Критическая масса

В 1941 году американский киноактер Эдди Альберт снялся в фильме Ночные поезда вместе с блистательным Хэмфри Богартом. Сам Альберт практически неизвестен за пределами США, хотя он даже номинировался на премию «Оскар» за роль в Римских каникулах (вместе с Одри Хепберн и Грегори Пеком). Американские телезрители, возможно, помнят его по комедии положений Зеленые акры, некоторые эпизоды которой потом повторяли несчетное количество раз. Будучи не очень известным актером, Альберт проработал в Голливуде более полувека после отбытия Поездов и уже в 1989 году снялся вместе с Кевином Бэконом в фильме Большая картина.

Такая длительная карьера Альберта позволила связать актеров разных поколений и охарактеризовать их посредством Чисел Бэкона (ЧБ). Почему Бэкона, а не Альберта, станет понятным чуть позже, пока же объясним, что такое Число Бэкона. ЧБ, равное 1, присваивается актерам, которые когда-нибудь снимались в одном фильме с самим Кевином Бэконом, понятно, что Альберту следует по определению сразу приписать ЧБ = 1. Число Бэкона, равное 2, присваивается актерам, которые снимались в одном фильме с обладателями ЧБ = 1, поэтому Богарт имеет ЧБ * 2, поскольку он снимался в одном фильме с Альбертом, и т.д. Другими словами, ЧБ представляет собой количество «коллег», через которых актер мог быть связан работой с Бэконом. Актеров с ЧБ = 2 оказывается, естественно, достаточно много, хотя бы из-за совместных работ с тем же Альбертом. В их число, например, входят Джеймс Дин и Рональд Рейган, выступавшие с ним в телевизионной постановке Я — дурак (1953), Эррол Флинн, партнер Альберта по фильму Солнце встает (1957), и т.д.

Игра в нахождение таких чисел неожиданно приобрела большую популярность среди любителей и специалистов по истории кино в 1990-х годов и продолжается до сих пор. Смысл заключается в ее неоднозначности, так как можно построить очень много цепочек, и многим любителям кино доставляет удовольствие, например, вычислить кратчайший «маршрут», связывающий творчество Кевина Бэкона с той или иной кинозвездой, т. е. приписать ей минимальное ЧБ. И наконец, почему Кевин Бэкон? На этот вопрос нельзя дать вразумительного ответа, но я полагаю, что причина проста: Бэкон подобно тому же Эдди Альберту снялся во множестве фильмов, не будучи кинозвездой, и тем самым вдруг оказался той осью, на которую любителям удалось буквально нанизать историю американского кинематографа.

Удивительным моментом этой игры является поразительная плотность «сети знакомств», образуемой в процессе игры. За всю историю кино было снято около 150 тысяч фильмов, в которых участвовало около 300 тысяч актеров, занесенных в профессиональные списки. Удивительно, но практически всем им могут быть приписаны Числа Бэкона, равные или меньшие 3. В последний раз, когда я заходил на посвященный Бэкону веб-сайт университета штата Виргиния (http://www.cs.virginia.edu/oracle/), статистика выглядела следующим образом: 1686 имели ЧБ = 1 (т.е. когда-то снимались с ним в одном фильме), 133 856 человек имели ЧБ = 2 (то есть они когда-то где-то снимались с людьми, снимавшимися с самим Бэконом) и почти треть миллиона актеров (чудовищное число — 364 066) имела ЧБ = 3. В октябре 2003 года среднее ЧБ для всех американских киноактеров вообще (речь идет о базе данных Internet Movie Database, помещенной на веб-сайте http://www.us.imdb.com) составило 2,946. Казалось бы, эти цифры наглядно свидетельствуют о некой избранности самого Кевина Бэкона, делая его символом объединения киноактеров. Но давайте взглянем на эту статистику беспристрастным взглядом и попробуем понять, о чем она, в сущности, свидетельствует?

Прежде всего следует вспомнить, что описываемая игра вовсе не является новинкой, а существовала в разных формах довольно давно. Например, физики и математики практикуют собственную версию этой игры под названием чисел Эрдеша (ЧЭ), связанной с весьма известным, эксцентричным и плодовитым венгерским математиком Полем Эрдешем (1913-1996), автором сотен научных публикаций. Его поразительная работоспособность и продуктивность привели к тому, что у него оказалось множество соавторов, а сам Эрдеш стал центром своеобразного математического сообщества, чтобы не сказать мира[129]. В этом мире соавторы самого Эрдеша получают ЧЭ = 1, соавторы этих соавторов имеют ЧЭ = 2 и т. д. Предлагаемый алгоритм очень быстро приводит к учету не только «чистых» математиков, но и физиков, социологов и ученых любых других специальностей, вовлеченных в процесс последовательного соавторства. Например, Альберт Эйнштейн и Вернер Гейзенберг имели показатель ЧЭ, равный 2 и 4 соответственно, другой основатель квантовой механики, Эрвин Шредингер, почему-то имел удивительно высокое значение ЧЭ = 8.

