Это база: Зачем нужна математика в повседневной жизни

8 Вот это отскок!

Недавно мы купили новый матрац. Тот, что мы выбрали, содержит 5900 пружин. На разрезе матраца в магазине видны плотно упакованные группы пружин с редкими витками и целый слой пружин меньшего размера сверху. В матрацы верхнего ценового сегмента добавляют еще 2000 пружин внутрь основного слоя. Сегодняшние технологии далеко ушли от тех времен, когда в среднем матрасе насчитывалось порядка 200 довольно больших и не слишком удобных пружин.

Пружина – одна из тех деталей, которые поистине вездесущи, но которые редко замечают – пока они не испортятся. Есть клапанные пружины в двигателях автомобилей, есть длинные тонкие пружинки в шариковых авторучках, есть пружины всевозможных форм и размеров в компьютерных клавиатурах, тостерах, дверных ручках, часах, батутах, диванах и blu-ray-проигрывателях. Мы их не замечаем, потому что они прячутся внутри приборов и мебели, а, как говорится, с глаз долой – из сердца вон. Экое дело – пружины!

А знаете ли вы, как делают пружины? Я точно не знал, пока в 1992 году у меня в кабинете не зазвонил телефон.

– Алло? Это Лен Рейнольдс. Я инженер из Ассоциации исследователей и производителей пружин в Шеффилде. Я тут читал вашу книгу по теории хаоса, где упоминается метод нахождения формы хаотического аттрактора по результатам наблюдений. Мне кажется, этот метод мог бы помочь в решении проблемы, с которой мы, производители пружин, боремся последние 25 лет. Я попробовал кое-что посчитать на тестовых данных на своем ZX81.

Sinclair ZX81 был одним из первых массовых домашних компьютеров. В качестве монитора в нем использовался телевизор, а для записи программ – кассетный магнитофон. Размером он был примерно с книгу, сделан из пластика и имел целый 1 Kб памяти. Сзади можно было воткнуть еще 16 Kб при условии, что вы не забывали позаботиться о том, чтобы эта память не отваливалась. Я сделал тогда деревянную рамку, которая должна была удерживать блок RAM на месте, а некоторые пользовались офисным пластилином.

Конечно, это были далеко не передовые вычислительные технологии, но полученные Леном предварительные результаты оказались достаточно многообещающими, чтобы получить под них грант £90 000 (что соответствовало на тот момент примерно $150 000) от Министерства торговли и промышленности и примерно столько же (но уже не деньгами) от консорциума производителей пружин и проволоки. Денег хватило на трехлетний проект по улучшению контроля качества пружинной проволоки, который дал начало еще двум проектам. По одной из оценок, результат мог принести производителям пружин и проволоки экономию £18 млн ($30 млн) в год.

Таких случаев применения математики для решения производственных проблем буквально тысячи, они возникают постоянно – и столь же постоянно остаются незамеченными. Многие из них являются коммерческой тайной и защищены соглашениями о неразглашении. Время от времени такие британские организации, как Исследовательский совет по инженерным и физическим наукам и Институт математики и ее приложений, публикуют краткие обзоры проектов, то же происходит в США и других странах. Без этих проектов и без многих других случаев целевого использования математики крупными и мелкими компаниями по всему миру ничего из тех приспособлений и устройств, которыми мы сегодня пользуемся ежедневно, не было бы. Тем не менее это скрытый мир и мало кто из нас подозревает о его существовании.

В этой главе я приоткрою завесу тайны над тремя проектами, в которых мне довелось принимать участие. Их нельзя назвать особенно значимыми, просто я знаю, что в них было задействовано. Основные идеи были опубликованы в отраслевых журналах и являются общедоступными. Моя цель – показать, что использование математики в промышленности зачастую незаметно, но результаты его иногда приносят приятные неожиданности.

Как тот телефонный звонок Лена.

Проблема, которая четверть века ставила в тупик производителей пружин и проволоки, была простой и фундаментальной. Для пружин (продукт производителей пружин) нужна проволока (продукт производителей проволоки), которую пропускают через пружинонавивочные машины. По большей части проволока ведет себя как полагается, и пружины из нее получаются нужного размера и упругости. Но время от времени партия проволоки отказывается правильно навиваться даже в руках высококвалифицированного мастера. Обычные методы контроля качества начала 1990-х годов не могли отличить хорошую проволоку от плохой. Та и другая проходили одинаковые тесты на химический состав, прочность при растяжении и т. п. Визуально негодная проволока не отличалась от годной. Но когда годную проволоку запускали в пружинонавивочную машину, на выходе получались пружины с нужными характеристиками. Из негодной проволоки на выходе получалось либо что-то похожее на пружину, но неправильного размера, либо, в худшем случае, просто безнадежно спутанная проволока.

