МВА ЗА 10 ДНІВ

День 5

Теми розділу «Кількісний аналіз»:

— Аналіз методом дерева рішень

— Аналіз руху грошових коштів

— Чиста поточна вартість

— Теорія ймовірності

— Регресійний аналіз та прогнозування

Кількісний аналіз (КА) — це, мабуть, найважчий та найважливіший курс у програмі MBA. Він надає базові інструменти, які часто використовують у фінансах, бухгалтерському обліку, маркетингу та операційній діяльності. Тож ви не можете прогорнути ці сторінки просто тому, що не звикли мати справу з цифрами і статистикою. Принаймні спробуйте!

Опанувавши методики кількісного аналізу, МBA отримують перевагу над своїми колегами без ступеня МВА. Вони можуть будувати складні діаграми та графіки й використовувати серйозну термінологію, і цим справляти враження на керівництво. Добре, коли й висновки, яких вони доходять, начальство сприймає зі схваленням.

Використовувати теорії КА для вирішення бізнес-проблем — це основне для МВА. Кількісний аналіз допомагає МBA залишатися неупередженими при вирішенні складних проблем. Теорії, що стоять за методиками, мають небагато значення — важливим є їхнє застосування у вирішенні реальних бізнес-проблем. Та все ж варто зазначити: хай якими математично точними здаються інструменти кількісного аналізу, вони не можуть замінити тверезого мислення MBA.

ТЕОРІЯ ПРИЙНЯТТЯ РІШЕНЬ

Теорія прийняття рішень навчає розбивати комплексні проблеми на маневрені складові. Без системи протидії складним ситуаціям такі випадки швидко стають неконтрольованими. Наприклад, КА може допомогти бурильнику розвідувальних свердловин у прийнятті рішення щодо буріння. Щоправда, ризиків, характерних для нафтопошукових робіт, уникнути не вдасться. Схема у вигляді дерева рішень може впорядкувати альтернативи, ризики та невизначені моменти, які стосуються проблеми.

Аналіз дерева рішень складається із п’яти кроків:

1. Визначити всі можливі альтернативи й ризики, що стосуються ситуації.

2. Розрахувати фінансові наслідки кожної з альтернатив.

3. Виявити невизначеність, пов’язану з кожною з альтернатив.

4. Поєднати перші три кроки в схему у вигляді дерева.

5. Визначитися з найкращою альтернативою та врахувати нефінансові аспекти проблеми.

Схеми у вигляді дерева рішень охоплюють розгалуження діяльності та розвилки наслідків у точках з кількома альтернативами. Наприклад, рішення, чи бурити нафтову свердловину, — це розвилка діяльності на дереві рішень бурильника. На дереві рішень цю розвилку позначають квадратом. Якщо альтернативам властива невизначеність — це розвилка наслідків. Непевний результат буріння нафтової свердловини вважатиметься наслідком. На дереві рішень цю розвилку позначають кружечком.

Приклад дерева рішень

Щоби проілюструвати ситуацію, в якій допоможе дерево рішень, уявімо Сема Х’юстона з Техасу. Пан Х’юстон збирається пробурити свердловину на багатообіцяючій ділянці землі. Чи варто йому бурити? Якщо він натрапить на нафтовий фонтан, то заробить близько мільйона доларів. Проаналізувавши усі альтернативи, пан Х’юстон склав такий список:

1. Сем заплатив 20 000 $ за право здійснювати буріння.

2. Сем може зменшити ризики, якщо найме геолога для проведення сейсмічної розвідки (50 000 $). Це дасть йому більше даних про ймовірність успішного результату і зменшить ризик викинути гроші на непотрібне буріння.

3. А може йому варто піти ва-банк і витратити 200 000 $ на буріння без сейсмічного оцінювання?

4. Сем порадився з експертами-нафтовиками. Вони без жодної розвідки вважають, що Семова ділянка з 60-відсотковою ймовірністю містить нафту.

5. Досвід експертів також показує, що якщо результати сейсмічної розвідки на нафту виявляються позитивними, ймовірність знайти в свердловині «хоч трохи» нафти становить 90 %. І навпаки, є 10-відсоткова ймовірність невдачі.

6. Якщо ж результати сейсмічної розвідки виявляться негативними, Сем усе ще може здійснити буріння, та вже з 10-відсотковою ймовірністю успіху й 90-відсотковою ймовірністю невдачі.

7. Сем може вирішити взагалі не бурити.

Кожну одиницю цієї інформації вносять у схему у вигляді дерева. Ця схема графічно показує альтернативи пана Х’юстона. Та перш ніж ви з ентузіазмом кинетеся малювати дерева, ви повинні визначити, яка інформація не стосується вашої теми. В цьому випадку, 20 000 $, які Сем заплатив за право буріння — це зайві дані; ці витрати — незворотні. Гроші з кишені пішли з кінцями. Вони не повернуться, хай яке рішення прийме Сем. Тому незворотні витрати у дерево рішень не вносять.

Як малювати дерево рішень

Перший крок до дерева рішень — це визначити, яке рішення (або розвилку дерева) потрібно прийняти першим. Може, Семові варто спершу провести розвідку? Якщо прийняти рішення про сейсмічну розвідку, вона йтиме попереду всіх інший дій. На дереві це буде позначка квадратиком на першій розвилці.

Якщо Сем проведе розвідку, її наслідки можуть бути позитивними (ймовірність 60 %) або негативними (ймовірність 40 %). Та незалежно від результатів звіту про сейсморозвідку, Сем однаково може «вибрати варіант» бурити або не бурити (квадратик). Так само він може прийняти те чи те рішення, якщо розвідки проведено не буде. Та щойно бурове обладнання буде задіяне, наявність нафти стане наслідком за межами контролю. Наслідок у вигляді нафти або буде плідним, або не буде.

Наступний крок — додати фінансові наслідки, що схожі на «листя на дереві». Якщо нафта знайдеться, Сем отримає 1 000 000 $. Витрати на буріння становлять 200 000 $ за свердловину. Витрати на розвідку становлять 50 000 $ за свердловину.

Щоби дізнатися потенційні фінансові результати кожного із рішень, помножте ймовірний доларовий прибуток на їхню імовірність у розвилках наслідків, позначених «кружечком». ([Прибуток 1 000 000 $ × ймовірність 0,90] + [Прибуток 0 $ × ймовірність 0,10] = 900 000 $.) Ви визначите очікувану грошову віддачу (ОГВ) від прийняття рішення, хоча фактичні висновки можуть бути діапазоном значень. Ймовірності у кожному з кружечків у сумі повинні становити 100 % (0,90 + 0,10 = 1,00), підтверджуючи, що всі можливості було враховано. Кожна з розвилок взаємовиключає інші альтернативи, і в рамках цієї альтернативи ймовірність становить 100 % або є спільно вичерпною.