Мое личное ЧЭ тоже равно 8[130]. Из этого, конечно, не следует, что как ученый я сравним по статусу со Шредингером, в два раза лучше Гейзенберга и в четыре — самого Эйнштейна. Я имею мало чисто научных публикаций и не обольщаюсь относительно их реальной ценности, а показатели типа ЧЭ просто демонстрируют мою связь (через других соавторов) с некоторыми великими учеными. Такая демонстрация почти ничего не означает, поскольку в научном мире (как и в мире кино) сеть связей оказывается исключительно густой, так что масса людей имеет очень близкие показатели, а цепочка до «великих имен» оказывается почти всегда очень короткой.

Расхожая истина: мир тесен. Каждому наверняка приходилось удивляться, когда случайный собеседник на вечеринке оказывается родственником школьного друга, жена знаменитого пианиста — сестрой соседки по подъезду, а незнакомый человек, как выясняется, когда-то хорошо знал вашу мать. Именно такие родственные и дружеские связи, пронизывающие социальную структуру, постоянно напоминают нам о малости и ограниченности окружающего нас мира.

Проблема высокой плотности разнообразных связей в любом обществе уже давно мучила социологов, но их заключения по этому вопросу носили большей частью случайный или даже анекдотический характер. Лишь в последние годы некоторые физики всерьез занялись проблемой связей, диктующих групповое поведение «малых миров», и начали изучать особенности этого характерного явления. Исследования быстро увели ученых от простых задач социальной динамики к гораздо более серьезным и важным проблемам, связанным с разнообразием соединений нейронов в мозгу человека, независимостью некоторых метаболических реакций в живом организме и с управлением энергосетями. Другими словами, во всех этих системах выявились некоторые универсальные закономерности, связанные с определенным типом сетей и цепочек. Изучая довольно простые модели таких сетей, мы неожиданно открываем связи и аналогии между весьма далекими системами и процессами.

Кстати, после анализа таких сетевых систем мы сможем выяснить нечто неожиданное относительно Кевина Бэкона, с рассказа о котором и началась эта глава.

ШЕСТЬ СТЕПЕНЕЙ

Трудность физико-математического описания сетей и отношений, образуемых друзьями, знакомыми и коллегами, связана не столько с их сложностью и непредсказуемостью, сколько с непостоянством и своеобразной зыбкостью. Английский читатель поймет меня, если вспомнит традицию посылать рождественские поздравительные открытки, что постоянно вызывает мучительные размышления при составлении списка адресатов. Достаточно ли близко я знаю Эмми, чтобы послать ей открытку? А вот Роджера я знаю куда лучше, но мы с ним уже несколько лет не встречались.

В случае с Числами Бэкона ситуация выглядит очень определенной, так как, приписывая кому-либо число, вы просто проверяете, кто и когда с кем снимался, хотя, разумеется, тут также моіут возникать технические проблемы и споры (некоторые кинолюбители, например, считают неверным включение в список телевизионных фильмов и постановок). Ответы на вопросы о дружбе и приятельстве тоже часто неоднозначны, спорны и не обладают, как говорят математики, взаимной однозначностью: я считаю Гарри близким другом, а он меня — просто знакомым. Более того, разбираясь в структурах таких сетей общественных связей, социологи неоднократно убеждались в том, что большинство людей очень плохо представляют и описывают свои отношения с окружением. Человеку трудно очертить круг дружеского общения, перечислить всех знакомых и т.д., не говоря уже о том, что эти сети постоянно меняются со временем, а дружеские связи непрерывно распадаются и формируются.

В 1970-х годах социолог Марк Грановеттер из университета Джона Хопкинса в Балтиморе указал на необходимость какой-то диверсифицированной оценки «силы» дружеских связей между людьми. Сильные дружеские связи довольно легко поддаются учету, но именно они, как оказалось, играют незначительную роль в создании общей структуры изучаемой сети. Легкость учета связана с тем, что обычно из друзей формируется устойчивый и прочный союз или группа (узкий круг), который социологи называют кластером, пользуясь распространенным физическим термином. По идее Грановеттера, основная проблема заключается в том, что важнейшую роль играют слабые, «приятельские» связи между кластерами, образующие глобальную сеть, как показано на рис. 15.1. Для оценки таких взаимодействий он предложил замысловатый термин «сила слабых связей», но именно эти слабые связи труднее всего поддаются учету и идентификации.

Социологи начали проявлять интерес к сети общественных связей еще в 1950-х годах, когда политолог Итель де Сола Пул и математик Манфред Кохен из Массачусетского технологического института (МТИ) попытались описать процесс формирования политических сил в обществе. Поставленные ими вопросы вовсе не были простыми, хотя и выглядели на первый взгляд наивными: каким образом отдельные личности могут добиться политической власти? Не управляют ли страной просто ближайшие друзья и советники президента, нашептывающие ему политические решения? А какова при этом роль, например, друзей самих этих друзей и советников президента? Кто обладает реальной властью? На каком «этаже» или уровне влияния формируется реальная политика страны?

