О движении

Удар тел

Давление, производимое весом тела, издавна измерялось при помощи весов. Было известно, как изменяется оно в зависимости от веса тела. Давление каждого тела всегда остается одинаковым. Иное дело — удар. Ученых XVII века поражало, что удар небольшого, но быстро движущегося тела производит большее действие, чем давление значительно превосходящего его по тяжести: например, небольшим молотком можно легко забить в пень гвоздь, едва поддающийся давлению положенного на него тяжелого молота.

В чем же причина такого различия эффекта? Очевидно, в скорости движения, усиливающего действие маленького тела.

Галилей говорил, что давление производится «мертвым грузом». Отсюда уже было недалеко до понятия о «живой силе», введенного в механику во второй половине XVII века[10].

Удар — очень сложное физическое явление. При нем возникает взаимодействие тел, в котором не могли разобраться ни Галилей, ни Торричелли.

Законы удара, знание которых имело важное практическое значение для технических расчетов, оставались долго неизвестными.

Одним из первых, кто занимался проблемой удара, был Декарт. Он ввел в науку понятие о сохранении количества движения (так было названо произведение массы тела на скорость его движения). Но Декарт не открыл законов соударения тел, которые согласовались бы с наблюдениями.

Как философ Декарт считал движение неуничтожаемым. Но он не имел понятия о превращении движения тела в колебания частиц (молекул) вещества. Поэтому он ни при каких условиях не допускал возможности прекращения движения (перемещения) тела.

Между тем при соударении неупругих тел, движущихся навстречу друг другу, скорость движения как одного, так и другого тела уменьшается, и часть энергии движения переходит в энергию колебания частиц тела. Возможны случаи, когда ударившееся неупругое тело останавливается и энергия движения переходит в тепловую. Например, свинцовая пуля, ударившись о металлическую доску, расплавляется.

Во второй половине XVII века удар привлек большое внимание ученых. В 1668 году Лондонское Королевское общество назначило даже премию за решение этой проблемы.

Несколько ученых принялись за исследование соударения тел. Один из них, английский математик Джон Валлис (1616–1703), очень скоро разрешил задачу об ударе абсолютно неупругих тел (почти абсолютно неупругими можно считать воск, глиняное тесто и тому подобные тела), не отделяющихся друг от друга после удара.

Валлис, как и Декарт, не имел понятия о переходе видимого движения тела в невидимые колебания его молекул. Но он учел уменьшение скорости движения при столкновении неупругих тел, движущихся навстречу друг другу.

Основываясь на этом, Валлис считал, что количества движения могут быть положительными и отрицательными. Например, если движущееся вправо тело обладает положительным количеством движения, то у движущегося влево оно отрицательно.

При таком условии закон сохранения количеств движения мог быть приложен ко всем случаям соударения тел. Исходя из него, можно путем несложного расчета определить общую скорость после соударения двух неупругих тел, а также перераспределение общего количества движения между ними[11].

Труднее было найти законы соударения упругих тел.

Когда соударяются два абсолютно упругих шара, то на один момент они сжимаются. В этот момент количество движения перераспределяется между ними так же, как и при соударении неупругих тел. Но вслед за этим тела мгновенно возвращаются к прежней форме, воздействуя друг на друга.

Соударение упругих тел было исследовано теоретически Гюйгенсом более чем за десять лет до объявления конкурса Лондонским Королевским обществом. Гюйгенс не опубликовал свою работу только потому, что результаты его исследований не согласовались с «правилами удара» Декарта. Хотя эти «правила» противоречили опыту, но Гюйгенс не решился публично возражать Декарту.

Гюйгенс исходил из одного-единственного положения, что два равных упругих тела, ударяющихся друг о друга с равными скоростями, отскакивают одно от другого с теми же скоростями. Сочинение, в котором выведены из этого положения законы соударения упругих тел, было опубликовано после смерти автора, в 1703 году.

Вот как, например, Гюйгенс вывел из этого положения один из законов соударения абсолютно упругих тел.

Представим себе, что на лодке, плавно идущей вдоль набережной, сталкиваются два равных упругих шара, движущихся с одинаковой скоростью навстречу друг другу. При этом скорости движения шаров (относительно лодки) и самой лодки одинаковы, а шары катятся по линии, соединяющей корму с носом лодки.

Наблюдатель в лодке видит, что шары сближаются с одинаковой скоростью, а после удара покатятся каждый в обратном направлении.

Для наблюдателя с набережной тот из сближающихся шаров, движение которого по направлению обратно движению лодки, будет казаться неподвижным, а другой шар — движущимся к нему с удвоенной скоростью.

После удара, наоборот, шар, двигавшийся относительно наблюдателя на берегу, покажется остановившимся, а другой — катящимся с удвоенной скоростью.

Из этого опыта Гюйгенс вывел такое заключение: «если покоящееся тело ударяет другое равное тело, то это другое тело будет после удара покоиться, а покоившееся получит ту же скорость, какой обладало ударяющее».

В этом рассуждении Гюйгенс принял как неоспоримую истину, что соударение тел должно дать одинаковый результат как на судне, движущемся равномерно и прямолинейно, так и на суше, связав вывод своих законов с принципом относительности, установленным Галилеем.

