2000 №3

ОТВЕТЫ И РЕШЕНИЯ

Возьмем на оси n чисел, первое из которых А (отрезок [A₁,A_n]. Поскольку числа идут по порядку, их сумма S = А₁ + (А₁ + 1) + (А₁ + 2) + … + (А₁ + n — 1) = nА₁ + 1 + 2 + … + (n — 1).

Сумма чисел натурального ряда от 1 до (n — 1) равна n(n — 1)/2 (ее легко найти, прибавив к первому члену ряда последний, ко второму — предпоследний и т. д.; получится двойная сумма ряда: n — 1 чисел, равных n). Таким образом,

S₁ = nА₁ + n(n — 1)/2 = n(A₁ + (n — 1)/2).

Возьмем на числовой оси второй отрезок [B₁,B_n], лежащий правее исходного. Из тех же рассуждений следует, что S₂ = n(B₁ + (n — 1)/2).

По условиям теоремы В₁ = А_n + 1 = A₁ + n. Подставив это значение в S2 получим

S = n(А₁ + n + (n — 1)/2) = n(А₁ + (n — 1)/2) + n² = S₁ + n², что и требовалось доказать.

Вторая часть теоремы о сумме чисел отрезка, стоящего перед исходным, доказывается аналогично. Из полученных результатов методом математической индукции выводится, что в общем случае сумма чисел k-того отрезка S_k = S₁ ± (k — 1)n².

Первые восемь (это разность чисел 20 и 12) прикосновений указкой к числам на циферблате часов можно делать наугад. Однако на девятом ходу фокусник должен обязательно коснуться числа 12 и с этого момента перебирать числа подряд против часовой стрелки. Когда зритель произнесет слово «стоп», указка остановится на задуманном числе. Следует заметить, что совсем не обязательно просить зрителя прекращать счет именно на двадцати. Фокусник может предложить ему самому выбрать число для окончания счета, нужно лишь, чтобы оно было больше двенадцати. Но есть одно условие: зритель должен предупредить фокусника, на каком числе он собирается остановиться. Тогда, как вы уже догадываетесь, необходимо отнять от этого числа 12, чтобы получить число прикосновений к циферблату, которые можно сделать наугад, прежде чем коснуться числа 12 и начать двигаться последовательно против часовой стрелки.

По горизонтали. 7. Интернет (приведен адрес журнала «Наука и жизнь» в Интернете). 8. Германий (химический элемент, символ которого приведен). 9. Манту (французский ученый, предложивший описанную пробу для ранней диагностики туберкулеза). 11. Токио (столица Японии, флаг которой приведен). 12. Пектораль (шейное металлическое украшение). 15. Аларих (король вестготов, захвативший и разграбивший в 410 г. Рим, вид которого приведен). 18. Есенин (русский поэт, автор приведенного стихотворения). 19. Шеридан (английский драматург, автор процитированной пьесы «Школа злословия»). 20. Жеглов (роль В. Высоцкого в фильме «Место встречи изменить нельзя» С. Говорухина, кадр из которого представлен). 21. Савина (русская актриса, выступавшая на сцене Александринского театра в Санкт-Петербурге в 1874–1915 гг.; на снимке — в роли Марьи Антоновны из пьесы «Ревизор» Н. Гоголя). 24. Суворов (русский полководец, командовавший русскими войсками при штурме и взятии Измаила в 1790 году; приведен план сражения). 26. Каолин (белая глина). 27. Гиббон (человекообразная обезьяна). 31. Верещагин (русский художник; автор представленной картины «Двери Тимура»). 33. Пихта (дерево семейства сосновых). 34. Блоха (насекомое одноименного отряда). 35. Астероид (или малая планета; перечислены малые планеты, открытые первыми). 36. Мельбурн (город в Австралии, где проводились Олимпийские игры 1956 года).

