Закрученные пассажи

Глава 2 Ограниченные пассажи: свернутые дополнительные измерения

Афина проснулась сразу. Накануне она читала «Алису в стране чудес» и «Флатландию», чтобы проникнуться вдохновляющими идеями в отношении измерений. А ночью ей приснился необычайно странный сон, который явился, как она поняла, уже полностью очнувшись от сна, результатом одновременного чтения сразу двух книг[15].

Афине снилось, что она превратилась в Алису, проскользнула в кроличью нору и встретила хозяина. Кролика, который вытолкнул ее в незнакомый мир. Афина подумала, что это довольно грубый способ обращения с гостем. Несмотря на это, она страстно предвкушала предстоящее приключение в Волшебной стране.

Однако Афина была разочарована. Хозяин Кролик, обожавший каламбуры, послал ее вместо этого в 1D-ленд[16], странный, но не такой уж волшебный одномерный мир. Афина огляделась, или, правильнее сказать, посмотрела налево и направо, и обнаружила, что все, что она может видеть, это две точки — одна слева от нее, другая справа (и, как ей показалось, более симпатичного цвета).

В 1D-ленде все одномерные жители со своими одномерными владениями были выстроены вдоль этого единственного измерения какдлинные, тонкие бусинки, нанизанные на нить. Но даже при ограниченности своего кругозора Афина знала, что в 1D-ленде есть что-то еще, кроме того, что видят ее глаза, так как в ее уши проникал страшный шум. черная Королева была хорошо спрятана за точкой, но Афина не могла перепутать ее скрипучие пронзительные крики: «Никогда не видела более нелепой шахматной партии! Я не могу двигать ни одной фигурой, даже ладьей!» Афина успокоилась, когда поняла, что одномерное существование защищает ее от гнева Черной королевы.

Но уютная вселенная Афины просуществовала недолго. Проскользнув сквозь щель в 1D-ленде, она вернулась в кроличью нору, в которой был лифт, способный перенести ее во вселенные с другим числом измерений. Почти сразу же Кролик объявил: «Следующая остановка — Двумерная страна». Афина отметила про себя, что 2D-ленд[17] — не очень приятное название, но все равно осторожно вышла из лифта.

Афине незачем было так долго колебаться. Почти все в 2D-ленде выглядело так же, как в 1D-ленде. Она заметила лишь одно отличие — бутылочку с этикеткой «Выпей меня». Афине было скучно в одном измерении, так что она немедленно подчинилась. Она быстро сократилась до крохотного размера, и пока она уменьшалась, все явственнее проступало второе измерение. Это второе измерение было совсем небольшим и было свернуто в маленькую окружность. Местность вокруг Афины напоминала теперь поверхность очень длинной трубки, по окружности носился Додо, но ему хотелось остановиться. Поэтому он любезно предложил довольно проголодавшейся Афине кусок кекса.

Пока Афина ела волшебный кекс Додо, она начала расти, проглотив всего несколько кусочков (она была уверена в этом, так как осталась голодной), она обнаружила, что кекс практически исчез и от него осталась лишь очень маленькая крошка. По крайней мере, Афине казалось, что это была крошка, хотя ее можно было разглядеть, только сильно сощурившись. Не только кекс исчез из вида: когда Афина вернулась к своему обычному размеру, все второе измерение полностью исчезло.

«2D-ленд — очень странное место. Лучше я вернусь домой», — подумала Афина. Ее обратное путешествие тоже не обошлось без приключений, но рассказ о них мы отложим до следующего раза.

Хотя мы и не знаем, почему три пространственных измерения являются особенными, можно спросить: как это возможно? Как так может быть, что нам кажется, что во Вселенной только три пространственных измерения, если в изначальном фундаментальном пространстве-времени их больше? Если Афина находится в двумерном мире, почему она иногда видит только одно измерение? Если теория струн правильно описывает природу, и существуют девять пространственных (плюс одно временное) измерений, то что случилось с шестью исчезнувшими пространственными измерениями? Почему они не видны? Оказывают ли они какое-то заметное влияние на видимый нами мир?