Пул и Кохен попытались сформулировать общую теорию социальных сетей, предполагая, что многие люди связаны между собой гораздо сильнее, чем они сами думают. Они написали статью на эту тему, но даже не решились опубликовать ее (она была опубликована лишь в 1978 году), хотя работа распространялась неофициально и получила широкую известность. Одним из тех, кто ознакомился с этой работой, был психолог Стэнли Мильграм из Гарвардского университета, которому удалось на ее основе создать одну из самых известных и элегантных теорий общественных сетей. Мильграм провел собственный эксперимент для оценки эффективности общественных сетей, для чего разослал 196 почтовых пакетов разным людям в городе Омаха (штат Небраска) с просьбой переслать эти посылки заданному лицу, в качестве которого указывался биржевой маклер, проживающий в городке Шарон вблизи Бостона. Для пояснения условий эксперимента укажем, что Омаха была выбрана по соображениям максимальной удаленности от Бостона, а также то, что в сопроводительном письме не был указан точный адрес, а только приблизительное местожительство, профессия и имя адресата. Исходных получателей пакетов (Мильграм выбрал их случайным образом из адресной книги) просили каким-либо образом передать или переслать посылку своим друзьям, знакомым или коллегам, способным, в свою очередь, передать или переслать эту посылку конечному адресату. При каждой пересылке просьба повторялась, так что пакеты начинали случайное путешествие по сетям личных знакомств.

Некоторые люди, получив пакет, просто пересылали его своим знакомым брокерам, надеясь, что те быстрее и разумнее сумеют организовать доставку, однако большая часть, не предпринимая никаких систематических действий по установлению точного адреса, стала действительно высылать пакеты своим друзьям и знакомым, которые географически, социально или профессионально казались им удобными «пересылочными» пунктами. Каждый из невольных участников такой «дружеской» почтовой службы сообщал сведения о себе, что позволило позднее проследить все маршруты следования. Подытоживая результаты эксперимента, Мильграм писал: «Один мой очень умный друг предположил, что пакеты будут пересылаться около сотни раз, прежде чем попадут из Небраски в Шарон. Он здорово ошибся».¹ Оказалось, что практически все пакеты дошли до адресата в среднем через пять «рук», т.е. шесть пересылок.

Основной результат эксперимента сводился к тому, что в США практически любой человек связан с любым другим, случайно выбранным человеком цепочкой из пяти знакомых. Речь не идет о точном числе, так как многие маршруты пересылки, конечно, не были оптимальными, не говоря уже о том, что часть пакетов не дошла до адресата просто в силу бездеятельности отдельных людей. Однако сейчас никто не сомневается, что число знакомств для всеобщей связи населения США составляет от 5 до 7. Позднее это было подтверждено и знаменитыми экспериментами Мильграма 1970 года с пересылкой пакетов из Лос-Анджелеса в Нью-Йорк[131].

Хотя эти исследования были ограничены территорией США, они быстро получили международную известность, особенно после постановки в 1990 году пьесы Джона Гуара Шесть степеней разлуки[132], где один из персонажей говорит следующее:

Но настолько ли глубока и поразительна эта мысль? На свете есть множество вещей, которые представляются большинству людей странными и таинственными всего лишь потому, что они противоречат их интуитивным представлениям и ожиданиям. Например, люди полагают, что географическая удаленность соответствует каким-то значительным социальным различиям, хотя эта уверенность имеет мало разумных оснований. Задумайтесь, действительно ли ваш социальный статус сильно отличается от статуса многих жителей штата Небраска? Не живут ли в паре автобусных остановок от вас люди с иным социальным положением? Как вообще можно связывать расстояние с различиями в социальной сфере?

Вопросы чудные, если не сказать тривиальные. Но они перестают быть таковыми при движении в глубь проблемы. Возьмем в качестве примера касающиеся каждого из нас вопросы распространения инфекционных заболеваний. Ведь именно люди из нашего ближайшего окружения, с которыми мы постоянно вступаем в физический контакт, невольно снабжают нас микробами и вирусами, вызывающими болезни, которые весьма существенно меняют нашу жизнь. Предлагаю читателю задуматься о сложных связях при личных и сексуальных контактах, приводящих к распространению болезней типа СПИДа среди населения целых стран. Анализ механизмов распространения таких заболеваний дополнительно осложняется неоднозначностью последствий контакта, так как, например, человек может получить вирус СПИДа от сексуального партнера или остаться здоровым[133]. Как только эпидемиологи всерьез занялись этой проблемой, они немедленно уперлись в сложность выявления цепочки передачи инфекции и построения соответствующей социальной сети. Путем почти детективного исследования некоторые такие цепочки были идентифицированы, и сейчас известно, что одним из первых переносчиков СПИДа в Европе был норвежский матрос, заразившийся в начале 1960-х годов в Западной Африке, а затем передавший вирус множеству людей в Кельне и Реймсе, где он позднее долгое время работал водителем грузовика. Большую известность в свое время получила история гомосексуалиста Гаэтана Дюга (прозванного эпидемиологами пациентом Зеро), работавшего стюардом на авиалиниях и имевшего отношение как минимум к сорока наиболее ранним случаям заражения СПИДом в Калифорнии и Нью-Йорке.

