Критическая масса

Фазовые переходы всегда создают у человека ощущение некоторого чуда. В 1856 году после прогулки по зимнему лесу Генри Дэвид Торо восторженно описывал снегопад и мерцание снежинок: «Мне представлялось, что некий дух творения витает даже в воздухе, где рождаются снежинки! Казалось, что падающие на плащ снежинки подобны настоящим звездам! Вся природа вокруг была наполнена духом, наполнена божеством, и снежинки казались лишь их проявлением».¹

В настоящее время мы знаем, что снежинки возникают в атмосфере при замерзании паров воды, которые сразу превращаются из газа в твердые кристаллики. Эти шестиконечные кристаллики интересовали серьезных ученых еще с XVII века, однако лишь статистическая физика позволила объяснить рождение и красоту этих удивительных объектов. Проблема оказалась настолько сложной, что еще в 1940-х годах физики смущенно признавались, что им не удается понять механизм зарождения снежинфк, что даже вызывало некое раздражение и сомнения по отношению ко всей теории фазовых переходов. Представлялось странным, что умные физики не могут понять и описать столь распространенный природный феномен и объяснить образование простого снега, который можно отнести к одному из известнейших веществ на планете. «И чего стоят после этого ваши теории?» — с некоторым ехидством спрашивали по этому поводу у физиков-тео- ретиков их коллеги.

Традиционная статистическая механика приобрела законченную форму после работ великого американского ученого, профессора Йельского университета Джозайи Уилларда Гиббса (1839-1903). В книге Основные принципы статистической механики (1902) ему удалось объединить разрозненные данные новой науки в единое и очень элегантное целое. Исходя из работ предшественников — Клаузиуса, Максвелла, Больцмана, ван дер Ваальса и других, — Гиббс сумел превратить термодинамику во внутренне непротиворечивую науку, точно объясняющую, каким образом ее законы вытекают из поведения частиц различных систем на микроскопическом уровне.

Гиббс показал, что ключевым представлением при анализе процессов изменения является принцип минимизации энергии. Например, именно он заставляет воду стекать вниз по склонам и образовывать пруды или озера. Чем выше исходный уровень воды, тем большей гравитационной (точнее, «потенциальной») энергией она обладает, поэтому при любой возможности вода устремится вниз, как можно ниже, чтобы занять положение с минимальной энергией. Хотя это не очень очевидно, читатель может воспринимать принцип Гиббса в качестве еще одной формулировки второго закона термодинамики — утверждения, что энтропия возрастает при любых самопроизвольных изменениях.

Водная масса, из которой, собственно, и состоит озеро, находится в некотором равновесии, поскольку она не может покинуть ограничивающий ее объем. Термодинамика позволяет нам судить о всех возможных вариантах поведения такой равновесной системы, и в соответствии с ее законами любой переход в другое, более устойчивое состояние подобен вытеканию воды из озера при открытии шлюза, после чего вода начнет перетекать из верхнего резервуара в нижний, как в школьной задаче. Гиббс установил, что для сохранения системы в равновесном состоянии (т. е. в состоянии, не допускающем немедленного изменения) «необходимо и достаточно, чтобы при любых возможных изменениях состояния системы, не изменяющих ее энергию, изменения энтропии были нулевыми или отрицательными»².

Иными словами, если система находится в равновесии, то ее можно тянуть, толкать и пихать как угодно, но она будет упорно возвращаться в исходное состояние. Это было парадоксом «классической» термодинамики, которая всегда говорила лишь о равновесных состояниях и о причинах перехода между равновесными состояниями (начальном или конечном), но ничего не могла сказать о том, как, собственно, протекает этот процесс.

Возвращаясь к образованию снежинок, вспомним, что начальным состоянием вещества является водяной пар, а конечным — очаровательная льдинка, т.е. мы имеем дело с двумя равновесными состояниями, разделенными фазовым переходом. При этом вызывает удивление тот факт, что ни одна снежинка не похожа на другую: одна шестиконечная звездочка имеет лучи, похожие на лапы ели, другая — на цветок клевера, третья состоит из плотно сложенных шестиугольников, а четвертая напоминает цветок с шестью грушевидными лепестками. Заинтересовавшийся читатель может увидеть поразительные образцы снежинок, собранные в прекрасном альбоме Снежные кристаллы Вильсона А. Бентли и У.Дж. Хэмфри (1931), где представлены две тысячи разных изображений этих кристаллов. Каждый из них имеет собственную историю возникновения, так что то, каким образом пар переходит в твердое тело, оставалось большой загадкой.