Последние три вопроса являются центральными для этой книги. Однако прежде всего следует определить, существует ли какой-то способ скрыть свидетельства существования дополнительных измерений, так чтобы двумерный мир Афины казался одномерным, а вселенная с дополнительными измерениями казалась бы трехмерной пространственной структурой, которую мы и наблюдаем. Если мы примем идею мира с дополнительными измерениями, из какой бы теории они ни возникали, должно существовать хорошее объяснение того, почему мы до сих пор не зафиксировали ни малейших следов их существования.

Эта глава посвящена чрезвычайно малым, так называемым компактифицированным, или свернутым, измерениям. Они не простираются до бесконечности, как три привычные нам измерения, напротив, они быстро сворачиваются в петли, как туго намотанная катушка ниток. Никакие два тела не могут быть удалены друг от друга на большое расстояние вдоль компактифицированного измерения; всякая попытка совершить экскурсию на большое расстояние обернется вместо этого путешествием по кольцу, вроде беготни Додо. Подобные компактифицированные измерения могут быть такими маленькими, что мы никогда не заметим их существования. Как мы поймем в дальнейшем, если крохотные свернутые измерения существуют, то их обнаружение является непростой задачей.

Теория струн — наиболее многообещающий кандидат на теорию, объединяющую квантовую механику и тяготение, — дает конкретный повод для размышлений о дополнительных измерениях. Действительно, единственные известные нам согласованные версии теории струн обременены этими удивительными придатками. Однако, хотя появление теории струн в мире физики укрепило респектабельность дополнительных измерений, сама идея этих измерений возникла значительно раньше.

В начале двадцатого века теория относительности Эйнштейна распахнула двери для идеи о возможном существовании дополнительных измерений пространства. Теория относительности описывает тяготение, но эта теория не говорит нам, почему мы ощущаем то конкретное тяготение, которое мы знаем. Теория Эйнштейна не отдает предпочтения никакому конкретному числу пространственных измерений. Она одинаково хорошо работает в случае трех, четырех или десяти измерений. Почему же тогда кажется, что их только три?

В 1919 году, следуя по пятам за эйнштейновской общей теорией относительности (завершенной в 1915 году), польский математик Теодор Калуца заметил эту черту теории Эйнштейна и смело предположил существование четвертого пространственного измерения, нового невидимого измерения у пространства[18]. Он полагал, что дополнительное измерение должно как-то отличаться от трех знакомых бесконечных измерений, хотя не уточнил как. Целью Калуцы при введении лишнего измерения было объединение сил тяготения и электромагнетизма. Хотя детали этой неудавшейся попытки объединения сейчас несущественны, дополнительное измерение, которое он столь дерзко ввел, оказалось очень к месту.

Калуца написал свою статью в 1919 году. Эйнштейн, который был рецензентом журнала и оценивал возможность публикации статей в научном журнале, колебался в отношении достоинств этой идеи. Он задержал публикацию статьи Калуцы на два года, но в конце концов признал ее оригинальность. Но Эйнштейн все же хотел знать, чем было это измерение. Где оно было и чем отличалось от других? Насколько далеко оно простиралось?

Эти вопросы были очевидными. Те же самые вопросы могут тревожить и вас. На вопросы Эйнштейна не было никакого отклика вплоть до 1926 года, когда шведский математик Оскар Клейн задумался над ними. Клейн предположил, что дополнительное измерение может быть свернуто в форме окружности и быть чрезвычайно малым, равным 10^-33 см[19], т. е. одной миллиардной от триллион триллионной доли сантиметра. Такое крохотное свернутое измерение должно существовать везде, иначе говоря, в каждой точке пространства должна существовать своя крохотная окружность размером 10^-33 см.

Эта маленькая величина представляет собой планковскую длину, величину, которая будет для нас существенной позднее, когда мы детальнее обсудим гравитацию. Клейн выбрал планковскую длину потому, что это единственная длина, которая может естественно возникнуть в квантовой теории гравитации, а гравитация связана с формой пространства. Пока что все, что нам нужно знать о планковской длине, — это то, что она чрезвычайно, невообразимо мала, много меньше, чем все, что мы когда-либо будем иметь шанс измерить. Она на двадцать четыре порядка величины[20] меньше размера атома и на девятнадцать порядков величины меньше протона. Нетрудно проглядеть что-то столь же маленькое, как это.