Попытка сделать из проволоки пружину не могла считаться практичным и эффективным способом проверки. Проволока, оказавшаяся негодной, занимала дорогостоящую пружинонавивочную машину на пару дней, прежде чем оператор убеждался в том, что из нее пружин не получится. К несчастью, поскольку эта проволока прошла обычные тесты, производитель всегда мог утверждать, что с проволокой все в порядке, а дело, похоже, в неправильной настройке пружинонавивочной машины. Обе отрасли сетовали на возникшее в результате безвыходное положение, обеим был нужен надежный способ определения правых и виноватых, – и обе жаждали доказательств, что виноваты не они. Добрая воля присутствовала, но необходим был объективный тест.

Когда мы начинали проект, то для начала показали математикам реальное производство пружин, чтобы они поняли, как проволока превращается в пружины. Все дело в геометрии.

Наиболее распространены пружины сжатия. Нажмите на их концы и почувствуйте, как они сопротивляются. Простейшая конструкция – спираль, похожая на винтовую лестницу. Представьте себе точку, бегающую вдоль окружности с постоянной скоростью, и начните равномерно смещать ее в направлении, перпендикулярном окружности. Кривая, которую будет описывать в пространстве эта точка, и есть спираль. Из практических соображений витки спиральных пружин на концах часто сближают, как если бы движущаяся точка сначала обежала несколько раз окружность на плоскости, потом двинулась под прямым углом к ней, а в конце вновь перестала двигаться в этом направлении и сделала пару последних витков в одной плоскости. Это помогает пружине не цепляться за все подряд – и защищает людей, помогая им не оказаться тем объектом, за который зацепится конец пружины.

Математически спираль характеризуется двумя параметрами – кривизной и кручением. Кривизна – мера того, насколько резко или плавно она изгибается. Кручение – мера того, насколько сильно спираль уходит от плоскости, определяемой направлением, в котором она изгибается. (Очевидно, существует формальное определение этих понятий, но я предлагаю не углубляться в дифференциальную геометрию пространственных кривых.) Для спирали оба эти параметра постоянны. Поэтому, когда вы смотрите на спираль сбоку, ее витки распределены равномерно и наклонены под одинаковым углом – это объясняется постоянной скоростью движения вдоль оси спирали. Когда вы смотрите в торец, все витки сливаются воедино и образуют окружность: здесь причина в равномерном движении по окружности. Маленькая окружность соответствует высокой кривизне, большая – низкой; круто восходящая спираль соответствует большому кручению, медленно восходящая – малому.

Пружинонавивочная машина воплощает эти характеристики механически, удивительно простым образом. В машину проволока поступает с большой неплотно намотанной катушки, называемой барабаном, через небольшое приспособление, представляющее собой просто жесткий кусок металла. Это приспособление одновременно изгибает проволоку в одном направлении и прикладывает небольшое усилие в направлении, перпендикулярном первому. Изгибание порождает кривизну, а усилие придает кручение. По мере того как проволока поступает, машина наматывает витки спирали один за другим. Когда спираль становится достаточно длинной, другое приспособление обрезает проволоку, и начинается формирование следующей пружины. Дополнительные устройства уменьшают кручение до нуля на концах спирали, чтобы сделать крайние витки плоскими и сблизить их. Процесс идет быстро – машина изготавливает по несколько пружин в секунду. Один производитель делал крохотные пружинки из специальной проволоки со скоростью 18 штук в секунду на каждой машине.

