Критическая масса

Кому-то может показаться, что счастья на бирже можно добиться, посвятив свою жизнь изучению ее закономерностей. В принципе это неверно, но по-крайней мере двум знаменитым экономистам — Джону Мейнарду Кейнсу и Давиду Рикардо — знание принесло богатство, и они разбогатели, занимаясь биржевыми спекуляциями. (Остается, правда, неясным, какую роль в успехе сыграли их теоретические построения, а какую — их поразительная интуиция.) Обратный пример: близкий друг Рикардо, знаменитый Томас Мальтус, даром что профессор политической экономии, не проявлял склонности к биржевым махинациям и упустил шанс разбогатеть на победе Веллингтона над Наполеоном.

В связи с этим мне кажется весьма занятной идея обязать экономис- тов-теоретиков, продолжающих писать все новые книги по маркетингу, управлению и бизнесу в целом, доказывать свои идеи, рискуя собственными деньгами. Не боясь обвинений в цинизме, могу заверить читателей, что такое правило сразу отобьет у множества экспертов охоту заниматься теоретическими исследованиями.

В 1995'году французский ученый Жан-Пьер Агилар проявил достаточно смелости и рискнул собственными деньгами, доказывая важность использования физических теорий в экономике. Предлагаемая им теория предсказывала финансовый крах в мае 1995 года компаний, покупающих опционы некоторых фондов (речь конкретно шла об операциях с ценными бумагами японского правительства). Предсказания оказались ошибочными, и Агилару пришлось долго выпутываться из сложных финансовых обязательств. Неудивительно, что немногим позже, в 1998 году, он скептически отнесся к заявлениям некоторых эконофизиков, что похожая модель смогла ретроспективно «предсказать» финансовые потрясения октября 1997 года. Предсказание в этом случае строилось на прямой аналогии с критическими точками в статистической физике.

Предположение о том, что динамика рыночных колебаний напоминает явления вблизи критической точки, является весьма глубокой и содержательной мыслью. Для ее пояснения мы вновь обратимся к фазовым диаграммам, описывающим поведение многочастичных систем вблизи критической точки. Такие сложные, напоминающие странные ландшафты диаграммы играют важную роль в статистической физике, позволяя понять сложные процессы в этом уникальном состоянии вещества. Именно наличие критических точек когда-то заставило ван дер Ваальса проследить «непрерывность» перехода от жидкости к газу. Позднее выяснилось, что в таких точках претерпевают глобальные изменения и многие другие физические системы, например, магнетики и сверхпроводники. Критические точки вообще стали какими-то «черными дырами» статистической физики, рано или поздно с ними сталкивается любой специалист. С другой стороны, эти же точки вновь и вновь выявляют перед физиками некое общее единство физического мира и наличие глубоких аналогий в поведении разных объектов.

В настоящее время в физике утвердилась мода на обнаружение критических точек в самых разных явлениях и процессах, так что их стали использовать для описания механизмов землетрясений, биологической эволюции, лесных пожаров или даже возникновения мировых войн. Иногда использование критических точек кажется назойливым и чрезмерным, но оно косвенно еще раз доказывает, что многие особенности поведения систем в окрестности критических точек поразительно похожи друг на друга, причем не только для физических процессов совершенно разной природы, но и для явлений биологической и даже социальной жизни. К таким особенностям можно отнести в первую очередь сверхчувствительность систем к флуктуациям и появление «безразмерных» эффектов, что проявляется, в частности, в особой форме распределений вероятности. Можно сказать, что термин «критическая точка» представляет собой очень удачную метафору (но не только метафору!) для тех странных сочетаний непредсказуемости и закономерности, из которых и складывается обычно человеческая жизнь.

ФИЗИКА НА ЛЕЗВИИ НОЖА

Теория ван дер Ваальса объяснила существование критических точек, связав их с состоянием, где не существует разницы между жидкостью и газом, однако она ничего не говорит нам о странных явлениях, происходящих в окрестности этих точек. В частности, стоит упомянуть, что при переходе через эту точку жидкости становятся на вид мутными, и это явление (физики называют его критической опалесценцией) долго не находило объяснения.

Другой чрезвычайно важной как для экспериментаторов, так и для теоретиков особенностью является исключительная чувствительность систем в окрестности критических точек, когда физическое состояние начинает зависеть от малейших изменений внешних условий. Рассмотрим это явление на очень простом примере. Сжимая вещество, вы просто уменьшаете его объем, а величина сопротивления сжатию обычно служит важной физической характеристикой вещества и называется сжимаемостью. Известно, что резиновый шарик сжимается легко, стальной шарик почти не сжимается, газ сжимается гораздо легче жидкости и т. п. Проблема состоит в том, что в критической точке, где газообразное и жидкое состояния неразличимы (это состояние, как мы помним, физики называют флюидом), сжимаемость системы формально стремится к бесконечности! Другими словами, медленно и очень осторожно сжимая флюид в критической точке, мы могли бы... просто сжать его в точку. Этот парадоксальный вывод нельзя проверить экспериментально по той простой причине, что поддерживать вещество в критическом состоянии чрезвычайно трудно из-за его крайней неустойчивости. С другой стороны, экспериментаторы многократно наблюдали, как сжимаемость среды в окрестности этой точки начинает стремительно возрастать.

Примерно так же обстоят дела с чувствительностью систем к тепловым воздействиям. Для повышения температуры мы обычно нагреваем систему, грубо говоря, закачивая в нее энергию. Количество теплоты, необходимой для повышения температуры вещества на один градус, является одной из самых распространенных характеристик индивидуальных веществ и называется теплоемкостью. Например, вода обладает очень высокой теплоемкостью, в чем мы убеждаемся каждое утро, с нетерпением ожидая, когда же наконец закипит вода в чайнике. В критической точке теплоемкость веществ начинает немыслимо возрастать, т. е. среда в критическом состоянии становится каким-то немыслимым «стоком» для энергии, и вы можете затратить на его нагрев сколько угодно энергии и не повысить температуру даже на ничтожную долю градуса. Критическая точка отделяет ультраохлажденный жидкий гелий от удивительного состояния, называемого сверхтекучим (см. гл. 4), внезапное резкое увеличение теплоемкости жидкого гелия при температуре около двух градусов выше абсолютного нуля неопровержимо свидетельствует о приближении к этой критической точке.

Такое странное поведение физики называют дивергенцией — безудержным ростом некоторых характеристик к бесконечности. Такую дивергенцию для коэффициентов сжимаемости и теплоемкости в критической точке предсказывала еще теория ван дер Ваальса. Она также объясняла, почему это происходит.

Количественно скорость роста параметров описывается так называемым критическим показателем, рассчитываемым из экспериментальных данных по изменению, например, теплоемкости вблизи критической точки. Поразительно, но критический показатель при этом оказывается одним и тем же для всех флюидов. Критический показатель для сжимаемости отличается от такового для теплоемкости, но опять же оказывается одинаковым для всех флюидов. То есть эти показатели являются «универсальными».