Строго говоря, разнообразие форм снежинок, т. е. проблема «изобретательности» природы при их создании, не имеет существенного значения. Читатель может вспомнить, например, что на свете нет двух абсолютно одинаковых деревьев одной породы, точно так же как не существует абсолютно одинаковой погоды в разные дни, стекающие с горных склонов ручьи не имеют постоянного русла и т.д. Разве в мире вообще могут существовать абсолютно одинаковые события или объекты? Как сказал еще в VI веке до нашей эры древнегреческий философ Гераклит: нельзя дважды вступить в одну и ту же реку.

Мир вокруг нас постоянно меняется под действием разных процессов, и мы лишь очень редко наблюдаем какие-то устойчивые, равновесные системы, которыми, собственно, и занимается термодинамика. В реальной жизни река изменяет ландшафт, постепенно пробивая себе новое русло и выискивая новые маршруты для скорейшего спуска в долину, одновременно дожди наполняют реку водой и т.д. Все эти процессы являются неравновесными и будут таковыми всегда, по меньшей мере при нашей жизни.

Даже в тех случаях, когда нам точно известны начальное и конечное состояния (для снежинок такими состояниями являются водяной пар и лед), форма продукта, образующегося в результате процесса, может оказаться очень сложной и зачастую непредсказуемой. Это обусловлено тем, что процесс роста тех же снежинок протекает в условиях, далеких от любого равновесного состояния. Одно дело, когда мы спускаем воду из водохранилища, открывая шлюз, и совсем другое, когда вода прорывает дамбу и устремляется вниз по случайному руслу.

Сказанное вовсе не означает, что термодинамика — теоретически точная, но практически бесполезная наука. Наоборот, она исключительно важна именно в своих практических применениях, так как позволяет понять и предсказать направления возможных изменений и условия, при коуорых эти изменения произойдут, — например, термодинамика объясняет, почему вода на уровне моря замерзает именно при О °С. Законами равновесной термодинамики ученые пользуются при расчете множества процессов, начиная с генерирования энергии в живых клетках и кончая формированием минералов в коре Земли или тепловыделением персонального компьютера. Однако при этом равновесная термодинамика остается ограниченной наукой и не может ничего поведать о сильно неравновесных процессах, в частности, таких, в которых возникают и растут новые формы.

ИСТОРИЧЕСКИЕ ДЕЛА

Название настоящей главы автор позаимствовал из книги, которая, безусловно, может быть отнесена к научной классике и заслуживает места на книжной полке рядом с такими знаменитыми произведениями, как Происхождение видов Ч. Дарвина, Математические начала натуральной философии И. Ньютона и Элементарный курс химии А. Лавуазье. Однако в отличие от перечисленных книг, каждая из которых стала фундаментом целой науки (современной биологии, физики и химии соответственно), странная и эклектичная книга О росте и форме, написанная шотландцем д’Арси Вентвортом Томпсоном, не стала основанием новой науки, но с момента ее выхода в 1917 году она служила путеводной нитью для нескольких поколений ученых, осознающих, что мы живем в удивительно красивом мире, большая часть закономерностей которого остается нам пока недоступной.

В своей работе Томпсон (1860-1948) выступал против доминировавшей тогда в науке тенденции (впрочем, остающейся почти неизменной и в наши дни) объяснять образование любых биологических форм теорией адаптации, которую он издевательски описывал следующим образом: «Каждый раз для объяснения нам вытаскивают, как кролика из шляпы фокусника, старика Дарвина и говорят волшебное слово адаптация!» Томпсон утверждал, что очень многое в природе можно объяснить весьма просто, исходя из законов геометрии, математики, физики и даже техники, не ссылаясь на дарвиновскую теорию естественного отбора.

Во многом трудная судьба книги объясняется тем, что она значительно обогнала свое время и что описанные в ней многочисленные примеры образования удивительных природных форм лишь много позже стали пониматься как результат неравновесных процессов роста. В 1917 году процессы изменения веществ в далеких от равновесия условиях не рассматривались даже специалистами по термодинамике, поэтому все изыскания и догадки шотландского зоолога остались невостребованными, несмотря на его блестящую эрудированность в самых разных областях, от древних языков до геометрии. Кроме того, в своих описаниях разнообразных неравновесных процессов — расплывания капли чернил в воде, образования сетки трещин на высыхающей грязи, конвективных потоков в кипящей жидкости — Томпсон всегда оставался скорее художником, чем аналитиком. Он заметил, что некоторые системы в процессе изменения достигают «устойчивых состояний»³, которые не являются состояниями равновесия в гиббсовском понимании, но ничего не мог сказать о природе этих состояний.