Компании, производящие пружины и проволоку, обычно относительно невелики и относятся к категории малых и средних предприятий. Они находятся между очень крупными поставщиками, такими как British Steel, и очень крупными потребителями, такими как автопроизводители или производители матрацев, так что их рентабельность сильно поджимается с обеих сторон. Чтобы выжить, они должны оставаться эффективными. Ни одна компания такого рода не может содержать собственный исследовательский отдел, поэтому Ассоциация исследователей и производителей пружин (SRAMA), переименованная с тех пор в Институт пружинных технологий (IST), представляет собой своего рода совместную исследовательско-конструкторскую организацию, финансируемую входящими в нее компаниями. Лен и его коллеги из SRAMA на тот момент уже добились некоторого успеха в решении проблемы навивки, устраняя то, что идет не так. Кривизна и кручение наматываемой пружины зависят от свойств проволоки, например пластичности, определяющей, насколько легко или, наоборот, трудно проволоку согнуть. Если при намотке образуется отличная правильная спираль, это значит, что свойства одинаковы по всей длине проволоки. Если правильной спирали не получается, свойства не одинаковы. Поэтому представлялось весьма вероятным, что плохая свиваемость возникает из-за беспорядочных изменений свойств материала по длине проволоки. Поэтому вопрос стоял так: как обнаружить нестабильность свойств?

С этой целью проволоку наматывали на круглый металлический стержень, примерно как спагетти наматывают на вилку, а затем измеряли расстояние между последовательными витками. Если все они примерно одинаковы – проволока годится. Если витки ложатся вкривь и вкось – проволока не годится. Правда, иногда расстояние между витками может варьировать довольно сильно, но проволока все равно годится на пружины. Может быть, они будут не настолько хороши, как в случае по-настоящему качественной проволоки, но все же пригодны для некоторых применений. Так что суть проблемы на тот момент заключалась в следующем: как количественно – иначе говоря, числами – оценить степень возникающего беспорядка, сказать, насколько «вкривь и вкось» ложатся витки?

Инженеры SRAMA применяли к списку измеряемых параметров все традиционные статистические инструменты, но не нашли параметров, которые хорошо коррелировали бы со свиваемостью. Именно здесь на сцену вышла моя книга по теории хаоса.

Название «теория хаоса» придумали журналисты, математикам она лучше известна как часть более широкой теории нелинейной динамики, которая изучает, как системы ведут себя, когда их поведение во времени управляется конкретным математическим правилом. Измерьте состояние системы сейчас, примените правило и рассчитайте состояние через крохотный промежуток времени в будущем. Затем повторите эту операцию. Время тикает, и вы можете вычислить состояние системы в сколь угодно далеком будущем. Методика расчета отвечает за динамику в названии. «Нелинейная» приблизительно означает, что правило не просто делает будущее состояние пропорциональным текущему состоянию или разнице между текущим и опорным состояниями. Для непрерывно изменяющегося времени правило задается дифференциальным уравнением, которое соотносит скорость изменения переменных системы с их текущими значениями.

Существует также дискретная версия, в которой время тикает небольшими интервалами, шаг за шагом. Она описывается уравнением в конечных разностях: состояние после одного тика есть то, что происходит с текущим состоянием при применении правила. Именно дискретная версия решает проблему навивки пружин. К счастью, она легче для понимания, чем непрерывная. Работает она примерно так:

где стрелочка означает «применить правило». Например, если правило звучит как «удвоить число», а стартуем мы с начального состояния, равного 1, то последовательные шаги дадут нам цепочку состояний 1, 2, 4, 8, …, которые всякий раз удваиваются. Это линейное правило, потому что результат пропорционален входным данным. Правило вроде «возвести в квадрат и вычесть 3» нелинейно, и в данном случае оно дает цепочку состояний

где раз за разом повторяются одни и те же два числа. Это «периодическая» динамика, примерно как смена времен года. При заданном начальном состоянии будущее поведение системы полностью предсказуемо: состояния 1 и –2 просто сменяют друг друга.

Если правило звучит как «возвести в квадрат и вычесть 4», мы получаем

и дальше числа все возрастают и возрастают (уменьшение происходит только на первом шаге). Последовательность по-прежнему предсказуема: достаточно просто вовремя применять правило. Поскольку оно носит детерминистский характер – в нем нет случайных величин, – каждая последующая величина однозначно определяется предыдущей, так что все будущее полностью предсказуемо.

То же относится и к непрерывным версиям, хотя в этом случае предсказуемость не так очевидна. Такая последовательность чисел называется временны́м рядом.