По вертикали. 1. Ансамбль (гармоническое единство зданий; на снимке — ансамбль Кремлевских соборов в Москве). 2. Шесть (числовое значение кириллической буквы «зело»). 3. Тендер (прицепная часть паровоза для хранения запасов воды и топлива). 4. Гегель (немецкий философ, автор процитированного трактата «Эстетика»). 5. Фавор (гора, на которой Иисус Христос явил ученикам свою божественную природу; представлена икона «Преображение»). 6. Лисицкий (выступавший под псевдонимом Эль-Лисицкий советский архитектор, дизайнер, график, представлена его литография «Спортсмены»). 10. Кобчик (птица семейства соколиных). 13. Дисперсия (зависимость фазовой скорости волн от частоты; обуславливает, в частности, разложение солнечного света в спектр, поясняемое схемой). 14. Успенский (русский писатель, автор процитированного рассказа «Будка»). 16. Ледобур (инструмент для сверления лунок во льду). 17. Сахаров (советский ученый и общественный деятель, автор процитированной работы «Размышления о прогрессе, мирном сосуществовании и интеллектуальной свободе»). 22. Помощь (перевод с английского). 23. Мантисса (дробная часть логарифма). 25. Монохорд (однострунный музыкальный инструмент; как акустический прибор использовался при обучении пению и настройке органных труб). 28. Терция (редко употребляемая единица измерения времени, одна шестидесятая доля секунды). 29. Цирцея (или Кирка, волшебница, удерживавшая Одиссея в течение года на острове Эя; в переносном смысле — коварная обольстительница). 30. Штрек (горизонтальная подземная горная выработка, не имеющая выхода на поверхность). 32. Эльба (река в Германии).

Нетрудно заключить, что буква И, с которой начинается произведение, это 1. Теперь обратим внимание на то, что произведение НхН заканчивается той же буквой Н. Это возможно в двух случаях: Н = 5 и Н = 6(Н = 0), как легко видеть, отпадает). Но если предположить, что Н = 5, то произведения Н х Н, Н х У и Н х Т должны оканчиваться либо на ноль, либо на 5. А в нашем примере таких окончаний — три. Следовательно, Н = 6. Теперь ясно, что О не может быть больше, чем 3 (произведение Н х О начинается с 1). Значит, О равно 2 или 3.

Произведение Т х Н оканчивается на Т. Это возможно в случаях: 2x6 = 12, 4x6 = 24, 8х6 = 48. Значит, Т равно либо 2, либо 4, либо 8. Но если предположить, что Т = 2, то произведение Т х ОПН не получится четырехзначным (О не больше 3). Стало быть, Т равно либо 4, либо 8. Допустим, что Т = 4. Предварительно заметим, что букве П должна соответствовать четная цифра (произведение У х 6 дает четное число). Учитывая, что О не больше 3 и что П не больше 3 (произведение ППЗП не может начинаться с цифры, превышающей 3), придем к выводу: П = 2 и, соответственно, 0 = 3. Итак, множимое расшифровано: ОПН = 326. Теперь ясно, что А = 9, а Е = 5 (для этого достаточно умножить 6 х 326), остальные буквы расшифровать уже несложно.

Итак, основа шифра

0123456789

ГИПОТЕНУЗА,

а пример выглядит так:

№ 2. Б. Лурье, Н. Плаксин. Позицию из двух частей доски нужно сложить так, чтобы справа от каждого партнера находилось белое угловое поле. Теоретически возможны четыре пары стыковки.

Обратим внимание на расположение пешек и проверим балансы белых и черных фигур. У белых — 13 (фигур на диаграмме) + 3 (белые фигуры взяты черными пешками b:a, e:f и h:g) = 16 — учтены все фигуры, включая и пешки, стоявшие на вертикалях «с», «d» и «h», которые предварительно превращались. И поэтому баланс черных фигур тоже закрыт: 14 (на диаграмме) + 2 (взято а:Ь d:c с8, и еще было с2 с8 и h2 h8) = 16. Казалось бы, все в порядке. Но расположение белой пешки g7 и черной g3 (или g2) нелегально, так как приводит к дебалансу или белых, или черных фигур. Поэтому мат в один ход (1.Лс4-Ь4х?) здесь иллюзорен.

Повернем позицию № 2а на 180° и проанализируем получившееся расположение фигур: Kpb4, Фf6, Ла2, Лf5, Cb8, Cf7, Ка3, Ка8, пп. Ь2, с4, d2, h3, h5 — Kpab, Фg6, Лg1, Лh6, Cb1, Kc1, Kd6, пп. Ь6, Ь7, с2, с6, е4, h2, h7. И здесь белые тоже могут дать мат (1.Ка8 — с7х?), но позиция вновь нелегальна. При белых пешках Ь2 и d2 белый слон Ь8 — превращенный, и баланс черных закрыт: 14 + 2 (взято а7:Ь8С и g:h) = 16. Но в балансе белых невозможно учесть пешку d, так как ее превращению на поле d8 препятствует черная пешка d4.

