Критическая масса

В конце известной книги Курта Воннегута Колыбель для кошки происходит нечто совершенно неизбежное по сюжету, но все равно невообразимое: «И послышался звук, словно медленно закрывались громадные врата величиной с небо — как будто тихо затворили райские врата. Это был Великий А-Бумм»¹. Немыслимый звук издавало замерзающее море, мгновенно превращающееся в массу льда. Разумеется, речь в книге идет не об обычном льде, который мог бы сковать планету от полюса до полюса при ее медленном остывании. Море в книге Воннегута превращается в фантастический лед-девятпь, гипотетическую форму льда, остающуюся стабильной даже при ста градусах Цельсия, причем для такого превращения достаточно крошечного кристалла этого вещества, попавшего в Мировой океан.

Писатель уловил наиболее характерную особенность замерзания, а именно его внезапность. Многие вещества могут находиться лишь в двух состояниях: в жидком и подвижном до некоторой температуры (выше его точки плавления) и твердом и жестком ниже этой температуры. Среднего не дано, так что вода, например, не становится вязкой и тягучей перед превращением в лед, и каждый переход означает Великий А-Бумм. Точно так же не существует промежуточных состояний между водой и паром, есть вода, есть пузырьки пара в воде и есть пар над водой[27]. Всегда есть поверхность, на которой вода сразу скачком превращается в пар.

Все такие превращения между твердым, жидким и газообразным состояниями давно получили название фазовых переходов, и именно они дали ученым недостающее звено между кинетической теорией газов и молекулярным описанием строения других форм материи. Лед, вода и водяной пар состоят из одинаковых частиц — молекул воды, трио атомов Н₂0[28]. Но они по-разному организованы: в газе — свободны, независимы и энергично двигаются, в твердом теле — жестко связаны и почти неподвижны, в жидкости — толкаются подобно людям в толпе.

Максвеллу и Больцману удалось понять и объяснить микроскопический механизм поведения газов, но оставалось неясным, как статистическая механика сможет объяснить закономерности поведения твердых тел и жидкостей. Иными словами, физики не могли объяснить разнообразные наблюдаемые А-Буммы на основе кинетической теории газов. Ученые XIX века прекрасно знали из опыта, что из охлажденного газа можно получить жидкость, которая при дальнейшем охлаждении превратится в твердое тело. Проблема состояла в теоретическом объяснении этого простого факта, так как, строго следуя кинетической теории газов, охлаждение газа должно приводить лишь к уменьшению средней скорости молекул, т.е. к сжатию «колокола» распределения Максвелла — Больцмана и смещению его пика влево, в сторону меньших скоростей. При этом не должны наблюдаться никакие резкие превращения, за исключением, естественно, предельного перехода к абсолютному нулю температур (или -273 °С), когда частицы теряют всю энергию и перестают двигаться. При этом теория не содержала никаких правил или ограничений, связанных с упорядочением положений частиц, например, в форме правильной кристаллической решетки льда, не говоря уже о том, что переход в твердую фазу, очевидно, происходил задолго до достижения абсолютного нуля. Существование промежуточной жидкой фазы вообще оставалось непонятным.

Эта глава посвящена фазовым переходам, которые, возможно, являются центральной проблемой социальной физики. Именно таким переходам соответствуют неожиданные и резкие изменения в социальной сфере, которым многие социологи, по незнанию или из пристрастия к метафорам, дают необычные названия. В качестве примеров можно привести, например, теорию катастроф Рене Тома или концепцию точки касания Малькольма Глэдвелла² в анализе тенденций современной архитектуры, норм поведения и моды (см. гл. 13). Постмодернистский архитектор Чарльз Дженкс пишет в этой связи о «созидательной силе и удивительных возможностях природы, связанных с фазовыми переходами, т. е. с резкими скачками организации материи и пространства», оправдывая этими терминами современную архитектуру, основанную на «нарушениях симметрии» и кажущейся неустойчивости³. Получившая широкую известность теория Томаса Куна⁴ о смене парадигм в развитии науки также представляет собой лишь один из упрощенных вариантов фазового перехода. Однако фазовые переходы вовсе не сводятся к удобной аллегории любых резких трансформаций, а действительно описывают изменения в общественной жизни, и физическая теория может быть использована для описания и понимания механизмов таких процессов.

Фазовые переходы играют огромную роль в статистической физике, и требуется немало времени и усилий, чтобы понять, почему они существуют и как протекают и как они обеспечивают переход между различными типами расположения частиц в веществе. Для понимания социальной физики, однако, достаточно иметь некоторый минимум знаний относительно того, почему и как такие переходы могут происходить вообще. Основная проблема сводится к объяснению стремительности фазовых переходов, т. е. к пониманию того, почему огромное число молекул, «счастливо» существующих сами по себе, вдруг неожиданно «принимают решение» сотворить вместе какой-нибудь А-Бумм!