Вдохновляясь примерами Галилео Галилея и Ньютона, математики и физики открыли бесчисленное количество правил подобного рода, таких как галилеево правило для положения тела, падающего под действием силы тяжести, и ньютонов закон всемирного тяготения. Этот процесс привел к всеобщей вере в то, что любая механическая система подчиняется детерминистским правилам и, соответственно, предсказуема. Однако великий французский математик Анри Пуанкаре обнаружил в этих рассуждениях прореху, о чем и написал в 1890 году. Закон всемирного тяготения Ньютона подразумевает, что два небесных тела, например звезда и планета, движутся по эллиптическим орбитам вокруг общего центра масс, который в таком случае обычно располагается внутри звезды. Движение носит периодический характер, а периодом называется время, за которое система делает один оборот и возвращается в начальное положение. Пуанкаре задался вопросом, что происходит в случае, если тел три (Солнце, планета, Луна), и выяснил, что в некоторых случаях движение носит чрезвычайно нерегулярный характер. В дальнейшем математики, следуя за его открытием, поняли, что нерегулярность такого типа делает будущее системы непредсказуемым. Прореха в «доказательстве» предсказуемости заключается в том, что оно верно только в том случае, если вы можете измерить начальное состояние и провести все расчеты с идеальной точностью – с точностью до бесконечного числа десятичных знаков. Иначе даже крохотные расхождения могут вырасти экспоненциально и поглотить истинное значение.

Это и есть хаос или, правильнее сказать, детерминистский хаос. Даже если вы знаете правила и в них нет случайных составляющих, на практике будущее может оказаться непредсказуемым, даже если оно предсказуемо в теории. Мало того, поведение системы может оказаться настолько нерегулярным, что будет выглядеть как случайное. В истинно случайной системе текущее состояние не дает вообще никакой информации о следующем состоянии. В хаотической системе присутствуют тонкие закономерности. Тайные закономерности, стоящие за хаосом, носят геометрический характер и могут быть визуализированы путем построения решений модельных уравнений как кривых в пространстве, координатами которого являются переменные состояния. Иногда, если немного подождать, эти кривые начинают прорисовывать сложную геометрическую фигуру. Если кривые, выходящие из разных начальных точек, выписывают одну и ту же фигуру, мы называем эту фигуру аттрактором. Аттрактор характеризует скрытые закономерности в хаотическом поведении.

Слева: аттрактор Лоренца. Справа: реконструкция его топологии по одной переменной

В качестве стандартного примера обычно приводят уравнения Лоренца – динамическую систему с непрерывным временем, моделирующую конвекционный поток, например движение теплого воздуха в атмосфере. В этом уравнении три переменные. На рисунке, отражающем их изменения в трехмерной системе координат, все кривые решений в конечном итоге движутся вдоль фигуры, напоминающей маску, – это и есть аттрактор Лоренца. Хаос возникает потому, что, хотя кривые решений странствуют туда и сюда по этому аттрактору (ну хорошо, очень близко к нему), разные решения делают это очень по-разному. Одно может, например, шесть раз обойти вокруг левой петли, а затем семь раз вокруг правой; близлежащая кривая может восемь раз обойти левую петлю, затем трижды правую и т. д. Так что предсказанные варианты будущего этих кривых сильно различаются, хотя и начинаются они с очень похожих значений переменных.

Однако краткосрочные предсказания более надежны. Поначалу две близкие кривые остаются близкими, и только позже они начинают расходиться. Так что хаотическая система предсказуема в краткосрочной перспективе, в отличие от истинно случайной системы, которая вообще непредсказуема. Это одна из тех скрытых закономерностей, которые отличают детерминистский хаос от случайности.

При работе с конкретной математической моделью мы знаем все переменные и можем с помощью компьютера рассчитать, как они изменяются. Мы можем также визуализировать аттрактор, изобразив эти изменения в соответствующих координатах. Когда же мы наблюдаем реальную систему, которая может оказаться хаотической, такая роскошь доступна не всегда. В худшем случае удается измерить только одну из переменных. Поскольку остальные переменные неизвестны, мы не можем построить аттрактор.

Именно здесь в дело вступает догадка Лена. Математики придумали немало хитроумных методов «восстановления» аттрактора по измерениям одной-единственной переменной. Простейший из них – метод Паккарда – Такенса, или метод скользящего окна, разработанный Норманом Паккардом и Флорисом Такенсом. Этот метод вводит новые несуществующие переменные на основе измерений одной и той же переменной в разные моменты времени. Так что вместо оригинальных трех переменных, измеряемых синхронно, мы смотрим всего на одну переменную в окне длиной в три шага по времени. Затем мы сдвигаем окно вдоль оси времени на один шаг и повторяем эту операцию много раз. Правый рисунок показывает, как это работает для аттрактора Лоренца. Фигура на нем не совпадает с фигурой на левом рисунке, но, если вы не испортили дело, очень неудачно выбрав шаг по времени, то оба рисунка имеют одинаковую топологию: восстановленный аттрактор представляет собой непрерывно искаженный вариант реального. Здесь оба рисунка похожи на маски с двумя дырками для глаз, но один из них является перекрученной версией другого.