Для понимания физического смысла вводимых критических показателей читателю придется вспомнить несколько элементарных математических понятий. Математическая запись так называемой степенной зависимости (или функции) имеет очень простой вид у = х^п, где п и называется показателем (степени). Забавно, что по-английски степенная (ее еще называют показательной) функция называется power law, что может вызывать неожиданную ассоциацию с ключевым понятием власти и могущества power в философии Гоббса. Это совпадение, конечно, совершенно случайно и не имеет скрытого смысла, так как речь идет о сугубо математическом термине. Показатель п демонстрирует, во сколько раз возрастает значение функции у при удвоении значения переменной х. Понятно, что большее значение показателя соответствует более быстрому нарастанию изучаемой величины. Если, например, показатель п равен 2, то с удвоением значения х величина у возрастает в 2² = 4 раза, при п = 3 величина у возрастает уже в 2¹ = 8 раз и т. д. Кому-то может показаться более удобным следующее объяснение: степенной закон с показателем п - 3 связывает объем куба с длиной его грани — при удвоении грани вдвое объем куба возрастает в 8 раз.

Каждое свойство флюида, изменяющееся вблизи критической точки, делает это в соответствии с критическим показателем, одинаковым для всех флюидов, причем некоторые параметры не увеличиваются до бесконечности, а, наоборот, устремляются к нулю[94], как, например, разница в плотности между жидкостью и газом или намагниченность около точки Кюри. Это не должно смущать читателя, поскольку такое поведение тоже прекрасно описывается тем же степенным законом, но с отрицательными значениями показателя я.

Теория ван дер Ваальса предсказывала степенную зависимость некоторых характеристик вблизи критической точки «жидкость — газ», но не позволяла точно вычислять значения критических показателей. Другими словами, теория обнаруживала «склоны» и «подъемы», но не говорила о том, насколько они «круты».

Это обнаружилось в 1890-х, когда Жюль Вершафельт в той же Лейденской лаборатории ван дер Ваальса провел исключительно точные измерения критического поведения одного из жидких углеводородов — изопентана и обнаружил, что критический показатель для плотности составляет лишь -0,343, в то время как теория ван дер Ваальса предсказывала -0,5. Такая разница может показаться несущественной, собственно говоря, именно так посчитали многие современники Вершафельта. Однако позднее, когда выяснилось, что критические показатели универсальны для всех жидкостей, физики поняли, что столкнулись с каким-то очень важным и фундаментальным свойством вещества вообще. Естественно, сразу возник вопрос, что же было упущено в прекрасной теории ван дер Ваальса, что не позволило точно описать поведение систем в критической точке.

НЕУСТОЙЧИВОЕ РАВНОВЕСИЕ

Теория ван дер Ваальса действительно не являлась полной, так как в ней не учитывалась особая роль флуктуаций в рассматриваемых процессах. Дело в том, что системы в критической точке попадают на «распутье», получая как бы некоторую свободу выбора, и именно в этой особенности заключена существенная разница между фазовыми переходами первого рода типа замерзания жидкости или плавления твердых тел и фазовыми переходами второго рода, или критическими превращениями, о которых говорилось ранее. Например, при понижении температуры ниже точки замерзания все молекулы или части жидкости «обречены» на превращение в твердое тело, а при критических переходах ситуация существенно меняется, и молекулы флюида[95] как бы сосуществуют в двух разных состояниях. Такая же ситуация наблюдается в магнитных системах ниже критической точки (температуры Кюри), когда магнитные моменты атомов в модели Изинга (см. гл. 5) могут быть ориентированы в одном из двух противоположных направлений. И ни одно из них не может быть названо предпочтительным. Читатель может представить себе мяч на вершине холма, который может скатиться вниз по одному из двух абсолютно одинаковых склонов в разные стороны. Этот принципиальный выбор одного из направлений движения системы может быть осуществлен только случайным образом, и роль этого случайного фактора играют внутренние флуктуации самой системы.

Теоретически флюид в сверхкритическом состоянии должен иметь однородную плотность по всему объему, но из-за флуктуаций, вызванных, например, случайным движением частиц, в этом пограничном состоянии могут возникать ничтожные отклонения от однородности, в результате чего локальная плотность в каких-то местах будет возрастать, а в других — уменьшаться, превращая эти микрообъемы (или по крайней мере способствуя их превращению) в жидкость или газ соответственно. Каждая из таких флуктуаций может рассматриваться в качестве фактора «самовозбуждения», что, кстати, очень заметно и на примере намагничивания систем, когда набор спинов определенной ориентации в каком-то домене влияет на спины атомов в ближайшем окружении.

Сказанное лишь иллюстрирует наблюдаемую на практике исключительную чувствительность описываемых систем к флуктуациям. Равновесие нарушается под воздействием микроскопических, случайных причин. Такие объекты становятся крайне «капризными» и почти непредсказуемыми, так что сохранение вещества в окрестности критической точки физики сравнивают с цирковыми представлениями, когда артисты подолгу удивляют публику, балансируя предметами на кончике шеста.

Сверхчувствительность к нарушениям выступает важнейшей особенностью систем в окрестности критической точки, вследствие чего ничтожные флуктуации в одной из частей системы моіуг вдруг приводить к существенным последствиям в других частях или даже к изменению системы в целом. Например, случайное изменение ориентации одного из спинов в магнитной системе может воздействовать на спин в удаленной части образца, удаленной настолько, что ни о каком прямом взаимодействии не может быть и речи. На языке статистической физики такие явления называются дальнодейст- вующей корреляцией. Степень корреляции определяется расстоянием, на котором частицы могут как-то влиять друг на друга, и эта величина служит еще одним характерным параметром, увеличивающимся до бесконечности вблизи критической точки.

Сверхчувствительность выступает в качестве коллективного свойства системы. Закладываемые в модели взаимодействия частиц являются обычно весьма короткодействующими, например, в модели Изинга влияние ограничивается ближайшими спинами, однако в критическом состоянии такие взаимодействия вдруг начинают передаваться от частицы к частице на очень большие расстояния, несмотря на тепловое движение, которое в обычных условиях быстро «гасит» такое взаимодействие. Каким-то образом в критическом состоянии все частицы обнаруживают способность к коллективному поведению.

Проблема заключается в том, что в таком состоянии каждая частица как бы «желает» подчинить своему поведению все остальные, в результате чего вся система вдруг распадается на участки с разным поведением, которые случайным образом пытаются воздействовать на свое окружение. Такие участки могут иметь самые разные размеры, от одной частицы до заметной части объема всей системы (как показано на рис. 10.1), в результате чего в системе пропадает, например, так называемый характерный размер доменов, все они вдруг начинают мгновенно возникать или исчезать, формируя разные структуры. Критическое состояние вдруг приобретает способность создавать собственный тип флуктуаций из обычного теплового шума[96], причем эти флуктуации являются безразмерными или безмасштпабными в том смысле, что им не соответствует никакой средний или характерный размер.