ПРОБЛЕМЫ НЕПРЕРЫВНОСТИ

На первый взгляд кажется, что имеется возможность обойти неспособность кинетической теории газов объяснить существование фазовых переходов, приуменьшая значение этого недостатка. Не означает ли конденсация пара в воду при строго фиксированной температуре, что водяной пар перестает быть газом? Означает. Но тогда, следовательно, в этой точке просто перестают действовать газовые законы. Неспособность теории объяснить этот переход показывает, что в теории есть какое-то упущение, но ведь с объяснением поведения молекул пара при температурах выше точки конденсации все в порядке, не так ли? Нет, не так, совсем не так, и физики

XIX века это знали. Им уже давно было известно, что газ можно перевести в жидкость и другим способом, минуя фазовый переход. На научном жаргоне того времени это именовалось непрерывным переходом.

Первым это удалось продемонстрировать французскому аристократ Жаку Шарлю (барону Каньяр де ла Туру), который в 1822 году обнаружш что эфир, спирт или вода, нагреваемые в запаянных сосудах, могут плавн переходить из жидкого в газообразное состояние без фазовых переходо типа испарения и конденсации. В 1830 году Джон Гершель писал по этом; поводу:

Позднее, уже в 1860-х, «состояния Каньяр де ла Тура» тщательно изучи, химик Томас Эндрюс из Королевского колледжа в Белфасте, пришедшиі к выводу, что «привычные нам газовое и жидкое состояния являются, соб ственно, лишь очень разделенными формами одного и того же состояни; вещества, и они могут переходить друг в друга через ряд столь последо вательных и постепенных изменений, что при переходе нельзя заметит] никаких нарушений непрерывности свойств»⁶.

Такой переход возможен только выше определенной температуры характерной для каждого вещества — флюида[29], ниже которой фазовьк превращения всегда носят только скачкообразный характер. Точку этоп перехода принято называть критической температурой или, менее точнс критической точкой[30].

Голландский физик Иоханнес Дидерик ван дер Ваальс (1837-1923) своеі докторской диссертацией 1873 года совершил, без преувеличения, огромныі научный прорыв, объединив в единое целое кинетическую теорию газов с объ яснением поведения жидкостей. Интересно, что он не ставил перед собой такук грандиозную цель, а пытался решить гораздо более скромную задачу, связан ную с капиллярностью. Опираясь в основном на идеи Пьера-Симона Лаплас; начала XIX века, он стремился описать поведение жидкостей на поверхности твердых тел, однако логика исследований привела его к гораздо более серьезны» проблемам, что дало множество неожиданных и важных результатов.

Кинетическая теория позволяла объяснять давление газов движением молекул, а ван дер Ваальс показал, что по этому же механизму создается давление жидкости на поверхность твердых тел. Ранее считалось, что это давление должно быть просто чудовищным по величине, поскольку из-за плотности жидкости поверхность твердого тела подвергается ударам огромного числа молекул, но никто не умел вычислять конкретные значения давления по физическим характеристикам конкретных жидкостей. Именно эту задачу хотел решить ван дер Ваальс, и единственным подходом, которым он мог воспользоваться, была кинетическая теория газов.

Подобно газам жидкости состоят из очень большого числа быстро и хаотически движущихся молекул, однако в жидкости действуют также силы сцепления (или, по-научному, когезии) — вспомним, как слипаются капли дождя при падении. Еще в 1806 году Лаплас связывал когезию с взаимным притяжением частиц, и наличие такого притяжения позволило объяснить давно известный феномен поверхностного натяжения — формирования на поверхности любой жидкости своеобразной пленки, или «кожицы».

Кинетическая теория газов не учитывала наличие этих сил. Причиной такого пренебрежения выступало вовсе не то, что в газах силы притяжения отсутствуют, а в самом характере этих взаимодействий. Дело в том, что они являются, как говорят физики, короткодействующими, и ими можно пренебрегать, если молекулы находятся далеко друг от друга, хотя бы на расстояниях больше их собственных размеров, вследствие чего в разреженных газовых системах эти силы практически не проявляют себя. Пытаясь описать давление жидкости, ван дер Ваальс ввел силы притяжения, в его модели жидкость напоминала плотный газ. Кроме этого, ван дер Ваальсу удалось учесть еще одну существенную поправку. Исходя из малости размеров молекул, основатели кинетической теории считали их точечными объектами, обладающими только массой, но не геометрическими параметрами. Ван дер Ваальс справедливо рассудил, что в жидкостях, плотность которых значительно выше, чем у газов, необходимо учитывать и собственный объем молекул, т. е. его следует вычитать из полного объема сосуда, заполненного жидкостью.

Обе указанные идеи, строго говоря, не являлись новыми. На необходимость учета размера молекул Даниил Бернулли указывал еще в XVIII веке[31], а в 1863 году французский ученый Густав-Адольф Хирн рассматривал задачу о поведения газа при одновременном учете объема молекул и межмолекулярных сил притяжения. Кроме того, к этому времени уже было известно, что поведение многих газов может значительно отклоняться от предсказываемого газовыми законами (и кинетической теории, лежащей в их основе), и многие ученые предполагали, что отклонения вызываются именно указанными двумя факторами.