У квадратиках діяльності людина, яка приймає рішення, може обрати найкращий результат. Щоби визначити найкращу альтернативу, відніміть відповідні витрати від заробітку, який принесе альтернатива. Розраховуйте фінансові наслідки, рухаючись від крайніх правих альтернатив ліворуч. Цей процес називають «відгортанням» або «підрізанням» дерева, аби дійти до найкращого плану дій. У розвилках з квадратиками вам слід обирати альтернативу з найвищим прибутком. У розвилках з кружечками — множити можливий заробіток на його ймовірність.

Рішення, на яке вказує дерево — відкинути сумніви й відмовитися від сейсмічної розвідки. Очікувана грошова віддача від того, що Сем здійснюватиме буріння після проведення розвідки, становить 370 000 $ (420—50), а від того, що Сем буритиме без розвідки — 400 000 $. Обирайте найвищу очікувану грошову віддачу (EMV). Цю відносно просту концептуальну схему можна застосовувати до рішень щодо розробки нового продукту, будівництва нерухомості та складських запасів. Хай яке рішення ви розглядаєте, структура дерева рішень змушує цілісно розглянути всі альтернативи, провести аналіз невизначеності (часто доводиться вгадувати ймовірність якоїсь події) та чітко прорахувати можливі грошові наслідки. Дерево змушує чітко формулювати припущення. Наприклад, ви допускаєте певну ймовірність виявлення нафти за наявності негативних результатів розвідки. Зробивши ж інакше припущення, ви можете дійти протилежного висновку. Інша людина може поглянути на цю ситуацію ще інакше. Порівнюючи дерева, аналітики можуть обговорювати конкретні припущення в організованому порядку.

Прислів’я «Намалюйте дерево і виберіть варіант В» було найпопулярнішим на іспиті про дерево рішень. Дерева рішень показують складність начебто простих проблем. Тому вже саме створення правильного стовбура дерева було завданням на чотири години іспиту. Щоб стати в цьому профі, потрібно багато практики.

АНАЛІЗ РУХУ ГРОШОВИХ КОШТІВ

Термін «рух грошових коштів» часто використовують у зв’язці з викупом боргових зобов’язань і це є основою фінансового аналізу. Технологи з Уолл-Стрит можуть швидко проаналізувати якісні аспекти своїх інвестиційних рішень, однак зрештою справжнє значення для них мають лише наслідки в грошовому еквіваленті.

В основі аналізу руху грошових коштів лежить та сама інформація, що й у бухгалтерському звіті про рух грошових коштів. Аналіз руху грошових коштів дає відповідь на просте запитання:

У що обійдуться інвестиції та скільки грошей вони принесуть наступного року?

Грошові кошти, які генерує компанія, можуть використовувати для виплати боргу, сплати дивідендів, інвестування в дослідження, покупки нового обладнання або інвестицій у будівництво. Мета полягає в тому, щоби визначити, коли і скільки саме грошей перебуває в русі при такому сценарії розвитку подій.

Інвестор може ставити кілька цілей, однак аналіз руху грошових коштів має справу лише з грішми. Наприклад, реклама компанії може створювати їй хорошу репутацію, однак якщо вигоду неможливо виміряти грішми, здійснювати аналіз руху грошових коштів недоцільно.

Аналіз руху грошових коштів однаково доцільний як при купівлі верстата, так і під час придбання корпорації. Тож давайте переінакшимо формулювання вже згаданого першого запитання:

Якими є поточні інвестиції і якими будуть майбутні вигоди? Відповісти на це запитання можна за допомогою таких кроків:

1. Визначити обсяг інвестицій.

2. Вирахувати величину вигод.

3. Визначити термін, потрібний для отримання вигод.

4. Кількісно уточнити ймовірність отримання вигод.

5. Визначити, чи ці вигоди варті очікування?

Ще один важливий момент, який варто врахувати — аналіз руху грошових коштів вказує на рух коштів, а не на прибутки. Наприклад, успішний комп’ютерний стартап у Кремнієвій Долині на паперах може мати прибуток у три мільйони доларів. Та якщо компанія потребує 20-мільйонних інвестицій у дослідження та 30-мільйонних витрат на будівництво заводу, то ця компанія по суті просто використовує грошові кошти. У цьому випадку рентабельність компанії віднесена в майбутнє.

Бухгалтерські прибутки, відображені у звіті про фінансові результати, — це короткострокові показники інвестицій протягом періоду, коротшого за окупність інвестицій, тоді як аналіз руху грошових коштів — це техніка оцінювання окремих проектів на весь термін їхньої реалізації. Щоби підрахувати початковий рух грошових коштів у проекті, потрібна така спеціальна інформація:

Способи використання грошових коштів

• Витрати на будівництво.

• Первинні складські запаси.

• Купівля обладнання.

• Збільшення дебіторської заборгованості (клієнти можуть позичати у вас кошти на купівлю товарів, які ви їм продаєте).

Джерела надходження грошових коштів

• Продаж зайвого обладнання.

• Збільшення кредиторської заборгованості (постачальники дають вам позики на закуплені в них матеріали).

Визначаємо способи використання грошових коштів протягом терміну реалізації проекту:

Джерела надходження грошових коштів

• Надходження або виручка від реалізації.

• Роялті.

Способи використання грошових коштів

• Витрати на товар для реалізації.

• Реалізаційні витрати.

• Загальні та адміністративні витрати.

• Податки.

Амортизація, зазначена у звіті про фінансові результати, не стосується аналізу руху грошових коштів. Амортизація — це бухгалтерський допуск: якщо термін експлуатації якогось обладнання становить п’ять років, тоді кожного року із доходу треба вираховувати п’яту частину її вартості. В аналізі ж руху грошових коштів, якщо для покупки машини готівку використали сьогодні, то це відображають як використання грошових коштів у момент купівлі. Витрати на амортизацію мають значення лише тоді, коли вони зменшують «бухгалтерський дохід», а отже скорочують витрати на сплату податків. У прикладі з магазином Bob’s Market в розділі про бухгалтерський облік, магазин розписав витрати на касові апарати та візки на десять років попри те, що витрачені ці кошти були при відкритті магазину.

Є ще один важливий аспект — витрати на фінансування не вносять до аналізу руху грошових коштів. Рішення щодо інвестування відділені від рішень щодо фінансування. У компанії General Electric є тисячі проектів і чимало форм фінансування — заборгованість (боргові зобов’язання, банківський борг) і залучені кошти. Зіставити заборгованість з окремими проектами було би неможливо. На ділі фінансовий відділ позичає кошти, щоб задовольнити усі поточні потреби компанії, а за які проекти братися — вирішує відділ планування капітальних вкладень. Якби рішення цих двох відділів були пов’язані, всі проекти, фінансовані за рахунок боргу, у звітах мали б значно ліпший вигляд, ніж ті, за які було заплачено готівкою, хоча по суті вони однакові.