Впоследствии одним из первых этими состояниями серьезно заинтересовался упоминавшийся в предыдущей главе Ларе Онсагер, который еще в 1930-х годах осознал ограниченность идей классической, т.е. равновесной, термодинамики и приступил к ее преобразованию. К этому времени уже становилось ясным, что, рассматривая только равновесные состояния, термодинамика загоняет себя в угол, так как практически все представляющие интерес процессы связаны именно с нарушением равновесия. Представьте себе озеро или водохранилище в горах. После подъема шлюза поток воды устремляется в какой-то нижний резервуар, причем поведение всей системы в целом характеризуется сильнейшей неравновесностью. То же самое можно сказать о парах воды, которые вдруг превращаются в снежинки. Во всех процессах такого рода промежуточные состояния системы буквально выпадают из теоретического объяснения классической термодинамики.

Разумеется, физики для описания таких явлений придумали множество остроумных приемов, если не сказать, фокусов. Наиболее продуктивной оказалась идея считать многие процессы очень медленными, т. е. протекающими почти незаметно. При таком предположении стало возможным, по крайней мере формально, считать каждое состояние «почти равновесным», так как параметры системы изменяются очень медленно, т. е. почти не меняются. Такая ситуация соответствует, например, шлюзу со множеством микроскопических отверстий, из которых просачивается вода. Со временем все содержимое водохранилища постепенно перетечет в нижний резервуар, однако сам процесс при этом выглядит равновесным, и его можно описать цепочкой или последовательностью почти равновесных состояний.

На первый взгляд предлагаемый подход противоречит неоднократно упоминавшемуся и очевидному факту стремительности и неожиданности фазовых переходов, однако можно напомнить, что резкость или стремительность вовсе не означают «мгновенность» — А-Бумм. Курта Воннегута представляет собой просто метафору. Я хочу сказать, что любому фазовому переходу должен предшествовать какой-то, пусть очень короткий, период накопления некоторых условий. Например, для превращения воды в лед необходимо пересечь на фазовой границе очень узкую полосу шириной около одной сотой градуса, при плюс 0,01 °С вещество еще является водой, а при минус 0,01 °С — льдом.

Описанный подход, при котором изменение системы рассматривается в качестве последовательности псевдоравновесных (физики еще говорят: квазиравновесных) состояний, оказался очень важным для классической равновесной термодинамики, однако он, к сожалению, не соответствовал очень многим процессам в окружающем нас реальном мире[42]. Проблема заключается в том, что большинство неравновесных процессов происходит в особых условиях, а именно под воздействием «движущих сил», которые значительно превосходят по интенсивности требования минимальности воздействия; говоря проще, водяные пары в природе охлаждаются не на сотые доли, а сразу на несколько градусов.

Онсагер, впрочем, при создании неравновесной термодинамики пошел похожим путем. Он рассматривал небольшие отклонения от равновесия под действием относительно небольших движущих сил. Возвращаясь к примеру с водохранилищем, рассматривается случай, что шлюз поднимается на некоторую высоту, при которой поток является небольшим, но все-таки значительно большим, чем через описанные выше микроотверстия в стенке шлюза.

Разумеется, неравновесные процессы не противоречат второму закону термодинамики и приводят только к возрастанию энтропии Вселенной. Однако если равновесная термодинамика говорила лишь о том, что энтропия системы после процесса всегда больше, чем до него, то теория динамических неравновесных процессов позволяет рассчитать изменение энтропии во времени по ходу процесса. Онсагеру удалось оценить чрезвычайно важную физическую величину — скорость производства энтропии при неравновесных переходах.