В повседневной жизни есть много примеров вещей, протяженность которых в одном из трех обычных измерений слишком мала, чтобы быть замеченной. Картина на стене или бельевая веревка с большого расстояния кажутся протяженными не в трех, а в меньшем числе измерений. Мы не видим толщину слоев краски или толщину веревки. Для обычного наблюдателя картина выглядит так, как будто у нее только два измерения, а веревка для белья кажется имеющей только одно, даже если мы знаем, что на самом деле эти вещи имеют три измерения. Единственный способ разглядеть трехмерную структуру таких вещей — посмотреть на них поближе или с достаточно хорошим разрешением. Если мы протянем шланг через футбольное поле и посмотрим на него с вертолета, как показано на рис. 15, шланг будет казаться одномерным. Но с близкого расстояния вы можете различить два измерения поверхности шланга и трехмерный объем, который эта поверхность ограничивает.

Однако для Клейна неразличимо мала была не толщина какой-то вещи, а малым было само измерение. Так что же означают слова, что измерение мало? Как будет выглядеть вселенная со свернутым измерением с точки зрения того, кто живет в ней? Опять же ответ на этот вопрос зависит полностью от размера свернутого измерения. Рассмотрим пример, показывающий, как будет выглядеть мир для разумных существ, которые слишком малы или, наоборот, слишком велики по сравнению с размером свернутого дополнительного измерения. Поскольку нарисовать четыре или больше измерений невозможно, то на первом рисунке я представлю вселенную с малым компактифицированным измерением, имеющую только два измерения, причем одно из них туго скручено до очень малого размера (рис. 16).

Представьте снова садовый шланг, который можно рассматривать как длинный резиновый лист, свернутый в трубку малого поперечного сечения. На этот раз мы полагаем, что шланг — это вся вселенная (а не объект внутри вселенной)[21]. Если бы вселенная имела форму такого садового шланга, у нас было бы одно очень длинное измерение и одно очень маленькое, свернутое измерение. Это именно то, что мы хотим.

Для небольшого существа, например, плоского жука, живущего во вселенной садового шланга, она выглядела бы двумерной. (В таком сценарии наш жук должен быть приклеен к поверхности шланга — двумерная вселенная не включает внутренность шланга, которая трехмерна.) Жук может ползать в двух направлениях: вдоль шланга или вокруг него. Как Додо, который мог бегать по кругу в своей двумерной вселенной, жук, начавший движение из какой-то точки на шланге, может проползти вокруг него и в конце концов вернуться к тому месту, с которого начал. Так как второе измерение мало, жуку не придется слишком далеко уползать, чтобы вернуться.

Если популяция живущих на шланге жуков испытывает воздействие сил, например, электрических или гравитационных, эти силы способны притягивать или отталкивать жуков в любом направлении по поверхности шланга. Жуки могут быть отделены друг от друга либо вдоль длины шланга, либо по его окружности, и могут испытывать действие любой силы, присутствующей на шланге. Если разрешение достаточно для того, чтобы различать столь малые расстояния, как диаметр шланга, силы и тела проявляют оба измерения, которые и есть на самом деле.

Однако, если бы наш жук мог обозреть окружающее его пространство, он бы заметил, что два измерения очень различны. Одно измерение, вдоль длины шланга, очень большое. Он может быть даже бесконечно большим. В то же время другое измерение очень мало. Два жука никогда не расползутся очень далеко друг от друга в направлении вокруг шланга. И жук, пытающийся совершить далекое путешествие в этом направлении, очень скоро попадет туда, откуда он начал свой путь. Сообразительный жук, любящий тренировать свои ноги, знал бы, что его вселенная двумерна, и что одно измерение тянется далеко-далеко, а другое очень мало и свернуто в окружность.