Этот метод дает качественную картину аттрактора, по которой можно судить, какого рода хаос нам ожидать. Так что Лен, задавшись вопросом о том, не сработает ли такой же прием с данными по пружинам, построил двумерный график, рассматривая последовательные промежутки между витками как временной ряд и применяя метод скользящего окна. Однако он получил не четкую геометрическую фигуру, похожую на маску, а всего лишь размытое облако точек. Это указывало на то, что последовательность промежутков, возможно, не является хаотической в формальном смысле, который используют математики.

Так что же, метод оказался бесполезным?

Вовсе нет.

Внимание Лена привлекла общая форма размытого облака. Образцы проволоки были тщательно проверены на навивочной машине, поэтому он заранее знал, какие из них годные, какие негодные, а какие так себе. Могло ли восстановленное облако точек сказать, что есть что? Судя по всему, да. Когда проволока была по-настоящему хорошей, легко навивалась и давала очень качественные пружины, облако получалось маленькое и приблизительно круглое. Когда проволока имела приемлемое качество и навивалась достаточно легко, но пружины давала с более значительным разбросом размеров, облако получалось крупнее, но по-прежнему приблизительно круглое. В случае некачественной проволоки, из которой невозможно было сделать пружину, облако получалось вытянутым, длинным и тонким, как сигара.

Если такая закономерность справедлива и для остальных образцов, то можно отказаться от требующих времени и дорогих испытаний на пружинонавивочной машине и судить о годности проволоки по форме и размеру размытого облака. Это решило бы практическую задачу поиска дешевого и эффективного теста для определения свиваемости. На самом деле неважно, является ли такой параметр, как промежутки между витками, случайным, хаотичным или в какой-то мере тем и другим. Не обязательно точно знать, как меняются свойства материала по длине проволоки или даже что это за свойства. Совершенно не обязательно проводить очень сложные расчеты упругости и подтверждать их не менее сложными экспериментами, чтобы понять, как изменчивость свойств влияет на свиваемость. Знать нужно лишь то, как различаются графики скользящего окна для годной и негодной проволоки, а это можно определить испытаниями на большом количестве образцов проволоки и сравнением с тем, как они ведут себя на пружинонавивочной машине.

Теперь стало ясно, почему такие стандартные статистические характеристики данных, как средняя величина и дисперсия (разброс), бесполезны. Они не учитывают порядок получения данных: как каждое следующее расстояние соотносится с предыдущим. Если перемешать числа, их среднее значение и дисперсия не изменятся, но форма облака точек может измениться кардинально. Здесь, скорее всего, и кроется ключ к производству качественных пружин.

Чтобы проверить эту догадку, мы построили машину контроля качества FRACMAT, которая наматывала тестовую пружинку на круглый металлический стержень, сканировала ее при помощи лазерного микрометра, чтобы измерить последовательные промежутки, передавала эти данные в компьютер, применяла к ним метод скользящего окна для восстановления аттрактора, получала облако точек, оценивала описывающий его эллипс, проверяя, какой он формы – округлый или сигарообразный – и велик ли он, и устанавливала, годным или негодным является образец. Это было практическое применение теории хаоса и метода восстановления аттрактора к задаче, которая формально даже не была хаотической. В полном соответствии с целью финансирования от Министерства торговли и промышленности, которое предназначалось не для исследований, а для распространения технологических достижений, мы перенесли метод восстановления аттрактора из математики хаотической динамики на временной ряд наблюдений вовсе не хаотической, а вполне реальной системы. Собственно, мы с самого начала говорили им, что собираемся сделать именно это.

