Этот правый, левый мир

Глава 17. Четвертое измерение

Иммануил Кант, великий немецкий философ XVIII столетия, первым из выдающихся мыслителей обратил внимание на глубокое философское значение зеркальных отражений. То, что асимметричный объект может существовать в любой из двух взаимно зеркальных форм, казалось Канту загадочным и таинственным. Прежде чем обсуждать некоторые следствия, выведенные Кантом из право-левой асимметрии, попытаемся сперва понять то настроение, с которым он подходил к проблеме.

Представьте, что перед вами на столе находится трехмерная модель двух энантиоморфных многогранников, изображенных на рис. 41. Все геометрические свойства этих двух моделей абсолютно одинаковы. Каждому ребру одной фигуры соответствует ребро точно такой же длины у другой фигуры. Все их углы дублируют друг друга. Никакими измерениями и исследованиями не удается обнаружить различия в геометрических характеристиках моделей. Это в некотором смысле идентичные, конгруэнтные фигуры. И все же совершенно ясно, что они не одинаковы!

Вот как выразил эту мысль Кант в тринадцатой главе своего знаменитого труда «Пролегомены будущей метафизики»: «Что может быть больше похоже на мою руку или мое ухо, чем их собственные отражения в зеркале? И все же руку, которую я вижу в зеркале, нельзя поставить на место настоящей руки...»

Два предмета обладают полностью совпадающими свойствами, и в то же время, несомненно, отличаются друг от друга — в этом, по-видимому, заключается одна из причин жутковатой притягательной силы, с которой зеркальный мир действует на детей и дикарей, когда они видят его впервые. Главная причина это, конечно, само появление за стеклом мира, который выглядит столь же реально, как и весь остальной мир, но является тем не менее чистой иллюзией. Если вы хотите позабавить и удивить маленького ребенка, поставьте его вечером перед зеркалом в темной комнате и дайте в руки электрический фонарик. Когда он направляет фонарик на зеркало, луч проникает прямо в комнату за стеклом и освещает находящиеся в ней предметы, когда попадает на них! Сама иллюзия второй комнаты производит достаточно сильное, волшебное впечатление, и оно еще усиливается, когда человек замечает, что все в этой второй комнате «не так». Это та же самая комната, да не та.

В изложении Канта вся эта история стала сложной, запутанной и противоречивой. За последние несколько десятилетий Бертран Расселл и другие ведущие специалисты по философии науки столь усердно выставляли Канта на посмешище, что у читателя, знакомого с Кантом лишь по этим доводам, могло сложиться впечатление, будто Кант был просто неотесанный метафизик, имеющий весьма смутное представление о математике и науке.

На самом деле Кант хорошо знал науку и математику своего времени. Он был преподавателем физики, и большинство его первых работ было написано на естественнонаучные темы. Подобно Альфреду Уайтхеду он перешел от математики и физики к построению метафизической философской системы только в зрелые годы. Можно что угодно думать о его окончательных выводах, но нельзя отрицать важности его вклада в перестройку самих основ философии современной науки.

В первой работе Канта «Размышления об истинной оценке живых сил» (1747) можно найти замечательные мысли, предвосхитившие появление n-мерной геометрии. «Почему, — спрашивает он, — наше пространство трехмерно?» И заключает, что это должно быть как-то связано с тем, что такие силы, как тяготение, распространяются из начальной точки подобно расширяющимся сферам.

Их напряженность убывает обратно пропорционально квадрату расстояния. Если бы бог пожелал создать мир, где силы изменялись обратно пропорционально кубу расстояния, говорит Кант, то потребовалось бы пространство четырех измерений. (Точно так же, хоть Кант и не упоминал об этом, силы в 2-пространстве, расходящиеся кругами от точечного источника, должны были бы изменяться обратно пропорционально первой степени расстояния.) Кант в этой работе придерживался взглядов на пространство, высказанных столетием раньше великим немецким философом и математиком Готтфридом Вильгельмом фон Лейбницем.