Рис. 10.1. В критической точке могут появляться флуктуации самых разных размеров. На рисунке представлены результаты компьютерного моделирования критического перехода в системе «жидкость—газ», где черные точки означают жидкое состояние, а белые — газообразное состояние вещества. Аналогично будет выглядеть картина намагничивания, если такими же точками обозначить участки с противоположной ориентацией спинов. Флуктуации могут охватывать как отдельные частицы, так и целые крупные участки системы, из-за чего для них не существует никакого характерного размера. Физики называют эти флуктуации безмасштпабными.

Именно благодаря последней особенности при критических переходах в жидкостях наблюдается упомянутая критическая опалесценция, когда жидкости вдруг приобретают молочно-дымчатую окраску. Механизм ее появления достаточно прост — в жидкой и газовой фазах флюида в окрестности критической точки возникают флуктуации самых разных размеров, в том числе и близкие по масштабам к длине волны видимого света (несколько сотен миллионных долей миллиметра[97]). Такие включения интенсивно рассеивают свет подобно микроскопическим шарикам масла в обычном молоке, в результате чего среда становится непрозрачной и приобретает необычную окраску (молочно-дымчатую, иногда с перламутровым оттенком).

Теория ван дер Ваальса не могла давать правильных значений критических показателей, так как она вообще не учитывала микроскопическую картину распределения флуктуаций в описываемом состоянии. Более того, в ней предполагалось, что критическое состояние одно и то же в любой точке вещества. Читатель легко поймет, в чем дело, рассматривая рис. 10.1 на некотором удалении, когда белые и черные точки начнут сливаться в единый серый фон. Точно так же в теории ван дер Ваальса частицы не чувствуют «белого» или «черного» цвета своих ближайших соседей, воспринимая лишь общую «серость», создаваемую всем окружением (именно в этом состоит смысл приближения среднего поля, о котором рассказывалось в предыдущей главе). Стоит подчеркнуть, что это вовсе не умаляет всех достоинств теории, ставшей в свое время замечательным достижением физики. Пользуясь теорией ван дер Ваальса, Пьер Вейс сумел не только описать поведение магнитных систем вблизи точки Кюри (см. гл. 4), но и предсказать некоторые особенности поведения критических показателей для перехода «жидкость—газ».

В той же гл. 4 было описано, как позднее Ларе Онсагер сумел преодолеть ограничения приближения среднего поля на основе более детального изучения двумерной модели Изинга и вычислить точные значения критических показателей. Впрочем, стоит еще раз отметить, что для точного вычисления показателей необходимо решить трехмерную задачу для модели Изинга, что пока считается невозможным.

Разумеется, теоретики нашли обходной путь и пытаются «подкрасться» к истинным значениям показателей, решая эту задачу не аналитически, а всего лишь приближенно, в рамках некоторых трехмерных ЗО-моделей Изинга (подход в целом получил у физиков название перенормировки). Один из таких методов был разработан впервые в 1960-х годах Кеннетом Вильсоном из Корнельского университета, за что он и получил Нобелевскую премию по физике в 1982 году. Перенормировка представляет собой математическую процедуру, позволяющую по-новому оценить критический переход за счет избирательного удаления некоторых тонких деталей. Читатель может представить этот подход как укрупнение рисунка 10.1, в результате которого исчезают мелкие детали, а остаются лишь крупные, небольшие же участки рисунка с мелкими флуктуациями превращаются в «серые» участки. Проводя такую операцию последовательно (т. е. увеличивая масштаб укрупнения), можно вычислить довольно точно значения критических показателей, и этот метод д ля трехмерной модели Изинга позволяет очень точно предсказывать экспериментально измеряемые параметры реальных флюидов.

С одной стороны, понятно, что любые варианты модели Изинга для флюидов (в виде плоских или объемных решеток) представляют собой лишь очень грубое описание состояния реальных флюидов, но с другой — эти модели позволяют точно вычислять важнейшие для процессов критические показатели. В этом противоречии вновь скрывается некая общая закономерность, которую можно назвать универсальностью: в случае критических переходов мелкие детали строения разных систем вдруг теряют значимость, а их поведение вблизи критической точки начинает определяться какими-то глобальными законами. При этом становится не важным даже химический состав изучаемых систем, в результате чего, например, жидкий азот, изо- пентан или магнитный металл ведут себя одинаковым образом. Собственно, даже «грубость» модели не имеет существенного значения. Важными оказываются лишь два момента: размерность системы (двумерная или трехмерная модельная решетка) и вид сил взаимодействия между частицами (близкодействующие или дальнодействующие). Этих двух характеристик достаточно, чтобы отнести изучаемую систему к одному из так называемых классов универсальности, каждый из членов которого характеризуется одним и тем же критическим показателем и одинаковым поведением в окрестности критической точки.

КРИТИЧЕСКИЕ КРУШЕНИЯ

В 1999 году группа авторов, среди которых был Жан-Пьер Агилар, опубликовала статью, начинавшуюся следующим решительным утверждением: «Очень соблазнительно рассматривать финансовые крахи и обвалы биржи в качестве аналогов критических точек в статистической физике, когда очень небольшие внешние воздействия вдруг чрезмерно усиливаются за счет кооперативного поведения всех элементов системы»¹. Первую попытку такого рассмотрения предпринял сам Агилар еще в 1995 году, когда предположил, что финансовые крахи соответствуют одному из типов критических переходов в физических системах, а именно так называемому лог-периодическому поведению. Такие критические состояния возникают в некоторых моделях статистической физики и имеют четко выраженные свойства, основным из которых является их склонность к генерации колебательных, периодических флуктуаций, что сразу напоминает привычные экономистам циклы деловой активности. При этом лог-периодические колебания значительно отличаются от общеизвестных типов регулярных колебаний (световых волн, колебаний камертона и т. п.) тем, что при них пики и провалы постоянно сближаются друг с другом. В критической точке процесса пики и провалы начинают буквально «налезать» друг на друга, следуя все с меньшим интервалом, в результате чего возникает набор ускоряющихся колебаний, означающих быстрое приближение катастрофы.

Описанное поведение дало возможность физикам предложить, что биржевые курсы при финансовых крахах также ведут себя лог-периодически, из чего сразу следовало, что мы можем уловить приближение катастрофы, наблюдая за колебаниями биржевых курсов, регистрируя периодичность их колебаний и экстраполируя их к точке слияния. Другими словами, можно будет угадать примерную дату очередного сокрушительного обвала рынка, Такое исследование провела группа бельгийских физиков, возглавляемых Марселем Ослушем, в 1998 году. Анализируя поведение рынка непосредственно перед октябрьским крахом 1997 года, они пришли к выводу, что поведение флуктуаций действительно позволяет установить время будущего обвала биржевых курсов.

Разумеется, работа стала громкой сенсацией, так как в случае справедливости полученных результатов она совершала революцию на фондовых рынках. Инвесторы могли бы больше не опасаться биржевых крахов и неожиданных потрясений. Им следовало лишь тщательно отслеживать состояние рынка, особенно промежутки между подъемами и спадами курса акций, и в нужный момент выходить из игры. Предлагаемый метод, конечно, не давал стопроцентной гарантии, так как выявляемые закономерности проявлялись только вблизи кризисного состояния, а в остальное время биржевая система беспечно «забывала» старые цены в течение нескольких минут, и предсказания становились невозможными.