Однако точка зрения жука совершенно отлична от точки зрения, которую имели бы существа вроде нас во вселенной Клейна, в которой дополнительное измерение свернуто до чрезвычайно малого размера, равного 10^-33 см. В отличие от жука мы никогда не станем достаточно маленькими, чтобы обнаружить или прогуляться по измерению столь малого размера.

Итак, чтобы завершить нашу аналогию, предположим, что во вселенной садового шланга живет существо, значительно большее, чем жук, обладающее только грубым разрешением и поэтому не способное детектировать малые тела или структуры. Так как линза, через которую большое существо наблюдает за миром, смазывает все детали, столь же малые как диаметр шланга, то с точки зрения этого существа дополнительное измерение будет невидимым. Существо будет видеть только одно измерение. Понять, что вселенная садового шланга имеет более одного измерения, можно, только если обладать зрением столь острым, чтобы различить нечто столь малое, как ширина шланга. Но если зрение не такое острое, чтобы различить эту ширину, существо всегда будет видеть только линию.

Кроме того, физические явления не выдадут существования дополнительного измерения. Большие существа во вселенной садового шланга заткнут второе, маленькое измерение и никогда не узнают, что оно здесь было. Не имея возможности обнаружить структуру или изменения вдоль дополнительного измерения типа раскачки или волн материи или энергии, они никогда не зарегистрируют его существование. Любые изменения вдоль второго измерения будут полностью смыты, подобно тому как вы никогда не заметите какое-либо изменение толщины листа бумаги в масштабе его атомной структуры.

Двумерный мир, в котором оказалась во сне Афина, был очень похож на вселенную садового шланга. Так как у Афины были возможности становиться как большой, так и малой относительно ширины 2D-ленда, она могла наблюдать эту вселенную как с точки зрения кого-то большего по размерам, по сравнению со вторым измерением этой вселенной, так и с точки зрения кого-то меньшего по размерам. Для большой Афины 2D-ленд и 1D-ленд выглядели полностью одинаковыми. Только маленькая Афина могла указать на различие. Так и во вселенной садового шланга существо будет находиться в полном неведении относительно дополнительного пространственного измерения, если не станет достаточно маленьким, чтобы его увидеть.

Вернемся к вселенной Калуцы — Клейна, у которой есть три известных нам пространственных измерения и дополнительное невидимое измерение. Чтобы обдумать ситуацию, можно опять использовать рис. 16. В идеале, мне следовало бы нарисовать четыре пространственных измерения, но, к сожалению, это невозможно (не поможет даже книжка-раскладушка с объемными разворотами). Однако, поскольку три бесконечных измерения, образующих наше пространство, качественно одинаковы, мне нужно реально нарисовать только одно типичное измерение. Это позволяет мне использовать другое измерение, чтобы представить невидимое дополнительное измерение. Показанное здесь другое измерение свернуто и этим оно фундаментально отличается от трех других.

Точно так же как в примере с двумерной вселенной садового шланга, четырехмерная вселенная Калуцы — Клейна с одним крохотным свернутым измерением будет казаться нам имеющей на одно измерение меньше, чем те четыре, которые есть на самом деле. Так как мы ничего не можем знать о дополнительном пространственном измерении, пока не сумеем получить свидетельство о его структуре в крохотном масштабе этого измерения, вселенная Калуцы — Клейна будет казаться трехмерной. Свернутые или компактифицированные дополнительные измерения никогда не будут обнаружены, если их масштабы достаточно малы. Позднее мы исследуем вопрос, насколько они должны быть малы, однако сейчас достаточно понимать, что планковская длина находится далеко за порогом измеримости.

В жизни и в физике мы регистрируем только те детали, которые действительно для нас важны. Если вы не можете наблюдать детальную структуру, вы можете с тем же успехом считать, что ее нет. В физике это пренебрежение локальными деталями реализуется в идее эффективной теории, о чем шла речь в предыдущей главе. Все, что имеет значение в эффективной теории, — это вещи, которые вы можете реально воспринимать. В приведенном выше примере мы будем использовать трехмерную эффективную теорию, в которой подавлена информация о дополнительных измерениях.

