Критическая масса

Не задумывался ли читатель о том, что каждый год он вынужден проводить не менее недели практически в заключении, сидя в металлическом ящике размером с небольшой шкаф и не имея возможности даже расправить члены, не упоминая уже о прочих неудобствах? Я говорю об автомобильных пробках, в которых жители крупнейших городов мира проводят все больше времени. По мере разрастания городов дорожное движение в них становится все более сложным и утомительным, поездки на общественном транспорте отнимают массу времени, а прогулки на велосипеде превращаются в опасное занятие, так что основным реальным средством передвижения во многих странах остаются автомобили, неотъемлемая и привычная часть городской жизни. Следствием стремительного увеличения числа машин стали дорожные пробки, вынуждающие людей проводить массу времени в крайне неприятных, стрессовых ситуациях. Известно, например, что каждый житель Лос-Анджелеса ежегодно теряет в пробках не менее 56 часов, что в полтора раза больше установленной законом длительности рабочей недели.

К сожалению, ситуация продолжает ухудшаться на глазах, в результате чего жители Лондона постоянно сетуют (особенно во время вынужденных простоев при попадании в очередную пробку) на то, что средняя скорость перемещения по городу практически не изменилась за последние сто лет, со времен извозчиков и конных экипажей. Совсем недавно в Лондоне ввели новую систему штрафов за неправильную парковку в переполненном центре столицы, но можно не сомневаться, что она окажется столь же малоэффективной, как и множество предшествующих.

Некоторое представление о размерах проблемы могут дать следующие разрозненные факты. В сезон отпусков на дорогах Европы часто случаются автомобильные пробки длиной более ста километров. Даже косвенные экономические потери, связанные с простоем машин в пробках, выглядят просто фантастическими — стоимость только неиспользованного из-за пробок рабочего времени в одной лишь Германии оценивается суммой 100 миллиардов долларов в год. Еще серьезнее прямые потери на транспорт и горючее. Американцы подсчитали, что в Хьюстоне каждый автомобилист платит за бессмысленно израсходованный в пробках бензин около 850 долларов в год, и это при тамошней относительной дешевизне бензина!

Нельзя забывать и об экологических проблемах, так как именно автомобильные выхлопы являются одним из главных факторов загрязнения окружающей среды. В плотно населенной, урбанизированной стране, такой как Германия, около 60% вредных монооксида углерода и оксидов азота попадают в атмосферу из-за работы автомобильных двигателей. Многие ученые объясняют наблюдающийся в последние годы резкий рост числа детей, страдающих астматическими заболеваниями, именно увеличением объема автомобильных выхлопов, а другие связывают с выхлопами парниковый эффект и грозящее планете таяние полярных льдов. Бессмысленный расход топлива при холостой работе двигателей в дорожных заторах лишь усугубляет и подчеркивает сложность возникающих проблем. В Сиэтле подсчитали, что каждый автомобилист сжигает не менее 300 литров бензина в год совершенно напрасно, простаивая в автомобильных пробках.

Наиболее простым выходом из сложившейся ситуации кажется расширение сети дорог, но такие меры лишь способствуют развитию дорожного движения и увеличению числа машин, возвращая нас к той же проблеме в увеличенном масштабе. Как с издевкой отметил Ричард Мо, руководитель американского Фонда сохранения истории, «строя новые дороги для борьбы с пробками на дорогах, мы уподобляемся человеку, который борется с ожирением, проделывая в ремне все новые дырки»¹. Идеальным решением стало бы развитие общественного транспорта, создание специальных велосипедных и пешеходных маршрутов и т.д., однако у современногс западного человека уже выработалась почти наркотическая зависимості от двигателей внутреннего сгорания, которая сейчас подобно эпидемии стремительно охватывает все остальное население планеты. Поэтому стоит задуматься, нельзя ли вместо борьбы с неизбежно нарастающим объемом автомобильного движения придумать какие-нибудь эффективные меры по его регулированию?

Несмотря на использование все большего числа компьютеров со все более сложными программами, дорожная служба каждого города прекрасно знает собственные недостатки и «темные пятна», с которыми обычно ничего не может сделать. Возможно, кстати, что возникающие проблемы действительно неразрешимы, так как дороги и общие схемы городов создавались проектировщиками столетия и десятилетия назад и их нельзя приспособить к современному объему транспортных потоков. Кроме того, следует помнить и о каком-то «коварстве» транспортных путей, на которых, например, пробки иногда возникают почти по нелепым причинам.

В наше время, возможно, определенную помощь в решении описываемых задач может оказать статистическая физика, позволяющая понять закономерности дорожного движения. По всему миру исследователи ищут новые концептуальные модели, позволяющие связать дорожные потоки с движением газов или жидкостей и понять собственные законы трафика, которые временами удивляют или даже раздражают нас. Конечно, физика не претендует на полное решение транспортных проблем, однако она явно способна подсказать нам новые меры безопасности, улучшенные схемы планировки дорог и даже механизмы образования дорожных пробок, что со временем может превратить наш эмпирический подход к изучению дорожного движения в довольно точную науку.

СЛЕДИТЕ ЗА ДОРОГОЙ!

Поездка по системе автодорог с активным движением отчасти напоминает игру на бирже, так как человеку постоянно приходится принимать решения на основании неполной информации. Сообщения по местному радио о состоянии на дорогах и встраиваемые в автомобили компьютерные «руководители» дают лишь примерную картину меняющейся ситуации, разумеется, с опозданиями и ошибками. Новейшие системы типа используемой в немецком городе Дуйсбурге дают надежду на быстрое улучшение ситуации в близком будущем, когда система Интернет позволит водителю получать картину движения в реальном времени.

Характеристики транспортных потоков можно измерять совершенно точно, используя мониторы или датчики, например, чувствительную к давлению тензометрическую проволоку, проложенную поперек дороги, позволяющую регистрировать количество проезжающих машин в единицу времени. Впрочем, для оценки интенсивности дорожного движения важно знать не столько число машин в потоке, сколько его плотность, что легко пояснить следующим примером. Предположим, что за минуту датчик зафиксировал прохождение десяти автомобилей, которые могут медленно плестись вплотную друг за другом или быстро проноситься с большими интервалами. Понятно, что в первом случае мы имеем дело с высокой плотностью движения, а во втором — с низкой. Для оценки плотности потока мы должны использовать данные не только о числе проходящих машин в единицу времени, но и об их скорости. Технически эта задача решается довольно просто, например, установкой двух близко расположенных датчиков.

