Это база: Зачем нужна математика в повседневной жизни

12 Оттаивание Арктики

Наша планета разогревается, это опасно, и в этом наша вина. Мы знаем об этом, потому что тысячи экспертов-климатологов, работающих с сотнями математических моделей, предсказывали такое развитие событий не один десяток лет, и наблюдения не менее компетентных метеорологов подтверждают большую часть их выводов. Я мог бы посвятить оставшуюся часть книги разглагольствованиям о распространителях фейковых новостей и приводить в противовес изрекаемым ими нелепостям все более многочисленные свидетельства реальности антропогенных климатических изменений, но, как говорит Арло Гатри в середине фильма «Ресторан Элис», я пришел рассказать вам не об этом.

Изменения климата носят статистический характер, так что любое конкретное событие можно представить как одно из отклонений, которые просто происходят время от времени. Если монета подделана так, что три раза из четырех она выпадает орлом, то отдельный бросок все равно дает нам либо орла, либо решку – в точности так же, как и бросок нормальной монеты. Поэтому отдельный бросок не позволяет заметить разницу. Даже серию из трех или четырех орлов можно иногда получить с нормальной монетой. Однако, если 100 бросков дадут 80 орлов и 20 решек, станет ясно, что монета неправильная.

Так и с климатом. Климат – не то же самое, что погода, которая меняется час от часа и день ото дня. Климат – это 30-летнее скользящее среднее. А также глобальные климатические средние для целой планеты. Изменение климата невозможно без серьезных долгосрочных изменений планетарного масштаба. У нас есть надежные записи температуры в мире примерно за 170 лет, и 17 из 18 самых теплых лет приходятся на период после 2000 года. Это уже не случайность.

Статистический характер климата позволяет отрицателям глобального потепления без труда мутить воду. Не имея возможности перемотать время и заглянуть в будущее планеты, климатологи вынуждены полагаться на математические модели. Им приходится оценивать скорость климатических изменений, разбираться, к каким результатам изменения могут привести, и выяснять, что может предпринять человечество, если договорится действовать сообща. Первые модели были довольно рудиментарными, что открывало двери для возражений со стороны любого, кому не нравились предсказания, хотя теперь, задним числом, выясняется, что даже те модели давали довольно точный результат и по скорости повышения температуры, и по многим другим параметрам. С годами модели дорабатывались и улучшались, и предсказанные температуры достаточно хорошо совпадают с реальностью уже на протяжении полувека. Сколько льда растает вследствие этого – менее понятно, и, судя по всему, этот параметр был недооценен. Этот процесс изучен не слишком хорошо, а ученые слишком опасаются прослыть паникерами.

До сих пор я говорил в основном о том, как математика, действуя за сценой, влияет на нашу повседневную жизнь. Я намеренно опустил целую кучу важных областей применения математики в науке, в первую очередь в теоретической науке. Но климатические изменения уже видны – спросите об этом австралийцев, которым в начале 2020 года пришлось бороться с беспрецедентными природными пожарами. Взгляните на периоды рекордной жары по всему земному шару, сильнейшие за столетие наводнения, которые теперь случаются каждые 5–10 лет. Взгляните, как ни странно, на редкие всплески аномального холода. Тот факт, что глобальное потепление может привести к значительному похолоданию в некоторых местах, противоречит интуитивным представлениям, но объяснить это несложно. Глобальное потепление – это повышение среднего количества тепла, поступающего в атмосферу, океаны и сушу. Никто не утверждает, что потепление будет идти везде одинаково.

По мере повышения полной тепловой энергии планеты отклонения от среднего – флуктуации – становятся больше и могут быть как холодными, так и теплыми. Смысл в том, что в целом тепло выигрывает. Внезапное похолодание в одном месте не говорит о том, что глобальное потепление – вымысел. Если в вашем городе на 10 градусов холоднее обычного, но в 11 городах где-то еще на один градус теплее, то средняя глобальная температура выросла. Если в вашем городе на 10 градусов холоднее обычного сегодня, но на один градус теплее в течение 11 случайных дней позже, то средняя глобальная температура выросла, при прочих равных условиях. Мало того, выросла и средняя температура в вашем городе.