Рассмотрим следующий вариант стыковки:

1. Ка8:с7х? Но и эта вариация оказывается лишь ложным следом! При черных пешках Ь6, Ь7 и с7 белый слон мог попасть на поле Ь8 только путем превращения из белой пешки. Значит, было а7:Ь8С и еще — d3:c4 (или d5:c6), и в балансе белых невозможно учесть пешку на вертикали «f».

Повернем позицию № 26 на 180°. Здесь мат (1.Фd6:g3x?) не проходит из-за нелегального расположения пешек на вертикали «g», нарушающего баланс либо белых, либо черных фигур… Сделаем еще одну попытку:

1. Фf6 — с3х? Но теперь или не разойдутся пешки черных и белых по вертикали «а», или в балансе белых нельзя будет учесть пешку е2… При повороте позиции № 2в на 180° черный король оказывается под шахом пешки f5, и на защиту черных (…Ke3:f5) белые могли бы дать мат (1.Cc2:f5x?), но… Но последний ход белых не мог быть f4 — f5 +, так как тогда черный король стоял бы под шахом белого слона с2 при ходе белых. А ввиду того, что исключен последний ход белой пешки и со взятием— e4:f5+ (или g4:f5 +) из-за дебаланса черных, позиция вновь нелегальна.

И, наконец, части доски можно сложить так:

А вот теперь все в рамках правил. Здесь белая пешка с2 могла взять черную пешку на вертикали «d», превратиться на поле d8 и обеспечить этим соблюдение балансов. Не приводит к дебалансу и последний ход белых f4 — f5 +. Позиция легальна. Если черные парируют шах ходом ферзя Фe6:f5, то белые дают мат слоном — 1.Cd7:f5x! Если же черные играют ладьей — Лf6:f5, то матует конь — 1.Кg8-е7х! Заметим, что попытка поворота позиции № 2 г на 180° обречена на неуспех не только по причине нелегальности, но и из-за отсутствия возможности одноходового мата.

* * *

_{Главный редактор И. К. ЛАГОВСКИЙ.}

_{Заместитель главного редактора Р. Н. АДЖУБЕЙ.}

_{Редакционный совет: А. Г. АГАНБЕГЯН, Ж. И. АЛФЕРОВ, О. Г. ГАЗЕНКО, В. Л. ГИНЗБУРГ, В. И. ГОЛЬДАНСКИЙ, В. С. ГУБАРЕВ, Г. Н. ОСТРОУМОВ, Б. Е. ПАТОН, Г. X. ПОПОВ, Р. А. СВОРЕНЬ, П. В. СИМОНОВ, В. Н. СМИРНОВ, А. А. СОЗИНОВ.}

_{Ответственный секретарь Н. А. ДОМРИНА. Зав. художественным отделом Б. Г. ДАШКОВ. Технический редактор М. Н. МИХАЙЛОВА. Корректоры: Ж. К. БОРИСОВА, В. П. КАНАЕВА.}

_{Адрес редакции: 101877, Москва, Центр, ул. Мясницкая, д. 24.}

_{Телефоны редакции: для справок — 924-18-35, служба распространения: Ю. А. СИГОРСКАЯ — 921-92-55, рекламная служба: А. В. ГЕЛЬМИЗА — 923-21-22. Электронная почта (E-mail):nauka.msk@g23.relcom.ru Электронная версия журнала: http://nauka.relis.ni/}

_{© «Наука и жизнь» 2000}

_{Учредитель: Автономная некоммерческая организация «Редакция журнала «Наука и жизнь».}

_{Подписано к печати 25.02.2000. Формат 70x108-1/16. Офсетная печать. Подписной тираж 33755 экз. Заказ № 536. Цена договорная. Издательство «Пресса». 125865, ГСП,}

_{Москва, А-137, улица «Правды», 24. Отпечатано на бумаге ПО «Котласский ЦБК».}