В принципе плотность транспортных потоков внутри города может полностью отслеживаться с использованием парных датчиков на всех дорогах и магистралях, но этот подход является дорогим и непрактичным. В упомянутом Дуйсбурге вместо этого применили систему измерений потоков только в нескольких особо важных точках, располагающихся на узлах дорожного движения. Промежутки между ними описываются методом компьютерного моделирования — модель движущихся частиц, хорошо знакомая нам по предыдущим главам. Расчетные данные постоянно сравниваются с фактическими данными в контрольных точках и при необходимости корректируются. Предполагается, что при таком подходе картина движения на промежуточных между контрольными точками участках дорожной сети будет довольно близкой к реальной.

Модель была разработана в начале 1990-х годов физиком Михаэлем Шре- кенбергом из Дуйсбургского университета (ФРГ) в сотрудничестве с Каем Нагелем из Кельнского университета, который разрабатывал аналогичную программу для нескольких американских городов, включая Даллас[66].

ВОЛНЫ И ЧАСТИЦЫ

Модель Нагеля — Шрекенберга (НаШ) стала первой успешной попыткой описания дорожного движения на основе чисто физического подхода. Еще в 1950-х годах знаменитый английский ученый-гидродинамик Джеймс Лайтхилл (1924-1998) выдвинул гипотезу, что движение транспорта по дорогам можно уподобить протеканию жидкости по системе труб. Позднее он вместе с Джеральдом Уайтменом из Мичиганского университета предложил и первую, очень грубую теорию этого процесса. Подобно тому как в гидродинамике не учитывается индивидуальное поведение каждой молекулы, теория Лайтхилла полностью исключала из рассмотрения индивидуальное поведение водителей, т. е. предполагала, что все они движутся с одинаковой, усредненной скоростью. Забавно, что сам Лайтхилл, отличавшийся чудаковатостью, никогда не придерживался теории средней скорости и прославился тем, что полиция постоянно задерживала его за ее превышение. Рассказывают, что, представ перед судом за очередное лихачество, Лайтхилл заявил, что не признает себя виновным по двум причинам: во-первых, являясь лукасианским профессором Кембриджа (одна из наиболее почетных, «именных» кафедр, которую когда-то занимал сам Исаак Ньютон), он прекрасно знает законы механики движения, а во-вторых, он старался выполнить свой гражданский долг, сберегая ценное топливо. Этим доводом Лайтхилл пытался объяснить ошеломленному судье, почему он не пользовался тормозами на спуске. Кембриджская легенда утверждает, что в этом случае Лайтхилл был оправдан.

Модель, не учитывающая индивидуальных особенностей вождения, кажется, конечно, психологически наивной и слабой, особенно учитывая разнообразие поведения людей в описанных моделях пешеходного движения, однако дело обстоит не столь просто. Вспомним, что управление машиной почти постоянно создает для водителя необычные и стрессовые ситуации. В отличие от пешехода, который почти свободен в своих движениях, водитель должен постоянно следить за дорогой, ожидая от нее разных подвохов и неожиданностей — от выскакивающих на проезжую часть детей до столкновения с другой машиной, которой управляет подвыпивший водитель. Это заставляет исследователей возвращаться к рассмотрению усредненных параметров и флуктуаций в поведении. Большинство водителей управляют машиной аккуратно и разумно, без резких изменений скорости и без столкновений с чем бы то ни было. Большинство отклонений от средних значений носит умеренный характер. Известно, например, что многие водители просто любят превышать разрешенную скорость движения на 10 миль/ч, а другие, наоборот, предпочитают езду со скоростью на 10 миль/ч ниже указанной. Лишь очень немногие предпочтут проехать от Бирмингема до Саутгемптона на третьей передаче, что когда-то проделал мой дедушка.

В дальнейшем многие ученые пытались улучшить модель Лайтхилла и сделать ее более реалистической за счет учета особенностей поведения водителей. Исследовательская группа фирмы «Дженерал моторе» в городе Уоррен (штат Мичиган) в 1950-х годах предложила первую из серии моделей «слежения» или «подражания ведущей (идущей впереди) машине». Автомобили в них считаются дискретными объектами в отличие от модели трафика как квазинепрерывного флюида, одновременно предполагается, что каждый водитель меняет скорость движения, подлаживаясь под скорость идущей впереди машины. При этом водитель может ускорять или замедлять движение машины, исходя из двух факторов: расстояния до ведущей машины и соотношения их скоростей. Водителям, движущимся со скоростью 60 миль/ч, приходится тормозить более резко, чем при скорости 20 миль/ч. В 1974 году Райнер Видеман из университета Карлсруэ предложил еще бол^е продвинутую модель, в которой каждый водитель дополнительна соблюдал ряд «психологических» правил поведения. Но чем сложнее моделі тем труднее определить, какие следствия отражают «фундаментальные* свойства дорожного движения, а какие вытекают из условий, которые мь сами заложили в модель.

Достоинством предложенной Нагелем и Шрекенбергом модели являете* ее очевидная простота, позволяющая рассматривать ее в качестве одногс из вариантов описанных клеточных автоматов. При этом автомагистралі рассматривается в виде набора клеток, каждая из которых заполнена (т. е содержит транспортное средство) или пуста, на каждом временном шаге машины перемещаются из клетки в клетку подобно фишкам в некоторы> настольных детских играх, в результате чего транспортный поток описывается последовательностью некоторых статических состояний «решетки» Подобно поведению пешеходов в модели Хелбинга каждый водитель в модели Нагеля — Шрекенберга стремится довести скорость своей машины до некоторого предпочтительного для него уровня, на свободном участке дороги каждая машина ускоряется, пока не достигнет этой скорости.

С другой стороны, водители стремятся избегать столкновений, что означает поддержание требуемой дистанции от идущего впереди автомобиля, которая, как мы все знаем, увеличивается с ростом скорости движения. Третьим компонентом модели выступает элемент случайности в поведении системы или «шум». Физический смысл введения этого компонента очевиден, поскольку ни один водитель никогда не может разгоняться или тормозить с абсолютной точностью, приходится резко жать на педаль тормоза, если водитель идущей впереди машины вдруг ни с того ни с сего начинает тормозить. Именно флуктуации скорости вызывают множество аварий, происходящих по пустяковым причинам: кто-то задумался, кто-то чуть-чуть притормозил, пытаясь рассмотреть афишу, и т. п. В сущности, к этим простым правилам и сводятся все закономерности дорожного движения в модели. Как же выглядит это движение?