Хаос – это не просто красивое слово для обозначения случайности. В краткосрочной перспективе хаос предсказуем. Если вы бросите игральную кость, то текущий бросок ничего не скажет о том, что произойдет дальше. Что бы ни выпало сейчас, любое из имеющихся на гранях чисел – 1, 2, 3, 4, 5, 6 – может выпасть в следующий раз с равной вероятностью. Если, конечно, эта игральная кость честная, а не налита, скажем, свинцом с одной стороны. Хаос не таков. Если бы с игральной костью ассоциировался хаос, в выпадениях были бы закономерности. Возможно, после 1 выпадали бы только 2 или 5, а после 2 – только 4 или 6 и т. д. Следующий результат был бы до некоторой степени предсказуем, но результат пятого или шестого броска после текущего мог бы уже быть любым. Чем дальше будущее, о котором вы хотите знать, тем более неопределенными становятся предсказания.

Второй проект, DYNACON, вырос из первого, когда мы поняли, что можно использовать краткосрочную предсказуемость хаоса для управления пружинонавивочной машиной. Если бы удалось каким-то образом измерять длины пружин по мере их изготовления и выявлять тенденции в полученных данных, говорящие о том, что машина действительно работает хаотически, то можно было бы заметить ухудшение качества пружин и подстроить машину так, чтобы компенсировать его. Производители к тому моменту уже нашли способы измерения длины пружины при ее изготовлении, чтобы отбраковывать изделия с отклонениями в размерах, но мы хотели большего. Не просто отсортировывать некачественные пружины при изготовлении, а вообще предотвратить их появление. Не полностью, но в достаточной мере, чтобы избежать значительных потерь проволоки.

Математика в основном имеет дело с точными расчетами. Некое число равно (или не равно) двум. Это число принадлежит (или не принадлежит) множеству простых чисел. Однако реальный мир зачастую не столь однозначен. Результат измерения может быть близок к 2, но не равен двум в точности; более того, если измерить ту же величину снова, результат может слегка отличаться от первого. Хотя число не может быть «почти простым», оно определенно может быть «почти целым». Такое описание вполне разумно для таких чисел, как, скажем, 0,99 или 2,01. В 1965 году Лотфи Заде и Дитер Клауа независимо друг от друга сформулировали точное математическое описание такого рода размытости, получившее название теории нечетких множеств, наряду с родственной концепцией нечеткой логики.

В традиционной теории множеств объект (такой как число) либо принадлежит конкретному множеству, либо не принадлежит. В теории нечетких множеств существует точная численная мера степени его принадлежности множеству. Так что число 2 может, в принципе, принадлежать множеству наполовину или, скажем, на треть. Если такая мера равна 1, число определенно принадлежит множеству, а если она равна 0 – определенно не принадлежит. Если оставить только значения 0 и 1, получится традиционная теория множеств. Если разрешить этой мере принимать любые значения между 0 и 1, степень нечеткой принадлежности захватит серую зону между двумя этими крайними значениями.

Некоторые видные математики сразу отбросили эту идею под тем предлогом, что теория нечетких множеств – это просто замаскированная теория вероятностей или что логика большинства людей и без того нечеткая, а потому ни к чему делать такой и математику. Вопрос о том, что заставляет некоторых ученых поспешно отбрасывать новые идеи, всегда ставит меня в тупик, особенно в ситуации, когда их возражения лишены смысла. Никто не предлагал заменять стандартную логику на нечеткую. Нечеткая логика предлагалась всего лишь как дополнительный инструмент в математическом арсенале. Хотя на первый взгляд нечеткие множества действительно напоминают вероятности, подчиняются они иным правилам, и интерпретация там тоже иная. Если число принадлежит множеству с вероятностью 1/2 и вам нравится частотный подход к вероятностям, то вы говорите, что при многократном повторении эксперимента число будет принадлежать этому множеству примерно в половине случаев. Если вы сторонник байесовского подхода, то будете считать, что число принадлежит множеству на 50 %. Но в теории нечетких множеств элемент случайности отсутствует. Число определенно принадлежит множеству, но степень его принадлежности не равна 1. Она в точности равна 1/2. Что касается презрительного замечания о плохой логике, то заметим: в нечеткой логике есть точные правила, и любые рассуждения, в которых она используется, либо верны, либо нет – в зависимости от того, выполняются ли в них эти правила. Мне кажется, слово «нечеткая» внушает некоторым мысль о том, что сами правила там легко поддаются воздействию и плохо определены. Это не так.