Пространство не имеет реальности вне материальных объектов; оно является всего лишь абстрактным математическим приемом для описания связей, существующих между объектами. Хотя мысль о четвертом измерении и приходила математикам в голову, они быстро оставляли ее как забавную спекуляцию, не имеющую никакой ценности. Никто не догадался, что асимметричный трехмерный предмет может быть (теоретически) «вывернут», если его повернуть в пространстве высшей размерности; только в 1827 году, через восемьдесят лет после появления статьи Канта, на это указал Август Фердинанд Мёбиус, немецкий астроном, в честь которого назван лист Мёбиуса. Поэтому вызывают изумление следующие строки, написанные Кантом еще в 1747 году: «Наука о всевозможных пространствах такого рода (пространствах с числом измерений больше трех) будет, несомненно, высшим усилием, которое наш ограниченный разум может предпринять в области геометрии». «Может быть, — добавляет он, — существуют протяженности с другими измерениями, и вполне вероятно, что бог нашел способ создать их, потому что в созданиях его все величие и многогранность, которые они могут вместить». Такие высшие пространства, однако, «не принадлежат к нашему миру, а образуют другие миры».

В 1768 году в статье «О первой причине различия между областями в пространстве» Кант отошел от идей Лейбница на пространство и принял взгляды Ньютона. Пространство — неподвижная, абсолютная вещь, «эфир» XIX столетия; оно имеет свою собственную реальность, не зависящую от материальных объектов. Чтобы установить существование такого пространства, Кант обращает свое внимание на предметы, которые он называет «неконгруэнтными двойниками», на трехмерные асимметричные фигуры одинаковых размеров и формы, но противоположной «направленности», такие, как раковины улиток, вьющиеся растения, правая и левая руки. Существование таких предметов, рассуждает он, означает, что пространство ньютоново. И чтобы доказать это, использует поразительный мысленный эксперимент, который можно воспроизвести следующим образом. Представим себе, что космос совершенно пуст, в нем нет ничего, кроме единственной человеческой руки. Правая это рука или левая? Поскольку внутренних измеримых различий между энантиоморфными объектами не существует, у нас нет оснований называть ее правой или левой. Конечно, если вы представите себя, глядящим на эту руку, то сразу увидите, правая она или левая, но это равносильно включению самого себя (со своим ощущением правого и левого) в 3-пространство. Нужно представить себе, что рука в пространстве совершенно изолирована и не имеет никакой связи с другими геометрическими объектами. Ясно, что бессмысленно будет говорить, что это рука правая или левая, точно так же, как бессмысленными являются для этой руки слова «маленькая» и «большая» или «верх» и «низ».

Представим себе теперь что в пространстве рядом с рукой материализуется человеческое тело. У него не хватает только рук ниже запястья. Очевидно, что рука пойдет только к одному, скажем к левому запястью. Следовательно, это левая рука. Чувствуете ли вы парадокс? Если мы доказали, что это левая рука, подогнав ее к левому запястью, то, значит, она была левой и до появления тела. Должна же быть какая-то причина, какое-то основание для того, чтобы назвать ее левой, даже если она — единственное тело во Вселенной! Кант считал, что объяснить это можно, лишь предположив, что само пространство обладает чем-то вроде абсолютной объективной структуры — какой-то трехмерной решетки что ли, — которая и даст возможность определить «направленность» единичного асимметричного объекта.

Современный читатель, знакомый с n-мерной геометрией, должен без труда разобраться в словесных трудностях кантовского мысленного эксперимента. Суть ошибки Канта очень наглядно изображена в одном из эпизодов рассказа в картинках Джона Харта под названием «До нашей эры». Один из пещерных людей на рисунке Харта только что изобрел барабан. Он ударяет несколько раз по чурбану палкой, которую держит в одной руке, и говорит: «Это левая дробь». Потом он ударяет палкой, которую держит в другой руке, и говорит: «А это правая дробь». «Откуда ты знаешь, которая из них какая?» — спрашивает его один из зрителей. Барабанщик показывает на тыльную сторону одной из ладоней и говорит: «У меня на этой руке родинка».