Поведение равновесных систем определяется правилом Гиббса, в соответствии с которым изменение конфигурации элементов системы должно минимизировать ее энергию[43]. Онсагер попытался найти правило, эквивалентное правилу Гиббса, для описания неравновесных устойчивых состояний. Дело в том, что даже вдали от равновесия системы могут принимать состояния, которые в определенном смысле сохраняются неизменными. Речной поток представляет собой типичную неравновесную систему, в которой вода непрерывно стекает вниз, однако река почти всегда имеет достаточно устойчивые берега, определенный общий уровень и т. п. Еще более наглядным примером «динамических» устойчивых состояний могут служить живые клетки, сохраняющие общую форму и характеристики и одновременно осуществляющие сложнейшие функции, потребляющие энергию и выделяющие «отходы». Собственно говоря, подавляющее большинство окружающих нас объектов и процессов — речные водовороты, автомобили, кружащиеся на автодроме, приливы и отливы — являются неравновесными устойчивыми состояниями.

Онсагеру не удалось, строго говоря, выработать некий общий критерий, определяющий преимущество неравновесных устойчивых состояний перед другими возможными состояниями системы. Однако он смог выявить общие правила и движущие силы неравновесных процессов, определяющие скорость производства энтропии при неравновесных процессах, происходящих вблизи от равновесия, что само по себе стало исключительно важным научным достижением. Работы Онсагера создали огромную новую область научных исследований, за что он заслуженно получил Нобелевскую премию в 1968 году, хотя ему так и не удалось выработать универсальный, подобный гиббсовскому принцип для неравновесной термодинамики вообще.

Этот факт нельзя считать личной неудачей Онсагера, поскольку большинство ученых сейчас считают, что такого принципа просто не существует. Стоит упомянуть, что Илья Пригожин[44] в 1940-х годах полагал, что ему удалось найти «магическую» формулу Он утверждал, что наиболее вероятным неравновесным устойчивым состоянием, по крайней мере для случая небольших отклонений от равновесия, является то, в котором скорость производства энтропии минимальна. Однако многие ученые рассматривают это утверждение лишь как факт, а не универсальный закон.

Означает ли сказанное, что вдали от равновесия может происходить все что угодно? Очевидно, нет. Неравновесные процессы тоже подчиняются каким-то правилам, а их непредсказуемость не исключает согласованности и, как говорят физики, воспроизводимости. Наиболее удивительным представляется то, что многие неравновесные процессы вдруг перестают быть хаотическими и беспорядочными, а наоборот — неожиданно демонстрируют нам образцы высокой упорядоченности.

Классический пример упорядоченного, неравновесного устойчивого состояния был открыт еще в 1900 году французским ученым Анри Бенаром[45].

Нагревая на медной сковородке тонкий слой жидкости, Бенар изучал так называемые конвективные потоки, когда нагретая и более легкая жидкость со дна поднимается вверх, заменяя более холодную и тяжелую, опускающуюся, в свою очередь, вниз. Такая система, безусловно, является неравновесной хотя бы из-за того, что в ней постоянно присутствует перепад температур; в равновесной же системе температура во всех точках одинакова и отсутствуют конвективные потоки. Более того, описываемая система постоянно удаляется от равновесия из-за нагрева снизу, и она может, собственно говоря, начать какое-то движение к равновесию лишь после прекращения нагрева.

При очень умеренном нагреве никакой конвекции в жидкости не происходит, и теплота просто перераспределяется в объеме жидкости по механизму теплопередачи, но после того как разность температур между дном сосуда и поверхностью жидкости достигает некоторого порогового значения, поведение жидкости совершенно меняется, и в ней возникают конвективные потоки, циркулирующие снизу вверх и обратно[46]. Бенару удалось заметить поразительный факт: такие потоки способны к самоорганизации, в результате чего в жидкости вдруг образуются примерно правильные шестиугольники, в которых конвективные потоки поднимаются в центре и стекают вниз по краям. Эти интересные образования и получили название ячеек Бенара (рис. 5.1, а).

При других экспериментальных условиях конвективные узоры (паттерны) становятся еще более сложными (рис. 5.1, б и в). Кстати, д’Арси Томпсон также отметил конвективные узоры в клубах табачного дыма и сравнил их с формой причудливых облаков, которые в Англии называются макрелевыми⁴, вероятно, за внешнее сходство с косяками этой промысловой рыбы. Механизм их образования действительно оказался связан с конвективными потоками в атмосфере, однако Томпсону, конечно, не удалось объяснить, почему в атмосфере образуются такие узоры. В 1916 году знаменитому физику лорду Рэлею удалось наконец описать на основе гидродинамики образование регулярных конвективных потоков типа показанных на рис. 5.1, б, Окончательное теоретическое решение задачи было получено лишь в 1960-х годах, однако и сейчас никто не может предсказать, какие именно паттерны проявятся в заданной неравновесной системе при определенных условиях Именно эта неопределенность и означает упомянутое отсутствие общегс правила, эквивалентного правилу Гиббса для равновесных систем.