Переходя к более приятным темам, отметим, что множество книг, пьес и мелодий в настоящее время получают известность не только благодаря правильно организованной рекламной кампании, но и просто слухам. Иногда этот механизм срабатывает в пользу аудитории, т. е., например, плохой, но широко разрекламированный фильм может провалиться в прокате, если любители распустят слух, что это «туфта». Настоящая проблема заключается в том, что в наш век массовых коммуникаций и глобальных информационных систем чрезвычайно трудно описать точный механизм распространения определенных культурных ценностей и идей. Но несомненно, что социальные сети принимают в этом участие, а еще несколько десятилетий назад именно межличностные контакты лежали в основе такого распространения. Возможно, что проблема обмена информацией (в сетях и между людьми) является основной для всех процессов глобализации.

МЕЖДУ ПОРЯДКОМ И ХАОСОМ

Уже отмечалось, что Пол Эрдеш стал идеальным объектом для «игры в связи» между математиками благодаря своей общительности и продуктивности. Удивительно, но он умудрился еще и стать основателем связанной с этим серьезной математической теории, так как именно он в 50-60-х годах прошлого века занялся теорией сетей, и многие его пионерные работы до сих пор сохраняют свою ценность, в том числе и для социологов, которые все чаще пользуются аппаратом этой теории. Вместе со своим коллегой Альфредом Реньи (который, естественно, имеет число Эрдеша, равное 1) ему удалось развить теорию так называемых случайных графов.

Рис. 15.2. Типичный граф (а) для некоторой сети связей представляет собой набор точек (вершин), соединенных линиями (ребрами). На рисунке б представлена лишь очень небольшая часть обширного графа, описывающего множество киноактеров, которые играли в фильмах с участием Кевина Бэкона, в фильмах с участием его партнеров и т.д. Список соответствующих фильмов читатель может найти в примечаниях.

Графами математики называют систему точек, связанных линиями, как показано на рис. 15.2, а. Точки называются вершинами, а связывающие их линии — ребрами графов. При всей простоте этой абстрактной картины она может описывать, в сущности, огромное многообразие систем и ситуаций. Например, вершины могут соответствовать городам, а ребра — соединяющим их дорогам, в результате чего мы получаем картину транспортной системы страны или области. Мы можем подойти к картине по-иному, обозначив вершины именами киноактеров и соединив их ребрами, символизирующими совместные съемки любой такой пары актеров, что, кстати, сразу выводит на задачу о числах Бэкона, с разговора о которой начиналась эта глава. Кевин Бэкон будет располагаться в центре такой схемы, а все остальные актеры будут связаны с ним ребрами, количество которых и будет точно соответствовать всем числам, которые находят любители игры (рис. 15.2, б). В любом случае граф позволяет точно описать все связи между понятиями, соответствующими его вершинам.

Правила построения графа легко сформулировать для случая, когда вершины соответствуют городам, а ребра — соединяющим их дорогам. Если расстояния и направления ребер правильно отражают протяженность и направленность дорог, то мы получаем простейшую географическую карту. Для графа, описывающего степень прямого взаимодействия киноактеров (рис. 15.2, б), правила построения определить гораздо сложнее. При построении такого графа непонятно, какую степень близости следует приписывать соседним вершинам графа (в нашем конкретном случае, например, паре актеров Кевин Бэкон — Эдди Альберт), не говоря уже о том, что в описываемой структуре вообще нет никакой направленности. Должен ли Джек Николсон (обладатель ЧБ = 1 за участие в фильме A Few Good Men, 1992) располагаться на том же расстоянии, что и Альберт? Проще всего расположить актеров с одинаковым значением ЧБ на одинаковом расстоянии от центра и не придавать значения направленности ребер, однако мы быстро обнаружим, что это не работает, потому что мы не сможем соединить двух актеров ребром заданной длины, так как они уже разнесены слишком далеко другими связями. Впрочем, напомню читателю, что ничто не обязывает нас рисовать граф на плоскости, так что мы вполне можем построить гораздо более удобный граф в трехмерном пространстве, где он будет напоминать дерево или строительную конструкцию. Более того, поскольку математикам, вообще говоря, безразлично, в пространстве скольких измерений они работают, то что, собственно, мешает нам построить очень красивую десятимерную веб-страницу для любителей кино и чисел Бэкона?

На самом деле в теории графов действительно не важно, каким образом будет изображена диаграмма связей различных актеров, так как при построении необходимо лишь строго следить, чтобы ребра графа точно отражали совместные съемки актеров в одном и том же фильме. Вид графа для математиков не очень важен, поскольку его важнейшие особенности полностью описываются так называемой топологией системы взаимодействий. Абсолютно разные по внешнему виду на рисунке графы могут оказаться топологически идентичными, т. е. математически одинаковыми. В некоторых случаях длины и направления ребер не играют никакой роли, поскольку они отражают только наличие связей между своими вершинами (такие графы называются реляционными). Кроме этого, существуют и так называемые пространственные графы, в которых положение вершин, а также направленность и длина ребер соответствуют реальным параметрам. Разумеется, очень часто мы сталкиваемся со схемами городов, которые, строго говоря, не являются пространственными графами. В качестве примера можно привести схему линий лондонского метрополитена (рис. 15.3), которая позднее стала образцом для многочисленных подражаний. Этот чертеж, созданный Гарри Беком в 1931 году, представляет собой отличный пример реляционного графа, но одновременно содержит и некоторые полезные признаки пространственного графа. Положения станций на схеме лишь приблизительно соответствуют их настоящему географическому расположению, расстояния между станциями приведены примерно, а направления линий метро указаны весьма неточно. Но такая схема очень полезна, поскольку позволяет легко ориентироваться в сложной системе и находить нужные пункты пересадок.