Посмотрим, какое отношение имеет это к ошибке Канта. Представим себе Флатландию, в которой нет ничего, кроме одной плоской руки. Она асимметрична, но бессмысленно говорить, правая она или левая, поскольку другой асимметричной структуры в этой плоскости нет. Это следует также из того, что из 3-пространства мы можем посмотреть на эту руку с обеих сторон и увидеть ее в одной из двух зеркальносимметричных форм. Положение изменится, если мы введем безрукого двумерца и определим у него «левую» сторону, скажем ту, где у него сердце. Это никоим образом не значит, что рука была «левой» или «правой» до появления двумерца, потому что появиться он может в одной из двух энантиоморфных модификаций. Если положить его на плоскость одним способом, то рука будет левой. Переверните его и положите по-другому — рука станет правой, потому что будет прикрепляться на противоположной от сердца стороне.

Означает ли это, что рука меняет свою асимметрию или что сердце двумерца магическим образом перескакивает с одной стороны на другую? Ничего подобного. Ни рука, ни двумерец нисколько не меняются. Просто их взаимное расположение в 2-пространстве изменилось. Дело тут только в словах. «Правое» и «левое» — это слова, которые означают, как сказал Шалтай-Болтай, то, что мы хотим. Отдельную руку можно назвать как угодно. То же самое относится к сторонам тела двумерца. Только в том случае, когда в одном и том же пространстве присутствуют два асимметричных объекта и на одном «ярлыки уже повешены», на втором нельзя вешать их произвольно.

То же самое творится и в 3-пространстве. Пока мы не принесли безрукое тело, относительно которого подразумевается, что левая сторона у него там, где сердце, у нас нет основания решить, как назвать руку. Если тело «перевернуть» в 4-пространстве, этикетку на руке придется сменить автоматически. Пусть мы пометили изолированную руку, назвав ее «правой». Когда появляется тело, то правым запястьем, просто по определению, будет то, к которому эта рука подойдет. Важно, что начальный выбор слова абсолютно произволен. Пещерный житель у Харта, который назвал свою руку «левой», потому что на ней была родинка, сделал совершенно разумный первый шаг. Юмор картинки заключается в способе, которым он сформулировал свой ответ. Вместо того чтобы ответить, что он знает разницу между левой и правой руками, потому что на левой руке у него родинка, он должен был сказать: «Я решил назвать левой ту руку, на которой у меня родинка». Никакого парадокса в этой ситуации нет, поэтому нет и необходимости вводить ньютоново абсолютное пространство.

На самом деле даже неподвижный ньютоновский эфир не поможет определить, правая это рука или левая, если только в самой структуре пространства но содержится какая-то асимметрия. Если рука находится в сферическом, коническом или цилиндрическом мире или, наконец, в бесконечном пространстве, пересеченном линиями кубической решетки, положение наше будет не лучше, чем раньше. А вот если весь мир имеет форму огромной человеческой руки, тут дело другое. Мы можем назвать космическую руку «правой» (или пометить ее знаком плюс), тогда изолированную человеческую руку, если она имеет противоположную асимметрию, мы вынуждены будем назвать «левой» (или пометить ее знаком минус). Мы можем также идентифицировать эту руку, используя асимметрию мельчайших ячеек пространства, «зернышек», образуемых сплетением геодезических линий подобно асимметричной решетке кварца или киновари (по геодезическим линиям проходят кратчайшие пути между парами точек). В последующих главах мы увидим, что такие рассуждения представляют в настоящее время наибольший интерес в связи с последними открытиями, указывающими на асимметричное поведение некоторых элементарных частиц.

Кант сам скоро понял, что его мысленный эксперимент ничего не доказывает. Позднее на основе более зрелых размышлений он объединил взгляды Ньютона и Лейбница, создав свою собственную, синтетическую систему воззрений, тесно связанную с его трансцендентальным идеализмом. «Ньютон был прав, — утверждал он, — когда считал, что пространство не зависит от материальных тел, но и Лейбниц был прав, отказывая пространству в реальности». Пространство не зависит от материальных тел именно потому, что оно лишено реальности; это лишь идеальный, субъективный способ восприятия нами трансцендентной реальности, лежащей полностью за пределами нашего понимания.