Поиски некоторой априорной предсказуемости поведения таких систем сейчас кажутся заведомо тщетными и бессмысленными, поскольку выясняется, что конвективные узоры Рэлея — Бенара (по современной терминологии' оказываются различными даже при кажущихся совершенно одинаковым «конечных» условиях, если при этом различался метод приготовления — га грев с разной скоростью, наличие или отсутствие дополнительного пере мешивания и т. п. Все это приводит к тому, что образующиеся паттерн] различаются. Таким образом, неравновесные устойчивые состояния завися не только от условий, но и от истории собственного создания[47].

Конвективные узоры Рэлея — Бенара являются типичными примерам так называемых диссипативных структур, самоорганизующихся в нераі новесных системах структур, образующихся вследствие диссипации, т. < рассеяния, энергии (существование конвективных паттернов поддержив; ется лишь непрерывным потоком теплоты) и, следовательно, производств энтропии. В 1950- 1960-х годах И. Пригожин и его сотрудники выдвинул идею, что диссипативные структуры возникают, когда неравновесная сі стема достигает некоторой критической точки, получившей название точк бифуркации. Термодинамическая система вблизи равновесия фактическ не имеет вариантов развития. При медленном нагревании жидкость н сковородке Бенара лишь проводит теплоту, ничего более. Но в точке бі фуркации ее поведение вдруг резко меняется, и возникают причудливы узоры.

Из названия нового термина следует, что он означает некий выбор межд двумя вариантами поведения. Вернемся еще раз к ячейкам Рэлея — Бенар на рис. 5.1,5, где сплошные жирные линии — это цилиндрические «валики вращающиеся в противоположных направлениях подобно валикам для отжі ма белья[48]. Отметим, что в принципе направление вращения любого валик может быть заменено на противоположное, разумеется, при условии, что вс остальные валики также сменят направление вращения, т.е. фактически м имеем дело с двумя эквивалентными системами, «закрученными» в разны стороны. Чем определяется выбор направления вращения? По-видимом он осуществляется случайно, что вновь напоминает нам о флуктуация: которые физики часто называют просто шумом.

Шум в этом смысле присутствует повсюду. При любой отличной от абс< лютного нуля температуре атомы испытывают тепловые колебания, создава некое случайное фоновое «жужжание», пронизывающее любое веществ- С ростом температуры шум возрастает, демонстрируя нарастание беспоряді в системе. Благодаря случайному характеру движений атомов практическ во всех процессах проявляются микроскопические случайные отклонени т. е. флуктуации. Например, тщательно измеряя давление на маленько участке надутого шарика, мы легко выявим ничтожные и случайные отклонения от среднего значения, которые, в свою очередь, будут объясняться микроскопическими отклонениями в числе газовых молекул и т.п. Ученые, проводящие на практике прецизионные измерения температуры, давления и других параметров, постоянно сталкиваются с тем, что измеряемые величины непрерывно флуктуируют относительно средних значений.

В обычных условиях влиянием флуктуаций можно пренебречь из-за их малости, но в точках бифуркации, когда неравновесная система, образно говоря, двигается по лезвию бритвы и может совершенно случайно выбрать один из вариантов поведения (например, продолжая тот же образ, свалиться направо или налево), именно ничтожные флуктуации моіут решить ее будущую судьбу. Пригожин писал в этой связи, что «в окрестности точек бифуркации флуктуации приобретают особое значение, определяя «ветвь» развития системы».⁵

С ростом движущих сил неравновесного процесса может возникнуть ситуация, когда вслед за одной точкой бифуркации система приближается к следующей и т.д. Вообще говоря, по мнению Пригожина, система может уходить все дальше от равновесия через последовательность точек бифуркации, как показано на рис. 5.2.

Рис. 5.2. Предсказываемое Ильей Пригожиным развитие системы через последовательность неравновесных устойчивых состояний, разделенных точками бифуркации, в каждой из которых система получает возможность альтернативного развития. В каждой из таких точек выбор дальнейшего маршрута определяется случайными флуктуациями, в результате чего две изначально одинаковые системы (обозначенные буквами А и Б), начав развитие из одного и того же равновесного состояния под действием одинаковых движущих сил, могут попадать после бифуркаций на разные «ветви» развития. Различие конечных состояний возникает из-за разной предыстории таких систем.