Нагель и Шрекенберг в своих модельных экспериментах обнаружили два разных режима движения транспортных потоков, различающихся тем, как изменяется величина потока в зависимости от его плотности. Величина потока (ее можно назвать и пропускной способностью дороги) определяется как число машин, пересекающих контрольную точку в заданный промежуток времени (час, минута и т.д.), а плотность — как число машин на участке маршрута заданной длины (километр, миля и т.д.).

Если плотность движения возрастает, но оставляет водителям достаточно места для различных маневров, то и величина потока в целом увеличивается, так как, образно говоря, в каждом километре шоссе помещается больше машин, которые могут двигаться, не сбавляя скорости, и соответственно проходить контрольные точки в большем количестве. Этот режим движения можно назвать свободным потоком. При дальнейшем увеличении плотности машин становится столь много, что водителям приходится уже учитывать наличие соседей и соответственно тормозить, избегая столкновений, в результате чего возрастание плотности потока компенсируется снижением его общей величины. Затем при некоторой «критической» плотности характер движения существенно изменяется, а при дальнейшем повышении плотности величина потока начинает резко уменьшаться (как показано на рис. 7.1), что соответствует переходу от «свободного» режима движения к «тесному».

РИСК И СЛУЧАЙНОСТЬ

В следующей модели дорожного движения, предложенной Нагелем и Майей Пажуски в 1995 году, значение скорости, выбранное каждым водителем, продолжает затем по возможности сохраняться неизменным, что несколько напоминает систему автоматического управления скоростью (cruise-control), применяемой в некоторых автомобилях. В этих условиях процесс перехода от свободного потока к тесному как бы откладывается или даже отменяется, и после достижения критической плотности поток остается свободным, а его величина увеличивается с ростом плотности, как и раньше (рис. 7.1). Ситуация вновь выглядит так, как если бы все водители вдруг «сговорились» вести себя определенным образом, т. е. коллективно решили смириться с некоторым риском поддержания их скорости, несмотря на увеличившуюся плотность движения.

Критическая Плотность

Рис. 7.1. Зависимость величины транспортного потока от его плотности. Выделяется точка перехода от свободного потока к тесному, цосле которой повышение плотности сопровождается снижением величины потока, так как в этом режиме водители вынуждены уменьшать скорость. Выше критической точки существует также режим метастабильного «свободного» потока, показанный пунктирной линией.

Как видно из рисунка, в модели с контролем скорости критическая плотность выступает в качестве точки бифуркации, в которой становятся возможными два режима. Один из них выглядит более безопасным — все водители сбрасывают скорость, а второй несколько напоминает азартную игру, при которой все водители несутся, как прежде. До того момента, пока у кого-то из участников этой игры не сдадут нервы или не ослабнет концентрация внимания, рискованный режим позволяет обеспечить очень высокую скорость движения без столкновений. Однако это очень опасное и рискованное предприятие. Стоит хотя бы одному участнику гонки притормозить, как вынужден будет тормозить едущий следом, второй, третий, и вот в мгновение ока весь этот высокоскоростной транспортный поток превратится в тесно утрамбованное, вяло ползущее скопище. Разумеется, сохраняющие высокую скорость водители не знают, какому риску они подвергаются, точно так же как отдельные молекулы не знают, где они находятся, в газе или жидкости. Высокоскоростной режим представляется вполне осуществимым коллективным состоянием даже при плотности потока, превышающей критическую.

Возникшее при этом состояние является настолько хрупким, что оно может разрушиться при малейшем «провокационном» воздействии. Любая случайная флуктуация может мгновенно инициировать Великий А-Бумм т. е. перевести поток в другое, «тесное» состояние. Иными словами, описываемый нами режим не стабилен, и физики, которые постоянно сталкиваются с такими состояниями, присвоили им название метастабильных. Метастабильность вовсе не эквивалентна нестабильности, это состояние может длиться довольно долго, даже сколь угодно долго, если никто не примется вдруг «раскачивать лодку».

Газы, жидкости и твердые вещества также могут существовать в метастабильных состояниях, в условиях, когда более стабильным является другое состояние. Физики очень часто получают так называемые переохлажденные жидкости, охлаждая жидкости до температур ниже точки замерзания, прр определенных условиях жидкость может миновать эту точку, «не заметив» ее. Существование таких переохлажденных жидкостей объясняется тем что процесс замерзания должен где-то начаться. Вода не замерзает cpa3j по всему объему, сначала образуются несколько крошечных кристалликоі льда, которые потом разрастаются, захватывая весь объем жидкости. Обычнс такие «зародыши» кристаллизации образуются на самых разнообразные неоднородностях в системе, например, пылинках в жидкости или микроца рапйнах на поверхности сосуда, наличие которых облегчает объединенш молекул воды в ледяные кристаллики. Поэтому в тщательно очищенноі от любых примесей воде, в отсутствие центров «нуклеации», как говоря' физики, кристаллизация может произойти только в том случае, если бес порядочно движущиеся молекулы воды случайно соберутся в структур) подобную льду. Иными словами, некая случайная флуктуация должн; вызвать фазовый переход.

В принципе такое становится возможным, как только температура воды снижается ниже температуры замерзания. Но на практике это может не происходить еще очень долго, хотя вероятность процесса быстро возрастает с падением температуры. Рекорд охлаждения воды без ее замерзания составляет около -39 °С. Спуститься ниже не удается, несмотря на все ухищрения экспериментаторов.

Сравнивая явление кристаллизации с поведением футбольных болельщиков на стадионе, нельзя не отметить явную аналогию. Есть метастабшіьная, беспорядочно орущая толпа и есть мелкие группы фанатов, скандирующие в унисон. Когда размер активной группы превышает некоторое критическое значение, лозунг или песня вдруг захватывает всех болельщиков, и весь стадион превращается в слаженный хор, в единый организм.