Хотя свернутое измерение во вселенной Калуцы — Клейна находится рядом с нами, оно так мало, что любое изменение в нем является незаметным. Точно так же, как различия между жителями Нью-Йорка не имеют никакого значения для приезжего, структура дополнительных измерений вселенной несущественна, когда ее детали изменяются в столь крохотном масштабе. Даже если окажется, что на фундаментальном уровне имеется много больше измерений, чем те, с которыми мы знакомы в повседневной жизни, все, что мы видим, будет описываться с помощью тех измерений, которые мы наблюдаем. Экстремально малые дополнительные измерения ничего не изменяют в нашем видении мира, или даже в том, как мы производим большинство физических расчетов. Даже если дополнительные измерения существуют, но мы неспособны видеть их или знать о них по опыту, то можно ими пренебречь и при этом правильно описывать то, что мы видим. Позднее я познакомлю вас с модификациями этой простой картины, для которых это не всегда будет справедливо, но они будут включать дополнительные предположения.

Еще один важный момент, касающийся свернутого измерения, можно понять из рис. 17, где показан шланг или вселенная с одним измерением, свернутым в окружность. Возьмем любую точку вдоль бесконечного измерения. Заметим, что в каждой без исключения точке находится полное компактное пространство, а именно, окружность. Шланг состоит из всех таких окружностей, склеенных вместе, как те слои, о которых шла речь в гл. 1.

На рис. 18 приведен другой пример. Здесь имеются не одно, а два бесконечных измерения, и одно дополнительное измерение, свернутое в окружность. В этом случае окружность находится в каждой без исключения точке двумерного пространства. И если бы было три пространственных измерения, свернутые измерения существовали бы в каждой точке трехмерного пространства. Вы можете сравнить точки в пространстве с дополнительными измерениями с клетками вашего тела, каждая из которых содержит принадлежащую вам полную последовательность ДНК. Аналогично, каждая точка в вашем трехмерном пространстве должна быть хозяйкой полностью компактифицированной окружности.

До сих пор мы рассматривали только одно дополнительное измерение, свернутое в окружность. Но все, что было сказано, должно выполняться и тогда, когда свернутое измерение принимает другую, вообще говоря, любую форму. Может случиться и так, что имеется два или более крохотных свернутых измерений любой формы. Все без исключения измерения, которые достаточно малы, будут для нас совершенно невидимыми.

Рассмотрим пример с двумя свернутыми измерениями. Эти свернутые измерения могут принимать много разных форм. Мы выберем тор, имеющий форму бублика, в котором два дополнительных измерения одновременно свернуты в окружности. Это показано на рис. 19. Если обе окружности — та, которая навивается через дырку в бублике, и та, которая навивается вокруг самого бублика, — достаточно малы, мы никогда не увидим двух дополнительных свернутых измерений.

Но это только один пример. В случае большего числа измерений имеется огромное количество возможных компактных пространств, т. е. пространств со свернутыми измерениями, отличающихся друг от друга конкретным способом, которым эти измерения свернуты. Одной категорией компактных пространств, важных для теории струн, являются многообразия Калаби — Яу, названные по именам итальянского математика Эудженио Калаби, первым предложившего эти особые формы, и уроженца Китая гарвардского математика Шин Тун Яу, показавшего, что эти формы математически возможны. В этих геометрических формах дополнительные измерения свернуты и закручены весьма необычным способом. Как и во всех случаях компактификации, измерения сворачиваются на малых расстояниях, но они переплетаются таким сложным образом, что это очень трудно нарисовать.

Какую бы форму не принимали свернутые дополнительные измерения, и сколько бы их не было, в каждой точке вдоль бесконечных измерений будет находиться маленькое компактное пространство, содержащее в себе все свернутые измерения. Поэтому, если теоретики, занимающиеся струнами, правы, то везде в видимом пространстве — на кончике вашего носа, на северном полюсе Венеры, в точке на теннисном корте, куда вы послали ракеткой мяч во время последней подачи, — должно находиться шестимерное многообразие Калаби — Яу невидимого крохотного размера. В каждой точке пространства должна присутствовать многомерная геометрия.