Приклад руху грошових коштів

Компанія Quaker Oats розглядає інвестицію в розмірі 100 000 $ у машину для фасування круп для заводу компанії у Канзас-Ситі. Через моду на споживання клітковини попит на вівсянку настільки зріс, що потужностей заводу вже не вистачає. Придбавши машину, можна збільшити продажі вівсянки на 80 000 $ за рік. Собівартість продукції становить лише 20 000 $, а отримані прибутки будуть обкладені податком у розмірі 30 %. Збільшення обсягів реалізації також вимагатиме збільшення складських запасів на суму 10 000 $.

Quaker частково компенсує це використання грошей, на 8000 $ збільшивши боргові зобов’язання перед фермерами, в яких компанія купує овес, та перед Smurfit-Stone Container, в яких купує коробки, тож потрібно буде всього 2000 $ додаткових інвестицій.

Через три роки машина буде зношена, та все ще може мати корисну цінність для мукомельної компанії з Мехіко. Quaker планує продати її компанії Molino Grande за ціною в 10 000 $.

У цьому прикладі для визначення цінності проекту критично важливо розрахувати рух грошових коштів у часі. Зазвичай ці розрахунки зображають у вигляді діаграми. Сумарний рух грошових коштів у кожен період відображають або під лінією (для інвестицій), або над лінією (для прибутків).

Наш приклад з компанією Quaker у вигляді діаграми виглядає так:

Припустимо, що рух грошових коштів не змінюється, а терміни отримання прибутку скорочуються:

або ж подовжуються:

Ці діаграми показують, наскільки дорого «коштує» час.

Накопичена вартість

Коли проект з купівлею фасувальної машини приноситиме заробіток, Quaker не залишить ці гроші без діла, а реінвестує їх. Тому якщо Quaker отримає 51 000 $, 51 000 $ та 61 000 $, як описувалося раніше, то за сценарієм А компанія отримає дохід від руху коштів на два роки раніше, ніж у за сценарієм В.

Якщо компанія зможе інвестувати гроші під 10 %, то сценарій А принесе на 34 230 $ більше, ніж сценарій В.

Накопичена вартість грошових потоків в кінці трирічного періоду становитиме 163 000 $ плюс отримані відсотки в розмірі 34 230 $, тобто 197 230 $ у сумі. Сценарій А явно кращий.

Для спрощення розрахунків використовують формулу накопиченої або майбутньої вартості долара:

Майбутня вартість 1 $ через Х періодів = = (вартість 1$ сьогодні) × (1 + Ставка реінвестування) ^{Кількість періодів}

При ставці 10 % коефіцієнт для 1 року = 1$ × (1 + 0,10)¹ = 1,10.

Вам нема потреби запам’ятовувати коефіцієнти або щоразу вираховувати їх наново — ви можете користуватися таблицями у додатку або будь-яким бізнес-калькулятором. (На мою думку, найкращий калькулятор — Hewlett-Packard. Якщо у вас HP і відзнака MBA — інші одразу розуміють, що до цифр ви ставитеся серйозно.)

Відповідно до таблиць у Додатку коефіцієнти для накопиченої вартості при різних ставках та періодах інвестування при ставці 10 % є такими:

З урахуванням цих коефіцієнтів при сценарії А для суми в 163 000 $, отриманої у кінці Року 1 та інвестованої на два роки до кінця Року 3, накопичена вартість становить:

163 000 $ за рік 1 × 1,2100 = 197 230 $ через 2 роки або 197 230 $ — 163 000 $ = 34 230 $ доходу від реінвестування

При оцінюванні проектів або інвестицій, що принесуть результати в майбутньому, важлива не тільки величина грошових потоків, а й терміни та способи подальшого використання — куди можна реінвестувати ці потоки.

Чиста поточна вартість (NPV)

Аналіз поточної вартості (NPV) допомагає визначити, скільки майбутньому пенсіонеру потрібно інвестувати сьогодні, щоб мати достойну пенсію через тридцять років. Він допомагає, але не дає змоги оцінити поточні інвестиції та проекти. Інвестиції потрібно оцінювати відповідно до їхньої сьогоднішньої вартості. Чого сьогодні вартий проект компанії Quaker? А якщо його порівняти з аналогічним обладнанням, що коштуватиме 150 000 $, але може експлуатуватися чотири роки?

Аналіз руху грошових коштів визначає грошові потоки, а техніка NPV оцінює їх за сьогоднішньою вартістю. Таким способом можна порівнювати різні проекти незалежно від розподілення грошових потоків у часі.

Наприклад, якщо компанія Apple Computer знає, що новий комп’ютер Tangerine стане 100-відсотковим хітом і принесе 5 млрд $ прибутку, але його розробка займе десять років, то інвестиції в цей проект можуть видатись їй недоцільними. І причина не лише в тому, що ці 5 млрд $ дещо знеціняться через інфляцію, а й у тому, що Apple також може інвестувати ці гроші в робототехніку, яка зекономить компанії виробничі витрати вже сьогодні. І навіть якщо аналіз NPV покаже, що виробництво Tangerine має сенс, стратегічні міркування компанії можуть відсунути його на другий план. І ось тут МВА мусить проявити управлінську розсудливість.

Спеціалісти по цінних паперах розглядають акції та облігації як покупку обладнання. Акції приносять дивіденди, а облігації — виплати відсотків у майбутньому. Вартість цінних паперів визначають як поточну вартість майбутніх грошових потоків. Як Quaker Oats використовувала аналіз чистої поточної вартості для оцінювання переваг купівлі нової одиниці виробничого обладнання, так і великі корпорації оцінюють купівлю нових фабрик і вартість посиленої реклами. Юристи, які беруться за справи з летальним компонентом внаслідок протиправних дій, у своїй роботі використовують техніки чистої поточної вартості, щоб оцінити суму вірогідних майбутніх доходів померлого. Слід запам’ятати головне: Один долар сьогодні більше коштує дорожче, ніж один долар у майбутньому.

Проект Quaker Oats приніс 163 000 $ за три роки (51 + 51 + 61). Як ми вже підрахували, 163 000 $ у грошових потоках могли би принести додаткових 34 230 $, якби отримані кошти реінвестували за ставкою 10 % у інші проекти компанії або зробили інвестицію під відсотки. Ви б погодилися вкласти 163 000 $ — і отримати 163 000 $ через три роки? Звісно ні! Так ви відмовилися б від вартості грошей у часі, або 34 230 $.

