Строение и законы Вселенной

Уравнение Навье — Стокса

Сразу отметим, что в поставленной коллективом ученых из Clay Mathematics Institute задаче отсутствует математическая запись уравнения, которое должно быть уточнено или расширено (этим, кстати говоря, грешат многие заказчики научных и технологических решений, не затрудняющие себя определением граничных условий задачи, тем самым-как бы «размывая» цель исследования и затрудняя поиск приемлемого ответа). Э го также дает возможность недобросовестному заказчику отказать в выдаче обещанного вознаграждения.

В каноническом виде уравнение Навье — Стокса определяет движение несжимаемой вязкой жидкости и записывается в виде

где v — вектор скорости; t— время; F — вектор напряженности массовых сил; ρ — плотность среды; Р — гидродинамическое давление; n — кинематическая вязкость.

В соответствии с определением в исследуемой жидкости должно выполняться условие несжимаемости

divV = 0

соответствующее определению «ньютоновской жидкости», и условие распределения напряжений, соответствующее определению «ньютоновской жидкости».

При движении потоков вблизи твердых границ на неподвижных границах за счет прилипания частиц выполняется условие прилипания

v=o,

а на подвижных границах

V = V_t

где V_t — скорость точек твердой поверхности.

Таким образом, получается замкнутая система уравнений, позволяющая при определенных граничных условиях вычислить сопротивление в канале или для тел, движущихся в вязкой жидкости. Ограничениями, влияющими на точность решения, являются:

• узкие рамки исследуемого диапазона скоростей: например, для газов V ≤ 0,1÷0,2 V звука, так как далее необходимо учитывать сжимаемость;

• нелинейные геометрические эффекты — вихревые системы за движущимся или обтекаемым телом, геометрические характеристики которого определяются взаимозависимыми характеристиками, в первую очередь, скоростями в потоке;

• нелинейные динамические эффекты — отрыв и перенос вихрей, изменение температуры, рассеивание энергии в потоке и на границах;

• нелинейные физические эффекты — изменения физических и химических свойств жидкостей и газов (коэффициентов взаимодействия, фазовых состояний, растворимости и т. д.).

Численные решения подобных задач обычно выполняются на основе конечно-разностных аппроксимаций с точностью 3-15 % в зависимости от практической необходимости и геометрической сложности исследуемой области.

Линеаризация в пределе дает систему уравнений Эйлера. Если ее расширить с использованием теории пограничного слоя Прандтля и многочисленных, но частных случаев решений вихревых движений, то получится математическая модель движения вязкой жидкости. Однако и в этом случае появляется ряд неувязок (парадоксов), описанных Г. Биркгофом.

Школа гидро- и аэродинамиков Ленинграда — Санкт-Петербурга достигла определенных результатов в решении частных случаев этих задач и расширении рамок применения уравнения. Однако игнорирование или незнание этого выглядит весьма странно, гак как результаты публикуются в научных трудах в России: успехи российских ученых не были замечены в Clay Mathematics Institute. Автор рекомендовал бы специалистам института ознакомиться, например, с работами А. О. Дитмана, опубликованными в Ленинграде в 1900–2000 гг., а также работой В. Д. Савчука, вышедшей в свет в г. Дубне (Московская обл.) в 1999 г., внесших ряд существенных уточнений как в математическую постановку, так и в способы практического решения уравнения Навье — Стокса.

Численное решение может быть получено на аналоговых электромагнитных интеграторах, использующих в качестве моделируемой области непрерывные среды (полевые структуры). Разработка серии таких устройств, используемых для решения прикладных задач аэро- и гидродинамики, электромашиностроения, геологоразведки, теории упругости и т. д., давно и успешно ведется учеными Санкт-Петербурга.