Теоретики, занимающиеся струнами, часто предполагают, как это уже сделал Клейн, что свернутые измерения имеют размеры, равные планковской длине 10^-33 см. Компактные измерения планковских размеров были бы необычайно хорошо спрятаны. Почти наверняка у нас нет способов обнаружить нечто столь малое. Поэтому весьма вероятно, что дополнительные измерения планковских размеров не оставляют никаких видимых следов своего существования. Следовательно, даже если мы живем во вселенной с дополнительными измерениями планковских размеров, мы будем регистрировать только три обычных измерения. Вселенная может иметь много таких крохотных измерений, но может статься, что мы никогда не достигнем достаточной разрешающей способности, чтобы их обнаружить.

Хорошо иметь наглядное, описательное объяснение того, почему дополнительные измерения прячутся после компактификации или сворачивания до очень маленьких размеров. Но не мешало бы проверить, что законы физики согласуются с этими интуитивными представлениями.

Посмотрим на ньютоновский закон для силы тяготения, который в законченном виде был предложен Ньютоном в XVII веке. Этот закон говорит нам, каким образом сила тяготения зависит от расстояния между двумя массивными телами[22]. Закон Ньютона известен как закон обратных квадратов, означающий, что сила тяготения уменьшается с расстоянием обратно пропорционально квадрату расстояния. Например, если вы удвоите расстояние между двумя телами, сила их гравитационного притяжения уменьшится в четыре раза. Если расстояние между телами увеличивается в три раза по сравнению с первоначальным, гравитационное притяжение уменьшается в девять раз. Закон обратных квадратов для тяготения является старейшим и самым важным из законов физики. Среди прочего, этот закон объясняет движение планет по тем орбитам, которые мы видим. Любая жизнеспособная физическая теория тяготения должна воспроизводить закон обратных квадратов, или она будет обречена на провал.

Тот вид зависимости силы тяготения от расстояния, который заложен в ньютоновском законе обратных квадратов, тесно связан с числом пространственных измерений. Причина этого в том, что число измерений определяет, насколько быстро рассеивается гравитация при распространении в пространстве.

Подумаем над этой связью, что очень пригодится нам позднее, когда мы будем рассматривать дополнительные измерения. Для этого представив себе водопровод, вода из которого может быть направлена через шланг или через разбрызгиватель. Предположим, что через шланг и через разбрызгиватель протекает одинаковое количество воды и этой водой нужно полить определенный цветок в саду (рис. 20). Когда вода идет по шлангу, направленному на цветок, этот цветок получит всю воду. Расстояние от начала шланга до насадки, направленной на цветок, несущественно, так как вся вода должна в конце концов дойти до цветка независимо от того, насколько далеко находится шланг.

Теперь представим, что то же количество воды пропускается через разбрызгиватель, который одновременно поливает много цветков. Иначе говоря, разбрызгиватель подает воду по окружности, так что она попадает на все цветки, находящиеся на определенном расстоянии. Так как теперь вода распределяется среди всего, что есть на данном расстоянии, выбранный цветок будет получать не всю воду. Более того, чем дальше цветок от источника, тем больше растений будет поливать разбрызгиватель, и вода будет распределена по большей территории (рис. 21). Это произойдет потому, что вы можете полить больше растений на окружности длиной в три метра, чем на окружности длиной в один метр. Поскольку вода разбрызгивается шире, более далекий цветок получает меньше воды.

Аналогично, все, что равномерно распределяется более чем в одном направлении, будет оказывать меньшее влияние на любую конкретную вещь, находящуюся на большем расстоянии, будь это цветок или, как мы вскоре увидим, тело, на которое действует сила тяготения. Гравитация, как вода, чем дальше, тем шире распределяется.

Этот пример позволяет также увидеть, почему распределение так сильно зависит от числа измерений, в которых распространяется вода (или тяготение).

Вода из двумерного разбрызгивателя рассеивается с увеличением расстояния, в отличие от воды из одномерного шланга, которая вообще не рассеивается. Представьте теперь разбрызгиватель, распределяющий воду по поверхности сферы, а не только по окружности. (Такой разбрызгиватель напоминал бы нечто вроде созревшего одуванчика.) В этом случае вода будет рассеиваться с расстоянием значительно быстрее.