Сделанный Гюйгенсом вывод, кажущийся парадоксальным, полностью оправдывается на опыте. Его справедливость подтверждается, например, при игре в бильярд упругими шарами из слоновой кости.

Когда катящийся шар ударяется о такой же покоящийся, то центры их сперва сблизятся. В этот момент, как и при ударе неупругих тел, оба шара должны бы получить половинную скорость первого из них в прежнем направлении.

Но упругость шаров сообщает каждому из них такую же скорость во взаимно противоположных направлениях. Поэтому ударивший шар остается на месте, так как его движение вперед парализуется толчком назад. А к половинной скорости шара, испытавшего удар, прибавляется еще такая же скорость от упругого толчка.

В результате ударивший шар останавливается, передав все количество своего движения другому шару, который приходит в движение со скоростью шара, нанесшего ему удар.

В рассмотренном случае оба шара имели одинаковую массу. Если их массы разной величины, то скорость ударяющего тела будет зависеть от соотношения масс.

Если масса ударяющего шара больше, чем покоящегося, то он не остановится, а будет двигаться в прежнем направлении, но с уменьшенной скоростью. Если же его масса меньше, чем покоящегося, то после удара он начнет двигаться в обратном направлении.

Тело, испытавшее удар, в обоих случаях движется в направлении ударяющего тела.

Гюйгенсу принадлежит и другая заслуга в теории удара. Он доказал, что при соударении абсолютно упругих тел сохраняется и сумма «живых сил», чего нет при ударе неупругих тел.

Выводы Гюйгенса подтвердились опытами Мариотта, устроившего для производства этих опытов специальный прибор. Ряд шаров из слоновой кости равных размеров был подвешен на нитях равной длины так, что шары соприкасались.

Отклонив крайний из них, отпускали его, чтобы он нанес прямой центральный удар в плоскости нитей. Тогда на другом конце ряда отскакивал один шар, поднимаясь на ту же высоту.

Это явление объясняется так: ударивший шар передает свое количество движения, или импульс[12], крайнему шару, а сам останавливается; крайний шар передает этот импульс следующему, и так далее; наконец последний шар отскакивает.

Гюйгенс доказал, что при соударении упругих тел передается как импульс, так и «живая сила». Отскочивший шар обладает тем же импульсом и той же «живой силой», как и шар, нанесший удар.

Воображаемый опыт Гюйгенса (соударение тел).

Но что произойдет, если удар нанесут два шара? Опыт показывает, что в этом случае отскакивают два шара — иначе не могли бы сохраниться одновременно и количество движения и кинетическая энергия.

Например, если бы мог отскочить один шар с вдвое большей скоростью, то количество движения осталось бы неизменным. Зато «живая сила» отскочившего шара была бы вдвое больше, чем у двух шаров, нанесших удар, что невозможно.

Удар действует в течение чрезвычайно короткого времени, сообщая, однако, заметное, а иногда и значительное ускорение. Если бы его действие продолжалось секунду, то ускорение было бы очень велико.

Но сила измеряется произведением массы на ускорение. Значит, сила удара огромна. Этим пользуются при забивании гвоздей и свай, при рубке топором и других работах.

Практически невозможно определить ускорение, сообщаемое ударом в течение чрезвычайно короткого времени. Поэтому нельзя определить и силу удара как произведение массы тела на ускорение.

Измерению доступна только скорость, сообщенная ударом телу. Поэтому о силе удара судят по количеству движения. В этом особенность так называемых мгновенных сил.

Изучение удара тел имело большое значение в технике. На законах соударения тел основан, например, баллистический маятник, долгое время применявшийся для измерения скорости движения ядер при вылете из орудия.

Баллистический маятник представлял собой подвешенный массивный ящик с большим котлом внутри, наполненным песком. Выброшенное из орудия в горизонтальном направлении ядро попадает в котел и останавливается в песке. Баллистический маятник приходит в движение и, откачнувшись, поднимается на некоторую высоту.

По высоте поднятия маятника над уровнем, когда он висел спокойно, можно вычислить скорость, сообщенную ему снарядом. Она равна v = √2gh, — гдеh высота, на которую поднялся маятник[13]. Зная высоту h, легко находим и v.

После соударения маятник и снаряд обладают количеством движения, равным (M + m), где М — масса маятника, m — масса снаряда, v — скорость движения маятника. Все эти величины известны.

Это количество движения принадлежало до соударения снаряду. Оно равнялось mV, где V — скорость движения снаряда.

По закону сохранения количества движения можем написать: mV = (М + m)ν, откуда и определяется скорость снаряда V = (M + m)v/m.

Рассмотренный случай взаимодействия движущихся тел представляет собой пример изолированной системы. В такой системе общее количество движения остается неизменным, какие бы процессы в нем ни происходили.

Допустим, что летящий снаряд взорвался в воздухе. Осколки его разлетятся во все стороны. Если сложить количество движения всех осколков, принимая, конечно, во внимание направление их движения, то сумма будет равна количеству движения снаряда до взрыва.