Проблема в том, что мы замечаем внезапный всплеск холода, но компенсационные эффекты могут оказаться слишком слабыми, чтобы они отложились у нас в голове, слишком распыленными или происходящими где-то еще. Необычные всплески холода в Европе и Северной Америке в последние годы происходили потому, что воздушные потоки забросили холодный воздух из Арктики дальше на юг, чем обычно. Поэтому холодный воздух, который в нормальных условиях циркулировал бы около полярной ледяной шапки, оказался над океанами, над Гренландией, Северной Канадой и Россией. Почему этот холодный воздух пришел на юг? Потому что воздух в полярных областях был много теплее обычного и вытеснил холодный воздух. В целом весь регион стал теплее – в среднем.

В моделировании климата достаточно математики на целую книгу, но я собираюсь говорить не об этом. Как Арло, я просто готовлю сцену для того, о чем я действительно хочу рассказать.

Лед по всему земному шару тает. В ряде необычных мест количество льда потихоньку увеличивается, но во всех остальных местах снижается, причем быстро. Ледники отступают, а ледяные шапки на обоих полюсах уменьшаются. Эти явления угрожают лишить питьевой воды пару миллиардов человек, а подъем уровня моря приведет к затоплению домов еще полумиллиарда, если мы не сумеем остановить эти процессы. В результате физика и математика таяния льда приобретают жизненно важное значение, причем буквально для каждого из нас.

Физики много чего знают о таянии льда. Наряду с кипением и парообразованием, это классический пример фазового перехода – изменения состояния вещества. Вода может существовать в разных состояниях. Она может быть твердой, жидкой или газообразной. То, в каком состоянии она находится, зависит в основном от температуры и давления. При атмосферном давлении достаточно холодная вода является твердым телом – льдом. При нагревании она проходит точку плавления и превращается в жидкость – собственно воду. Нагрейте ее еще, до точки кипения, и она превратится в газ – водяной пар. В настоящее время наука знает о существовании 18 фаз льда, последняя из которых, «квадратный лед», открыта в 2014 году. Три из 18 фаз существуют при нормальных давлениях, остальные требуют куда более высоких его значений.

Темные прудики с талой водой выделяются на фоне белого арктического льда. Почему они образуют такие затейливые узоры?

Бо́льшая часть того, что нам известно про лед, исходит из лабораторных экспериментов с относительно небольшими его количествами. Нам же в настоящее время настоятельно необходимо как можно больше знать о таянии чрезвычайно больших количеств льда в естественной среде. Существует два взаимосвязанных способа получения такой информации: наблюдение за происходящим и измерение параметров и построение теоретических моделей физических процессов. Ключ к реальному пониманию – соединение обоих методов.

Одним из признаков того, что полярные льды, особенно морские, тают, можно считать образование прудиков с талой водой. Поверхностный лед начинает таять, и небольшие темные лужи постепенно пятнают девственную белизну льда, хотя зачастую поверхность льда сейчас имеет не слишком девственный серый цвет от покрывающей его пыли. Лужи заполнены водой, в отличие от льда, имеют темный цвет и поглощают солнечные лучи, вместо того чтобы отражать их. Инфракрасное излучение, в частности, прогревает лужи быстрее, чем лед, так что они постепенно растут. Они увеличиваются, со временем сливаются друг с другом и образуют талые пруды замысловатой формы – кляксы, соединенные тонкими каналами, которые ветвятся и тянутся во все стороны, как заросли каких-то странных грибов.

Физика роста талых прудов – одна из принципиально важных особенностей поведения морского льда при потеплении. А сейчас происходит именно это, особенно с арктическим морским льдом. Что случится с морским льдом, когда планета разогреется, – важная часть проблемы понимания последствий изменения климата. Поэтому математики, естественно, исследуют поведение математических моделей тающего льда, надеясь вытащить из них хотя бы некоторые его секреты. Иногда это удается, что, впрочем, неудивительно. Удивительно то, что одна из изучаемых в настоящее время моделей вообще не имеет отношения к таянию льда. Она связана с магнетизмом и датируется 1920 годом. Магнитные материалы тоже претерпевают своего рода фазовый переход – при слишком сильном нагреве они теряют изначально присущие им магнитные свойства.

Данная модель давно стала образцом для фазовых переходов. Придумал ее немецкий физик Вильгельм Ленц, но все называют ее моделью Изинга, поскольку математики и физики неизменно дают названия в честь того, кто в их сознании теснее всего ассоциируется с открытием. У Ленца был ученик Эрнст Изинг, которому он дал тему для докторской диссертации: рассмотреть эту модель и показать, что в ней есть магнитный фазовый переход. Изинг рассмотрел модель и показал, что такого перехода в ней нет. Тем не менее его исследование дало начало новой отрасли математической физики и сильно продвинуло вперед наши представления о магнитах.