Вэн дер Ваальсу удалось соединить в единое целое все эти соображения и расчеты в своей диссертации «О непрерывности жидкого и газового состояний». Исходя из некоторых гипотез относительно размеров молекул[32] и действующих между ними сил, ван дер Ваальс обнаружил, что в некоторых диапазонах давления и температуры флюиды могут существовать при двух различных значениях плотности. Более высокую плотность ван дер Ваальс приписал жидкому состоянию вещества, а низкую — газообразному. Кроме того, он указал, что в этих точках сжатие или охлаждение газа делают его состояние неустойчивым и могут мгновенно «превращать» его в жидкость. И наконец, ван дер Ваальс связал такие превращения с фазовыми переходами[33].

Особое внимание ученых всегда привлекал внезапный и резкий характер описываемых процессов, действительно таящий в себе нечто загадочное. Вы медленно охлаждаете газ, процесс протекает спокойно и гладко, но вдруг — Бумм! — в сосуде плещется жидкость. Ван дер Ваальс показал, что плотность флюида не может быть произвольной, а может принимать лишь два значения, одно из которых очень мало (газообразное состояние), а второе очень велико (жидкое состояние). Никаких промежуточных значений у плотности нет, так что система частиц может находиться лишь в одном из двух стабильных состояний. Этот факт принципиален для любых физических теорий и экспериментов. Ученый не может сказать: «А хорошо бы расположить частицы так-то и так-то!» — поскольку при любых манипуляциях новое состояние окажется нестабильным и система частиц быстро перейдет в одно из двух разрешенных состояний. В коллективном поведении возникают собственные ограничения!

Вернемся к вопросу о непрерывности состояний, тем более что именно эту проблему решал ван дер Ваальс в своей докторской диссертации. Его теория предсказывала, что с ростом температуры разница между двумя упомянутыми значениями плотности (для жидкого и газообразного состояний) уменьшается и, наконец, при некоторой критической температуре исчезает вовсе. После этого текучая среда может существовать лишь в одном устойчивом состоянии, которое нельзя назвать ни газом, ни жидкостью, а только флюидом. Предсказание существования критической точки стало одним из главнейших достижений ван дер Ваальса.

Не вдаваясь глубже в теорию ван дер Ваальса, можно выделить в ней то, что имеет особое значение для темы данной книги. Некая неожиданность и странность заключается в следующем обстоятельстве. При переходе газа в жидкость (или наоборот) с отдельными частицами вещества ничего не происходит, и молекулы остаются все такими же маленькими твердыми шариками, притягивающимися друг к другу вследствие собственных короткодействующих сил. Каждый шарик остается прежним, но коллективное поведение системы шариков изменяется неожиданно и драматично: буквально мгновенно разреженный газ превращается в плотную, вязкую жидкость. В молекулы не •«заложена» никакая информация или инструкция для конденсации или испарения, но тем не менее фазовые переходы происходят мгновенно в больших системах, как если бы все частицы обладали разумом и «сговорились» сделать что-то сообща и сразу. Мы не можем выбрать какую-то частицу и утверждать, что она «склонна превращаться в жидкость». Все частицы одинаковы, и мы можем лишь наблюдать за закономерностями их массового поведения.

Ван дер Ваальс смог определить, что необходимо для такого коллективного поведения. На первый взгляд учет сил взаимного притяжения достаточен для объяснения перехода в жидкое состояние, но в действительности ситуация обстоит значительно сложнее, и следует говорить о сложном равновесии между притяжением и отталкиванием частиц. Ван дер Ваальс полагал, что отталкивание молекул является своеобразным отражением их теплового движения. Но на самом деле понятие отталкивания возникало в его теории сразу после учета размеров молекул, поскольку наличие собственного объема ограничивает возможности их сближения, другими словами, невозможность для частиц проникать друг в друга эквивалентна определенным силам отталкивания. Это представляется почти очевидным, но если мы пренебрежем размерами молекул и заменим их материальными «точками», то ничто не будет препятствовать их сближению до сколь угодно малого расстояния.

Фазовые переходы являются следствием компромисса или баланса различных сил. Равновесие сил отталкивания и притяжения создает устойчивое жидкое состояние. При повышении роли сил, способствующих разрушению порядка в системе, прежде всего за счет нагрева, более стабильным становится газообразное состояние. При этом переход происходит не постепенно, а катастрофически быстро. В качестве наглядного примера читатель может представить себя сход оползня или лавины. Именно такой процесс и можно назвать Великий А-Бумм!