Рис. 15.3. Схема лондонского метрополитена в виде типичного реляционного графа. Положения станций (вершины) и расстояния между ними лишь приблизительно соответствуют истинным значениям. Серая линия в нижней части рисунка условно обозначает русло Темзы.

В случайных графах, изученных Эрдешем и Реньи, вершины графа соединяются случайным образом, т.е., например, при построении графа с шестью пронумерованными вершинами вы бросаете две кости и соединяете ребром две вершины, номера которых соответствуют выпавшим цифрам. Если каждая из вершин при этом оказывается связанной хотя бы с одной другой, то граф может быть назван полностью связным (рис. 15.4), и в нем можно осуществить переход из каждой вершины в любую другую (в качестве примера можно привести схему лондонского метро). В общем случае существует несколько путей, соединяющих две вершины, и возникает проблема нахождения наиболее короткого маршрута, чем обычно и озабочены пассажиры.

Частично связный граф Полностью связный граф

Рис. 15.4. Случайный граф считается полностью связным, если все его вершины связаны в единую сеть (б). В противном случае некоторые вершины (или даже кластеры вершин) остаются изолированными, как показано на рисунке а.

Еще в начале 1950-х годов некоторые социологи, занявшиеся приложениями теории графов (например, группа Анатоля Рапопорта в университете Чикаго), заподозрили, что графы социальных отношений и связей по своим топологическим особенностям относятся к классу случайных. Предположение оказалось не очень правильным, но очень плодотворным, поскольку случайные графы стали прекрасной моделью для понимания основополагающих структур в таких отношениях. Кроме того, Эрдеш и Реньи уже разработали очень удобный математический аппарат для исследования графов этого типа.

Свойства таких структур описываются, естественно, в терминах статистики, поскольку соединение вершин с самого начала осуществляется случайным образом. При большом числе вершин (достаточно ста) вероятность получения одинаковых графов за счет случайного совпадения соединения вершин становится пренебрежимо малой. Аналогично тому как в статистической физике нас интересовало не поведение конкретных молекул, а связанные с этим поведением усредненные характеристики газа в целом, при изучении случайных графов с большим числом вершин мы также можем ограничиться исследованием только среднего числа связей на вершинах. Естественно, что наиболее интересной и важной характеристикой является статистическое распределение вероятностей для этого числа по всей системе. Эрдеш и Реньи показали, что оно представляет собой привычную колоколообразную кривую Гаусса, пик которой соответствует среднему числу связей. Разумеется, среднее значение зависит от числа ребер графа, но для определенного случайного графа оно является вполне конкретным.

К иному (точнее сказать, противоположному) типу графов относятся регулярные решетки с одинаковыми вершинами, соединенными одинаковыми ребрами (рис. 15.5). Естественно, что математическое описание таких «упорядоченных» графов выглядит значительно проще, чем случайных. Кроме того, в этом случае не имеет смысла говорить о среднем числе ребер, так как каждая вершина, за исключением граничных или угловых, имеет одинаковое число связей (четыре для показанного на рисунке графа).

Упорядоченные и случайные графы обладают очень разными свойствами. В теории графов вообще чрезвычайно важен вопрос средней длины пути (маршрута), связывающего две случайно выбранные вершины. Эта величина называется характеристической длиной, а ее статистический смысл соответствует среднему числу пересылок пакета из Небраски в Бостон в описанном эксперименте Стэнли Мильграма. В упорядоченных графах характеристическая длина маршрута обычно довольно велика, потому что передвижение состоит из маленьких одинаковых шажков между ближайшими вершинами. В случайном графе всегда существует некоторая вероятность того, что исходная точка маршрута связана «длинной» прямой связью с вершиной, находящейся поблизости от точки назначения. Существует множество таких «коротких» путей, и соответственно характеристическая длина уменьшается по сравнению с упорядоченными графами. Более того, добавление дополнительных вершин не приводит к увеличению характеристической длины для случайных графов (в отличие от упорядоченных) и даже повышает вероятность нахождения еще более короткого маршрута.

На первый взгляд кажется очевидным, что социальные сети для небольших групп населения (типа нарисованной схемы связей между киноактерами) должны относиться к классу случайных. Идея выглядела вполне разумной, учитывая явно случайный характер многих социальных связей, и многие социологи стали рассматривать ее в качестве основы построения социальных сетей. Однако в 1998 году двое ученых из Корнельского университета (Стивен Строгац и его студент Дункан Ватте) показали, что социальные сети не относятся к случайным графам, а образуют собственный класс, промежуточный между упорядоченными и случайными графами. Такие структуры, лежащие где-то между полным беспорядком (в случайных графах) и полным порядком (в упорядоченных графах), были очень удачно названы авторами сетями малых миров.