А теперь о таянии льда.

Магниты сегодня настолько обычны и привычны, что мы редко задумываемся о том, как они работают. С их помощью мы прикрепляем пластиковых свинок на дверцу холодильника (во всяком случае, в моем доме так делают), застегиваем чехол мобильного телефона и даже ловим знаменитый бозон Хиггса, который наделяет элементарные частицы массой. Без магнитов не было бы компьютерных жестких дисков и электрических машин вроде тех, что автоматически поднимают и опускают окна автомобиля, или тех, что генерируют гигаватты электроэнергии. Несмотря на свою вездесущность, магниты очень загадочны. Они притягивают или отталкивают друг друга посредством невидимого силового поля. Самые простые и знакомые магниты – стержневые – имеют полюса на концах, называемые северным и южным. Северный и южный полюса притягиваются, а два северных полюса отталкиваются, как, впрочем, и два южных. Если попытаться сблизить одноименные полюса мощных маленьких магнитов, то можно почувствовать силу их отталкивания. Если попытаться развести разноименные полюса, то можно почувствовать силу их притягивания друг к другу. Они действуют друг на друга, даже если не соприкасаются, – вот вам «дальнодействие». При помощи магнитов можно заставить предметы левитировать, даже такие большие предметы, как поезда. Загадочное силовое поле невидимо.

Магниты известны человеку не менее 2500 лет. Они возникают естественным образом в минерале магнетите, который представляет собой оксид железа. Небольшой кусок магнетита, известного еще как магнитный железняк, может притягивать железные предметы. Его можно превратить в компас, подвесив на нитке или пустив плавать в воде на деревянной дощечке. Природные магниты используются для навигации примерно с XII века. Подобные материалы, способные обретать постоянное магнитное поле, называют ферромагнетиками. По большей части они представляют собой сплавы железа, никеля и/или кобальта. Одни материалы сохраняют магнитные свойства почти вечно, а другие можно намагнитить на какое-то время, но они довольно быстро размагничиваются.

Ученые начали серьезно заниматься магнитами в 1820 году, когда датский физик Ханс Кристиан Эрстед открыл связь между магнетизмом и электричеством, а именно тот факт, что электрический ток может создавать магнитное поле. В 1824 году британский ученый Уильям Стерджен изготовил электромагнит. История электромагнетизма слишком обширна, чтобы описывать ее подробно, но ключевыми в развитии этой области физики стали эксперименты Майкла Фарадея. Они позволили Джеймсу Клерку Максвеллу сформулировать математические уравнения для электрического и магнитного полей и их взаимосвязи. Эти уравнения показывают, что движущееся электрическое поле порождает магнетизм, а движущее магнитное поле порождает электричество. Вместе они создают электромагнитные волны, которые распространяются со скоростью света. Мало того, свет и сам является такой волной. Как и радиоволны, рентгеновские лучи и микроволны.

Одно из загадочных свойств ферромагнетиков заключается в том, как они реагируют на нагрев. У каждого из них есть критическая температура, именуемая точкой Кюри. Если нагреть ферромагнетик выше точки Кюри, его магнитное поле исчезает. И не просто исчезает: переход происходит резко. При приближении температуры к точке Кюри магнитное поле начинает ослабевать, причем тем быстрее, чем она ближе к этой точке. Физики называют такой тип поведения фазовым переходом второго типа. Большой вопрос: почему так происходит?

Подсказку дало открытие электрона – элементарной частицы, несущей крохотный электрический заряд. Электрический ток – это поток электронов. Атом имеет ядро из протонов и нейтронов, окруженное облаком электронов. Число и расположение электронов определяет химические свойства атома. Кроме того, электроны обладают спином – это квантовое свойство, и, хотя электроны на самом деле не вращаются, у спина много общего с моментом импульса, одним из свойств вращающихся тел в классической физике. Это свойство показывает, насколько интенсивно вращение и в каком направлении оно происходит – вокруг какой оси вращается тело.

Физики экспериментально установили, что спин электрона наделяет его магнитным полем. Поскольку квантовая механика такая, какая она есть, то есть странная, спин электрона, измеренный относительно почти любой конкретной оси, всегда имеет значение либо «вверх», либо «вниз». Эти состояния примерно соответствуют крохотному магниту с северным полюсом вверху, а южным внизу или такому же магниту с противоположным расположением полюсов. До измерения спина он может представлять собой любую комбинацию из «вверх» и «вниз», то есть вращаться вокруг совершенно разных осей, но когда вы наблюдаете спин относительно выбранной вами оси, он всегда равен «вверх». Или «вниз». Одно из двух. Это, конечно, странно и совершенно непохоже на спин в классической физике.