ОБЪЕДИНЯЮЩИЙ ПРИНЦИП

Теория ван дер Ваальса значительно расширила круг интересов статистической механики, включив в него рассмотрение жидкого состояния вещества, а ее автор заслуженно удостоился мировой славы. Максвелл писал, что «ван дер Ваальс, несомненно, станет одним из самых авторитетных ученых в молекулярной физике»⁷. В 1910 году ван дер Ваальсу была присуждена Нобелевская премия. В то же время его теория не внесла окончательной ясности в проблему, так как она объясняла лишь некоторые фазовые переходы и не позволяла, например, описать замерзание и плавление, относящиеся к превращениям жидкости в твердое тело, и наоборот. Однако в дальнейшем эта теория нашла широкое применение в других разделах физики.

Дело в том, что проблема фазовых переходов неожиданно оказалась связанной с множеством других процессов. Например, еще с древности былс известно, что магниты теряют намагниченность при нагревании и восстанавливают ее при охлаждении. Для магнитного железа такое превращение происходит при нагреве до 770 °С, что умели делать даже средневековые кузнецы В том же самом 1873 году, когда ван дер Ваальс защитил свою диссертацию английский физик Уильям Баррет предположил, что размагничивание прѵ нагреве происходит не постепенно, а сразу и при определенной температуре что, естественно, напоминало фазовые переходы.

В 1889 году Джон Хопкинсон из лондонского Кингз-колледжа, оцениі количественно потерю магнитных свойств при нагреве, получил чрезвычайно интересный результат: математическое описание этого процесса соответствовало взаимопревращению жидкость—газ вблизи критической точки. Очені часто это открытие приписывают знаменитому французскому физику Пьер} Кюри (мужу Марии Кюри), который действительно получил такой же результат в 1895 году, и поэтому француз Пьер Вейс, создавший в 1907 году теорик магнитных переходов, даже назвал температуру магнитного фазового переходе точкой Кюри, в память своего друга, погибшего в дорожной аварии[34].

Атомы в твердом теле, например в куске железа, располагаются вовсе не хаотически, как в жидкостях и газах, а вполне упорядоченно и почти неподвижно (подобно яйцам в специальной упаковке, продаваемой в любом магазине). Тем не менее Вейсу удалось применить для таких упорядоченных систем подход ван дер Ваальса, разработанный для флюидов вблизи критической точки. Как же так?!

Чтобы понять это, нам необходимо рассмотреть модель магнетизма, предложенную в 1920-х годах, уже после работ Вейса, немецким физиком Вильгельмоіѵ Ленцем. Кусок железа проявляет магнитные свойства потому, что каждый и: составляющих его атомов железа ведет себя подобно крошечному магниту. Читатель может представить себе атомы в виде маленьких намагниченных иголок которые обладают свойством выстраиваться в линию друг за другом. Физике называют такую «атомную иголку» спином, хотя ни о каком реальном вращение «иголки» речи при этом не идет (английское spin означает вращение). В куске железа направление каждого такого спина определяется совместным магнитньпѵ полем, создаваемым окружающими его спинами или атомами. При этом, однако каждый из спинов и сам воздействует на ближайшее окружение, т.е. на атомы і ближайших узлах кристаллической решетки. Обычно магнитное взаимодействие заставляет «иголки» выстраиваться в соответствии с окружением. Наиболее стабильным состоянием атомной решетки при этом является ситуация, когд< все «иголки» направлены в одну сторону. В этой конфигурации очень малые магнитные поля отдельных атомов складываются и создают совместное, довольно мощное магнитное поле, проявления которого мы и замечаем.

Но любой нагрев такого образца нарушает упорядоченность атомов в полной аналогии с нарушением равновесия сил притяжения в жидкости. Тепловое воздействие как бы встряхивает решетку магнитных иголок, нарушая согласованность их взаимной направленности. При этом сами атомы еще сохраняют порядок в решетке, но направления их спинов разупорядочива- ются, в результате намагниченность образца в целом резко уменьшается.

Является ли предлагаемая модель размагничивания аналогом испарения жидкости? Не очевидно. С одной стороны, описываемый магнитный переход тоже происходит при строго определенной температуре (точке Кюри), однако с другой — он не является столь резким, т. е. уменьшение намагниченности в окрестности этой точке происходит постепенно. Поэтому представляется более правдоподобным, что точка Кюри скорее соответствует критической точке в системе «жидкость—газ», где различия между этими состояниями вещества становятся незаметными.

Это превращение и есть настоящий фазовый переход, так как свойства вещества четко изменяются: ниже точки Кюри — магнит, выше — не магнит. Но это другой тип фазовых переходов, отличный от испарения, конденсации, плавления и замерзания вещества, поскольку при нем не происходит скачкообразного изменения наблюдаемых характеристик объекта. Поэтому фазовые переходы, происходящие в критических точках, физики, вполне естественно, называют критическими фазовыми переходами, а иногда, по их физическим резонам, фазовыми переходами второго рода. Те же фазовые переходы, в которых макроскопические характеристики образца, например, плотность, изменяются скачком, называются фазовыми переходами первого рода (рис.4.1).