Другой вопрос, способный еще больше замутить воду, состоит в том, добавляют ли нечеткие множества и нечеткая логика что-нибудь ценное в математику. Ведь совсем несложно придумывать обширные формальные системы, которые оказываются немногим лучше нагромождения бессмысленных формул, то есть «абстрактной чепухи». Подозреваю, что искушение увидеть в детище Заде нечто подобное было довольно сильным, особенно поскольку основы теории едва ли можно назвать глубокими или сложными. В то же время если доказательством пудинга может быть только его употребление, то ценность математики можно установить разными способами, лишь в одном из которых фигурирует ее интеллектуальная глубина. Другим, довольно показательным в свете этой книги фактором является полезность. И надо сказать, что многие почти тривиальные математические идеи оказались в конечном итоге чрезвычайно полезными. Десятичная запись чисел, например. Она блестяще, новаторски, умно меняет правила игры, но никакой особой глубины в ней нет. Даже ребенок способен это понять.

Нечеткая логика и теория нечетких множеств, пожалуй, тоже не удовлетворяют критерию глубины, по крайней мере в сравнении с гипотезой Римана или Великой теоремой Ферма. Но они оказались очень, очень полезными. Они выходят на первый план всякий раз, когда мы не до конца уверены в точности информации, которую получаем из наблюдений. Сегодня нечеткая математика широко применяется в таких областях, как лингвистика, принятие решений, анализ данных и биоинформатика. Она используется, когда способна сделать дело лучше любого альтернативного метода, в остальных же случаях ее можно спокойно игнорировать.

Я не хочу вдаваться в подробности теории нечетких множеств, которые не нужны, чтобы оценить по достоинству наш второй проект. Мы опробовали несколько методов, позволяющих предсказать, что пружинонавивочная машина вот-вот начнет выдавать некачественные пружины, и соответствующим образом изменить настройки. Один из этих методов известен в отрасли как модель нечеткой идентификации Такаги – Сугено и назван в честь инженеров Томахиро Такаги и Митио Сугено{58}.

Эффект подключения контроллера нечеткой самонастройки. Слева направо идет подсчет изготовленных пружин. Вверху: измеренные длины пружин. Внизу: работа контроллера, измеренная числом включений исполнительного двигателя контроллера. Пружины 1–400 изготавливаются без участия контроллера, и длины их варьируют довольно сильно. Пружины 401–800 навиты при включенном контроллере, и вариативность их длин заметно ниже

Это устройство реализует в строгом формальном контексте нечеткой математики систему правил, которые сами по себе являются нечеткими. В данном случае эти правила принимают вид «если измерение (нечеткое, тут никуда не денешься) длины текущей пружины равно X, следует изменить настройки навивочной машины методом Y». Эти правила принимают во внимание предыдущую поправку, а также оценку возмущений, вызванных изменчивостью свойств проволоки, износом рабочих органов машины и т. п. Все данные носят нечеткий характер, и такой же характер носят предпринимаемые действия. Математический аппарат обрабатывает все это автоматически и подстраивает машину на ходу.

Для нашего проволочного проекта мы опробовали три метода управления. Сначала мы погоняли машину с выключенной системой управления, чтобы установить базовые параметры, по которым можно оценить эффективность любого контроллера. Полученные данные помогли также уточнить параметры в математических моделях. Затем мы подключили к машине интегральный контроллер, в котором для предсказания изменений в настройках от одной навивки к другой используется фиксированная математическая формула. И наконец, мы применили нечеткое самонастраивающееся управление, в котором тонкая настройка правил происходит на ходу в соответствии с наблюдаемыми длинами пружин. Проделав все вышеперечисленное с проволокой из углеродистой стали, мы получили следующие результаты: стандартное отклонение длин пружин – мера их изменчивости – составила 0,077 вообще без контроллера, 0,065 с интегральным контроллером и 0,039 с нечеткой самонастройкой. Так что метод нечеткой логики сработал лучше всего и уменьшил изменчивость наполовину.

Еще один базовый принцип математики состоит в том, что если вам удалось найти что-то полезное, то использовать это можно везде. Идея, доказавшая свою ценность, зачастую может пригодиться в похожих, но все же иных обстоятельствах. Наш третий проект, тоже часть DYNACON, вновь вернулся к FRACMAT, но при этом мы усовершенствовали тестовое устройство так, чтобы использовать его в другом бизнесе, близком к производству пружин, но имеющем дело не с проволокой, а с полосовым металлом.