Связь между спином электрона и его магнитным полем вносит значительный вклад в понимание не только того, почему магниты теряют свои магнитные свойства при сильном нагреве, но и того, как они это делают. До намагничивания ферромагнетика спины его электронов ориентированы произвольным образом, так что их крохотные магнитные поля компенсируют друг друга. Когда материал намагничивается при помощи электромагнита или под влиянием постоянного магнита, спины его электронов ориентируются в одном направлении. При этом они складываются и порождают заметное крупномасштабное магнитное поле. Без внешнего вмешательства такое расположение спинов электронов сохраняется, и мы получаем постоянный магнит.

Однако если материал нагреть, тепловая энергия начинает раскачивать электроны, некоторые из них переворачиваются и меняют спин на противоположный. Магнитные поля, направленные в разные стороны, ослабляют друг друга, так что общее магнитное поле объекта тоже ослабевает. Это качественно объясняет потерю магнитных свойств, но ничего не говорит о том, почему происходит резкий фазовый переход или почему он всегда происходит при определенной температуре.

Здесь на сцене появился Ленц. Он предложил простую математическую модель: множество электронов, которые влияют на соседей в соответствии с их относительными спинами. В этой модели каждый электрон располагается в фиксированной точке пространства, обычно в узле регулярной решетки, напоминающей клетки большой шахматной доски. Каждый электрон в этой модели может существовать в одном из двух состояний: +1 (спин «вверх») и –1 (спин «вниз»). В каждый момент решетка покрыта узором из плюс и минус единиц. Если продолжить аналогию с шахматной доской, то каждый квадратик окрашен либо в черный цвет (спин «вверх»), либо в белый (спин «вниз»). Может возникнуть любой узор из белых и черных квадратиков, по крайней мере в принципе, потому что квантовые состояния в определенной мере случайны, но некоторые паттерны более вероятны, чем другие.

Расчеты или эксперименты, которые руководитель не хочет проводить сам, обычно поручают аспирантам, что и сделал Ленц, который дал задание Изингу рассмотреть эту модель. Надо отметить, что в данном случае под словом «рассмотреть» подразумевалась довольно тонкая вещь. Речь не шла о динамике переворачивания спинов или конкретных паттернов. Речь шла о расчете распределения вероятностей возможных паттернов и выяснении, как это распределение зависит от температуры и внешних магнитных полей. Распределение вероятностей – это математический инструмент, часто формула, которая в данном случае показывает, насколько вероятен любой заданный паттерн.

Научный руководитель дал задание, и вы, если хотите получить в конечном итоге степень доктора философии, делаете что вам сказано. Или, по крайней мере, стараетесь изо всех сил, потому что руководители иногда ставят перед аспирантами слишком сложные задачи. В конце концов, причина, по которой руководитель предлагает аспиранту решить задачу, состоит в том, что сам он не знает ответа и часто не имеет понятия, насколько сложно его найти.

Так что Изинг засучил рукава и принялся разбираться в модели Ленца.

Существуют общепринятые приемы, о которых знают научные руководители и которые они могут подсказать аспирантам. По-настоящему умные аспиранты открывают их для себя сами, наряду с идеями, которые руководителям даже не приходили в голову. Один из таких приемов звучит забавно, но, как правило, помогает: если вы собираетесь работать с очень большим числом, все заметно упростится, если сделать это число бесконечным. Например, если вы хотите разобраться в модели Изинга для большой, но конечной шахматной доски, представляющей кусок ферромагнитного материала реалистичного размера, математически удобнее работать с бесконечной шахматной доской. Причина в том, что у конечной доски есть края, которые, как правило, осложняют расчет, поскольку клетки на краю отличаются от клеток в середине. Это разрушает симметрию строя электронов, а симметрия упрощает расчеты. У бесконечной шахматной доски краев нет.

Картина шахматной доски соответствует тому, что математики и физики называют двумерной решеткой. Слово «решетка» означает, что базовые единицы, то есть клетки доски, выстроены регулярным образом – в данном случае идеально ровными строками и столбцами. Математические решетки могут иметь любую размерность, тогда как физические обычно имеют размерность один, два или три. Самыми показательными для физики являются трехмерные решетки: бесконечный ряд идентичных кубиков, составленных в штабеля, как одинаковые ящики на складе. В данном случае электроны заполняют область пространства примерно как атомы в кристалле с кубической симметрией, скажем в кристалле соли.