ПЕЩЕРНЫЕ ЛЮДИ И ПОСЕТИТЕЛИ ЧАТОВ

Дружба обычно является взаимосвязанной, т. е. большинство моих друзей чаще всего дружат или хотя бы хорошо знают друг друга. Другими словами, я и мои друзья образуем то, что можно назвать социальным кластером; разумеется, каждый из нас входит в несколько таких кластеров. Именно наличие таких кластеров не позволяет использовать для описания структуры общества случайные графы, так как в таких системах случайны все образующиеся связи, в результате чего двое моих близких могут ничего не знать друг о друге, что явно нереально. С другой стороны, упорядоченные графы с самого начала содержат некие кластеры благодаря заданному числу ребер у каждой вершины[134], соединяющих ее со всеми ближайшими соседями. В такой системе велика вероятность, что близкие «друзья» будут располагаться группами.

Строгацу и Ваттсу удалось в конце 1990-х годов найти новый подход к задаче об образовании кластеров, позволяющий удачно моделировать многие явления в социальных сетях. Интересно, что вначале исследователей интересовала вовсе не социология, а зоология, так что они планировали применить модель лишь для описания синхронизации поведения групп животных. Такая синхронизация, или подражание, свойственна и людям, поэтому неудивительно, что исследования быстро привели Строгаца и Ваттса к социальным сетям, концепция которых только-только начала разрабатываться.

Прежде всего они теоретически представили два диаметрально противоположных типа человеческих сообществ. В первом из них все люди разбиты на небольшие разрозненные группы, не связанные с посторонними. Такие изолированные и замкнутые сообщества являются довольно распространенными, например, служащие некоторых японских фирм настолько зациклены на работе, что круг их социальных контактов ограничивается коллегами. Однако авторы модели предпочли другую, более яркую аналогию: они назвали группы этого типа «мирами пещерных людей», подразумевая небольшие и почти изолированные группки первобытных людей, занимающих отдельные пещеры и остерегающихся любых чужаков. На самом деле такой образ жизни сохранялся довольно долго, и еще во времена Томаса Гоббса многие английские деревни представляли собой, в сущности, такие замкнутые малые миры. Описывая такие сообщества графами, можно сразу заметить, что они имеют очень высокую внутреннюю связность, но не связаны друг с другом (рис. 15.6, а). Даже при частичном и искусственном соединении таких «пещер» друг с другом (рис. 15.6, б) связность системы в целом повышается лишь незначительно. После соединения получается граф с очень высокой степенью кластеризации и большим значением характеристической длины.

Аналоги другой, противоположной социальной структуры следует искать не в далеком прошлом, а в настоящем и будущем. Еще в 1957 году известный фантаст Айзек Азимов написал роман Голое солнце, где изобразил общество будущего, в котором люди общаются друг с другом исключительно при помощи роботов и компьютеров. В придуманной автором стране Солярии расстояние не играет никакой роли при общении, а дружеские связи становятся виртуальными, слабыми и почти незаметными, поскольку люди начинают дружить (или, наоборот, прекращают общаться) очень легко, кроме того, новые дружеские связи завязываются независимо от уже существующих. Описание такого общения соответствует связям в случайных графах, где почти не образуются устойчивые кластеры. В качестве наиболее простого примера можно привести чаты в Интернете, куда посетители заходят свободно или даже случайно, поскольку это не требует от них никаких усилий.

Для сравнительного анализа двух столь разных структур Строгац и Ватте оценили вероятность того, что два человека познакомятся, в зависимости от количества их общих друзей. В пещерном мире два человека, имеющие общего друга, гарантированно знакомы, так как принадлежат к одному клану, а в Солярии множестве друзей и знакомых каждого человека не знают друг о друге.

Понятно, что наше общество по своему устройству лежит где-то между этими крайними формами. Вот только где?

Математический анализ ситуации требует прежде всего, чтобы все описывающие социальные связи графы были полностью связными. Но при этом во многих ірафах некоторые вершины практически недостижимы из других вершин, на математическом языке это означает, что характеристическая длина стремится к бесконечности, что не согласуется с реальной картиной социальных сетей. Поэтому Строгац и Ватте начали работу с чрезвычайно важного шага — предложили метод постепенного, многостадийного преобразования полностью связного упорядоченного графа (аналог пещеры со связями между всеми членами сообщества) в полностью связный, но случайный граф (аналог фантастической Солярии). Понятно, что в процессе такого преобразования все промежуточные графы должны оставаться полностью связными.

Авторы назвали свой подход методом случайных переключений связей. В исходном состоянии система представляет собой упорядоченный граф, вы выбираете случайным образом какую-то вершину и случайным же образом уничтожаете одно из ведущих к ней ребер, затем случайным образом выбираете другую вершину и соединяете их ребром. По мере переключения связей начальный упорядоченный граф постепенно превращается в случайный, как показано на рис. 15.7. При этом увеличивается количество прямых связей, соединяющих удаленные вершины ірафа.