Годы Годы

Рис. 10.2 Лог-периодическая модель поведения рынка при финансовом крахе, когда колебания «наслаиваются» друг на друга по мере приближения к критической точке, соответствующей катастрофе. Некоторые исследователи полагают, что модель действительно описывает колебания биржевых курсов перед обвалом рынка. Приведенные кривые представляют собой статистические данные, обработанные по методу Дидье Сорнье и относящиеся к двум известным биржевым крахам: а) курс Standard&Poor 500 перед крахом 19 октября 1987 года и б) индекс Хэнг Сэнг гонконгской биржи перед обвалом в марте 1994 года.

Французский математик Дидье Сорнье, работавший в университете штата Калифорния в Лос-Анджелесе, стал убежденным сторонником теории лог- периодического поведения рынка в период потрясений и попытался проверить ее на основе модели ускоряющихся колебаний, примененной к статистическим данным о крупных биржевых крахах прошлого (рис. 10.2). Однако многим другим эконофизикам предложенная теория показалась неубедительной. Агилар и его группа доказывали, что в работе Ослуша допущены методические ошибки, так как кривые лог-периодического поведения были получены на основе избирательной интерпретации реальных статистических данных конкретного краха 1997 года, вследствие чего их нельзя применять к другим биржевым ситуациям. Им казалась крайне маловероятной возможность того, что рынок как-то мог «помнить» колебания цен многолетней давности, а хорошее согласие между теорией лог-периодического поведения в окрестности критической точки и реальными экономическими событиями (типа упоминавшегося краха 1997 года) они считали простой случайностью.

Любые анализы прошлых событий сомнительны в принципе — все мы крепки задним умом! Да и как сохранить объективность при анализе прошлых событий, когда известно, что произошло потом? Что же касается действительного предсказания будущих катастроф и крахов, то, например, Сорнье считал это не столько невозможной или бессмысленной, сколько неблагодарной задачей[98]. Он указывал на три возможных варианта развития событий:

Приведенные доводы, собственно, вскрывают основное противоречие, заложенное в «мечте» о возможности предсказания развития рынка и экономики вообще. Проблема состоит в том, что предсказание будущего поведения рынка зависит не только от объективных причин, но и от настроения и уверенности инвесторов, т. е. ситуацию может изменить сам акт предсказания (разумеется, если кто-то воспримет его всерьез).

САМООРГАНИЗУЮЩИЙСЯ РЫНОК

Несмотря на скептицизм, с которым экономисты встретили лог-пе- риодическую модель финансовых потрясений, общая идея о сходстве динамики рынка с поведение систем вблизи критической точки приобрела многочисленных сторонников, что представляется естественным. В предыдущей главе приводились примеры негауссовского поведения показателей в экономической статистике, при котором флуктуации являлись (или по крайней мере выглядели на коротких промежутках времени) безмасш- табными — наблюдались отклонения любого размера. По законам статистики такие «толстые» хвосты функций распределения соответствовали степенному закону и являлись характеристической особенностью именно критических переходов.

Степенной закон определяет вероятность проявления флуктуаций определенного размера, а его связь с критическими переходами можно пояснить на следующем примере. Вернемся к приведенному на рис. 8.2, а стандартному графику колебаний биржевого курса и рассмотрим его более внимательно, тщательно оценивая величину отклонений. Естественно, что мы будет получать некоторые колебания курса относительно среднего значения, а очень большие выбросы на кривой должны быть сравнительно редкими. Построив график зависимости относительного числа флуктуаций от их размера, мы должны получить некую степенную функцию для уменьшения вероятности очень больших отклонений.

А теперь вспомним, что параметры физических систем в окрестности критических точек становятся сверхчувствительными, т.е. под воздействием ничтожных причин могут меняться весьма значительно. Аналогия состоит в том, что рынок в неустойчивой ситуации напоминает критическое состояние физической системы, т.е. тоже приобретает способность неожиданно и сильно дергаться в разные стороны под воздействием ничтожных по величине случайных факторов. С другой стороны, известно, что физическая система в критическом состоянии исключительно неустойчива и почти сразу катастрофическим образом «сваливается» (на жаргоне физиков) в какое-либо устойчивое состояние. Приняв предположение об аналогии рынка с критической системой, ученым еще предстояло объяснить возможность достаточно длительного существования рынка в неустойчивом состоянии.

В 1987 году группа американских физиков, работавших в Брукхейвенской национальной лаборатории (Лонг-Айленд), случайно открыла исключительно интересное свойство некоторых физических систем, получившее название самоорганизующейся критичности. Этот поразивший физиков эффект состоял в том, что некоторые системы проявляют способность к постоянному преобразованию самих себя в критическое состояние. Забавно, что исследователи этой группы (Пер Бак, Чао Танг и Курт Визенфельд) вообще не занимались изучением критических точек, а ставили своей целью только выработку поправок к одной из старых моделей в физике твердого тела. Дело в том, что физики уже давно не могли найти ответ на кажущийся очень простым и незначительным вопрос: почему электроны в кристалле иногда двигаются в виде серии волн, получивших название волн зарядовой плотности. В этих редких случаях электроны вдруг демонстрировали так называемое коррелированное движение, т.е. переставали двигаться независимо друг друга (что обычно и наблюдается для электронов в металле), а наоборот — вели себя подобно связанным или сильно взаимодействующим частицам.

Попытка объяснения такого поведения электронов заставила исследователей гораздо шире взглянуть на все проблемы, связанные с системами из большого числа взаимодействующих частиц. В качестве грубой модели волн зарядовой плотности они предложили простую систему из множества качающихся маятников, соединенных дополнительно пружинками. Интересно, что такой подход удачно иллюстрирует методы теоретической физики вообще, так как хотя критические системы, финансовые рынки и сложно связанные маятники совершенно не похожи друг на друга, но математически они описываются очень похожими уравнениями, точно так же, как отдельный маятник является отличной моделью для любого периодического процесса.

Когда же исследователи написали полную систему ньютоновских уравнений движений для этой модели и решили ее на компьютере, они обнаружили удивительные факты. Колебания одного маятника, конечно, заставляли колебаться и несколько других (вследствие упомянутой связи через пружинки), однако такое взаимодействие было естественно ограничено некоторой областью, но затем на каком-то уровне взаимодействия картина существенно менялась, вследствие чего колебания отдельного маятника вдруг начинали воздействовать на всю систему в целом. При очень слабых взаимодействиях в системе один маятник, конечно, не мог заставить колебаться даже ближайшие к нему маятники, но в некоторых ситуациях колебания отдельного маятника вдруг вызывали «лавину», заставляя двигаться всю систему, независимо от ее размеров. Построив зависимость размеров лавин от частоты их возникновения, Бак и его коллеги обнаружили степенной закон распределения, доказательством чего служит прямая линия в логарифмических координатах (рис. 10.3).