Математики и специалисты по математической физике предпочитают начинать с более простой, но менее реалистичной модели: одномерной решетки, где точки нахождения электронов располагаются вдоль прямой линии на равных расстояниях, как целые числа на числовой прямой. Картина не слишком физическая, но удобная для рассмотрения идей на простейшей подходящей модели. С увеличением размерности решетки возрастают и математические сложности. Так, кристаллическая решетка на прямой существует всего одна, на плоскости их уже 17, а в трехмерном пространстве – целых 230. Так что Ленц поставил перед своим аспирантом задачу выяснить, как ведут себя подобные модели, и ему хватило здравого смысла рекомендовать юноше сосредоточиться на одномерной решетке. Успехи аспиранта оказались достаточными, чтобы такие модели сегодня назывались моделями Изинга.

Хотя модель Изинга связана с магнитными явлениями, ее структура и способы работы с ней относятся скорее к термодинамике. Эта область зародилась в классической физике, где занималась такими величинами, как температура и давление в газах. К 1905 году, когда физики наконец удостоверились в том, что атомы существуют и соединяются в молекулы, они поняли также, что переменные вроде температуры и давления представляют собой статистические средние величины. Это «макроскопические» величины, которые мы можем легко измерить, но определяются они событиями значительно более мелкого «микроскопического» масштаба. Кстати говоря, их невозможно разглядеть в микроскоп, хотя сегодня существуют микроскопы, позволяющие получать изображения атомов. Эти приборы работают, только когда атом неподвижен. В газе громадное число молекул носится вокруг, иногда сталкиваясь и отскакивая друг от друга. Столкновения рандомизируют движение молекул, то есть делают его случайным.

Теплота есть форма энергии, заключенная в движении молекул: чем быстрее они движутся, тем горячее газ и, соответственно, выше его температура. А температура отличается от теплоты: это мера качества теплоты, а не ее количества. Существует математическая взаимосвязь между положением и скоростью молекул и термодинамическими средними параметрами. Эта взаимосвязь является предметом отдельной научной области – статистической механики, которая пытается вычислять макроскопические переменные через микроскопические, с особым акцентом на фазовые переходы. Например, что именно меняется в поведении молекул воды, когда лед тает? И какое отношение к этому имеет температура вещества?

Перед Изингом стояла аналогичная задача, но вместо молекул H₂O и льда, превращающегося при нагревании в воду, он анализировал спины электронов и магниты, теряющие свои свойства при нагревании. Ленц сделал модель – ту самую, которую мы сегодня называем моделью Изинга, – как можно более простой. Однако, как часто случается в математике, ее рассмотрение простым не было.

Напомню, что «рассмотрение» модели Изинга означает расчет того, как статистические свойства группы крохотных магнитиков меняются с температурой. Это сводится к нахождению полной энергии системы, которая зависит от магнитного паттерна – числа и организации положительных и отрицательных спинов, черных и белых клеток на шахматной доске. Физические системы стремятся к состояниям с минимально возможной энергией. Именно поэтому, например, упало легендарное ньютоновское яблоко: его потенциальная гравитационная энергия уменьшалась, пока оно летело к земле. Ньютон догадался, что те же рассуждения применимы и к Луне, которая непрерывно падает, но пролетает мимо поверхности Земли, поскольку одновременно уходит в сторону. При помощи вычислений он показал, что одна и та же сила тяготения количественно объясняет оба движения.

Так или иначе, все крохотные магнитики – электроны с определенным направлением спинов – стремятся сделать свою суммарную энергию как можно меньше. Но как они это делают и в какое состояние приходят, зависит от температуры материала. На микроскопическом уровне теплота – это форма энергии, которая заставляет молекулы и электроны двигаться беспорядочно. Чем горячее становится материал, тем активнее они движутся. В магните конкретное пространственное распределение спинов постоянно меняется из-за этого беспорядочного движения, вот почему «рассмотрение» модели дает статистическое распределение вероятностей, а не конкретный узор спинов. Однако наиболее вероятные узоры выглядят очень похоже, так что можно поставить вопрос о том, как выглядит типичный паттерн при заданной температуре.