Процесс заставляет нас вновь вспомнить о фантастическом описании мгновенного замерзания Мирового океана в романе Курта Воннегута Колыбель для кошки, с отрывка из которого начиналась гл. 4. Термодинамически этот процесс означает, что вода является метастабильным состоянием по сравнению с гипотетической формой льда, и при внесении «затравки» она мгновенно замерзает в «теплый лед». Согласно этой картине, Мировой океан только и ждет, чтобы замерзнуть, но, несмотря на его гигантские размеры, образование льда-9 вследствие случайной флуктуации является практически невозможным, и лишь внешнее воздействие способно вызвать фазовый переход. В связи с этим можно вспомнить, что в конце 1960-х годов группа российских ученых сообщила об открытии нового, желеобразного состояния воды, которое якобы было более стабильным, чем обычная вода, при нормальных температуре и давлении. Некоторые специалисты даже обеспокоились возможностью попадания такой «поливоды» в Мировой океан, опасаясь, что она может стать инициатором превращения морской воды в желеобразную массу. К счастью, позднее выяснилось, что все это было плодом воображения, если не розыгрышем нескольких экспериментаторов.

Для дальнейшего рассмотрения проблемы метастабильности нам понадобятся некоторые технические пояснения. Ранее уже отмечалось, что фазовые превращения достаточно четко разделяются на два класса, условно называемые переходами первого и второго рода. К первым относятся, например, замерзание, кипение и другие привычные процессы, ко вторым — изменение магнитных свойств в точке Кюри, разделение флюида на жидкость и газ при его охлаждении ниже критической точки и т. п. Исследования показали, что метастабильные состояния могут проявляться лишь при фазовых переходах первого рода, когда система может некоторое время как бы «игнорировать призывы» к превращению, в то время как переходы второго рода происходят сразу после того, как в критической точке происходит нечто, заставляющее систему существенно изменять свое поведение и состояние (об этом подробнее рассказывается в гл. 10).

Из этого вытекает, что изменение характера описываемых транспортны: потоков — переход от свободного потока к тесному в модели НаШ — може^г быть отнесен к фазовым переходам первого рода. При этом мы должнь рассмотреть возникший в модели дополнительный режим, а именно — ме тастабильный свободный поток, соответствующий пунктирной линии н; рис. 7.1. Пусть интенсивность движения постепенно возрастает к час^ пик. При плотности потока выше критической сохраняется возможності существования режима метастабильного свободного потока, если кто-т< из нервных водителей не совершит ошибку или наезд, после чего систем; стремительно «разваливается» и скорость потока уменьшается почти до нуля.

Предположим, что после такого прискорбного происшествия интен сивность движения по каким-то объективным причинам, например, после окончания часа пик, снизилась, и рассмотрим, каким образом систем; возвращается в исходное состояние. Оказывается, система не может со вершить обратный переход в состояние свободного потока до тех пор, пок; плотность потока не станет ниже критического значения, потому что д< этого достигнутое тесное состояние является более стабильным (рис. 7.2) Другими словами, метастабильность — улица с односторонним движениел в том смысле, что система может перейти в метастабильный режим свобод ного потока лишь при повышении плотности потока от низких значений но никак не при его уменьшении от высоких. Еще нагляднее это свойство проявляется при фазовых переходах первого рода в физике: очень легко, например, получить воду, переохлажденную до —5 °С, но невозможно расплавить чистый лед при этой температуре с получением такой же переохлажденной воды.

Рис. 7.2. Если свободный поток существует в метастабильном режиме, то его пере ход в тесный поток осуществляется мгновенно вследствие случайных флуктуаций Обратный переход к режиму свободного потока оказывается возможным лишь прі уменьшении плотности движения до критического значения. В результате такоі смены режимов возникает сложная зависимость величины потока от плотности описываемая петлей, допускающей «движение» лишь в одном направлении.

Из сказанного вытекает один очень важный вывод: состояние системы определяется не только плотностью потока, но и историей возникновения системы, т. е. предыдущими изменениями ее плотности. При изменении плотности движения скорость движения меняется по сложной «петле», зависящей от предыдущей истории и позволяющей системе двигаться лишь в одном направлении во времени, как показано на рис. 7.2. Физики прекрасно знают подобные петли, а само это явление давно назвали гистерезисом.

Модель НаШ позволяет нам понять, каким образом дорожные пробки могут формироваться без очевидных причин. Рассмотрим движение непрерывного потока машин, движущихся в метастабильном режиме свободного потока. Движение осуществляется непрерывно и быстро лишь до тех пор, пока один из водителей по случайным причинам (на дорогу выбежала собака, зазвонил мобильный телефон и т.п.) не изменит скорость движения. Математическое моделирование этого процесса включает внезапное уменьшение скорости и последующее незамедлительное ускорение для восстановления первоначальной скорости. Все длится одно мгновение, но посмотрите, как это отражается на потоке машин (рис. 7.3).

Рис. 7.3. Возникновение дорожного затора в метастабильном транспортном токе из-за случайного происшествия. Представлены результаты моделироваі зависимости положений машин вдоль шоссе (ось х) от времени t. Прямые лин направленные снизу вверх с уклоном вправо, показывают траектории движения шин, движущихся по шоссе с постоянной скоростью. Каждой машине, въезжаюі на участок шоссе (нижняя линия на рисунке, х = 0), соответствует отдельная лин Темные линии, пересекающие рисунок и обозначающие участки затора или ос новки движения, имеют форму изломов вдоль оси времени. Отдельное нарушеі в верхнем левом углу рисунка, вызванное, например, неожиданным торможені одной машины, приводит к массовым нарушениям всего режима движения, причем масштаб возникающего тесного потока постепенно возрастает.

Каждая линия на рисунке в направлении от левого нижнего угла к правому верхнему соответствует траектории движения отдельного автомобиля. Прямые наклонные линии означают движение машины с постоянной скоростью. Автомобиль, виртуально находящийся в верхней левой части рисунка, легко и свободно может притормозить, а затем набрать прежнюю скорость, однако следующие за ним машины (им соответствуют линии справа) оказываются в менее выгодном положении, поскольку они вынуждены сбавлять скорость, чтобы избежать столкновения. По всему потоку автомобилей пробегает волна торможений в форме излома. В этот процесс вовлекается множество машин, включая те, которые появляются на шоссе гораздо позже первичных событий. Возникает дорожная пробка, масштабы которой на рисунке отображаются степенью затемнения поперечных линий.