Рис. 10.3. Степенной закон распределения вероятностей для размера лавин в математической модели «кучи песка». Построив зависимость в логарифмических координатах (логарифм размера лавин от логарифма их вероятности), можно легко получить наглядное доказательство степенной зависимости: прямую на рисунке, угол наклона которой равен показателю степенной зависимости. В представленном случае этот показатель близок к -1, что характерно для процессов с самоорганизующейся критичностью. Крупномасштабные события, соответствующие правой части графика, являются менее вероятными, поэтому статистика для них менее достоверна, и на графике появляются все более заметные зигзаги. Теоретическая идеальная прямая показана пунктиром.

Позднее та же команда физиков из Брукхейвена придумала еще одну красивую и интуитивно понятную модель связанного поведения в много- частичных системах. Им удалось заменить в уравнениях не очень наглядные маятники и пружинки на песчинки, составляющие некую кучу или горку (читатель может представить себе кучку песка, возникающую в песочных часах, или ту, которую он сам насыпает на столе). При некоторой высоте кучки, когда ее склоны становятся достаточно крутыми, добавление даже нескольких песчинок к вершине может вызвать осыпание всей кучки. До этого момента силы трения между песчинками могут удерживать частицы от взаимного смещения, но при некотором строго определенном значении угла наклона склонов (этот угол определяется, естественно, коэффициентом трения) вся система становится неустойчивой. Разумеется, дальнейший процесс более сложней и напоминает механизм цепной реакции, так как каждая частица в своем движении смещает другие и т. д. В зависимости от параметров и условий модели в такие лавины могут быть вовлечены десятки частиц, струи песчинок и целые участки кучек песка.

Существенным для темы этой главы является то, что в модели образования лавины не указаны конкретные следствия добавления конкретной песчинки — воздействие на соседние песчинки, начало процесса схода лавины на одном из склонов и т.д. Авторы предложили простую математическую модель кучи песчинок, исследовали ее поведение на ЭВМ и, замерив распределение песчаных лавин по размерам, показали, что оно описывается степенным законом, как показано на рис. 10.3. Очень большие лавины, конечно, происходят значительно реже, чем малые, однако теоретически возможно образование лавин любого размера. Другими словами, флуктуации кучи являются безмасштабными (в указанном смысле), что явно представляет собой некий аналог критического состояния.

С физической точки зрения ясно, что каждая лавина высвобождает внутренние «напряжения» в куче, уменьшая угол наклона и восстанавливая устойчивость системы. Особенностью модели является то, что восстанавливается только локальная устойчивость в заданный момент времени, так как любая следующая песчинка может стать триггером, спусковым механизмом для другой лавины на другом участке кучи. Такая система постоянно балансирует на грани очень шаткого равновесия, готового нарушиться в любой следующий момент, но не может уйти от этой грани на далекое расстояние. Именно поэтому физики назвали это критическое состояние самоорганизующимся, что принципиально отличает его от описанного ранее критического состояния газа и жидкости, которое можно было бы назвать самоуничтожающимся, поскольку оно подготавливает систему к мгновенному переходу при малейшем воздействии в одно из обычных, устойчивых состояний.

Модель песчаной кучи описывает неравновесное, но стационарное состояние. Неравновесность означает, что система постоянно меняется (хотя бы в силу изменения числа частиц, непрерывно добавляемых в систему), а стационарность — то, что система может оставаться в этом состоянии сколь угодно долго. Система не может вообще рассматриваться даже в качестве стремящейся к равновесию, так как постоянное падение песчинок на вершину кучи выступает в качестве внешней возмущающей силы. Описываемая самоорганизующаяся критичность является свойством именно этого класса неравновесных систем.

Обнаружение этого свойства стало одним из важнейших открытий статистической физики за последние два десятилетия, а его изучение уже привело к многим очень интересным и важным результатам. Тщательно изучая статистические данные, команда Пера Бака выявила степенной закон распределения вероятностей (основной признак существования самоорганизующейся критичности) в разнообразных природных явлениях. Возьмем в качестве примера землетрясения. Еще в 1940-х годах сейсмологи Бено Гутенберг и Чарльз Рихтер из Калифорнийского технологического института, изучив каталоги землетрясений в мировом масштабе и построив соответствующие графики, вдруг обнаружили степенной закон распределения их мощности. Долгие годы этому странному факту не удавалось найти никакого объяснения, пока к этим статистическим данным не был применен подход, основанный на самоорганизующейся критичности. Ситуация напоминает описанную модель, так как движения земной коры постоянно создают напряжения между тектоническими плитами. Время от времени это напряжение разряжается в виде землетрясений, приводящих к установлению временного и локального равновесия, однако затем напряжения начинают нарастать вновь. Обычно такие колебания имеют небольшой размах или даже сводятся к мелким толчкам, но иногда, как и полагается по модели, они могут «накапливаться», вследствие чего происходят чрезвычайно мощные тектонические сдвиги, приводящие к катастрофическим землетрясениям (Лос-Анджелес, Токио и т.п.).

Бак и его коллеги уловили признаки самоорганизующейся критичности даже в динамике развития лесных пожаров. Известно, что от таких пожаров страдают многие страны и обширные регионы, причем в большинстве случаев они носят лишь локальный характер, но изредка принимают гигантские масштабы и уничтожают целые лесные массивы. Как считает сам Бак, «отпечатки пальцев» самоорганизующейся критичности в виде степенного закона распределения флуктуаций можно обнаружить во множестве природных явлений различной природы, от вулканической активности и вспышек на Солнце до малопонятных астрономических событий, происходящих в нейтронных звездах, или распределения числа биологических видов в древних отложениях.

Речь идет об очень важном и распространенном природном эффекте. По странной иронии судьбы, позднее выяснилось, что именно поведение реальных песчаных куч, дюн или холмов, строго говоря, нельзя отнести к этому классу явлений. Описанный выше эксперимент прост только с модельной точки зрешкі, а его реальная проверка и осуществление сопряжены с техническими сложностями, поэтому, когда ученые, воодушевленные успехами теории, попытались измерить распределения лавин в реальных песчаных дюнах, их ждало разочарование. Многочисленные эксперименты приводили к противоречивым результатам, что, впрочем, может означать лишь то, что Бак, Танг и Визенфельд в своем математическом, компьютерном эксперименте упустили какие-то важные специфические особенности поведения именно песчаных куч, например, процессы диссипации энергии при движении песчинок. Настоящие процессы ставшей знаменитой самоорганизующейся критичности (СОК) в сыпучих средах оказались весьма капризными, так что исследователям почти никогда не удается обнаружить их в песке, но интересно, что СОК наблюдается в некоторых случаях в кучах риса Возможно, это объясняется просто иной формой зерен.