За цією простою логікою, аналіз NPV бере грошові потоки майбутніх періодів та дисконтує, тобто зводить їх до їхньої сьогоднішньої вартості. Це протилежність до накопиченої вартості. Формула має такий вигляд:

Чиста поточна вартість (NPV) = (1 $ в майбутньому) × × (1 + дисконтна ставка) ^{— Кількість періодів}

Один долар, отриманий через рік від сьогодні, з дисконтною ставкою 10 відсотків, матиме вартість:

1 $ × (1 + 0,10) ^{— 1} = 0,90909

За цією формулою, таблиці коефіцієнтів дисконтування показують NPV 1 долара з урахуванням різних ставок та різних періодів. Зважаючи на наявні можливості 10-відсоткового реінвестування та ризикованість проекту, 1 $ у майбутньому, відповідно до формули і таблиць, дорівнюватиме таким сьогоднішнім сумам:

Грошові потоки проекту Quaker оцінюють так:

Оцінка будь-якого проекту залежить від величини грошових потоків, розподілення їх у часі та дисконтної ставки — в нашому випадку 10 %.

Дисконтна ставка значною мірою суб’єктивна. Що вища ставка дисконту, або бар’єрна ставка, то дешевшим буде долар у майбутньому по сьогоднішніх мірках (див. додаток). Бар’єрною ця ставка зветься тому, що проект із вищою дисконтною ставкою повинен в майбутньому генерувати більше грошей, аби мати таку саму цінність, яку він має сьогодні. Тому проект має долати вищі бар’єри, аби залишатися на тому самому рівні. У випадках із ризикованими інвестиціями, як було в нашому прикладі з нафтою, доцільно використовувати вищу дисконтну ставку. Якщо результати інвестицій безсумнівні, як у випадку з інвестиціями в автоматизовані пристрої чи в казначейські облігації США, цілком виправдано використовувати нижчу ставку. Компанії, які не мають на підмозі компетентного МВА, використовують єдину бар’єрну ставку для всіх інвестиційних рішень і тому ігнорують відносну ризикованість проектів. Врешті вони починають заперечувати очевидні речі й женуться за високоризиковими проектами. За жодних обставин не можна використовувати відсоткову ставку банківської позики компанії, якщо це не простий збіг обставин. Дисконтна ставка має залежати від ризикованості проекту. Компанії, які твердо стоять на ногах, іноді беруть позики з низькими відсотковими ставками, але й інвестують часами в ризиковані проекти.

Внутрішня норма прибутку (IRR)

Внутрішня норма прибутку (internal rate of return, IRR) — це похідна від чистої поточної вартості. Іншими словами, внутрішня норма прибутку від інвестицій — це ставка, при якій дисконтовані грошові потоки в майбутньому дорівнюватимуть вартості інвестицій станом на сьогодні.

Щоби виявити IRR, потрібно підставляти різні дисконтні ставки, поки NPV почне дорівнювати нулю. (Звісно ж, калькулятор Hewlett Packard розраховує норму IRR одним натисканням кнопки!) Для проекту Quaker IRR становить 26,709 %. На підтвердження цієї цифри можна провести такі розрахунки:

EOQ — Економічний розмір замовлення

Розмір замовлення (Q)

Використання IRR для ранжування проектів важливе, але при цьому не враховують величину вкладень. Невелика інвестиція з непропорційно великими прибутками в рейтингу стоятиме вище, ніж великі інвестиції з адекватними прибутками. Витративши на дослідження мільярд доларів, General Electric тепер змушена виділяти великі суми на великі проекти з нижчими нормами прибутку (IRR).

Ранжування за IRR не враховує бар’єрні ставки й коефіцієнти дисконтування, що їх використовують в аналізі NPV. Ці бар’єрні ставки, як я вже казав, роблять поправку на ризик. За всіх інших рівних умов, інвестиції компанії Quaker в обладнання можуть мати нижчу внутрішню норму прибутку, ніж дуже теоретичне дослідження шведських ліків від раку, проведене компанією Merck, однак проект Quaker може мати вищу чисту поточну вартість. Менші грошові потоки проекту з обладнанням дисконтуються за 10-відсотковою ставкою через нижчий рівень ризику. Це може збільшити чисту поточну вартість. Дослідження раку оцінювали б за високою дисконтною ставкою — 50 %. Пам’ятайте: що вища дисконтна ставка, то менша сьогоднішня вартість грошей і то вищий ризик.

«Наші склади забиті — комусь доведеться з’їсти 20 тисяч тонн кукурудзи».

ТЕОРІЯ ЙМОВІРНОСТІ

Теорія ймовірності — це гарна назва для статистики, теми, яка кидає в холодний піт навіть найкращих бухгалтерів-аудиторів у бізнес-школах. По суті, теорія ймовірності — це точніший термін, адже він описує, як статистику використовують для вирішення проблем. Зважаючи на ймовірність знайти нафту, що слід зробити Сему? У школах «великої десятки» навчається вісімсот одружених студентів курсу МВА — скільком чоловікам і дружинам імовірно бракуватиме уваги протягом першого року навчальної програми? Усе це теорія ймовірності. Більшість бізнесменів уникають статистики, тому для МВА це шанс проявити себе з найкращого боку. Я вивчав статистику в університеті й практично нічому не навчився, адже нас навчали теорії, а не способів вирішення проблем. Програма для MBA зосереджена на практичних аспектах статистики, а теоретичними питаннями нехай займаються математики. Якщо статистика вам не знайома, не пропускайте цей розділ. Я не можу на кількох сторінках викласти матеріал, який зробить вас професійним статистиком, але якщо ви виділите трохи терпіння, я обіцяю дати вам достатньо практичних знань, аби ви вчасно змогли звернутися за допомогою до фахівця, коли виникне така потреба. Підготовка студентів шляхом надання практичних знань із різних предметів — основний акцент навчальних програм MBA. Викладачі не чекають, що студенти за два роки навчання стануть технічними спеціалістами, радше — що студенти вмітимуть розпізнавати, до якого експерта звернутися по допомогу, аби вирішити конкретну проблему.

Розподіл ймовірностей

У ситуаціях з кількома можливими результатами підраховують їхній розподіл. Будь-яка можливість вважається ймовірністю. Ретельний аналіз, інтуїція і здоровий глузд допомагають виявити всі можливі наслідки будь-якої ситуації. Їхня сума становить 100 %, як розвилка наслідків на дереві рішень. Графік розподілу результатів називається ймовірнісною мірою або функцією щільності розподілу. Якщо можливих результатів є багато, крива виходить пологою й називається ймовірнісною щільністю розподілу. Якщо наслідків небагато, крива нерівна і називається функцією ймовірнісної міри.

Приклад із дощем. Дощ у Сієтлі — це ситуація, якій характерний певний розподіл ймовірностей. За гіпотетичними даними, дощ у Сієтлі має такий вигляд, як у таблиці нижче та схемі розподілу ймовірностей на сторінці праворуч.