Принципиально важная часть модели Изинга – математическое правило взаимодействия электронов, которое определяет энергию любого паттерна. Модель принимает упрощающее предположение о том, что электроны взаимодействуют только с ближайшими соседями. При ферромагнитном взаимодействии считается, что вклад в энергию отрицателен, когда соседние электроны имеют одинаковый спин. В антиферромагнитных системах он положителен, когда соседние электроны имеют одинаковый спин. Существует также дополнительный вклад в энергию от взаимодействия каждого электрона с внешним магнитным полем. В упрощенных моделях сила всех взаимодействий между соседними электронами одинакова, а внешнее магнитное поле считается равным нулю.

Ключ к математике данной модели – понять, как энергия данного паттерна меняется с изменением цвета одного квадратика с черного на белый или наоборот. То есть единичный электрон в произвольной позиции переключается между +1 (черный) и –1 (белый). Одни переключения увеличивают суммарную энергию, другие уменьшают. Переключения, которые понижают суммарную энергию, более вероятны, однако переключения, которые ее повышают, не исключаются полностью в связи со случайным тепловым движением. Интуитивно мы ожидаем, что паттерн спинов сведется к варианту с минимальной энергией. В ферромагнитном материале при этом все электроны должны иметь одинаковый спин, но на практике мы имеем не совсем это, потому что на достижение такого состояния потребовалось бы слишком много времени. Вместо этого при умеренных температурах существуют участки, где спины почти идеально выровнены, что создает черно-белый рисунок. При более высоких температурах случайная толкотня берет верх над взаимодействием между соседними спинами, и выровненные участки становятся настолько маленькими, что связь между спином данного электрона и спинами его соседей практически исчезает, а узор становится хаотичным и выглядит в целом серым, несмотря на крошечные черно-белые детали. При низких температурах выровненные участки увеличиваются и дают более упорядоченный паттерн. Паттерны никогда полностью не стабилизируются, в них всегда происходят случайные изменения. Но статистические свойства паттерна для заданной температуры довольно стабильны.

Больше всего физиков интересует переход от четких цветовых пятен – упорядоченного состояния – к случайному серому хаосу. Это тоже фазовый переход. Эксперименты с фазовым переходом ферромагнетиков из состояния намагниченности в немагнитное состояние показывают, что при температуре ниже точки Кюри магнитный паттерн имеет пятнистый характер. Размеры пятен различны, но группируются вокруг конкретного типичного размера, или «масштаба длины», который становится меньше по мере роста температуры. При температуре выше точки Кюри пятен нет: два значения спина беспорядочно перемешаны. Больше всего физиков занимает то, что происходит непосредственно в точке Кюри. В этот момент наблюдаются пятна разных размеров, без доминирующего масштаба длины. Пятна образуют фрактал – паттерн с детальной структурой на любом масштабе. Увеличенная картинка части узора обладает теми же статистическими чертами, что и узор целиком, поэтому из паттерна невозможно вычленить преобладающий размер пятна. Определенного масштаба длины больше не существует. Однако скорость, с которой меняется паттерн во время перехода, можно связать с численной мерой, которую называют критической экспонентой. Эксперименты позволяют измерить критическую экспоненту очень точно, что делает этот параметр весьма чувствительным тестом для теоретических моделей. Одной из главных целей теоретиков является создание моделей, которые дают верное значение критической экспоненты.

Компьютерное моделирование не позволяет «рассмотреть» модель Изинга в точности – модели не в состоянии привести формулу для статистических свойств со строгим математическим доказательством ее корректности. В принципе, современные системы компьютерной алгебры могли бы помочь исследователям угадать формулу, если таковая существует, но ей все равно потребуется доказательство. Более традиционное компьютерное моделирование позволяет получить убедительные свидетельства в пользу или против того, что модель соответствует реальности. Заветная цель математических физиков (или склонных к физике математиков, поскольку главная задача здесь носит чисто математический характер, хотя и мотивируется физикой) – получение точных результатов в отношении статистических свойств спиновых паттернов в модели Изинга, особенно в отношении того, как эти свойства меняются при прохождении температуры через точку Кюри. В частности, исследователи заняты поиском доказательств того, что в модели наблюдается фазовый переход, и намерены охарактеризовать его через критическую экспоненту и фрактальные свойства наиболее вероятных паттернов в точке перехода.

Теперь наша история становится более сложной для понимания, но я попытаюсь дать вам основные идеи, не углубляясь в подробности. Отбросьте недоверие и плывите по течению.