Открытие СОК в разных неравновесных системах первое время вызывало такой восторг, что многие стали считать этот эффект, по словам Бака, «ключом к пониманию действий природы». Позднее проявилась и некоторая ограниченность этой модели, не позволяющая считать СОК универсальным законом природы, однако основные положения модели (степенной закон распределения флуктуаций и катастрофические события, снимающие «напряженность» на границах нестабильности) стали весьма важным и ценным инструментом в изучении неравновесных явлений, поэтому читателя не должно удивлять, что некоторые закономерности СОК проявляются и в социальных моделях, учитывающих взаимодействие людей.

«ЖЕСТКАЯ» ЭКОНОМИКА

В 1998 году Пер Бак работал в институте Санта-Фе, ставшем мировым центром в области междисциплинарных исследований систем со сложными взаимодействиями, где объединяли свои усилия специалисты по физике, биологии, геофизике, социальным наукам и многим другим направлениям. В разработках приняли участие экономисты из Чикагского университета Майкл Вудфорд и

Джоз Шейнкман, уже знавшие о теории самоорганизующейся критичности и пытавшиеся применить ее к объяснению экономических закономерностей, что явно свидетельствовало об их развитой интуиции, поскольку теория СОК только зарождалась. До этого физические теории хаоса пытались применять в своих исследованиях лишь некоторые экономисты (Шейнкман был одним из первых), и такие работы не считались приоритетными в экономической науке. Возможно, Вудфорду и Шейнкману идеи Бака показались интересными потому, что они увидели в них довольно точное описание экстремальных событий — больших катастроф, наличие которых традиционная экономическая наука старалась не замечать вообще.

Для физика-профессионала Бака работа с экономическими моделями стала непростой и даже неприятной проблемой, так как обычно физики имеют дело с неодушевленными объектами, в поведении которых нет иррациональных[99] мотивов. Но даже в этих случаях при использовании всех допустимых упрощений и приближений математическое описание процессов становится настолько сложным, что зачастую невозможно обойтись без помощи компьютера. Что уж говорить об описании экономических процессов! Бака поначалу поражало и даже раздражало желание коллег-экономистов создать «модели, которые позволили бы решать задачи аналитически, пользуясь только методами чистой математики», однако позднее он признался, что с этого началось «очень плодотворное, хотя и несколько болезненное сотрудничество»².

Результатом совместной работы стала новая экономическая модель, учитывавшая взаимодействие торговых агентов и значительно развившая направление, о котором рассказывалось в предыдущей главе. Теоретическая работа, соавторами которой стали Бак, его друг-физик Кан Чен, Вудфорд и Шейнкман, была опубликована в 1993 году, и ее главным выводом, по словам самого Бака, стало утверждение, что:

Некоторым исследователям очень привлекательной казалась идея об использовании самоорганизующейся критичности для построения довольно общей экономической теории, однако позднее выяснилось, что модель верна лишь в основных чертах, но не в деталях. Идея метода СОК связана, как неоднократно отмечалось, с наличием безмасштабных (т.е. не зависящих от масштаба времени измерений) флуктуаций, распределение которых описывается степенным законом. Именно это условие и стало главным ограничением применения теории СОК, так как позднее выяснилось, что выявленные закономерности справедливы все же лишь в определенных временных пределах. Например, колебания индекса S&P 500 почти одинаковы при измерениях с интервалом в несколько минут, часов и даже дней при соответствующей «перенормировке» (см. примечание к разделу «Форма изменений» в гл. 8), однако при больших интервалах наблюдаются значительные отклонения распределения от степенного закона. При очень больших интервалах (порядка года) распределение флуктуаций постепенно приобретает типичный гауссовский вид. Цены растут более или менее линейно, т.е. пропорционально времени, с эпизодическими резкими провалами и скачками. Таким образом, любая модель, основанная на единой форме функции распределения для всех временных интервалов, не может быть правильной по определению. Степенной закон распределения вероятностей справедлив для ограниченной области «толстых» хвостов, вне которой могут наблюдаться и другие зависимости. Самоорганизующаяся критичность предоставляет исследователям ряд интереснейших примеров поведения систем в критических состояниях, однако она не является универсальной моделью поведения экономики в целом.

ДУХ ЗАКОНА

Дальнейшие исследования показали, что степенная функция распределения вероятностей, которая в отличие от гауссовского распределения не накладывает ограничений на величину крупных отклонений, довольно типична для многих областей человеческой деятельности. Например, физик Сидней Реднер из Бостонского университета, тщательно изучив статистику цитирования научных работ (на материале около 800 тысяч работ, опубликованных в 1981 году), показал, что количество ссылок в научной литературе отлично описывается степенным законом. Это означает, что некоторые работы (в число которых входит и статья 1987 года Бака, Танга и Визенфельда, где был предложен обсуждаемый метод) содержат очень важные и ценные идеи, они обильно цитируются и стимулируют большое число новых исследований. С другой стороны, некоторые работы, особенно имеющие очень специальную направленность, представляют интерес для очень узкого круга коллег автора и поэтому цитируются крайне редко. (На практике ситуация выглядит еще сложнее, так как примерно половина научных работ вообще никем не упоминается, что многое говорит о состоянии некоторых современных научных проектов. По-видимому, поэт Теннисон был прав, когда писал, что «наука лишь ползет от точки к точке»⁴.)

Конечно, читателю может показаться, что все выводы, связанные со степенным законом для распределения флуктуаций, банальны. Представляется очевидным и вполне понятным, например, что сокрушительные землетрясения должны происходить гораздо реже мелких толчков, а некоторые научные работы влияют на развитие науки гораздо сильнее других и т.п., однако хотелось бы отметить, что степенной закон означает и нечто значительно более важное. Дело в том, что он устанавливает специфическую зависимость, которая связывает вероятность события с его масштабами, и эта проблема вовсе не тривиальна. Действительно, не очевидно, что при увеличении масштабов события его вероятность должна уменьшиться в строго заданное число раз. Никто не возьмется, например, априори утверждать, что распределение числа цитируемых публикаций должно следовать линейному закону. С другой стороны, интуитивный смысл степенного закона очевиден: мы имеем точную математическую формулировку связи событий по масштабам, которая нарушается сравнительно редко.

Известный ученый и популяризатор Марк Бьюкенен в книге с характерным названием Повсеместность (Ubiquity) предложил рассматривать всю историю человечества в виде единого самоорганизующегося критического состояния, где войны и конфликты отражают разрядку внутренних «напряжений» системы на международном уровне. Грустным выводом этой теории является то, что конфликты любых масштабов, от мелких стычек до мировых войн, практически неизбежны. Бьюкенен проиллюстрировал свои идеи в виде графиков, отражающих связи между числом военных конфликтов и их масштабами — числом участников конфликта, количеством вовлеченных в противостояние людей, числом погибших и т.д. Распределение множества конфликтов, от локальных с сотнями убитых до мировых с миллионами жертв, укладывается на прямую единого степенного закона.