Біномінальний розподіл

Якщо кинути монетку, вона впаде з двома ймовірними наслідками — «орлом» або «решкою». Тому розподіл результатів після дворазового підкидання монети може мати кілька варіантів у ситуації, якщо хтось поставив на «решку».

2 перемоги: решка/решка.

1 перемога/1 поразка: решка/орел.

2 поразки: орел/орел.

У результаті кидання монетки виникає найбільш базовий розподіл, що зветься біномінальним. У біномінального розподілу є два результати — перемога і поразка — і кожен може трапитися з однаковою ймовірністю.

На перший погляд незрозумілі теорії біномінального розподілу можна застосовувати в такій практичній діяльності, як дослідження фондового ринку. Перемогою в аналізі фондового ринку можна вважати додатний прибуток від акцій за результатами місяця, а поразкою були б втрати або вихід на нуль. В дослідженні динаміки цін на акції компанії AT&T з 1957 по 1977 роки, було проаналізовано кожен місяць задля визначення норми додатного прибутку. З’ясувалося, що за двадцятирічний період вдалими були 56,7 % місяців.

Досліджувані місяці погрупували на періоди по три місяці (квартали). Дослідники відзначили, що, по суті, перемога траплялась із такою частотою:

Математик, що підкидав монетку, створив таблицю із цифрами для вирішення усіх проблем біномінального розподілу. У випадку з AT&T для біномінальної таблиці потрібна така інформація: r (кількість можливих перемог) = від 0 до 3

n (кількість спроб) = 3 (3 місяці в кварталі) p (ймовірність успіху) = 56,7 %

З урахуванням цієї інформації, біномінальна таблиця прогнозує такі очікувані результати:

Як не дивно, біномінальний розподіл досить точно відповідає фактичним результатам AT&T. При такій гіпотетичній ймовірності перемоги (р) ймовірність додатного місячного прибутку у конкретному кварталі можна зрозуміти із таблиці. Тому з огляду на оцінку ймовірностей біномінальний розподіл має практичну цінність для спеціалістів з інвестування, директорів відділів збуту та дослідників-аналітиків.

Об’єм рідини в пляшках

Нормальний розподіл: Загадка дзвоноподібної кривої

Найчастіше використовується нормальний розподіл, відомий під назвою дзвоноподібна крива. У Гарварді дзвоноподібну криву використовують для виставлення оцінок студентам. Крива показує, що 15 % слухачів отримують дуже низькі бали. А от у Дарденській школі бізнесу викладачі ставлять незадовільні оцінки на власний розсуд. В результаті, в цих двох кампусах утворилось принципово різне конкурентне середовище.

Коли функція ймовірнісної міри будується на основі великої кількості спроб, крива збільшується та набуває форми дзвона. Ми називаємо це ймовірнісною щільністю розподілу. Саме це показували два графіки опадів у Сієтлі. Горбик посередині виникає у зв’язку з центральною граничною теоремою. Вона стверджує: «розподіл середніх значень повторюваних незалежних вибірок набуватиме форми нормального розподілу у вигляді дзвона». Чому? Просто тому що велика кількість незалежних вибірок направляється до центрального середнього значення.

Поняття «середніх значень із вибірки» досить розмите. На практиці це пояснення вживають у ширшому значенні й воно охоплює будь-яку значну групу даних. Чому? Тому що нормальний розподіл використовувати легко, й він у будь-якому разі має тісний зв’язок із реальністю. Біржовий курс акцій — це результат багатьох ринкових коливань, кульмінацією яких стає фінансовий результат (прибутки або втрати). Фінансовий результат можна вважати «середнім арифметичним» цих ринкових коливань. Практично усе можливо раціоналізувати через середнє арифметичне — в цьому й користь нормального розподілу.

Міри кривої нормального розподілу. Дзвоноподібну криву описують за допомогою двох термінів — середнє та стандартне (середнє квадратичне) відхилення (СКВ). Середнє (µ) — це центр кривої. Зазвичай середнє називають середнім арифметичним. Його обчислюють додаванням даних та поділом цієї суми на кількість точок даних. Стандартне відхилення (σ) — це те, наскільки широко розтягнена крива. Стандартне відхилення (СКВ) також можна описати як критерій «відхилення від середнього». Ці два терміни лежать в основі більшості ймовірнісних понять.

Іншими, менш популярними величинами середнього значення для набору даних, є медіана — величина посередині списку даних, упорядкованого за зростанням, та мода — пункт, що найчастіше виникає в наборі даних.

Як і з біномінальним розподілом, сума всіх результатів, відображених на ділянці під кривою, дорівнює 100 відсоткам. Крива нормального розподілу цікава тим, що для будь-якого стандартного відхилення від середнього або від центру ймовірність події однакова незалежно від форми кривої нормального розподілу.

Приклад використання кривої нормального розподілу в торгівлі. Ел Банді, власник взуттєвого магазину, хоче впевнитись у тому, що має на складі достатньо запасів взуття всіх розмірів. Він придбав в Академії взуття дослідження жіночих розмірів і одержав масу даних, отриманих в результаті проведених опитувань.

Він вніс ці дані у графік, і вони набули вигляду кривої нормального розподілу. Він також увів дані у свій бізнес-калькулятор і натиснув кнопку «Стандартне відхилення». Відповіддю була «2». Ел також вирахував середнє арифметичне усіх розмірів опитаних й отримав відповідь «7». Він побачив, що його графік викликає довіру і має такий самий вигляд, як перевірений нами графік нормального розподілу.

Вже просто впізнавши його форму, Ел міг застосувати до нього закони кривої нормального розподілу. Для ділянки під усіма кривими нормального розподілу працюють такі закони:

1 СКВ = 0,3413

2 СКВ = 0,4772

3 СКВ = 0,49865

4 СКВ = 0,4999683

СКВ — стандартне відхилення

Відповідно до цих правил, якщо на складі пана Банді є розміри з 5-го по 9-й, то він забезпечує потребу 0,6826 (2 × 0,3413) населення. Розширивши асортимент складу з 3-го по 11-й розміри, він забезпечить потребу 0,9544 ймовірних покупців. Якщо Ел на складі матиме розміри з 1-го по 13-й, його асортиментом будуть задоволені 0,9973 клієнтів. А для тих, чиї розміри виходять за межі діапазону 1—13, він завжди зможе виконати спеціальне замовлення.

Звісно, таблиці нормального розподілу створили для того, щоби визначати ймовірність на будь-якій конкретній точці кривої (з урахуванням нецілих СКВ, віддалених від середнього). Щоби користуватися таблицями, потрібно вирахувати значення Z.