Более того, из рисунка видно, что в отличие от режима свободного потока, при котором пробка остается на месте своего зарождения, в метастабильном потоке нарушение начинает перемещаться вправо с некоторым смещением вниз, т. е. распространяется в направлении, противоположном общему движению потока. Другими словами, возникающий в одной точке затор способен спонтанно перемещаться в другие точки. Еще удивительнее тот факт, что пробка может расщепляться на несколько раздельных ветвей, в результате чего едущие далеко позади водителй могут натыкаться на целую серию пробок. Возникающие в метастабильном потоке скопления машин не рассасываются, а продолжают существовать и распространяться внутри потока. Общий вывод состоит в том, что очень незначительное рушение скорости одним-единственным водителем может создать мощи распространяющиеся волны заторов, полностью перекрывающие движеі на огромных магистралях.

Предлагаемый сценарий событий представляется весьма правдопод ным. Но модель НаШ является слишком упрощенной и излишне чувсті тельной к малым нарушениям в потоке, чтобы адекватно описывать < явления. Прежде чем перейти к анализу других моделей, рассмотрим данр наблюдений за ситуациями на дороге.

ТРИ ТИПА ДОРОЖНОГО ДВИЖЕНИЯ

В 1965 году группа исследователей из университета штата Огайо, испо зуя аэрофотосъемку, тщательно изучила движение транспортных потоі на дорогах штата. При взгляде сверху они действительно наблюдали пр сказываемое моделью НаШ спонтанное возникновение заторов и их дальнейшее распространение против потока в форме своеобразной устойчивой волны (рис. 7.4). Как выяснилось, этот вид заторов возникает, в сущности, в результате избыточной реакции водителей, тормозящих более энергично, чем того требует реальная дорожная ситуация.

60 80 100 120 Время (секунды)

Рис. 7.4. Спонтанное возникновение заторов в реальном транспортном потоке. Диаграмма построена по правилам рис. 7.3, т. е. каждая линия относится к движению отдельного автомобиля. Излом в потоке движения несколько понижается слева направо, что соответствует распространению затора внутри потока.

Еще более полную картину движения по модели НаШ удалось получить в 1996 году немецким ученым Борису Кернеру и Хуберту Реборну из научно-технического отдела фирмы «Даймлер-Бенц» (в настоящее время «Даймлер—Крайслер») в Штутгарте, которые провели детальное изучение транспортного потока на участке важного и оживленного шоссе А5, связывающего немецкий Эссен со швейцарским Базелем. Шоссе особенно загружено вблизи Франкфурта, именно там были установлены спаренные датчики для измерения скорости каждой проходящей машины.

Полученная Кернером и Реборном картина почти точно соответствовала предсказаниям модели НаШ. Величина потока (пропускная способность) возрастала с ростом плотности потока, но после некоторого критического значения поток начинал захлебываться из-за многочисленных заторов. Легко заметить, что полученные экспериментальные данные (рис. 7.5) прекрасно соответствуют бифуркационной модели, представленной ранее на рис. 7.1 и 7.2.

Плотность потока (число машин на 1 км шоссе)

Рис. 7.5. Три типа дорожных потоков (свободный, тесный и свободный/метастабил ный), выявленные на основе наблюдений за реальным движением автотранспорта і немецкому шоссе А5. Цифры на рисунке соответствуют усредненному за 1 мину: числу машин на интервалах измерения 12 минут (подробности в тексте).

Естественно, у читателя возникнет вопрос, каким образом полученные статистические данные могут быть связаны с поведением отдельного водителя или использованы им на практике? На рис. 7.5 представлена сер* последовательно пронумерованных точек, каждая из которых соответствует измерениям параметров потока машин по шоссе в определенной точке с интервалом 3 минуты. В момент, соответствующий точке 1, движение предстаі ляет собой свободный поток с плотностью чуть выше критического значени составляющего около 20 машин на километр. Затем движение начина* несколько замедляться, оставаясь при этом на метастабильной ветви (точь 2 и 3), после чего неожиданно возникают пробки, практически останавлі вающие поток (точки 4, 5 и 6). Примерно через 10 минут движение вноі восстанавливается в режиме свободного потока. Примечательно, что точк характеризующие это движение, группируются возле критической точки (точка 12). Другими словами, движение после пробки восстанавливаете постепенно и лишь при значениях плотности ниже критической, что ясно указывает на наличие некоторого гистерезисного эффекта. История вновь оказывается необратимой — мы не можем повторить маршрут перехода ( точки 1 к точке 12 в обратном порядке.

Плотность потока (число машин на 1 км шоссе)

Рис. 7.6. Автомашины, «выпавшие» из режима свободного потока, иногда начинают двигаться по весьма запутанным траекториям, свидетельствующим о наличии других, хаотических и непредсказуемых режимов движения.

Все это, казалось бы, говорит в пользу модели НаШ, но поведение тран портных потоков в действительности таит в себе еще много сюрпризо На рис. 7.6 представлен другой набор данных наблюдений, отражающя новые аспекты движения. Общая картина практически не изменилас присутствует ветвь свободного потока с метастабильной областью и веті тесного потока, отходящая от первой. Однако ветвь тесного потока вдр] превращается в запутанный клубок! Машины не просто «втыкаются в пробку, замедляясь почти до полной остановки и затем, после преодоления пробки, вновь ускоряясь. На самом деле при переходе от свободного потока к тесному скорости отдельных машин (и соответственно величина потока) могут изменяться в очень широких пределах.

Кернер и Реборн предложили рассматривать тесный поток в виде сочетания двух разных режимов. Первым из них можно считать состояние с минимальными смещениями, с очень высокой плотностью и почти нулевой скоростью потока в целом. Этому состоянию соответствует крайняя правая часть «тесной» ветви, точки 4, 5 и 6 на рис. 7.5. В то же время тесный поток может двигаться с вполне приемлемой скоростью даже при высокой плотности потока, если все машины будут двигаться приблизительно с одной скоростью. Другими словами, если движение станет синхронизированным.

Введя такое разделение, Кернер и Реборн пришли к выводу, что автомобильный поток может существовать в трех основных состояниях: свободный поток, синхронизированный поток и пробка. При переходе от свободного к синхронизированному потоку машины продолжают движение, и величина потока остается высокой при резком росте плотности потока. При переходе от свободного или синхронизированного движения к пробке скорость сразу уменьшается почти до нуля, а плотность достигает максимального значения, когда капот машины упирается в багажник впереди стоящего автомобиля.