Рис. 4.1. Два разных типа фазовых переходов: а) при критических фазовых переходах (переходах второго рода) некоторые характеристики системы, например, намагниченность, постепенно уменьшаются до нуля при изменении некоторого «контрольного параметра», например, температуры; б) при фазовых переходах первого рода (типа замерзания или кипения жидкости) в точке перехода скачком изменяются некоторые характеристики вещества, например, плотность. Оба типа фазовых переходов нашли отражение в социальной физике.

Ленц придумал для описания магнитных фазовых переходов очень простую обобщающую модель, в рамках которой ориентация атомных магнитов менялась не непрерывно, а скачком, так что они могли принимать лишь два противоположных положения (условно: вверх или вниз). Таким образом, два соседних спина моіуг быть направлены только одинаково или противоположно, без всяких промежуточных состояний. Некоторые магнитные материалы действительно ведут себя в соответствии с предложенной моделью, забавно, но к этим материалам не относится железо, на основе изучения которого и возникла модель. Кроме этого, Ленц предположил, что любой атом в регулярной решетке способен воздействовать своим магнитным полем только на ближайших соседей.

В 1925 году студент Ленца Эрнст Изинг сумел описать поведение такой модельной системы атомов в простейшем случае. Понятно, что кристаллическая решетка реального магнита представляет собой упорядоченную трехмерную структуру, в которой у каждого имеется достаточно много «соседей». Существенно проще выглядит двумерный магнит, в котором атомы располагаются в перекрестьях плоской решетки, и каждый атом имеет всего несколько «соседей». Изинг упростил модель расположения атомов до формально простейшего случая одномерного магнита, когда атомы располагаются вдоль прямой линии, и каждый из них может взаимодействовать лишь с двумя непосредственными «соседями». Разумеется, такой подход является крайним упрощением для описания реальных, обладающих объемом кусочков железа, поэтому полученные Изингом на основе расчета такой системы результаты сперва показались разочаровывающими, так как получалось, что фазовый переход в таких одномерных магнитах может происходить лишь при абсолютном нуле (-273 °С). Только в этом случае направления всех спинов совпадали, но при малейшем нагреве порядок нарушался, и одномерная цепочка теряла свою намагниченность.

Сам Изинг никогда и не пытался добиться в физике чего-то большего. Окончив университет, он стал школьным преподавателем физики в Германии, а затем (после принятия антисемитских законов Гитлера в 1938 году) эмигрировал в США, где продолжал преподавать физику и умер глубоким старцем в возрасте 98 лет. Но на его долю выпало поразительное научное бессмертие, так как позднее модели, основанные на представлениях о «решетке» атомных магнитов, не только получили широчайшее распространение в разных разделах статистической физики, но и получили название моделей Изинга, хотя саму модель предложил Ленц.

Огромное значение модели Изинга состоит в том, что она позволяет описать разрушение системы частиц, связанных короткодействующими силами или взаимодействиями между отдельными частицами при тепловом воздействии. Для создания более реалистических описаний явлений окружающего мира эту модель, естественно, следовало распространить хотя бы на двумерные системы. Эта задача оказалась настолько трудной, что над ней ученые трудились более двадцати лет.

Рис. 4.2. Модель Изинга, предложенная для описания магнитных материалов:

а) «магнитные стрелки», или спины атомов, могут иметь лишь два противоположных направления. Атомная решетка может быть одномерной, двумерной (как показано на рисунке) или трехмерной. В намагниченном состоянии направления всех спинов совпадают, а выше критической температуры (под воздействием нагрева) становятся случайными, в результате чего материал теряет намагниченность. Аналогичная модель может быть использована для описания фазовых переходов между жидкостью и газом, когда они в критической точке образуют единое состояние флюида;

б) модель с двумя видами узлов решетки: занятыми (что соответствует конденсированному, жидкому состоянию вещества) и незанятыми (газообразное состояние). Выше критической точки такое вещество существует во флюидном состоянии с промежуточной плотностью.

Для объяснения поведения двухмерной (2-D) решетки Изинга норвежскому физику JIapcy Онсагеру (1903-1976) пришлось придумать чуть ли не новый раздел математики, что удалось сделать только к 1942 году[35]. Новая, двумерная модель магнита, напоминающая шахматную доску (рис. 4.2 а), в отличие от одномерной (1-D) не только позволяла получить фазовый переход от магнитного к немагнитному состоянию вещества при температурах выше абсолютного нуля, но и предсказывала критическую температуру перехода, значение которой было близко к точке Кюри для реальных магнитных материалов. Решения возникающих при этом задач оказались очень сложными, а разработка трехмерной модели, наиболее соответствующей физическим объектам, пока остается несбыточной мечтой теоретиков.