У вас дома почти наверняка есть вещи, изготовленные из полосового металла. В Великобритании, например, в каждой электрической вилке есть плавкий предохранитель, удерживаемый медными скобами. Скобы изготавливаются из тонкой и узкой медной ленты, намотанной на катушки. Станок пропускает ленту металла через серию приспособлений, расположенных вокруг центрального канала, через который проходит полоса. Каждый инструмент выполняет какую-то операцию: изгибает полосу в нужном месте под определенным углом, пробивает отверстие и т. д. В конце резак отсекает готовую скобу, которая падает в корзину. Типичный станок может делать 10 и больше скоб в секунду.

Аналогичным образом производят громадное число разнообразных мелких металлических деталей. Одна британская компания, например, специализируется на производстве скоб, удерживающих крепления для навесных потолков, и выпускает их ежедневно сотнями тысяч. И точно так же, как производители пружин маялись с проблемой оценки пригодности проволоки, у производителей скоб были проблемы с оценкой того, будет ли данный образец металлической полосы сгибаться так, как нужно для производства. Источник проблемы аналогичен: непостоянство свойств материала, таких как пластичность. Именно поэтому мы решили попытаться применить к полосовому металлу тот же метод восстановления аттрактора по скользящему окну.

Однако вряд ли разумно навивать полосовой металл на круглый стержень. Он для этого не предназначен, да и форма у него неподходящая. Кроме того, навивка практически не имеет отношения к изготовлению скоб. Ключевое качество здесь – это степень изгиба полосы при приложении заданной силы. Так что после долгих размышлений мы изменили конструкцию испытательного стенда, получив при этом нечто гораздо более простое. Нужно просто провести полосу между тремя роликами, так чтобы средний из них заставлял ее изогнуться. При этом средний ролик должен быть подвижным и поджиматься жесткой пружиной. Тогда можно измерять его сдвиг по мере прохождения металлической полосы. Полоса изгибается, а затем вновь выпрямляется, и вы можете непрерывно измерять силу, необходимую для ее изгиба. Если пластичность полосы меняется по ее длине, то меняться будет и сила.

Вместо дискретных измерений расстояний между витками для проволоки, которые делались при помощи лазерного микрометра, мы теперь имели непрерывные измерения сил. Наша машина измеряла также поверхностное трение, имеющее, как выяснилось, важное значение для качества изделий. Тем не менее анализ данных проходил примерно по тому же алгоритму. Тестовый стенд получился меньше по размеру, чем FRACMAT, и проще в производстве, а в качестве бонуса само испытание оказалось неразрушающим: металлическая полоса после проверки возвращалась в первоначальное состояние и при желании могла быть использована в производстве.

Итак, что мы узнали?

Надо полагать, мы сэкономили производителям проволоки и пружин немало денег и на практике убедились, что такого рода математический анализ данных имеет вполне материальную ценность. В какой-то мере само появление FRACMAT подтолкнуло производителей проволоки к усовершенствованию технологических процессов, что в свою очередь облегчило жизнь производителям пружин. Эти испытательные машины используются до сих пор, а Институт пружинных технологий продолжает обслуживать множество мелких компаний, проводя для них испытания.

Мы узнали, что восстановление по методу скользящего окна может быть полезным даже в тех случаях, когда неизвестно, генерируются ли данные чистой, математически точной системой динамического хаоса. Действительно ли свойства проволоки меняются хаотично с формальной точки зрения? Мы не знаем. Нам не обязательно это знать, чтобы создавать новые тестовые процедуры и машины. Математические методы не ограничены тем конкретным контекстом, для которого они были первоначально разработаны. Они переносимы.

Мы узнали, что иногда, если пытаться перенести работающий прием в новый контекст – скажем, систему контроля, – он не работает. Тогда приходится искать другие методы, которые справятся с задачей, и это может быть нечеткая логика.

Мы узнали, что иногда подобный перенос прекрасно работает. В некоторых отношениях даже лучше, чем первая попытка. Наша машина для полосового металла работает и с проволокой, и при этом тестирование остается неразрушающим.

А главное, мы узнали, что объединение людей с разным опытом и подготовкой в одну команду для решения общей задачи позволяет найти подход, до которого ни один из членов команды не способен додуматься в одиночку. Для человечества, которое в XXI веке сталкивается с новыми сплетенными в тесный клубок задачами на всех уровнях, от социального до технологического, это очень важный урок.