённого капитала в применяемом,

Цены производства продукции, соответствующей выделенным капиталам, равны соответственно и Мы воспользовались здесь тем, что коэффициенты и связывают между собой стоимости и цены производства. Но цена производства продукции может быть выражена как издержки производства плюс средняя прибыль. Учтя это и обозначив общую норму прибыли через , получим следующие 2 равенства:

В правых частях этих равенств издержки производства записаны в виде суммы цен производства израсходованных продуктов I подразделения и цен производства продуктов II подразделения, потреблённых рабочими; – прибыль на первый капитал; – прибыль на второй капитал.

Вычтя из первого равенства второе и приведя подобные, будем иметь

Поскольку , то и . Следовательно, левая часть равенства тоже положительна, т. е.

откуда что и требовалось доказать. На этом доказательство Марксова положения для общего случая закончено.

Summary. The author uses mathematics to prove the following Marx’s proposition for the general case (when the capital is calculated in prices of production). The price of the production of the I department is greater than the value of the production of this department.

Статья поступила в редакцию 18 сентября 1970 г.