Z = ( (Точка, що нас цікавить) — Середнє ) / СКВ

Фінансовий приклад кривої нормального розподілу

Застосуємо ці нові дані з теорії ймовірності до сфери фінансів. Припустімо, щомісячні біржові прибутки від волатильних[6] акцій компанії Pioneer Аviation на графіку мають вигляд кривої нормального розподілу. Підсумок прибутків у ретроспективі свідчить про середнє (центр) в 1 % та стандартне відхилення в 11 %. Джеральд Расмуссен хоче знати, яка ймовірність того, що прибутки наступного місяця становитимуть менше 13 %.

Ми можемо дізнатися це за допомогою нашого нового значення Z:

Z = (13—1) / 1,09 (СКВ відносно середнього)

Таблиця нормального розподілу, яку я подаю в додатку, стверджує, що 1,09 СКВ = 0,3621. Уся ліва сторона графіка дорівнює 0,5000, як і будь-яка повна половина розподілу. Це підходить для всіх ситуацій. Є 50-відсоткова ймовірність потрапляння в точку вище або нижче від центра або середнього при будь-якому нормальному розподілі. Склавши всі ці уривки інформації, я вирахував: ймовірність, що прибутки не перевищуватимуть 13 % становить 0,8621 (0,3621 + 0,50) і, навпаки, ймовірність, що вони будуть вищими, становить 0,1379 (1 — 0,8621). Це реальна відповідь на реальну бізнес-проблему з використанням статистики як інструмента.

Статистика не важка, якщо не заглиблюватися в теорію. Є й інші види розподілу, та їх рідко застосовують у бізнесі. Розподіл Пуассона аналогічний нормальному розподілу, але має хвіст у правій частині графіка. Однак більшість видів розподілу вважають нормальними, бо це дає змогу застосовувати до них переваги законів нормального розподілу щодо стандартних відхилень.

Кумулятивні функції розподілу

Кумулятивна функція розподілу — це накопичувальне відображення розподілу ймовірностей. Вона бере функцію ймовірнісної міри, таку, як дзвоноподібна крива, і запитує: «А яка ймовірність того, що результат буде меншим або рівним цьому значенню?»

Крива нормального розподілу каже вам, яка ймовірність конкретного результату, тоді як кумулятивна функція розподілу показує ймовірність конкретного діапазону значень. Кумулятивну функцію розподілу також можна використовувати, щоб поєднати розуміння невизначеності (теорію ймовірності) з інструментом для прийняття рішень (деревом рішень). Кумулятивна функція розподілу охоплює діапазон ймовірних результатів багатозначних невизначених величин.

Продовжуємо розглядати наш приклад з нафтовою свердловиною і погляньмо на розподіл можливих значень нафти, що можуть бути в землі, якщо її таки знайдуть:

У дереві, яке ми малювали раніше, ми брали суму заробітку в 1 000 000 $. Ця сума була очікуваною грошовою віддачею (ОГВ) нафти, бо мені було зручно взяти її за приклад. Насправді ж розподіл охоплював широкий діапазон значень. Була ймовірність у 0,005, що прибуток становитиме 6 000 000 $, і така сама ймовірність суми в 50 000 $, як це показує таблиця значень. Якщо ви помножите кожну суму на її ймовірність, відображену в другій колонці, то отримаєте очікувану грошову віддачу в 1 000 000 $, тобто ту саму суму, яку ми використовували до цього.

Побудувавши функцію кумулятивного розподілу, людина, яка приймає рішення, визначає середнє, тобто очікувану грошову віддачу, і з цього може розпочати аналіз. Побудова кумулятивного розподілу дає змогу об’єднати оцінки ймовірності верхньої межі, середини і нижньої межі діапазону невідомих результатів і визначити очікувану грошову віддачу, що допоможе прийняти рішення.

Графік кумулятивної функції розподілу для діапазону результатів нагадує велику літеру S. На ньому ви одразу бачите усі можливі результати, а не лише статичні окремі точки. Як показує графік далі, Сем Х’юстон вважає, що всі можливі результати входять до безперервного «діапазону» від 0 $ до 6 000 000 $.

Діапазон ймовірностей від 0 до 1,0 у графіку кумулятивної функції ділиться на секції — фрактали — за допомогою медіани інтервального ряду. Поданий нижче графік кумулятивної функції розподілу поділений саме так. Наприклад, аби поділити діапазон ймовірності кумулятивної функції розподілу на п’ять фракталів, можна взяти фрактали 0,1; 0,3; 0,5; 0,7 та 0,9. Кожен із них представлятиме середнє арифметичне «діапазону значень», від 0 до 0,2; від 0,2 до 0,4; від 0,4 до 0,6; від 0,6 до 0,8; та від 0,8 до 1,0 відповідно.

Фрактал 0,5 рівнозначний медіані, адже по обидва боки від нього розташовано по половині можливих значень. Медіана не обов’язково збігається із середнім, тобто центр кривої нормального розподілу. Медіана — це лишень центр діапазону значень. Середнє — це добуток від множення усіх ймовірностей і відповідних значень: власне так ми отримали очікувану грошову віддачу в 1 000 000 $ у разі виявлення нафти.

Щоби поєднати поняття кумулятивної функції розподілу із деревом рішень і прийняти важливі управлінські рішення, уявіть, як можна відобразити усі значення ймовірних результатів використання нафтової свердловини. Це був би діапазон значень, представлений віялом можливостей. Намалювати нескінченну кількість можливостей у вигляді гілок дерева неможливо, тому ми використовуємо графік кумулятивної функції розподілу.

Як накреслити кумулятивну функцію розподілу. Щоб намалювати кумулятивну функцію розподілу у такому вигляді, як зображено нижче, потрібно покладатись як на власні міркування, так і на результати досліджень. Слід поставити собі низку запитань:

• при якому значенні в 50 % випадків результат є вищим або нижчим від заданого значення (медіана)?

• якими будуть значення на нижній межі (фрактал 0,10)?

• якими будуть значення на верхній межі (фрактал 0,90)?

Відповівши на ці запитання, ви можете накреслити кумулятивну функцію розподілу ймовірного діапазону результатів. Обравши п’ять результатів за допомогою п’яти фракталів із кумулятивної функції розподілу, ви можете накреслити віяло наслідків із п’яти можливостей і ймовірностей у вигляді п’яти гілок на дереві рішень.

Очікувана грошова віддача така сама, як при нашому першому розгляді цієї ситуації, та це лише тому, що мені на початку було зручно використати правильне значення ОГВ.

Спрощеним варіантом використання п’яти фракталів є метод Пірсона-Тьюкі. Замість п’яти фракталів, у цьому методі використовують лише три — фрактали 0,05; 0,5 та 0,95. Їм відповідають такі ймовірності — 0,185; 0,63 та 0,185.