По Канту, пространство и время подобны стеклам в очках, без которых мы ничего не можем видеть. Реальный мир, внешний по отношению к нашему сознанию, непосредственно невоспринимаем; мы видим его только через свои пространственно-временные очки. Реальный объект, называемый Кантом «вещь в себе», существует трансцендентально, вне пространства и времени и абсолютно непознаваем. («Решение загадки жизни в пространстве и времени лежит за пределами пространства и времени», — пишет Людвиг Витгенштейн в «Логико-философском трактате».) Наш опыт опирается только на чувственные восприятия, на то, что мы видим, слышим, осязаем, обоняем, пробуем на вкус. Эти восприятия являются в некотором смысле иллюзией. Они оформлены и окрашены нашими субъективными представлениями о пространстве и времени, как цвет предмета изменяется цветными стеклами или форма тени меняется в зависимости от того, на какую поверхность она упала.

«В чем же тогда решение?» — спрашивает Кант в своих «Пролегоменах». «Эти (отраженные в зеркале) предметы не представляют вещи такими, какие они есть сами по себе и какими воспринял бы их чистый разум, но являются чувственными интуициями, то есть явлениями, сама возможность которых покоится на связи между некими неведомыми вещами в себе с чем-то другим, а именно с нашими ощущениями».

Пытаясь понять смысл утверждений, сделанных философами прошлых поколений, стоит иногда рискнуть и перефразировать их с помощью современной терминологии и в свете современных знаний. Делать это, конечно, нужно в высшей степени осторожно. Тем не менее, я думаю, что если бы Кант был сейчас жив, он выразил бы свою точку зрения примерно так:

Математики XVIII столетия, как мы уже видели, еще не осознали, что евклидову геометрию можно обобщить на произвольное число измерений. Отрезок прямой длиной в один метр является одномерной фигурой. В двух измерениях соответствующей фигурой будет квадрат со стороной в один метр, а в трех измерениях — куб с ребром в один метр. Эту картину можно обобщать, добавляя сколько угодно измерений. Гиперкуб — это куб в четырех измерениях, каждая сторона его имеет длину один метр и образует прямые углы со всеми остальными сторонами. Нет причин, по которым не мог бы существовать четырехмерный мир, содержащий материальные гиперкубы, или пятимерный мир, или шестимерный, семимерный. Эта иерархия бесконечна. И на каждом ее уровне геометрия евклидова, такая же точная и самосогласованная, как и известная геометрия Евклида в пространстве и на плоскости, которую мы учили в школе.

Математические методы могут раскрыть свойства фигур в этих высших евклидовых пространствах, но наше мышление находится в плену евклидова 3-пространства, которое соединено с одномерным временем, летящим вперед как стрела. Мы не можем представить себе вещь, существующую вне трех пространственных измерений и одномерной временной протяженности. Может быть, после соответствующей тренировки или в будущем, когда в результате эволюции ум человеческий превратится в более мощный инструмент, мы и смогли бы научиться мыслить в четырех пространственных измерениях. Сейчас мы этого не умеем. Мы смотрим на мир сквозь пространственно-временные очки, одно стекло которых позволяет нам воспринять одномерное время, другое — трехмерное пространство. Мы не можем представить себе мысленно образ гиперкуба или какой-нибудь другой четырехмерной структуры. Мы представляем себе только трехмерные построения, имеющие к тому же длительность, то есть движущиеся вдоль единственной колеи времен.

Предположим, однако, что существует трансцендентный мир, мир 4-пространства, не доступный нашим органам чувств, за пределами способностей нашего воображения. Как же будут выглядеть с точки зрения гиперличности в таком гиперпространстве два асимметричных телесных предмета, которые подобно многогранникам с рис. 41 являются зеркальным отражением друг друга? Математика дает ясный и недвусмысленный ответ: эти многогранники будут идентичны и полностью наложимы один на другой!

