Большая Советская Энциклопедия (МЕ)

Метрический тензор

Метри'ческий те'нзор, совокупность величин, определяющих геометрические свойства пространства (его метрику). В общем случае риманова пространства n измерений метрика определяется заданием квадрата расстояния ds² между двумя бесконечно близкими точками (x¹ , x² ,..., xⁿ ) и (x¹ + dx¹ , x² + dx² ,..., xⁿ + dxⁿ ):

где x¹ , x² ,..., xⁿ — координаты, g_ik — некоторые функции координат. Совокупность величин g_ik образует тензор второго ранга, который и называется М. т. Этот тензор симметричен, т. е. g_ik = g_ki . Вид компонент М. т. g_ik зависит от выбора системы координат, однако ds² не меняется при переходе от одной координатной системы к другой, т. е. является инвариантом относительно преобразований координат. Если выбором системы координат можно привести М. т. к виду

то пространство является плоским, евклидовым пространством (для трёхмерного пространства ds² = dx² + dy² +dz² , где x¹ = х, x² = у, x³ = z — декартовы прямоугольные координаты). Если никаким преобразованием координат нельзя привести М. т. к виду (2), пространство является искривленным и кривизна пространства определяется М. т.

В теории относительности М. т. определяет метрику пространства-времени .

Лит . см. при статьях Римановы геометрии , Относительности теория , Тяготение .

Г. А. Зисман.