Для вирішення більших проблем дерево рішень було комп’ютеризовано за допомогою програм симуляції (метод Монте-Карло), серед яких найпопулярніша — Oracle Crystal Ball. У комп’ютерну модель вводять дерево та параметри «віяла наслідків» кумулятивної функції розподілу. Програма здійснює чимало симуляцій і пропонує вам варіанти вирішення ситуації. Деякі компанії з рейтингу Fortune 500 користуються цим методом. Спеціалісти з фінансового планування використовують його для оцінювання довгострокових прибутків від інвестиційного портфеля.

Кумулятивну функцію розподілу та аналіз фракталів можна застосовувати в ситуаціях, де очікувана грошова віддача якоїсь гілки дерева рішень є непевною. Однак найважливішим є здоровий глузд аналітика. Дерево — це просто інструмент, який МВА має використовувати спільно зі своїми знаннями та інтуїцією.

РЕГРЕСІЙНИЙ АНАЛІЗ І ПРОГНОЗУВАННЯ

У багатьох бізнес-ситуаціях, аби встановити залежність між змінними, які, за інтуїтивним відчуттям аналітиків, мають бути пов’язаними, використовують моделі лінійної регресії. Після того як залежність встановлена, лінійну регресію можна використовувати для прогнозування майбутнього. Переважно регресійний аналіз використовують, щоби пов’язати продажі з такими чинниками, як ціна, реклама та ринок; курс акцій — з прибутками та відсотковими ставками; а виробничі витрати — з обсягом виробництва. Та, звісно, його можна використовувати й для пошуку відповідей на запитання такого плану: «Як впливає температура на продаж морозива в ріжку?» Незалежною змінною (Х) в цьому сценарії є температура. Вважають, що саме ця змінна впливає на інші події. Залежною змінною (Y) є обсяг продажів. Температура впливає на продажі, а не навпаки.

Регресійний аналіз передбачає збір достатньої кількості даних для встановлення залежності між змінними. Коли даних є багато, наприклад у випадку з інформацією про зміни температури та обсягів продажу протягом року, можна намалювати графік, де температуру відображатиме вісь абсцис, а обсяг продажів — вісь ординат. Завдання регресії — створити рівняння прямої, яка «найкращим чином» відображатиме цю залежність. Регресія намагається «припасувати» пряму між точками даних, нанесеними на графік, щоб «значення суми квадратів відхилень точок від прямої були якомога меншими». Метод найменших квадратів вимагає чимало додавання, віднімання та множення. Для цього знадобиться бізнес-калькулятор або комп’ютерна програма складання електронних таблиць.

Повторення курсу алгебри

Перш ніж перейти до прикладу використання регресії, повторімо базові алгебраїчні поняття. Ви, мабуть, пам’ятаєте, що пряму описує така формула:

Y = mX + b, де

Y — залежна змінна (наприклад, обсяг продажів) m — кут нахилу прямої (відношення між змінними)

X — незалежна змінна (наприклад, дощ) b — точка перетину осі ординат (місце, де пряма перетинає вертикальну вісь)

Комп’ютерна електронна таблиця обчислить рівняння прямої (Y = mX + b), що визначає відношення між незалежними та залежними змінними. Програма визначить, чи можна використовувати пряму, яка за розрахунками «найкращим чином» відображає цей зв’язок, як точний інструмент для прогнозування.

Приклад регресії із морозивом

Власник мережі з двадцяти магазинів із морозивом Ben & Jerry’s помітив, що зростання та зниження температури повітря безпосередньо впливало на обсяг продажів. Намагаючись встановити точну математичну залежність між продажами та сезонними температурами, він зібрав дані про щомісячний обсяг продажів за останніх п’ять років, а в Національній метеослужбі отримав дані про середньомісячні температури за цей період.

Кількість проданих бочок

Обсяг виробництва (Y)

AS — сукупна пропозиція; AD — сукупний попит

Зібрані дані мали такий вигляд:

За допомогою функції електронної таблиці «Регресія» власник отримав такі результати в Excel:

Рівновага граничного доходу та витрат

Кількість виготовленої продукції (Q)

MC — граничні витрати; MR — граничний дохід

Що це означає?

Цей блок інформації містить рівняння для прямої, що описує залежність між температурою та продажами в Ben & Jerry’s. Спершу розберемо дані, на основі яких складають лінійне рівняння.

«Ордината в точці перетину осі Y» = b = — 79 066

«Коефіцієнт змінної X» = m = 16 431

Якщо вставити цю інформацію в стандартне лінійне рівняння, яке ми пригадали з курсу алгебри, отримаємо:

Y = 16 431 X—379 066.

Наносимо точки даних на графік та малюємо пряму регресії, описану рівнянням (див. графік на наступній сторінці).

Як показує графік, пряма регресії проходить посередині між точками даних. Якщо внести температуру, Х, у рівняння, можна вирахувати прогнозований обсяг продажів морозива. У випадку з Ben & Jerry’s, при температурі в 60° F прогнозований місячний обсяг реалізації становитиме 606 794 $.

Y = (16 431 × 60 °F) — 379 066 = 606 794 $

Та наскільки точне це рівняння при прогнозуванні продажів морозива? Відповідь на це питання нам дасть інша цифра у графі таблиці «Результат регресії».

Пояснення R-квадрата

Значення R-квадрата каже нам, «який відсоток варіації у даних пояснює дане рівняння регресії». В нашому випадку варіація обсягу продажів на 70,4 % пояснюється рівнянням регресії. Це дуже високий показник. У масштабнішому економічному аналізі дуже високим вважатиметься R-квадрат у 30 %, адже є тисячі змінних, що можуть вплинути на економічну ситуацію. У ситуації з торгівлею морозивом можна припустити, що, окрім температури, на коливання продажів впливають також реклама магазину, купони на знижку та графік роботи.

Та будьте обачні! Не варто надто пильно шукати в результатах регресійних даних якийсь глибокий зміст! Регресія свідчить лише про те, що обсяг продажів змінюється зі зміною температур. Вона не стверджує, що «саме температура відповідає за зміну обсягу продажів». Та якщо обрана незалежна змінна є обґрунтованою і може вдало спрогнозувати поведінку бажаної залежної змінної — використовуйте її.

Регресійний аналіз вказує не лише на позитивні кореляції, як‑то продажі морозива й температура, а й на негативні кореляції, як‑от відсоткова ставка й продажі нерухомості. Якщо відсоткова ставка висока, продажі нерухомості низькі. В цьому випадку коефіцієнт X — це від’ємне число. З точки зору прогнозування ці негативні залежності не менш корисні, ніж позитивні.

Пояснення середньоквадратичної похибки

«Середньоквадратична похибка оцінки Y та коефіцієнта Х» — це синоніми стандартного відхилення коефіцієнтів Y та X прямої регресії. У випадку з Ben & Jerry’s середньоквадратична похибка оцінки Y (обсягу продажів) у 68 % випадків становить плюс-мінус 243 334 $ (див. «Підсумкові результати», перша таблиця, с. 191). Аналогічно результат показує, що середньоквадратична похибка коефіцієнта × (температури) становить 3367 (див. «Підсумкові результати», друга таблиця, с. 192). Можна провести низку аналізів, встановлюючи діапазон цих даних і надійності з урахуванням середньоквадратичного відхилення, і перевірити надійність отриманого рівняння регресії.