Чтобы понять это, посмотрим мысленно на 2-пространство и на две находящиеся в нем асимметричные фигуры, изображенные на рис. 42. Двумерцы, живущие на плоскости, были бы так же озадачены этими фигурами, как Канта озадачивали его уши и их отражение в зеркале. Как могут быть эти фигуры столь похожи, спросят себя двумерцы, и в то же время неналожимы? Мы, жители 3-пространства, можем это понять. Фигуры в самом деле одинаковы. Это только несчастные Двумерцы, сидящие в своем двумерном мире, глядят на все через очки евклидова 2-пространства и не могут себе представить, что эти фигуры наложимы. Мы можем это доказать, просто взяв одну из них и предварительно перевернув, наложить на другую. Если мы вернем перевернутую фигуру в плоскость, расположив ее рядом с первой, то для двумерцев они обе будут абсолютно одинаковы во всех отношениях, включая «знак асимметрии». Поскольку двумерцы не могут себе представить 3-пространство, они подумают, что произошло чудо. Твердый асимметричный объект перешел в свое зеркальное изображение! И в то же время мы с этим предметом ничего не сделали. Мы его не растянули, не повредили, вообще никак не изменили. Мы только изменили его ориентацию в 2-пространстве — его положение по отношению к другим предметам в пространстве.

Два асимметричных многогранника с рис. 41 точно так же абсолютно одинаковы и могут быть наложены друг на друга. Только потому, что мы не можем взглянуть на них через трансцендентные очки 4-пространства, они кажутся нам разными. Если бы мы могли вращать их в гиперпространстве — перевернуть их, так сказать, через четвертое измерение, — то получили бы пару абсолютно одинаковых конгруэнтных многоугольников.

Кант, конечно, таких взглядов не выражал. Тем не менее я думаю, что если серьезно, используя всю имеющуюся информацию, попытаться воспринять окончательную точку зрения Канта на все сущее, то не будет никакого легкомыслия в предположении, что Кант вполне мог бы рассуждать таким образом, будь к его услугам математические знания XX столетия.

Лейбниц тоже, я убежден, интуитивно понимал еще не открытые тогда высшие евклидовы пространства. Он однажды рассматривал вопрос о том, что произошло бы, превратись весь мир и все вещи в нем в свои зеркальные изображения. Он пришел к заключению, что ничего бы не случилось. Не имело бы смысла говорить, что такое превращение вообще произошло, потому что нет способа заметить это изменение. Спрашивать, почему бог создал мир так, а не наоборот, значит, по словам Лейбница, задавать «совершенно никчемный вопрос».

Когда мы пытаемся ответить на этот вопрос с точки зрения высших евклидовых пространств, мы видим, что Лейбниц прав. Все, что требуется для того, чтобы «реверсировать» Флатландию на листке бумаги, это перевернуть листок и посмотреть на фигуры с другой стороны. Можно даже не переворачивать бумагу. Представьте себе Флатландию, расположенную на вертикальном листе стекла посреди комнаты. Когда вы смотрите на нее с одной стороны, это левый мир. Обойдите стекло кругом, и вы увидите правый мир.

Упражнение 11. Когда мистер Смит пытался открыть стеклянную дверь в банк, он с удивлением увидел на ней надпись большими черными буквами ДОХВ. Что значит это слово?

Флатландия совершенно не меняется, когда вы смотрите на нее с другой стороны. Происходит изменение только в расположении Флатландии в 3-пространстве относительно вас. Точно таким же образом житель 4-пространства может посмотреть на обыкновенный штопор с одной стороны и увидит правую спираль, а затем, зайдя с другой стороны, он увидит в том же самом штопоре левую спираль. Если бы он мог взять наш штопор, перевернуть и возвратить в наше пространство, нам показалось бы, что мы видим чудо. На наших глазах штопор исчез бы и появился в зеркальной форме.