Самым важным математическим инструментом в термодинамике является так называемая функция разбиения. Получается она путем сложения, для всех состояний системы, определенного математического выражения, которое зависит от состояния и температуры. Точнее говоря, чтобы получить это выражение для любого заданного состояния, мы берем энергию этого состояния, делаем ее отрицательной и делим на температуру. Затем находим экспоненту этой величины и складываем эти выражения для всех возможных состояний{62}. Физическая идея здесь состоит в том, что вклад состояний с более низкими энергиями в эту сумму больше, так что в функции разбиения доминируют наиболее вероятные состояния (а сама она, соответственно, имеет в этом месте максимум).

Все обычные термодинамические переменные могут быть выведены при помощи подходящих манипуляций из функции разбиения, так что наилучший способ «рассмотрения» термодинамической модели состоит в вычислении функции разбиения. Изинг нашел свое решение, выведя формулу для свободной энергии{63} и предложив формулу для намагничивания{64}. Формула выглядит внушительно, но для Изинга она, должно быть, стала большим разочарованием, поскольку после всех хитроумных вычислений оказалось, что при отсутствии внешнего магнитного поля материал собственного магнитного поля не имеет. Хуже того, это верно для абсолютно любой температуры. Так что модель предсказывает отсутствие фазового перехода и спонтанного намагничивания, казалось бы, ферромагнитного материала.

Сразу же возникло подозрение, что главной причиной такого отрицательного результата стала простота модели. Конкретнее, подозрение пало на размерность решетки. По сути, размерность один слишком мала, чтобы привести к реалистичным результатам. Очевидно, следовало бы провести расчет для двумерной решетки, но это оказалось по-настоящему трудно. Методы Изинга для этого не годились. Только в 1944 году, после нескольких прорывных открытий, сделавших подобные расчеты более систематическими и простыми, Ларс Онсагер решил-таки двумерную задачу Изинга. Это было настоящее математическое достижение, давшее сложный, но явный ответ. Но даже тогда расчет предполагал отсутствие внешних магнитных полей.

Формула показывает, что теперь фазовый переход есть и приводит к существованию ненулевого внутреннего магнитного поля при температуре ниже критической, равной где k_B – постоянная Больцмана из термодинамики, а J – сила взаимодействия между спинами. Для температур вблизи критической точки удельная теплота уходит в бесконечность, как и логарифм разности между реальной и истинной температурой – одной из характеристик фазового перехода. В более поздних работах были выведены также различные критические экспоненты.

Но какое отношение эти игры со спинами электронов и магнитами имеют к прудам с талой водой во льдах Арктики? Тающий лед находится в состоянии фазового перехода, но лед – это не магнит, а таяние не связано с переворачиванием спинов. Откуда здесь может взяться полезная связь?

Если бы математика была жестко связана с какой-то одной физической интерпретацией, которая ее и породила, то ответ был бы «ниоткуда». Однако это не так. По крайней мере, не всегда. Именно здесь вступает в игру пресловутая непостижимая эффективность математики.

Моделирование развития системы талых прудов на базе модели Изинга[11]

Часто первым указанием на возможность такой мобильности, когда математическая идея перекочевывает из одной области применения в другую, вроде бы не связанную с ней область, становится неожиданное семейное сходство в какой-нибудь формуле, графике, числе или картинке. Как правило, сходство такого рода оборачивается не более чем визуальной ассоциацией, совпадением, привлекающим внимание, но ничего не означающим. В конце концов, на свете не так уж много разных графиков и фигур.

Иногда, однако, такое сходство является ключом и указывает на глубокую взаимосвязь.

Именно так началось исследование, к которому я наконец перехожу в этой главе. Около 10 лет назад математик Кеннет Голден, рассматривая фотографии морских арктических льдов, заметил, что они необычайно похожи на картинки пятен электронных спинов вблизи фазового перехода в точке Кюри. Он задался вопросом, нельзя ли приспособить модель Изинга для объяснения процесса формирования и распространения талых прудов. Модель для льда, конечно, применяется на гораздо более крупном масштабе, ведь состояния «вверх»/«вниз» у крохотных электронов здесь заменяются на состояние лед/вода на участке поверхности морского льда площадью около одного квадратного метра.

Потребовалось время, чтобы превратить эту мысль в серьезную математику, но она привела Голдена, работавшего вместе с метеорологом Куртом Стронгом, к новой модели влияния климатических изменений на морской лед. Голден показал результаты моделирования по Изингу одному из коллег, специализировавшемуся на анализе изображений талых прудов, и тот принял их за фотографии реальных прудов. Более подробный анализ статистических свойств этих изображений – например, соотношения между площадью прудов и их периметрами, указывающего на степень извилистости береговой линии, – показал очень близкое численное совпадение.