Т-статистика як мірило надійності

Т-статистика може допомогти з визначенням, чи рівняння регресії, вирахуване електронною таблицею, підходить для використання в прогнозуванні. Т-статистика показує, чи змінна Х має значущий, з точки зору статистики, вплив на Y, як‑то вплив температури на продажі. Ви вираховуєте значення шляхом ділення коефіцієнта Х на його «середньоквадратичну похибку». Правило номер один каже, що коли значення Т-статистики вище 2 або нижче —, змінна Х має значущий, з точки зору статистики, вплив на Y. В нашому випадку, 16 431 / 3367 = 4,88, дуже високе значення Т-статистики (див. «Підсумкові результати», друга таблиця, с. 267). Тому аналітик зробив би висновок, що температура — це хороший прогностичний чинник продажів.

Для моделі прогнозування підходять тільки високі значення R-квадрата і Т-статистики. Можна також створити модель із більше ніж однією змінною Х. Це називається багатопараметричною регресією. Коли зростає кількість змінних, зростає й значення R-квадрата. Однак додавання більшої кількості змінних Х із низькою Т-статистикою призводить до створення неточної моделі. З моделлю варто поекспериментувати, додаючи й забираючи незалежні змінні для отримання високого значення R-квадратів і високого значення Т-статистики.

Е — еластичний; Н — нееластичний

Регресійний аналіз фіктивних змінних

Одним із прийомів регресійного аналізу є метод фіктивних змінних для відображення умов, що не вимірюються числами. Їх позначають одиничками й нуликами. Наприклад, якщо серед асортименту в магазині Toys «R» Us є модна у сезоні іграшка (нечислова умова) — продажі злітають уверх. Використовуючи фіктивні змінні, у наборі даних умову наявності в асортименті можна позначити як 1, а умову відсутності в асортименті — як 0.

Як це працює, можна побачити на прикладі гіпотетичного набору даних в магазині Toys «R» Us.

Зрештою отримуємо такі результати регресії щодо залежності між наявністю модних іграшок і обсягом продажів.

Це ідеальна модель, адже варіація в 100 % пояснюється середньоквадратичною похибкою і Т-статистика має дуже хороший показник. Т-статистика дуже висока. Виручка становить 100 000 $, якщо бажаних іграшок в наявності нема, і на 100 000 $ збільшується, коли вони є. Рівняння регресії, за результатами електронної таблиці, має такий вигляд:

Обсяг продажів = 100 000 $ X + 100 000 $

Якщо жадані іграшки в наявності є, X = 1, а продажі злітають до 200 000 $. Якщо ж немає, X = 0, то продажі становлять 100 000 $. Фіктивні змінні корисні для встановлення відповідності між недиференційованими даними, як‑то наявність на складі або святковий день, і даними, що зазвичай диференціюються, як‑то температура, відсоткова ставка й дефекти продукції. В результаті ми отримуємо корисні регресійні моделі.

ІНШІ ТЕХНІКИ ПРОГНОЗУВАННЯ

Техніки аналізу часових рядів прогнозують результати відповідно до змін у відношеннях з плинністю часу. У нашому прикладі з морозивом точки даних щодо температури й продажів були нанесені на графік без урахування часу, коли було отримано ці дані. Залежності регресії не зважають на часові показники. Та ми бачимо, що сезонні зміни впливають на продажі Ben & Jerry’s. Аналіз часових рядів зважає на час і наносить дані на графік відповідно до їхнього надходження. Тоді ця техніка намагається «розкласти» коливання даних на три частини:

• Загальна тенденція — зростання, зниження, незмінність (довгострокові показники).

• Циклічність — годинна, денна, тижнева, місячна (короткострокова закономірність).

• Незрозумілі моменти — незвичайні або непостійні зміни в результаті особливих подій або примхливості природи.

Регресію та зміни в середньому використовують для визначення тенденції та циклів. Ви, очевидно, розумієте, що прогнозування аналізу часових рядів — справа трудомістка й не обмежується короткими і простими прикладами. Однак корисно принаймні знати про цю техніку.

ПІДСУМОК

У цьому розділі описано кількісні методи аналізу, що їх використовують для досягнення таких цілей:

• Аналіз складних проблем за допомогою дерева рішень.

• Визначення вартості грошових коштів, отриманих у майбутньому, — аналіз руху грошових коштів та аналіз чистої поточної вартості.

• Кількісне відображення невизначеності за допомогою теорії ймовірності.

• Встановлення відношень та прогнозування за допомогою регресійного аналізу та інших технік прогнозування.

Користуючись цими практичними інструментами, МВА вирішують проблеми, які виникають у світі бізнесу. Завдяки цим методам МВА здобувають ресурси для прийняття інформованих рішень і мають змогу показати себе в роботі.

ГОЛОВНІ ІДЕЇ ТЕМИ «КІЛЬКІСНИЙ АНАЛІЗ»

Дерево рішень — спосіб схематичного зображення та кількісного відображення множинних результатів бізнес-рішення.

Незворотні витрати — інвестиції, зроблені в минулому, що не мають суттєвого впливу на рішення щодо майбутніх інвестицій.

Очікувана грошова віддача — вартість рішення на основі ймовірностей та вартості усіх можливих результатів розвитку подій.

Накопичена вартість — сукупна майбутня вартість грошових потоків при реінвестуванні усіх доходів.

Чиста поточна вартість — загальна поточна вартість усіх грошових потоків, «дисконтована» до сьогоднішньої вартості грошей.

Внутрішня норма прибутку — дисконтна ставка, відповідно до якої чиста поточна вартість грошових потоків дорівнює нулю станом на сьогодні.

Розподіл ймовірностей — графік усіх можливих наслідків із відповідними ймовірностями їх настання.

Біномінальний розподіл — розподіл ймовірностей з усього двома можливими результатами.

Нормальний розподіл — дзвоноподібна крива розподілу ймовірностей усіх можливих результатів.

Стандартне відхилення — міра дисперсії (ширини) нормального розподілу.

Середнє — середнє арифметичне усіх результатів.

Значення Z — інструмент для вимірювання ймовірності окремих ситуацій на кривій нормального розподілу.

Кумулятивна функція розподілу — форма нормального розподілу, яка характеризує ймовірність того, що всі можливі результати будуть меншими або рівними сумі усіх можливих результатів.

Регресія — математичний метод прогнозування за допомогою лінійних рівнянь, що пояснюють залежність між множинними змінними.