Применим эти рассуждения к тяготению и выведем точную зависимость от расстояния силы тяготения в трех измерениях. Закон тяготения Ньютона вытекает из двух следующих фактов: тяготение действует одинаково по всем направлениям, а пространство трехмерно. Представим планету, притягивающую любую находящуюся поблизости массу. Так как сила тяготения одинакова по всем направлениям, интенсивность гравитационного притяжения, оказываемого планетой на другое массивное тело, например луну, будет зависеть не от направления, а от расстояния между телами.

Чтобы графически изобразить интенсивность гравитационной силы, слева на рис. 22 показаны радиальные линии, выходящие наружу из центра планеты и напоминающие струи воды, летящие из разбрызгивателя. Плотность этих линий определяет интенсивность гравитационного притяжения, оказываемого планетой на все, что ее окружает. Если тело пронизывает большее количество силовых линий, это будет означать большее гравитационное притяжение, меньшее количество силовых линий будет означать меньшее гравитационное притяжение.

Заметим, что сферическую оболочку, нарисованную на любом расстоянии независимо от того, далеко она или близко от центра, пересекает одно и то же число силовых линий (центральный и правый рисунки на рис. 22). Число силовых линий никогда не меняется. Но так как силовые линии распределены по всем точкам поверхности сферы, сила на большем расстоянии неизбежно меньше. Точный коэффициент ослабления определяется количественной мерой того, насколько широко расставлены силовые линии на любом заданном расстоянии.

На любом расстоянии от массы через сферическую поверхность проходит фиксированное число силовых линий. Площадь этой сферической поверхности пропорциональна квадрату ее радиуса, т. е. равна некоторому числу, умноженному на квадрат радиуса. Так как по поверхности сферы распределено фиксированное число гравитационных силовых линий, сила тяготения должна уменьшаться обратно пропорционально квадрату радиуса. Это распределение гравитационного поля и есть причина закона обратных квадратов для тяготения.

Итак, теперь мы знаем, что в трех измерениях тяготение должно подчиняться закону обратных квадратов. Обратим внимание, что доказательство, как кажется, критически зависит от того факта, что существуют три пространственных измерения. Если бы было только два измерения, тяготение распространялось бы только по окружности, и сила тяготения уменьшалась бы не так сильно с расстоянием. Если число измерений было бы больше трех, площадь поверхности гиперсферы росла бы значительно быстрее с ростом расстояния между планетой и ее луной, так что сила убывала бы значительно быстрее. Похоже, что только три пространственных измерения приводят к зависимости от расстояния в виде закона обратных квадратов. Но если это так, как могут теории с дополнительными измерениями требовать выполнения ньютоновского закона обратных квадратов для тяготения?

Очень интересно видеть, каким образом компактифицированные измерения разрешают этот потенциальный конфликт. Суть рассуждений состоит в том, что силовые линии не могут распространяться на произвольное расстояние по компактным измерениям, так как они имеют конечный размер. Хотя силовые линии изначально расходятся по всем измерениям, после того, как они выйдут за пределы размеров дополнительных измерений, им не останется ничего иного, кроме как распространяться в направлениях бесконечных измерений.

Это опять может быть проиллюстрировано примером со шлангом. Представьте, что вода поступает в шланг через маленький прокол в крышке, прикрывающей конец шланга (рис. 23). Устремившаяся через прокол вода не сразу потечет вдоль по шлангу, а сначала распределится по всему сечению трубки. Тем не менее, поливая наш цветок из другого конца шланга, мы ясно понимаем, что способ, каким вода поступает в шланг, не имеет для нас никакого значения. Хотя вода и распределится вначале по более чем одному направлению, она быстро достигнет внутренней поверхности шланга и потечет далее так, как будто существует только одно направление. По существу, именно это происходит с гравитационными силовыми линиями в малых компактифицированных измерениях.