В качестве начального состояния исследователи выбрали простейший упорядоченный граф, в котором все вершины располагаются на окружности (напомним, что окружность в отличие от простой одномерной последовательности вершин позволяет не учитывать краевых эффектов). Постепенно переключая связи, исследователи не только изучили процесс перехода, но и вычислили все промежуточные значения двух главных топологических характеристик сетей: характеристическую длину пути L и численный показатель кластеризации С[135]. Количество переключений может быть количественно охарактеризовано вероятностью того, что конфигурация произвольно выбранной вершины отличается от начальной, т. е. равенство этой вероятности нулю соответствует полной упорядоченности системы, а единице — абсолютно случайному графу.

На первый взгляд кажется, что значения этих основных параметров (I и С) должны уменьшаться с ростом числа переключений в системе, так как в упорядоченных решетках падает степень кластеризации и увеличивается количество сквозных связей. Но все оказалось гораздо сложнее, так как в модели обнаружилось три сюрприза. Во-первых, результат в ней достигался очень быстро — примерно после десяти этапов преобразуемые графы можно считать практически случайными. Во-вторых, превращение упорядоченных графов в случайные происходит очень резко, что позволило Ваттсу сопоставить их с фазовыми переходами в статистической физике — формально можно считать, что упорядоченный, «кристаллический» граф при некоторых значениях параметра быстро переходит в неупорядоченное, «жидкое» состояние. Третьей неожиданностью стало то, что параметры L и С изменяются не одновременно и параллельно, а на разных стадиях (рис. 15.8).

Последнее обстоятельство наиболее знаменательно. В некоторой области (выделенной на рисунке серым цветом) характеристическая длина L уже становится очень малой и явно соответствует случайным графам, в то время как степень кластеризации С остается достаточно высокой (при небольшом увеличении числа переключений она затем так же резко уменьшается). Именно такая комбинация параметров характерна для малых миров. Например, круг друзей и знакомых существует и функционирует за счет сочетания высокой кластеризации и большого числа связей между кластерами, обеспечивающими очень короткую длину цепочки, отделяющей одного человека от другого, — шести степеней отдаления. Желая подчеркнуть особую роль таких промежуточных структур, Строгац и Ватте назвали их графами малых миров.

Рис. 15.8. Зависимость характеристической длины L и коэффициента кластеризации С от степени случайного переключения связей в круговом графе. Степень переключения связей характеризуется параметром р (см. текст), значения которого отложены по оси абсцисс в логарифмическом масштабе. Это означает, что зависимости при малых р «растянуты» для большей наглядности изменений L при небольшом числе переключений. Оба главных показателя (L и С) имеют высокие значения в исходном упорядоченном графе и очень малые — в конечном случайном графе. При переходе от исходного состояния к конечному эти величины меняются независимым образом, в результате чего возникают промежуточные графы с высокими значениями С и малыми значениями I, которые и соответствуют описываемым «малым мирам».

ЗНАКОМЫ ЛИ МЫ?

Полученные результаты очень интересны. Действительно ли реальный мир человеческих связей складывается из малых миров, описываемых графами со случайными переключениями? Другими словами, можно ли считать, что Стрѳгац и Ватте действительно доказали, что «мир очень тесен», так что не стоит удивляться, когда в очередной раз на вечеринке мы сталкиваемся со странными совпадениями и неожиданными знакомствами?

Похоже, что дело обстоит именно так. Игра в Числа Бэкона, с описания которой начиналась эта глава, при всей своей простоте оказалась очень удачной моделью социальных цепочек и связей. Более того, именно простота, однозначность и распространенность этой игры делают ее чрезвычайно удобной для анализа социальных связей. Как отмечалось, странным результатом игры было то, что она выявила очень низкое значение характеристической длины (среднее значение числа Бэкона оказалось очень небольшим) в графе, описывающем сеть отношений в мире кинематографа. В то же время мы наблюдаем высокую степень кластеризации. Кластеры образуют, например, актеры определенной национальности, связи между этими кластерами обеспечиваются «транснациональными» знаменитостями типа Брюса Ли (Гонконг), Жерара Депардье (Франция) или Гонг Ли (Китай).

В этом смысле сеть сообщества киноактеров соответствует малому миру. Но какова топология этой сети? Для ее оценки может быть использован параметр стягивания вершин, характеризующий число прямых соединений между удаленными вершинами графа. Этот параметр легко вычислить для разных сетей, и для рассматриваемого нами кругового графа он увеличивается с ростом числа случайных переключений связей. Строгац и Ватте построили модельную сеть с параметром стягивания, равным таковому для сети связей киноактеров, что говорит об их топологической схожести. Но насколько при этом совпадают другие основные параметры — характеристическая длина L и коэффициент кластеризации С?