Энантиоморфные предметы одинаковы не только по всем своим метрическим свойствам, они и топологически идентичны. Хотя правый узел на замкнутой петле нельзя переделать в левый, они топологически эквивалентны. Маленькие дети схватывают это быстрее, чем взрослые. Жан Пиаже и Бэрбел Инхелдер в своей книге «Детское представление о пространстве» приводят сильные доводы, подтвержденные экспериментально, в пользу того, что дети действительно выучиваются различать топологические свойства еще до того, как привыкают узнавать евклидовы свойства формы и разницу между правым и левым. Маленькие дети, например, когда их просят скопировать треугольник, очень часто рисуют круг. Углы и стороны треугольника для них менее заметны, чем свойство замкнутости кривой. Они не заметят разницы между цветным кружком, раскрашенным по часовой стрелке, и таким же кружком, раскрашенным против часовой стрелки. Их нетренированному мышлению кажется, по-видимому, что кружки одинаковы: они не то чтобы понимают, что кружки можно наложить перевернув, они просто не видят исходной разницы. Этим можно объяснить то, что даже «право-рукие» дети часто пишут наоборот печатные буквы и даже целые слова.

Может быть, ум наш потенциально более гибок, чем предполагал Кант. Наша неспособность четко представлять себе четырехмерные структуры вроде гиперкуба целиком может определяться тем фактом, что в человеческой памяти зарегистрирован только опыт, полученный в трехмерном мире. Может ли ребенок приучиться мыслить четырехмерными образами, если у него будут соответствующие игрушечные «учебные пособия»? Этот вопрос серьезно обсуждался некоторыми математиками, а в научно-фантастической литературе стал даже избитым.

А есть ли зеркальные отражения у гипертел 4-пространства? Да, эта двойственность существует на любом уровне. В одном измерении фигуры отражаются в точке, в двух измерениях — в линии, в трех измерениях — в плоскости. В четырехмерном мире отражение производится трехмерным телом и так далее для пространств еще более высоких размерностей. В каждом пространстве n-измерений «зеркалом» является «поверхность» с числом измерений n—1. В любом n-мерном пространстве асимметричную фигуру можно совместить с ее зеркальным изображением с помощью поворота в пространстве размерности n + 1. Может быть, наш гипотетический Кант XX столетия выразил бы это следующим образом: только «чистый разум» самого господа бога, который стоит над пространством и временем, видит, что пары энантиоморфных структур во всех пространствах идентичны и полностью наложимы друг на друга.

Герберт Джордж Уэллс первым построил научно-фантастический рассказ на «обращении» асимметричного предмета за счет поворота в четырехмерном пространстве. В «Истории Плэттнера» — одном из лучших произведений Уэллса — учитель химии по имени Готтфрид Плэттнер взрывает таинственный зеленый порошок, и взрыв этот забрасывает его прямо в 4-пространство. Что он увидел за девять дней пребывания во тьме «Другого Мира» с его огромным зеленым солнцем и странными неземными жителями, вы должны узнать сами, прочитав рассказ Уэллса. После девяти дней пребывания в 4-пространстве Плэттнер спотыкается о камень, бутылка с зеленым порошком взрывается у него в кармане и он переносится обратно в 3-пространство. Но его тело оказывается перевернутым: сердце у него теперь справа и пишет он левой рукой перевернутыми буквами.

Безмолвные образы, населяющие Уэллсово 4-пространство, это души тех, кто жил когда-то на земле. Убеждение, что души усопших населяют пространства высших размерностей, было во времена Уэллса широко распространено среди спиритов; время от времени медиумов просили переделать асимметричный предмет на его зеркальное изображение для доказательства того, что они действительно поддерживают непосредственный контакт с жителями 4-пространства. Генри Слэйд, ловкий американский медиум, пользовавшийся мировой известностью в конце XIX столетия, заявлял, что во время сеансов в его власти было переносить предметы в 4-пространство и возвращать их оттуда. Одним из его любимых фокусов было завязывание узла на замкнутой гладкой веревочной петле, а этот трюк (те, кто не предполагал мошенничества) могли объяснить только тем, что часть веревки побывала в пространстве более высокой размерности. Немецкий астроном и физик Иоганн Карл Фридрих Цоллнер, удивительно недалекий человек, так мало знал о возможностях ловких человеческих рук, что полностью поверил элементарным фокусам Слэйда и написал книгу «Трансцендентальная физика», которая, хотя автор того и не желал, получилась очень забавной. В ней он защищает Слэйда от обвинений в мошенничестве[36].