В наши дни ученые, сталкиваясь с неодолимыми задачами, не вздымают руки вверх, а опускают их на клавиатуру компьютера. Пусть алгебраические уравнения, описывающие трехмерную модель Изинга, пока не поддаются аналитическому решению, поведение 3-D систем можно моделировать на ЭВМ. В каком-то смысле это напоминает предсказания метеорологов, которые не могут точно решать сверхсложные уравнения, описывающие поведение атмосферных потоков, но могут приближенно рассчитать на компьютерах наиболее вероятные события. Поэтому неудивительно, что расчеты 3-D моделей Изинга чрезвычайно популярны в исследованиях фазовых переходов второго рода.

Однако необходимо еще раз обратиться к довольно сложному вопросу, почему ученые придавали столь большое значение аналогии между фазовыми переходами второго рода в жидкостях и магнитных материалах (физики называют их магнетиками). Конечно, в строении этих систем наблюдается некоторое общее сходство на атомарном уровне, однако нельзя не отметить и весьма существенные различия. Предположение, что эта аналогия означает нечто большее и решетка Изинга может использоваться в качестве грубой модели флюидов, высказал японский физик С. Оно в 1947 году, основываясь на присущей этим объектам «бинарности». Кстати, в двумерной модели читатель может представить себе вместо регулярной решетки атомов с противоположно направленными спинами (только вверх или вниз) эквивалентную, но гораздо более наглядную картину типа шахматной доски (рис. 4.2 б), в которой направления атомных спинов заменены цветом клеток или где темная клетка, например, соответствует занятому состоянию (или более плотному, жидкости), а светлая — незанятому (газообразному). Но задача заключается не только в выборе наглядных описаний, а содержит и более серьезные проблемы.

Дело в том, что между фазовыми переходами в этих двух разных системах обнаруживается довольное неожиданное и более глубокое сходство, о котором я упомяну здесь лишь в общих чертах (более подробно эти вопросы рассматриваются в гл. 10). Уже упоминалось, что при приближении к критической точке разница в плотностях жидкости и газа стремится к нулю. Более того, эту тенденцию можно описать количественно, т.е. точно вычислить, что если, например, при температуре, соответствующей 99% критической, отношение плотностей равно 2 (это означает, что плотность жидкости вдвое выше плотности газа), то при температуре 99,5% критической это отношение уменьшится до 1,5, и т.д. Для каждого флюида можно определить характеристическую скорость приближения к критической точке.

Сюрпризом для ученых оказалось, что почти так же ведут себя и магнитные материалы при приближении к точке Кюри (естественно, в них к нулю стремится не разность плотности, а общая намагниченность образца). Еще более неожиданным стало то, что скорости приближения к нулю этих разных характеристических параметров почти точно совпадают. Компьютерные расчеты для 3-D решеток Изинга показали, что и для них наблюдается аналогичная скорость «критического поведения», хотя решетка Изинга представляется всего лишь грубой моделью поведения флюидов и магнетиков. Эти три случая сильно различаются и по сути, и в деталях, но тем не менее демонстрируют совершенно одинаковые траектории «критического поведения».

Физики называют подобное сходство универсальностью, желая подчеркнуть, что в окружающем нас мире существуют процессы, протекающие одинаково и малочувствительные к конкретным деталям. Странно уже то, например, что кривые, соответствующие совершенно разным флюидам, таким как двуокись углерода и метан, с разными критическими температурами, ведут себя вблизи температуры фазового перехода одинаково. Тем более странно, что такие же кривые можно получить, изучая фазовый переход в некоторых классах магнитных материалов.

Это заставляет нас предположить, что фазовые переходы — общие явления: они протекают аналогично для совершенно разных систем. Поэтому физики могут часами обсуждать на своих семинарах проблемы фазовых переходов первого рода, и никто из них даже не спрашивает, о чем конкретно идет речь (о замораживании, испарении и т.д.), так как специалистам ясно, что доводы и выводы относятся к целому классу явлений. Специалисты по городскому движению тоже обсуждают проблемы автомобильных пробок, не конкретизируя названия улиц и перекрестков, как не имеющих особого значения при рассмотрении общих задач.

Сказанное может показаться очень широким обобщением наблюдаемого сходства переходов во флюидах и магнитах, однако проблема фазовых переходов содержит в себе еще много других неожиданностей.

ВБЛИЗИ НУЛЯ

Теория ван дер Ваальса позволила в общих чертах описать поведение жидкостей и газов при температурах вблизи критической точки, а также связанные с этим фазовые переходы. Разумеется, ученых гораздо больше интересовала возможность применения теории для расчета фазовых диаграмм и изменений конкретных веществ, так как флюиды чрезвычайно различаются по своим характеристикам. При одних и тех же условиях вода представляет собой жидкость, а диоксид углерода — газ, диоксид углерода конденсируется[36] при значительно более высокой температуре, чем азот, и т.д. Но теория ван дер Ваальса показала, что все эти характеристики могут быть обобщены, исходя из представления о критических точках системы.