Какие аналогии это вызывает? При фазовых переходах газа в жидкость молекулы также остаются подвижными, но плотность возрастает во много раз. С другой стороны, при замораживании газа или жидкости в твердое состояние частицы становятся неподвижными и очень плотно упакованными в регулярную решетку. Три состояния дорожного движения неожиданно оказываются чрезвычайно похожими на три классических термодинамических состѳяния вещества. Более того, Кернер и Реборн установили, что переход свободного потока к пробке редко происходит напрямую, так как в качест промежуточного состояния обычно возникает синхронизированный режі движения, точно так же, как переход от газа к твердому веществу обыч] протекает через жидкое состояние.

Таким образом, говорят исследователи, в тот момент, когда плотное транспортного потока превышает некоторое критическое значение, возника новое состояние, метастабильное по отношению к синхронизированноі движению, а не к пробке. Случайные флуктуации могут перевести его в t лее медленный, синхронизированный режим движения. Одним из вывод теории стало предположение, что «перескок» из режима свободного пото в синхронизированный происходит при резком уменьшении вероятное перестроения между полосами движения. В режиме свободного потока так перестроения являются более или менее свободными, и многие водите, пользуются этим, однако в синхронизированном режиме все машины дв гаются постоянно по одной и той же полосе с почти одинаковой скорость а перестроения практически отсутствуют.

РАЗРУШАЯ ПОТОК

Конкретный механизм превращения свободного потока в синхрон зированный до сих пор остается предметом дебатов. Кернер и Ребо] были убеждены, что синхронизированный поток является одним из тр фундаментальных состояний транспортного движения, подобно тому к жидкость является фундаментальным состоянием материи. Некоторые др гие специалисты, включая Дирка Хелбинга, считали синхронизацию все лишь результатом воздействия внешних факторов, нарушающих свобс ный поток. Синхронизация возникает не спонтанно, а является следствиі неоднородностей маршрута движения — изгибов и неровностей трасс сужений шоссе, наличия въездов и выездов с автомагистрали и т. п. Так неоднородности могут играть роль центров кристаллизации типа пылиш которые способствуют превращению переохлажденной жидкости в тверл состояние, хотя в нашем случае было бы правильнее говорить о превращен переохлажденного газа в жидкость.

Кернер и Реборн соглашались с тем, что синхронизация может воз* кать на неоднородностях маршрута, особенно на въездах и ответвлениях, считали такие состояния лишь промежуточными и непродолжительны с длительностью около получаса или менее, между тем как существовал гораздо более продолжительные режимы синхронизированного движе? с длительностью в несколько часов.

В некоторых моделях и само синхронизированное движение рассм ривалось в качестве метастабильного, способного при нарушениях пере дить в пробку. В то же время Михаэль Шрекенберг и его сотрудники при наблюдениях в Дуйсбурге установили, что реальные синхронизированные транспортные потоки действительно существуют и не только являются достаточно устойчивыми, но и возникают под воздействием факторов, которые до этого вообще не учитывались разработчиками моделей. Речь идет о человеческом факторе, а именно о желании водителей ехать спокойно и комфортно.

В большинстве существовавших моделей поведение водителей варьировалось очень незначительно, исходные правила предписывали водителям лишь две основные «инструкции»: стремление достигать и поддерживать некоторую предпочтительную скорость и стремление избегать столкновений. Лишь позднее выяснилось, что такой подход всегда заставляет машины в модельном потоке двигаться рывками, резко ускоряясь при открывающейся возможности (на свободном участке маршрута) и быстро тормозя при опасности столкновения. Группа Шрекенберга справедливо указывала на то, что в реальной обстановке большинство водителей стараются избегать слишком резких маневров. После введения более реалистических правил в модель клеточных автоматов выяснилось, что синхронизированный поток практически всегда должен возникать в качестве основного и устойчивого состояния системы, причем он оказывается способным сохраняться даже в случаях возникновения заторов, распространяющихся по потоку в соответствии с описанными механизмами.

Эта модификация позволила значительно повысить способность моделей к предсказанию поведения реальных транспортных потоков, однако для целей нашей книги гораздо важнее и интереснее то, что она подтвердила: коллективные режимы являются неотъемлемым свойством транспортного движения. Введение в модель дополнительных психологических факторов поможет лишь уточнить условия возникновения того или иного потока, но не поколебать сам факт существования фундаментальных состояний трафика, аналогичных состояниям физической материи.

Равно ли число таких состояний именно трем? Прямого ответа на этот вопрос пока нет. С одной стороны, кажется очевидным, что движение каждого автомобиля в каждый момент времени может быть строго отнесено к одному из трех предлагаемых возможных режимов движения: свободное и некоррелированное; тесное и синхронизированное; тесное и близкое к пробке. С другой стороны, Хелбинг и его соавторы обнаружили, что эти состояния могут не только меняться, но и смешиваться друг с другом с течением времени.

В 1998 году Хелбинг и Мартин Трейбер предложили комбинированную модель, сочетающую в себе теорию клеточных автоматов Нагеля и Шрекенберга с чисто гидродинамической теорией, разработанной еще классиками Лайтхиллом и Уитемом. Авторы новой модели исключили из рассмотрения отдельные машины и вернулись к представлению транспортного потока в виде непрерывного и сплошного течения некоторого флюида. Разумеется рассматриваемый ими «флюид» очень сильно отличался от тех, которы физики изучали раньше. В рамках классической теории (именно эту тео рию называют гидродинамикой) каждый объем флюида взаимодействуе со своим окружением посредством так называемого вязкого сопротивление или внутреннего трения, которое подобно обычным силам трения снижае скорость движения окружающего флюида. В модели Хелбинга и Трейбер; такие взаимодействия между микрообъемами «автомобильного флюида» вы глядят гораздо сложнее, поскольку включают в себя некие реакции водителя предлагаемые в модели НаШ. По-прежнему предполагается, что водителі стремятся в целом обеспечить движение с некоторой характеристическоі скоростью, стараясь избежать столкновений. В этой модели каждый микро объем флюида вдруг получает то, что можно назвать самосознанием, т. е. мь имеем дело с системой из множества микроскопических сознаний.