Геометрия талых прудов жизненно важна для климатических исследований, потому что она влияет на важные процессы, протекающие на морском льду и в верхних слоях океана. Среди этих процессов – изменение альбедо льда (коэффициента, указывающего, какую часть света и теплового излучения он отражает) по мере его таяния, дробление ледяных полей и изменение их размеров. Это, в свою очередь, влияет на распределение светлых и темных пятен подо льдом, на фотосинтез водорослей и экологию микроорганизмов.

Приемлемая модель не должна противоречить двум основным наборам наблюдаемых данных. В 1998 году экспедиция SHEBA определила размеры талых прудов посредством фотографирования с вертолетов. Из наблюдений получилось, что распределение вероятностей в отношении размеров прудов подчиняется степенному закону: вероятность обнаружения пруда площадью A примерно пропорциональна A^k, где постоянная k примерно равна –1,5 для прудов площадью от 10 до 100 м². Такой тип распределения часто указывает на фрактальную геометрию. Те же данные, вкупе с наблюдениями Трансарктической экспедиции Хили – Одена 2005 года HOTRAX, показывают фазовый переход во фрактальной геометрии талых прудов по мере их роста и слияния. Геометрия прудов развивается от простых форм в самоподобные области, границы которых ведут себя как заполняющие пространство кривые. Фрактальная размерность граничных кривых – соотношение между площадью и периметром – изменяется при этом от 1 до примерно 2 при критической площади пруда около 100 м². Это влияет также на изменение ширины и глубины прудов, на площадь контакта вода – лед, через который происходит расширение прудов, и, наконец, на скорость таяния.

Полученная из наблюдений величина показателя степени k составляет –1,58 ± 0,03, что хорошо согласуется с величиной –1,5 от SHEBA. Изменение фрактальной размерности, замеченное HOTRAX, может быть рассчитано теоретически с использованием модели просачивания, для которой максимальная размерность, соответствующая примерно 2, оказывается равной 91/48 = 1,896. Численное моделирование по модели Изинга тоже дает фрактальную размерность, очень близкую к данной{65}.

Одна интересная особенность этой работы состоит в том, что используемая модель оперирует очень небольшими масштабами длин – всего в несколько метров. Большинство климатических моделей имеет масштаб длины в несколько километров. Так что подобное моделирование – совершенно новый раздел. На данный момент он еще находится в стадии становления, и модель требует немалой доработки, чтобы вобрать в себя больше физики тающего льда, поглощения и излучения солнечного света, даже ветров. Но она уже подсказывает новые пути сравнения наблюдаемых данных с математическими моделями и позволяет в какой-то степени объяснить, почему талые пруды образуют такие замысловатые фрактальные формы. Кроме того, это первая математическая модель фундаментальной физики талых прудов.

Репортаж The Guardian, процитированный в эпиграфе к данной главе, рисует мрачную картину. Недавнее ускорение таяния арктических льдов и уменьшения ледового покрова, выведенное из наблюдений, а не из математических моделей, подразумевает, что подъем уровня моря к 2100 году составит две трети метра. Это на 7 см больше, чем ранее предсказывала Межправительственная группа экспертов по изменению климата (IPCC). Около 400 млн человек будет ежегодно подвергаться риску наводнений, что на 10 % больше, чем 360 млн человек, предсказанные IPCC. Кроме того, подъем уровня моря усиливает штормовой нагон волны, что может нанести дополнительный ущерб прибрежным регионам. В 1990-е годы Гренландия ежегодно теряла по 33 млрд тонн льда. За последние 10 лет этот показатель увеличился до 254 млрд тонн в год, а всего с 1992 года потеряно уже 3,8 трлн тонн льда. Примерно половина этих потерь вызвана ускорением сползания ледников и отламыванием от них айсбергов на границе с океаном. Вторая половина обусловлена таянием льда, в основном на поверхности. Так что физика талых прудов сегодня приобретает жизненно важное значение для каждого из нас.

Если находку Изинга удастся уточнить, то все связанные с ней идеи можно будет применить к талым прудам. Особенно связь с фрактальной геометрией, которая позволяет глубже заглянуть в сложную геометрию талых прудов. Кроме того, история Изинга и таяния Арктики – это чудесный пример непостижимой эффективности математики. Кто мог бы предсказать столетие назад, что модель Ленца, относящаяся к ферромагнитному фазовому переходу, может иметь что-то общее с изменением климата и грядущим исчезновением полярных ледяных шапок?