Возвращаясь к разговору о распределении случайных величин, предположим, что кто-то задался целью измерить и обобщить данные о росте всех лондонских школьниц определенного возраста, например, от 12 до 14 лет. Вспомнив материал гл. 3, читатель может с уверенностью предсказать, что полученные результаты должны уложиться на колоколообразную кривую ошибок (рис. 3.2), где количество учениц определенного роста сначала возрастает до некоторого среднего значения, а затем падает. Расширив масштабы данного биометрического исследования и замерив рост школьниц Лондона, статистик получит кривую той же формы, но более высокую, что объясняется просто большим абсолютным числом измерений. Расширение исследования до масштабов всей страны также наверняка не изменит форму кривой распределения, а приведет лишь к соответствующему возрастанию всех значений.

Постоянство кривой объясняется сохранением пропорционального состава. В нашем случае это означает, что доля девочек, рост которых на 5 сантиметров[37] ниже среднего, почти одинакова по всей стране. Таким образом можно свести все колоколообразные статистические распределения в единую «главную кривую», описываемую не абсолютными числами, а относительными величинами: доля девочек с ростом 130 сантиметров, 135 сантиметров и т.д.

Проведя аналогичные измерения роста мальчиков, мы получим ту же по форме кривую, которая будет несколько сдвинута по горизонтали вправо, что объясняется тем, что мальчики в среднем чуть выше девочек того же возраста[38]. Таким образом, мы как бы получаем две «главные кривые» (для девочек и мальчиков отдельно), однако ничто не мешает нам продолжить обобщение, т. е. свести их к единой кривой, используя относительный рост измеряемых вместо абсолютного. Эта кривая будет описывать отклонения (в процентах) роста мальчиков и девочек от среднего значения.

Примерно так же поступил ван дер Ваальс, используя такое же изменение масштабов фазовых кривых жидкостей и газов. Ему посчастливилось обнаружить, что соотношения между давлением, температурой и плотностью различных веществ после правильно проведенного масштабирования укладываются на одну и ту же «главную кривую», если только эти значения выражены в величинах, соотнесенных с параметрами критической точки. Относительная температура при таком подходе, например, выражается отношением реальной температуры к значению температуры критической точки и т. д. При использовании этого подхода, получившего название принципа соответственных состояний, все жидкости и газы оказываются аналогами «главного флюида», свойства которого описываются параметрами, «привязанными» к критической точке. Изменение масштаба определяется свойствами частиц (молекул) конкретной среды. Теория ван дер Ваальса позволяет на основании данных о составляющих среду молекулах рассчитать критические значения давления, температуры и плотности. Характеристиками молекул являются их размеры, а также интенсивность и дальность действия упоминавшихся сил молекулярного притяжения.

Директором Физической лаборатории в Лейдене, где работал ван дер Ваальс, был Хайке Каммерлинг-Оннес (1853-1926). Принцип соответственных состояний заинтересовал его с сугубо практической точки зрения, так как он позволял предсказывать поведение флюидов при температурах, далеких от критической точки. На основании данных о критических параметрах — температуре, плотности и давлении — для конкретного вещества можно перестроить «главную кривую», получив тем самым для него соотношение между температурой, плотностью и давлением в очень широком диапазоне существования стабильного жидкого состояния. Собственно, Каммерлинг-Оннеса интересовала проблема сжижения газов, т.е. их превращения в жидкости.

Возможно, это было обусловлено тем, что физикам никак не удавалось получить жидкий гелий, несмотря на бурное развитие криогенной техники. Исходя из экспериментальных данных о поведении гелия при температурах выше критической точки и уравнений ван дер Ваальса, Каммерлинг-Оннес сумел предсказать, что точка сжижения гелия должна лежать в диапазоне температур от 5 до 6 градусов выше абсолютного нуля[39]. Предсказание оказалось достаточно точным, гелий сжижается при атмосферном давлении при 4,2 К. Каммерлинг-Оннесу удалось самому добиться столь низкого охлаждения в 1908 году.

Располагая жидким гелием, Каммерлинг-Оннес продолжил исследования поведения других веществ при таком экстремальном охлаждении. Физики предполагали, что при очень низких температурах, когда тепловые колебания атомов в решетке перестают воздействовать на движение электронов, электропроводность металлов должна значительно возрастать. В 1911 году, изучая поведение ртути при сверхнизких температурах, Каммерлинг-Оннес обнаружил новый замечательный эффект. Сопротивление металлов не просто спадало с понижением температуры, а неожиданно обращалось в нуль при температурах около точки кипения жидкого гелия. При этой температуре ртуть становилась сверхпроводником, т. е. вообще теряла электрическое сопротивление.

Позднее выяснилось, что многие другие металлы при температурах в области абсолютного нуля ведут себя так же, например, свинец обращается в сверхпроводник при 7,2 К.При этом превращение в сверхпроводник имело все характерные особенности фазового перехода второго рода, т.е. сопротивление уменьшалось до нуля по тем же законам, по которым железо теряло намагниченность при приближении к точке Кюри.