Как и ранее, можно вообразить фиксированное число силовых линий, идущих от массивного шара. На расстояниях, меньших размеров дополнительных измерений, эти силовые линии распространяются равномерно во всех направлениях. Если бы вы могли измерить тяготение на этом малом масштабе, вы бы получили следствия многомерной гравитации. Силовые линии распространялись бы так же, как вода, поступающая в шланг через прокол и распределяющаяся по внутренней части шланга.

Однако на расстояниях больших, чем размеры дополнительных измерений, силовые линии могут распространяться только по бесконечным направлениям (рис. 24). В малых компактных измерениях силовые линии наткнутся на край пространства, так что они не смогут распространяться по этому пути дальше. Они должны искривиться, и единственный оставшийся для них путь — двигаться в направлении больших измерений. Поэтому на расстояниях, больших, чем размеры дополнительных измерений, все выглядит так, как будто дополнительных измерений нет, и закон силы превращается в ньютоновский закон обратных квадратов, который мы и наблюдаем. Это означает, что даже с качественной точки зрения вы не можете знать о существовании дополнительных измерений, если измеряете гравитационную силу только между телами, расстояние между которыми больше размера свернутого измерения. Зависимость от расстояния отражает существование дополнительных измерений только в крохотной области внутри компактного пространства.

Теперь мы установили, что когда дополнительные измерения достаточно малы, они невидимы, и отсутствуют какие-либо измеримые следствия их существования в масштабах длин, которые мы наблюдаем. В течение долгого времени теоретики-струнники предполагали, что дополнительные измерения — это измерения, имеющие планковскую длину, однако недавно некоторые из нас поставили это предположение под вопрос.

Никто не понимает теорию струн настолько хорошо, чтобы с определенностью сказать, какие размеры окажутся у дополнительных измерений. Возможны размеры, сравнимые с планковской длиной, но и любое измерение, слишком маленькое для того, чтобы его можно было увидеть, тоже допустимо. Планковская длина настолько мала, что даже значительно большие Свернутые измерения могут ускользнуть от наблюдения. Важный вопрос при изучении дополнительных измерений состоит в том, насколько велики могут быть эти измерения, если допустить, что мы их до сих пор не видели.

Среди вопросов, обсуждаемых в этой книге, есть и вопросы о том, насколько велики могут быть дополнительные измерения, приводят ли эти измерения к каким-либо заметным явлениям в мире элементарных частиц и как это можно экспериментально исследовать. Мы увидим, что существование дополнительных измерений может существенно изменить правила, по которым мы изучаем физику частиц, и, более того, некоторые из этих изменений могут привести к экспериментально наблюдаемым следствиям.

Еще более радикальный вопрос, который мы исследуем, состоит в том, должны ли дополнительные измерения быть малыми. Мы не видим крохотных измерений, но обязаны ли измерения быть маленькими для того, чтобы быть невидимыми? Может ли дополнительное измерение простираться бесконечно, но так, чтобы мы его не видели? Если такое возможно, то дополнительные измерения будут сильно отличаться от тех измерений, которые мы рассматривали. Пока что я нашла только простейшую возможность. Позднее мы увидим, почему даже такое радикальное предположение о бесконечном дополнительном измерении не может быть исключено, если оно существенно отличается от трех привычных нам бесконечных измерений.

В следующей главе будет рассмотрен еще один вопрос, который мог у вас возникнуть: почему малые дополнительные измерения не могут быть просто отрезками, не свернутыми в шарик, а просто ограниченными двумя «стенками»? Такая возможность не приходит в голову сразу, но почему нет? Ответ состоит в том, что идея о конце пространства подразумевает знание того, что там происходит. Испытывает ли все на краю вселенной резкий обрыв, как, по-видимому, следует из старых картин плоской Земли? Или все отражается обратно? Или туда никогда нельзя попасть? Необходимость уточнения того, что происходит на краю, означает, что вы должны знать то, что ученые называют граничными условиями. Если пространство кончается, то где это происходит и на чем все кончается?

Браны — мембраноподобные объекты в многомерном пространстве — обеспечивают необходимые граничные условия для миров, которые «кончаются». Как мы увидим в следующей главе, браны могут сделать мир (или много миров) разнообразными.