При низкой плотности такие системы почти сразу образуют свободны] поток, но уже при небольшом повышении плотности поток становится мета стабильным, очень малые флуктуации способны приводить в нем к пробкам которые могут далее распространяться против потока. Как было показані на рис. 7.3, такие пробки могут множиться, создавая каскад пробок в вид< волн, распространяющихся раздельно внутри свободного потока. Это не приятнейшее состояние (с реакциями типа «стоп!., вперед!., стоп!») знаком< всем водителям, и именно оно, даже при небольшом повышении плотності движения, очень легко приводит к медленно движущейся пробке.

Хелбинг, Трейбер и Ансгар Хеннеке из Штутгарта попытались оценить как ведет себя описываемый ими флюид при дополнительных возмущения: транспортного потока в виде подъемов или боковых въездов. Они изучи ли процесс развития локализованной волны «стеснения» транспортное потока перед подъемами, особенно движение такой волны против общегі направления движения. При низкой или умеренной интенсивности поток пробка быстро рассасывается, но при повышении плотности даже небольшая пробка может вызвать значительные и разнообразные изменения в режиме Наблюдались волны пробок, распространяющиеся в свободном потоке; не прерывно возникающие волны сжатия (исследователи назвали этот режш «осциллирующим тесным трафиком»); стеснения на подъемах; однородны] тесный поток и другие режимы.

Рис. 7.7. Диаграмма состояний «транспортного флюида» в модели Хелбинга и его сотрудников. Однородный тесный трафик представляет собой сплошную дорожную пробку, непрерывно увеличивающуюся в д лину. При осциллирующем тесном трафике такая пробка может растягиваться и сжиматься, в результате чего отдельные водители вынуждены регулярно ускорять или замедлять скорость движения. Движущиеся локализованные кластеры выступают в качестве «узлов» плотности, которые перемещаются против общего направления потока Переключения в режиме «Стоп — вперед» описывают состояние системы, когда такие узлы выбрасывают кластеры меньшей плотности, движущиеся вдоль направления движения до «столкновения» с другим узлом, движущимся против потока Локальные «остронаправленные» кластеры представляют собой «застрявшие» в потоке узлы, в которые машины могут въезжать и выезжать без изменения общей картины.

Обнаруженные режимы движения исследователи представили в вид своеобразной фазовой диаграммы, демонстрирующей область существование каждого из них (рис. 7.7), которая выглядит прямой аналогией описанны: в гл. 5 «морфологических диаграмм» колоний бактерий. Это заставляет на еще раз вспомнить, что дорожное движение, как и рост бактерий, относите к неравновесным процессам. Переходы между различными режимами внов происходят совершенно неожиданно, как только «контрольные параметры системы (в нашем конкретном случае — плотность потока по основной магистрали и нарушения на подъемах) превышают некоторые критические значения. Короче говоря, изменения режимов движения для транспортных потоков выглядят как последовательность неравновесных фазовых переходов.

БУДУТ ЛИ ТРАНСПОРТНЫЕ ПРОБКИ ЗАВТРА?

Разумеется, читатель вправе задать резонный вопрос, предсказывают ли эти разнообразные модели реальное поведение транспорта или они являются всего лишь очередной, хотя и довольно забавной, компьютерной игрой? Естественно, эффективность моделирования может быть проверена лишь сравнением прогнозов с реальностью, для чего Хелбинг, Трейбер и Хеннеке сверили свои прогнозы с фактическими показателями транспортного движения, полученными с использованием датчиков на многих скоростных автострадах Германии и Голландии, и были приятнѳ удивлены тем, что практически все предсказанные режимы действительно обнаруживаются в транспортных потоках. Более того, выяснилось, что, вводя в модель некоторые дополнительные поправки, например, учитывая соотношені между числом легковых и грузовых машин, удается получить высокото ный прогноз движения на несколько часов даже в сложных и нерегулярнь ситуациях (рис. 7.8).

Время (часы) Время (часы)

Рис. 7.8. Предложенная группой Хелбинга модель дорожного движения позволя предсказывать развитие ситуации на скоростных магистралях в течение нескольк часов. В модель закладываются измеренные данные о плотности потока и скорос в некоторой начальной точке маршрута, а затем по этим данным прогнозирует состояние потока (плотность и скорость) на трассе. Показаны прогнозы (на ср 2,5 часа) скорости и плотности для двух участков скоростного шоссе А5 в райе Франкфурта. Причиной пробок практически всегда являлись сужения проезж части на некоторых участках. Предсказываемое моделью состояние движен описывается пунктирными линиями, а сплошные линии соответствуют реальн обстановке, регистрируемой при помощи системы датчиков, установленных вде трассы. Легко заметить, что расчетные данные отличаются от измеренных толі в деталях, а общая картина движения, включая время и место образования проб воспроизводится моделью достаточно BepHQ.

Эти результаты придали исследователям некоторую уверенность в то что их модель действительно отражает реальность и достаточно устойчиі к вариации входных данных. Заложенная «инструкция», предписывающ; водителям придерживаться некоторых простых правил (стремление достичь предпочтительной скорости на открытом участке, поддержание зависящей от скорости дистанции от идущей впереди машины, исключение избыточно ре ких маневров на трассе), оказалась вполне эффективной, описание переста; зависеть от мелких деталей обстановки на дороге и поведения водителей (под деталями можно понимать, например, форму дороги, число полос движени время реакции водителей и т.п.). Одни и те же фундаментальные режимы д рожного движения возникали в разных ситуациях и на разных дорогах.

Анализ результатов привел Хелбинга и его коллег к выводу, что бол шая часть пробок возникает вследствие неоднородностей — узких участю трассы, въездов со стороны, подъемов или спусков и, конечно, явных ошиб< отдельных водителей. Почти все (96 из 100) тщательно изученные случ; образования пробок оказались прямо или косвенно связанными с сужение проездных путей по разным причинам.

Движение машин в городе, естественно, значительно отличается от потока по скоростным магистралям, прежде всего из-за наличия перекрестков. Офер Бихэм и его коллеги из Еврейского университета в Иерусалиме применили модель клеточных автоматов для описания движения автомобилей с юга на север и с запада на восток по прямоугольной решетке — именно так выглядит общая структура многих американских городов. Движение машин в модели было ограничено во времени — аналог переключения светофоров на перекрестках. Как и следовало ожидать, довольно быстро выяснилось, что повышение плотности движения при каком-то критическом значении приводит к переходу от свободного потока к постоянной пробке, т.е. к полной остановке движения по всей городской сети дорог, названной авторами модели «закупоркой сети». Стоит отметить, что в этом названии скрыто противоречие, так как сеть подразумевает, по определению, существование точек свободного входа и выхода (впрочем, многие исследования такого типа показывают, что не стоит доверять простым определениям и интуитивным представлениям).