На этом история не закончилась, так как в 1937 году в Москве советский физик Петр Капица[40], охлаждая жидкий гелий до еще более низких температур, вдруг обнаружил, что при температуре чуть выше 2 К он начинает проявлять новые, совершенно непонятные свойства. Например, он теряет вязкость и, начав течь, уже никогда не останавливается, шокируя исследователей зрелищем жидкости, поднимающейся вверх по стенкам сосуда и переливающейся через край. Это состояние вещества было названо сверхтекучим.

Теоретическое объяснение сверхтекучести было дано в конце 1930-х годов[41], сверхпроводимости металлов — лишь в 1957 году. Как выяснилось, эти неожиданные и даже «экзотические» физические эффекты связаны с квантово-механическими законами и принципиально не могут быть описаны в рамках классической физики, которая действует при высоких температурах. Квантовая механика, как ни странно, не мешает упомянутым явлениям выступать в качестве очень наглядных примеров настоящих фазовых переходов, и оба эффекта демонстрируют последствия коллективного поведения частиц, обусловленного взаимодействиями на атомарном уровне. В большинстве учебников и книг по квантовой физике обычно подчеркивается, что она перевернула все представления «классической» механики, однако она не «перевернула» физику фазовых переходов и лишь позволила ярче выявить закономерности, характерные для низких температур.

В действительности теория фазовых переходов демонстрирует нам глубину фундаментальных представлений физики вообще. «Традиционная» квантовая механика, возникшая в 1920-х годах, оказалась недостаточной оля описания строения протонов и нейтронов, составляющих ядро атома. В 1970-х годах физики разработали новую теорию, названную квантовой хромодинамикой, в которой старые представления предстали в новом обличье. Например, на основе многих концепций классической статистической физики типа решеточных моделей Изинга вдруг вновь обнаружились резкие фазовые переходы, происходящие между субатомными частицами, т.е. скачкообразные процессы перестройки систем таких частиц. Многие космологи и астрофизики верят, что в течение ничтожных промежутков времени (буквально долей секунды) вся наша Вселенная после так называемого Большого Взрыва испытывала какой-то поразительный фазовый переход. Предполагается, что в период «расширения» происходил космический фазовый переход, в результате которого Вселенная и приобрела наблюдаемые сейчас гигантские размеры, хотя ее исходный объем был сравним с размерами протона. Вот это был А-Бумм!

ВРЕМЯ ИЗМЕНЕНИЙ

Читатель не должен думать, что все быстрые и неожиданные события происходят только благодаря фазовым переходам. Например, если кто-то включает свет в комнате, то этот мгновенный процесс не имеет никакого отношения к рассматриваемым нами проблемам. Характерной особенностью фазовых переходов является то, что они происходят сразу во всей системе (в этом смысле их можно назвать глобальными процессами), как бы в соответствии с тайным «заговором» всех элементов или частиц системы.

Таким образом, под фазовым переходом мы будем понимать неожиданное глобальное изменение поведения системы, происходящее за счет взаимодействия множества составляющих ее частиц, причем силы этого взаимодействия являются короткодействующими, иными словами, локальными. Поведение частиц в таких системах можно уподобить общению людей, которые имеют дело только со своими ближайшими соседями и не принимают во внимание события, происходящие вне этого окружения. Фазовый переход происходит после того, как некое внешнее воздействие, действующее на частицы, достигнет некоторого порогового значения. Именно этим объясняется кажущаяся внезапность фазовых превращений: до некоторого момента все частицы и система в целом, с точки зрения внешнего наблюдателя, ведут себя «нормально», а затем вдруг без всякого «предупреждения» (или почти вдруг, как будет показано далее) резко изменяют характер своего поведения.

Появление и развитие новых теорий значительно расширило рамки статистической механики, созданной Максвеллом и Больцманом со скромной целью описания поведения разреженных газовых систем, и превратило ее в обширную и важную область науки, получившую обобщенное название статистической физики. Традиционно она включает в себя разнообразные задачи, связанные с поведением объектов неживой природы, в частности, при фазовых переходах. Эпитет статистический в названии призван подчеркнуть, что исследуемые системы состоят из множества частиц, взаимодействие между которыми и приводит к усредненному поведению объекта в целом.

Современная статистическая физика далеко ушла от простых задач, связанных с газами в сосудах. В наши дни она описывает множество интереснейших и грандиозных явлений, причем очень часто в рамках статистической физики теории и идеи прошлых веков находят новые приложения и оригинальные интерпретации. Традиционно статистическая физика занималась изучением «необычных» процессов, к их числу можно отнести и многие явления динамически развивающегося мира, в котором мы живем. Термодинамика XIX века имела дело почти исключительно с равновесными состояниями и замкнутыми системами, в которые ничего не притекает, из которых ничего не исходит и в которых по большому счету ничего не изменяется. В следующей главе рассказывается о современной статистической физике, которая занимается изучением процессов рождения и гибели, составляющих течение жизни.