Большая Советская Энциклопедия (ПА)

Параметрическое представление

Параметри'ческое представле'ние функции, выражение функциональной зависимости между несколькими переменными посредством вспомогательных переменных параметров . В случае двух переменных х и у зависимость между ними F (х , у ) = 0 может быть геометрически истолкована как уравнение некоторой плоской кривой. Любую величину t , определяющую положение точки (х , у ) на этой кривой (например, длину дуги, отсчитываемой со знаком + или — от некоторой точки кривой, принятой за начало отсчёта, или момент времени в некотором заданном движении точки, описывающей кривую), можно принять за параметр, в функции которого выразятся х и у :

x = j(t ), у = y(t ). (*)

Последние функции и дадут П. п. функциональной зависимости между х и у , уравнения (*) называют параметрическими уравнениями соответствующей кривой. Так, для случая зависимости x ² + y ² = 1 имеем П. п. х= cos t , у = sin t (0 £ t < 2p) (параметрические уравнения окружности); для случая зависимости х ² —у ² = 1 имеем П. п. ; (t ¹ 0) или также х = cosec t , y=ctg t (— p< t < p, t ¹ 0) (параметрические уравнения гиперболы). Если параметр t можно выбрать так, что функции (*) рациональны, то кривую называют уникурсальной (см. Уникурсальная кривая ); такой является, например, гипербола. Особенно важно П. п. пространственных кривых, т. е. задание их уравнениями вида: х = j(t ), у = y (t ), z = c (t ). Так, прямая в пространстве допускает П. п. х = а + mt ; у = b + nt ; z = с + pt , винтовая линия — П. п. х = a cos t ; у = a sin t ; z = ct .

Для случая трёх переменных х , у и z , связанных зависимостью F (x , y , z ) = 0 (одну из них, например z, можно рассматривать как неявную функцию двух других), геометрическим образом служит поверхность. Чтобы определить положение точки на ней, нужны два параметра u и u (например, широта и долгота на поверхности шара), так что П. п. имеет вид: х = j(u, u), у = y (u, u); z = c (u , u). Например, для зависимости x ² + y ² = (z ² +1 )² имеем П. п. х = (u ² —1 ) cos u; у = (u ² + 1) sinu; z = u . Важнейшими преимуществами П. п. являются: 1) то, что они дают возможность изучать неявные функции и в тех случаях, когда переход к их явному заданию без посредства параметров затруднителен; 2) то, что здесь удаётся выражать многозначные функции посредством однозначных. Вопросы П. п. изучены особенно хорошо для аналитических функций. П. п. аналитических функций посредством однозначных аналитических функций составляет предмет теории униформизации .