Чтобы получить определенное неопровержимое доказательство контакта Слэйда с духами 4-пространства, Цоллнер предложил однажды медиуму превратить правую винную кислоту в левую, чтобы она стала вращать плоскость поляризации проходящего через нее света в противоположном направлении. Он также принес Слэйду несколько конических спиральных раковин, закрученных вправо или влево, чтобы посмотреть, как Слэйд переделает их в зеркальные отражения. Путем поворота в 4-пространстве все это произвести было бы не труднее, чем завязать узел на гладкой петле, но фокусник выполнить этого не смог. Слэйду требовалось получить левовращающую винную кислоту, а ее можно было синтезировать только в лабораторных условиях, достать же эту кислоту оказалось нелегко; еще большую трудность представляло добывание раковин — точных дубликатов принесенных Цоллнером, но закрученных в обратную сторону. Как и следовало ожидать, ни один из этих решающих опытов не был выполнен, что, конечно, не поколебало ни на йоту веру Цоллнера в существование духов 4-пространства.

Возможно ли, что в один прекрасный день наука нащупает пути к постижению пространства более высокой размерности и окажется, что это нечто большее, чем математическая абстракция или дикая выдумка спиритов и оккультистов?

Может быть, но пока что на этот счет существуют лишь слабые надежды. В четырехмерном континууме теории относительности 3-пространство и время рассматриваются математически с помощью четырехмерной неевклидовой. геометрии. Это совсем не то же самое, что 4-пространство из четырех пространственных координат. С другой стороны, построены многие космологические модели, согласно которым трехмерное пространство изгибается в четырехмерном, причем изгиб этот, по крайней мере в принципе, можно проверить.

Эйнштейн, например, предложил однажды модель космоса, в которой астронавт, посланный в любом направлении по самому прямому из возможных путей, вернется рано или поздно в исходную точку. В этой модели наше 3-пространство рассматривается как гиперповерхность исполинской гиперсферы. Движение по ней можно сравнить с путешествием двумерца по поверхности шара[37].

В других космических моделях гиперповерхность изгибается в 4-пространстве подобно таким двумерным поверхностям, как бутылка Клейна и проективная плоскость. Это односторонние замкнутые поверхности без краев, которые закручиваются подобно листу Мёбиуса,

Предположим, например, что каждая точка сферы соединена с диаметрально противоположной точкой. Получится модель, которую топологи называют проективным 3-пространством. Космонавт, совершающий кругосветное путешествие по проективному 3-пространству, вернется в исходную точку в зеркально отраженном виде, подобно Плэттнеру у Уэллса.

Для понимания того, как это произойдет, очень поучителен следующий простой эксперимент. Вырежьте две абсолютно одинаковые бумажные полоски, наложите одну на другую, а затем (рассматривая их как одну полоску) скрутите концы на полоборота и склейте как показано на рис. 43. То, что получится, не будет листом Мёбиуса, но пространство между полосками — будет[38]. Можно считать, что бумага прикрывает мёбиусову поверхность нулевой толщины. Теперь из темной бумаги вырежьте две маленьких спиральки и положите между бумажных полосок, удерживая скрепками, как показано. Их нужно расположить рядом и так, чтобы они закручивались в одном и том же направлении. Освободите одну спиральку от скрепки и обведите ее вокруг листа Мёбиуса, удерживая все время между полосками, пока она не вернется на старое место. Сравните обе спиральки. Вы увидите сразу же, что та, что совершила «кругосветное путешествие» ориентирована в другую сторону. Теперь эти спиральки нельзя наложить друг на друга. Конечно, если проделать еще один оборот, все восстановится. Обращение такого же сорта произойдет с космонавтом в 3-пространстве, если он совершит замкнуто круговое путешествие по космосу, который в четырех измерениях изогнут аналогично листу Мёбиуса.

Упражнение 12. На рис. 44 изображена бутылка Клейна — односторонняя поверхность без краев. Если бы асимметричный двумерец жил на такой поверхности (запомните, у нее нулевая толщина), мог бы ли он, совершив кругосветное путешествие по своему «космосу», вернуться в исходную точку в отраженном относительно окружающих предметов виде?