Строго говоря, эти закономерности давно обнаружил известный английский физик Льюис Фрай Ричардсон, который одним из первых попытался применить идеи и методы современной физики к политике и социологии. Ричардсон использовал математические модели метеорологии для описания закономерностей развития гонки вооружений между соперничающими странами. Возможно, что интерес Ричардсона к этой проблеме был обусловлен тем, что он был квакером и из-за своих пацифистских убеждений служил в годы Первой мировой войны водителем санитарной машины. Он мечтал способствовать установлению всеобщего мира, изучив и разъяснив всем причины возникновения войн[100]. За период с 1920-х по 1950-е годы Ричардсон сумел собрать огромное количество статистических данных о «смертельных схватках»', в которых он несколько провокационно объединил потери при военных действиях с другими «видами убийств», включая уголовные. Все виды конфликтов Ричардсон классифицировал по масштабам: от «нулевого» (индивидуального убийства) до «семибалльного» (две мировые войны). Распределение собранных им статистических данных подчинялось степенному закону и представляло собой один из вариантов упоминавшегося закона Гутенберга—Рихтера.

Бьюкенен в своей книге доказывает, что размер конфликта не связан со значимостью породившей его причины и ничтожные поводы могут приводить к крупномасштабным столкновениям. В конце концов, можно вспомнить, что Первая мировая война в августе 1914 года началась из-за убийства австрийского эрцгерцога Франца-Фердинанда, причем само это событие стало лишь последним звеном в длинной цепочке странных и непредсказуемых событий того злосчастного дня. Разумеется, это положение может быть оспорено, и для Первой мировой войны можно найти и другие основания. Также можно утверждать, что Вторая мировая война (помимо некоторых других причин) была неизбежным следствием Первой и Версальского договора, а вовсе не политических интриг 1939 года. Конечно, Первая мировая война разразилась не из-за убийства эрцгерцога, о котором все быстро забыли. Суть не в этом, Бьюкенен говорит лишь о том, что если имеется «напряжение» в сложной системе, подобной Европе 1914 года, то незначительные события могут приводить к непредсказуемым и непропорциональным последствиям. Собранные Ричардсоном данные о конфликтах показывают, что величественная идея Иммануила Канта о естественных законах, направляющих историю человечества, является несбыточной мечтой. Человечество должно требовать от историков не рассказа о самих событиях, а понимания, как и почему эти события смогли развиться. Мы рассмотрим эту проблему позднее в несколько ином плане.

НАИМЕНЬШЕЕ ДЕЙСТВИЕ

Веру мыслителей века Просвещения в естественные законы общества и возможность создания истинно научной социологии неожиданно попытался возродить американский социолог Джордж Кингсли Ципф (1902-1950) в книге Человеческое поведение и принцип наименьшего усилия. В этом удивительном документе, опубликованном в 1949 году, поразительные предвидения переплелись с заблуждениями эпохи.

Основная идея книги Ципфа сводится к тому, что в достижении любой цели люди всегда выбирают линию поведения, требующую от них минимальных усилий. Идея представлялась совершенно разумной, тем более что автор откровенно признавался в желании создать социологический аналог одного из самых известных принципов физики, сформулированного в конце XIX века ирландским математиком Уильямом Гамильтоном. Обобщив законы ньютоновской механики, Гамильтон показал, что их можно свести к принципу, названному им законом наименьшего действия. В соответствии с ним все тела двигаются по траекториям, обеспечивающим минимальное значение «действия» — физической величины, зависящей от выбранного пути. Говоря проще, существует много путей, по которым шарик может скатиться со стола, но только один удовлетворяет принципу наименьшего действия, и именно по нему покатится шарик.

Основная проблема, связанная с теорией Ципфа, была обусловлена существенной разницей в определении терминов «усилие» и «действие». Физики очень легко могут вычислить величину «действия» для любого объекта, движущегося по заданной траектории. Гораздо сложнее обстоит дело с психологическим термином «усилие», который относится к человеческой деятельности и является весьма нетривиальным понятием. Речь идет вовсе не о затрачиваемой энергии, так как Ципф подчеркивал, что люди выбирают различные пути достижения цели, исходя из собственных представлений о «стоимости» поступков, т.е. о затратах энергии, времени, удобств, денег или иных экономических и психологических ресурсов. Например, один инженер предпочтет проложить туннель через горный хребет, а другой проведет железную дорогу через перевал, оба объяснят свой выбор расчетами. Но эти расчеты, по мнению Ципфа, будут отражать их индивидуальные оценки требуемых минимальных затрат и усилий. Несомненно — различные.

Понятно, что основным недостатком теории являются расплывчатость, субъективность и неколичественный характер центрального понятия «усилие», но Ципф считал, что на этой основе можно объяснить все поразительное разнообразие человеческого поведения. Более того, Ципф пытался применить свою теорию для решения весьма сложных и специфических научных проблем, включая лингвистику (особенности развития языков), музыку, демографию, распределение промышленных объектов, статистику путешествий и заключения браков, механизмы международных и гражданских конфликтов, а также распределение доходов населения.

При всей глобальности своих теоретических замыслов Ципф вошел в историю науки прежде всего как собиратель эмпирических фактов. Для своих изысканий он собрал гигантские наборы статистических сведений (говоря современным языком, базы данных) по всем перечисленным научным направлениям. По иронии судьбы, многие его теоретические идеи давно устарели, а именно собранные статистические данные стали представлять особую ценность. Изучая и анализируя данные о разных видах человеческой деятельности, Ципф еще тогда отметил, что практически все распределения подчиняются степенному закону, характерной особенностью которого выступают прямые линии в логарифмических координатах.

Я уже писал, что Пер Бак (скончавшийся в 2002 году) полагал самоорганизующуюся критичность характерной особенностью «механизмов действия природы». Интересно, что Ципф тоже не только выделил степенной закон распределения, но и полагал его характерной особенностью «действия общественных механизмов», считая даже, что фундаментальное различие между социально-общественными и природными явлениями заключается как раз в том, что в первых доминируют распределения типа степенного закона, а во вторых — статистика Гаусса. (Но мы уже видели, что в настоящее время наука выявила степенные законы распределения и для множества природных явлений.)

Ученых середины прошлого века интересовали почти исключительно гауссовские (случайные) распределения, так что следует отметить проницательность Ципфа и его огромную работу по сбору и обработке социологических статистических данных. Их ценность особенно возросла в последние годы, когда поведение систем, флуктуации которых описываются степенными законами, вдруг стало одним из важнейших разделов статистической физики. Ципф во многом обогнал свое время, и он, безусловно, обнаружил многие научные факты исключительной важности. В 1983 году Бенуа Мандельброт писал с сожалением, что «специалисты по статистике и социологии в свое время просто не смогли использовать идеи и данные Ципфа из-за вопиющей отсталости теоретических оснований своих наук»⁵.

Особое внимание Ципф уделял степенному закону распределения с показателем -1 (рис. 10.3), который в настоящее время рассматривается в качестве основной характеристики самоорганизующейся критичности. Он полагал, что именно эта зависимость отличает групповое поведение людей от случайного поведения отдельных личностей, иными словами, рассматривал эту форму степенного закона в качестве признака или показателя взаимодействия людей в коллективе. Именно это утверждение можно сейчас считать основным и самым ценным вкладом Ципфа в статистическую теорию социального поведения.

