Скрытая реальность

49

Поясним подготовленному читателю, как вычислить расстояние — сейчас, в момент времени t_наст, — которое свет прошёл с момента излучения во время t_изл. Мы будем рассматривать модель, в которой пространственная часть пространства-времени является плоской, и поэтому метрика может быть записана в виде

ds² = c²dt² − a²(t)dx²,

где a(t) — это масштабный фактор Вселенной в момент времени t, а c — скорость света. Используемые координаты называются сопутствующими. На образном языке этой главы их можно рассматривать как координаты, соответствующие точкам на статичной карте, а масштабный фактор даёт информацию, приведённую в легенде карты.

Траектории светового луча характеризуется тем, что ds² = 0 (это эквивалентно тому, что скорость света всегда равна c), откуда следует, что

или, выбирая конечный интервал времени между t_изл и t_наст:

Левая часть этого уравнения задаёт расстояние, пройденное светом по статичной карте от момента излучения до настоящего момента. Чтобы перевести это в расстояние в реальном пространстве, необходимо перемасштабировать формулу с учётом современного масштабного фактора; поэтому полное расстояние, проходимое светом, будет равно

Если пространство не расширяется, полное пройденное расстояние будет

как и ожидалось. Таким образом, при вычислении расстояния, пройденного в расширяющейся Вселенной, мы видим, что каждый участок траектории светового луча умножается на фактор a(t_наст)/a(t), который характеризует то, как на настоящий момент увеличился участок траектории с того момента, как через него прошёл свет.