Совпадение оказалось весьма удовлетворительным, т. е. модель случайного переключения связей гораздо лучше подходит для описания сети киноактеров, чем модели пещерных людей и страны Солярии. Но является ли предлагаемая авторами схема переключения единственным способом формирования сетей или графов с требуемыми характеристиками? Можно ли получить одновременно низкие значения параметра L и высокие значения С другим способом? Частичные ответы на эти вопросы читатель найдет в следующей главе.

Сейчас же обсудим другой животрепещущий вопрос: действительно ли Кевин Бэкон является центром вселенной кино? Для ответа на этот вопрос необходимо рассчитать среднее для сети число Бэкона и сравнить его с аналогичными данными для других актеров: числом Пресли, числом Богарта, числом Брандо и т.д. Если Кевин Бэкон является наиболее важной связующей осью сети, то все другие актеры будут в среднем ближе к нему, чем к кому-либо другому.

Результаты такого исследования показали, что Кевин Бэкон не только не является «центром Вселенной», он даже не входит в первую тысячу кандидатов на эту роль. Список возглавляет Род Стайгер (среднее число Стайгера — 2,652), за которым следуют Кристофер Ли, Деннис Хоппер, Дональд Плизенс и Дональд Сазерлэнд (кстати, именно он играл в киноверсии Шести степеней разлуки). Марлон Брандо занимает 202-е место, а знаменитый Фрэнк Синатра — 443-е. Сам Кевин Бэкон затерялся в обширной толпе, где разность в числах актера с соседями по списку составляет лишь около 0,0001.

Так почему же именно Кевин Бэкон был избран для этой игры? А почему нет? Теория малых миров утверждает, что в таких социальных сетях любой из членов сообщества является «центром». Разумеется, некоторые члены сообщества «центрее» других, но не принципиально. Даже не очень известному актеру, например, Эдди Альберту, соответствует сеть связей, вполне сравнимая с сетями «великих». Занимающий четвертое место в списке Дональд Плизенс был прекрасным актером, но он никогда не относился к звездам первой величины.

Эти результаты являются своеобразным символом всеобщего социального равенства — эгалитаризма. Если социальные сети напоминают сеть киноактеров (а такое предположение, как мы увидим далее, вполне правдоподобно), то не стоит очень сильно завидовать другим из-за различий в социальном статусе или жаловаться на ограниченность своего социального окружения. Все дело в выборе правильной «проекции», каждый из нас может оказаться центром сети, связывающей всех людей вместе.

В качестве постскриптума к сказанному можно упомянуть, что 2003 году Дункан Ватте (сейчас он работает в Колумбийском университете) повторил известные эксперименты Мильграма с пересылкой посланий, воспользовавшись системой электронной почты. Предложив желающим принять участие в компьютерном эксперименте, сотрудники Ваттса просили исходную группу (61168 участников из 166 стран) переслать послание с неопределенным адресом. Получателями выступали 18 человек в 13 странах, представлявшие самые разные группы населения, от профессора в одном из университетов США (относящегося к элитной Лиге плюща) и хранителя архивов в Эстонии до сотрудника военной ветеринарной службы Норвегии. Как и в экспериментах Мильграма, правила игры подразумевали, что послание будет передаваться тому, кто, по мнению отправителя, находится «ближе» к конечному получателю.

Оказалось, что такой метод доставки нехорош. От участия в эксперименте отказались 63% записавшихся добровольцев (что, кстати, можно считать неплохим результатом для электронной почты), так что всего было запущено 24 163 цепочки, из которых цели достигли только 384. Эти завершенные цепочки содержали в среднем четыре пересылки, но результат выглядит явно заниженным, так как с наибольшей вероятностью реализовывались маршруты, где отправителям удавалось найти короткий путь. Для учета этого обстоятельства группа Ваттса даже ввела специальный коэффициент трения, после чего среднее число пересылок возросло и попало в диапазон 5-7, полностью соответствующий результатам Мильграма (следует помнить, что последние относились только к территории США). Полученное значение вновь напоминает о шести степенях разделения, однако еще не может служить доказательством того, что именно оно является параметром межличностного общения в малых мирах. Исследование показало, что некоторые участники прекращали цепь передачи, так как не верили в успех затеи, иными словами, они теряли интерес к поставленной задаче.

Отметим, что введенный исследователями коэффициент трения оказался очень малым для одного конкретного адресата, а именно упомянутого профессора из США. Связано ли это с тем, что такого легче разыскать из-за большего числа его связей? Ватте с коллегами отвечают на этот вопрос отрицательно, поскольку и для него число пересылок практически совпадает со средним значением. Но более половины всех участников проекта относились к группе образованных граждан США, принадлежащих к среднему классу. Возможно, именно из-за этого многие участники цепочки были уверены, что послание профессору имеет намного больше шансов дойти до цели по сравнению, например, с посланием к инженеру в Индии. Такая уверенность создавала небольшую дополнительную мотивацию поведения, что и сказалось на конечном результате.

По мнению исследователей, эксперимент показал, что дело не сводится только к структуре социальных сетей. Будет ли механизм «малых миров» задействован для связи между людьми, зависит от действий и даже от ожиданий людей. Это еще раз напоминает о том, что социальная физика не может быть построена на основе изучения только психологии отдельного человека.