Физика транспортных потоков уже не только доказала обоснованность своих моделей, но и нашла важные практические применения. Например, созданная Нагелем так называемая Система анализа и моделирования перевозок, затем усовершенствованная Национальной лабораторией США в Лос-Аламосе, использовалась при планировании сети дорог в районе Далласа. Проектировщики использовали полученные данные о воздействии неоднородностей — перекрестков, разветвлений, сужений полос движения и т. д. — для их более рационального размещения. Шрекенберг продолжает развивать свою модель и в настоящее время собирается оснастить автоматической системой почасового прогнозирования обширную сеть автомагистралей в федеральной земле Северный Рейн — Вестфалия.

Моделирование транспортных потоков позволяет также лучше понять и использовать правила регулирования движения. Работая совместно с Бернардо Хуберманом (из научно-исследовательской лаборатории фирмы «Ксерокс» в Пало-Альто, штат Калифорния), Хелбинг сумел доказать, что при движении смешанного автомобильного потока (легковые и грузовые машины, движущиеся вперемешку по многополосной магистрали) образуется так называемый когерентный поток, при котором все машины двигаются с одинаковой скоростью без изменения полос движения. Этот поток несколько напоминает описанный синхронизированный, но не идентичен ему. Когерентный поток представляет собой устойчивое по отношению к флуктуациям состояние и, хотя он не позволяет всем водителям достигать предпочтительной для них скорости, является весьма эффективным, обеспечивая высокую плотность движения при вполне приемлемой скорости всего потока в целом.

Более того, выяснилось, что когерентный поток обеспечивает высокую безопасность движения, поскольку при нем почти исчезают два главных фактора возникновения опасных ситуаций — разница в скорости и пере- стрбение машин из одной полосы движения в другую. Организатора? регулировщикам дорожного движения стоит задуматься о том, чтобы г увеличении интенсивности потока переводить его в когерентное состоян вводя, например, соответствующие ограничения на скорость и изменеі полосы движения.

Хелбинг и Хуберман утверждают, что их модель позволяет объясни почему американские правила дорожного движения, разрешающие каждс автомобилисту двигаться по любой полосе с любой скоростью, часто ока: ваются эффективнее европейских, при которых полосы движения связан; повышением скорости. Выяснилось, что тяжелые грузовики чаще всего пр почитают держаться более медленной полосы, вследствие чего европейсі водители легковых автомобилей не занимают эту полосу даже в тех случа когда она свободна в поле зрения, и поэтому пропускная способность дор< в целом значительно снижается (до 25%). Одновременно Хелбинг и Трей( показали, что в реальных транспортных потоках напряженность в некотор случаях может быть снята введением ограничений скорости в зависимо* от интенсивности потока в целом. Введение ограничений скорости на неі торый период времени, например, в часы пик, позволяет избежать пробо увеличивает среднюю скорость всего потока.

Одной из важнейших причин возникновения дорожных пробок являю' флуктуации, обусловленные, например, потерей концентрации внимав водителя, который излишне приближается к идущей впереди машин* вынужден резко тормозить. Пресечение любых мелких происшествий таю рода значительно улучшает дорожную обстановку, поэтому имеет смь разработать правила, заставляющие водителей внимательней относиті к ситуациям, чреватым возникновением пробок, а также более тщателі регулировать условия въезда на магистраль, что всегда меняет плотноі потока.

Разумеется, наиболее привлекательной кажется идея о полной зам< водителей на какие-то автоматические устройства, лишенные человечесі недостатков. Все модели создаются без «столкновений», поскольку праві дорожного движения пишутся именно для исключения любых столкно ний. «Виртуальные водители» не будут размышлять о сложных ситуаці и вероятностях, так как в них с самого начала будет заложена програм позволяющая избегать столкновения (для этого автоматам понадоби лишь информация о расстоянии до идущей впереди машины и ее скорост Возможно, когда-нибудь эта мечта осуществится, и автомобили будут равляться устройствами типа автопилотов, настоящими автоматами!

Эта возможность, кстати, вполне серьезно рассматривается некоторь известными фирмами, производящими автомобили. Используя радар разнообразные датчики, позволяющие анализировать дорожную обстано уже удалось создать так называемые системы содействия водителю. Пок; основной целью ставится предотвращение столкновений с другими ма нами, пешеходами и мотоциклистами за счет применения автоматических систем торможения или маневрирования в опасной ситуации. Такие системы могут действительно гарантировать более безопасное движение в подобных ситуациях, потому что автоматика всегда имеет большую скорость реакции, чем организм человека. Автоматические системы могут быть полезны и при более рутинных действиях и ситуациях, таких как смена полосы движения или контроль движения по трассе.

Ранее уже отмечалось, что многие заторы на дорогах возникают из-за излишне резкой реакции человека в условиях интенсивного движения. Моделируя интенсивные транспортные потоки, Хелбинг и Трейбер обнаружили, что опасность заторов значительно снижается даже в тех случаях, когда системами автоматического оповещения и регулирования снабжены всего 20% общего числа автомобилей в рассматриваемой системе.

Естественно, что использование таких автоматических устройств сразу наводит на мысль об их подключении к системам спутниковой навигации, цифровым дорожным указателям и непрерывно передаваемым прогнозам, составляемым на основе непрерывно перерабатываемой информации о реальной дорожной обстановке. В таких условиях будущие автомобилисты смогут наслаждаться безопасной поездкой, не притрагиваясь к рулю и рычагам управления. Возможно, тогда многочисленные ассоциации автомобилистов, постоянно требующие большей «свободы» для водителей, согласятся с тем, что именно эта свобода иногда превращает поездки по автодорогам в кошмар, и прекратят бороться за свои неразумные и неясные права. Водители-роботы наверняка окажутся не только более рассудительными, законопослушными и профессиональными, но и более информированными, что позволит им гораздо разумнее и эффективнее осуществлять дорожное движение.