Физик Филип Андерсон очень точно отметил, что именно распределения показателей по степенному закону в социальных явлениях практически уничтожают старую идею об усредненном поведении, восходящую еще к теории Кетле об «усредненном человеке». Действительно, степенные законы распределения постоянно приводят к усилению роли крупных событий, которые в обычной, гауссовской статистике просто обречены на роль абсолютно ничтожного фактора. Уже упоминалось, что когда-то Вильфредо Парето ввел такие распределения в социальную статистику задолго до того, как они были обнаружены и стали интересны для физиков. Еще в 1897 году он заявил, что распределение доходов в обществе соответствует именно такой зависимости (рис. 10.4), т.е. большая часть национального богатства с неизбежностью становится достоянием небольшой части населения. В настоящее время некоторые оценки показывают, что в Соединенных Штатах, например, 1% населения владеет примерно 40% национального достояния, а 5% — более чем половиной этого достояния⁶, причем неравенство в распределении богатств страны в США постоянно повышается (по крайней мере с начала 1970-х годов), и эта тенденция постепенно проявляется и в других странах.

Рис. 10.4. Неравномерность в распределении национального дохода обычно описывается распределением по степенному закону. Этот факт был впервые отмечен Вильфредо Парето в конце девятнадцатого века, который установил, что наклон кривой соответствует показателю —1 (позднейшие исследования показали, что этот показатель обычно несколько больше). Большие значения наклона соответствуют более «слабой» или истощенной экономике. На рисунке представлена кривая распределения богатства населения Великобритании в 1996 году, построенная по данным Налоговой службы. Показанное распределение относится к классу кумулятивных, то есть каждая точка соответствует проценту населения страны с суммарным богатством, выше указанного по горизонтальной оси. Закон Парето относится к доходам наиболее богатой части населения (примерно 10% или чуть больше).

Парето выразил обнаруженное неравенство в доходах так называемым правилом 80:20, означающим, что 80% богатства страны обычно принадлежат 20% населения. Он обнаружил, что такое распределение характерно для многих стран, независимо от их политического строя или системы налогообложения. Это же правило оказывается справедливым во многих других ситуациях: 80% дохода определяются 20% расходов и издержек; 80% результата работы определяются лишь 20% приложенных усилий и т.д. За некоторой забавностью повторения сочетаний этих цифр, за удивительной непропорциональностью затрат и отдачи не следует забывать о главном: о том, что эти распределения подчинены степенному закону. В действительности, конечно, наклон прямой не обязательно соответствует этому соотношению, и обычно наблюдаются некоторые отклонения, однако сама прямая линия возникаегвсегда. В частности, точно такой же тип распределения богатства был характерен для Древнего Египта в XIV столетии до нашей эры, что было установлено по анализу распределения размеров сохранившихся фундаментов и остатков зданий в древней столице Ахетатоне.

Распределение доходов по правилу Парето позднее стало одним из фундаментальных понятий социологии и приобрело почти мистическое значение, напоминающее роль распределения Гаусса в естественных науках начала XIX века. В 1940 году экономист Карл Снайдер даже заявил: «Кривая Парето может быть названа одним из величайших обобщающих понятий человеческого разума»⁷. Нельзя не признать, что возможности проверки и границы применимости этого распределения остаются расплывчатыми, что прежде всего обусловлено трудностью получения достоверной информации о размерах личного состояния граждан. Основные методы оценки сводятся к анализу деклараций о налогообложении доходов и налогов на наследуемое имущество, но точность таких оценок весьма сомнительна, и этот факт даже позволил экономисту Джорджу Финдли Ширасу заявить в 1935 году, что правило Парето вообще не имеет научной ценности. Однако в целом можно все же считать, что степенной закон действительно выполняется для распределения доходов, по крайней мере в той части распределения, которая относится к наиболее обеспеченным слоям населения, как показано на рис.10.4. Крутизна кривых на таких распределениях является характерным параметром степени имущественного неравенства в данном обществе, т.е. более крутым кривым соответствует одновременно избыточное богатство небольшого числа людей и бедность или нищета большей части населения. В экономиках стран с предельной несправедливостью распределения доходов типа Гаити и Заира (или того же Древнего Египта) горстка людей является сверхбогатой на фоне чудовищной нищеты почти всего остального населения. Кстати, это еще раз требует с особой осторожностью относиться к выступлениям многих политиков, которые любят ссылаться на среднестатистические показатели по отдельным странам, не упоминая о распределении по доходам.

Израильский эконофизик Сорин Соломон, его французский коллега Жан-Филип Бушар и их сотрудники недавно предложили ряд моделей, позволяющих понять происхождение правила Парето. В этих работах используются представления из физикохимии полимеров, движение денежных средств на финансовых рынках уподобляется движению цепных молекул. В совместной работе Соломона с Жи Фенг Хуангом из Кельнского университета было показано, что в этом случае торговля приводит к постепенному росту кривизны кривой Парето и соответственно к увеличению имущественного неравенства участников рынка. Одним из следствий этого является увеличение масштаба флуктуаций и понижение устойчивости рынка в целом. Исследователи утверждают, что любая социальная политика, направленная на повышение благосостояния беднейших слоев населения «представляет собой не только акт человеческой благотворительности, но и отвечает жизненным интересам самого рынка капиталов»⁸.

УНИВЕРСАЛЬНЫЙ ПОРЯДОК?

Джордж Ципф надеялся, что его наблюдения станут руководством к выработке новой социальной политики, и мечтал о том, что «систематизированная социальная наука позволит выработать объективные методы социальной инженерии»⁹. После крушения марксизма идея социальной инженерии представляется широкой общественности тревожащей и опасной, если, конечно, не подразумевать под этим термином только информационно обеспеченное планирование. Впрочем, многие другие идеи Ципфа были еще более амбициозными, а его деятельность заставляла вспомнить о духе деятелей эпохи Просвещения. Например, Ципф предлагал, чтобы центральным моментом любых общественных действий выступал некий всеобщий закон порядка (под которым он подразумевал всеобщий степенной закон), стоящий над человеческими стремлениями. В эпоху разрушения религиозных ценностей Ципф мечтал о том, чтобы их место заняла рационально построенная социология, и писал по этому поводу: «Все, что мы видим в окружающем нас мире, бесспорно, свидетельствует о некоем единстве, порядке и уравновешенности, позволяющих видеть высшую разумность в том, что лежит за пределами нашего понимания и восприятия»¹⁰.

Такие рассуждения по духу относятся не к науке, а скорее к мистицизму пифагорейцев, однако следует помнить, что они возникли на основе выявления некоторой универсальности, позволяющей связать законы организации общества с законами атомной физики. Мысли об универсальности не должны приводить нас к новой «религии науки», точно так же как наблюдение удивительных узоров и вихрей не должно служить доказательством божественного Провидения. Мы можем лишь признать как факт существование «законов больших чисел», и тогда божественный порядок и регулярность откроются нам в ужасающем разнообразии окружающего мира.