В каждой точке разветвления возможности определены совершенно точно, однако сам выбор остается случайным, так что две системы, практически одинаковые в начальный момент и подвергаемые одним и тем же воздействиям, могут со временем стать совершенно не похожими друг н; друга, удаляясь вследствие случайных отклонений в точках бифуркации Ситуация напоминает сюжет знаменитого рассказа Хорхе Луиса Борхес; «Сад расходящихся тропок»⁶, однако в отличие от фантастического персо нажа Борхеса, китайца Цюй Пэна, передвигавшегося по всем тропкам cpa3j физические системы реального мира обречены на выбор лишь одной-единст венной траектории развития. Собственно говоря, именно к этому всегд, сводится и жизнь любого человека, представляющая собой нескончаемуи череду однозначных решений и упущенных возможностей. Пригожин писал что «наличие бифуркаций привносит историю в физику и химию, элемент который раньше ассоциировался с другими науками, занимающимися био логическими, социальными и культурными явлениями»⁷.

Таким образом, вдали от равновесия гиббсовский детерминизм позволяв’ проявиться некой исторической случайности. По иронии судьбы, кстати этот важнейший результат означал полный крах попыток самого Пригожи на создать новый универсальный принцип минимизации в неравновесноі термодинамике, так как из результатов вытекало, что для описания любог» неравновесного устойчивого состояния важно знать не только параметрь системы и внешние условия, но и предысторию состояния.

Сказанное, однако, вовсе не отменяет значения поразительного и важной сходства между описанием неравновесных бифуркаций и равновесных фа зовых переходов, так как бифуркации также означают неожиданный и гло бальный переход системы в новое устойчивое состояние. Поведение систе» в точках бифуркации чрезвычайно напоминает поведение систем в обычны: критических точках типа температуры Кюри для магнитных материалов. На помним, что при охлаждении ниже температуры Кюри металл превращаете! из немагнитного вещества в магнетик. В немагнитном состоянии «стрелю компасов» (спины атомов) направлены случайным образом, а в магнитно» они выстраиваются в некотором порядке, т. е. фазовый переход второй рода, строго говоря, означает процесс упорядочения системы[49]. Аналогичн< возникающие при некоторой температуре в подогреваемой особым образо» жидкости конвективные потоки приводят к таким же точкам бифуркации в результате чего жидкость превращается в систему спирально закрученны: вихрей. Оба процесса на профессиональном жаргоне физиков именуютс: просто нарушениями симметрии.

Но почему, собственно говоря, симметрия нарушается! Ведь традици онно порядок и наличие регулярных узоров в образце всегда связывание с симметрией, а хаос и беспорядок — с ее отсутствием. Ответ заключаете в том, что хаос может обладать собственной симметрией. Система, в которо: каждая частица двигается случайным образом, может проявлять в целом при знаки более высокой симметрии, чем система с упорядоченным движением частиц. При хаотическом движении всех частиц жидкости ни одно из пространственных направлений не является выделенным, однако в случае ячеек Бенара направление вихрей явно и очевидно делает одну из осей координат выделенной за счет вращения самих ячеек. Таким образом, превращение однородной жидкости в систему вращающихся валиков приводит к потере, или нарушению, симметрии. То же справедливо и для магнетиков, когда выстроенные определенным образом спины атомов выделяют некоторое преимущественное направление.

Переход металла в магнитное состояние можно сравнить с бифуркацией, заставляющей систему осуществить выбор между двумя устойчивыми состояниями. В модели Изинга, в которой каждый спин может быть направлен только в одном из двух направлений (вверх или вниз), при полном упорядочении системы таких спинов могут существовать лишь два эквивалентных состояния с противоположной намагниченностью (см. рис. 4.2). Аналогичный выбор возникает в системах с фазовым переходом «жидкость — газ» и во многих других системах. Во всех таких случаях системы в критическом состоянии становятся сверхчувствительными к воздействию собственных флуктуаций, и позднее мы увидим, что именно это придает их поведению в окрестности критической точки удивительное своеобразие, которое можно назвать даже индивидуальностью.

Вышесказанное вовсе не означает существования двух разных статистических механик — равновесной и неравновесной, существующих как бы параллельно и независимо. Истина в этом случае представляется одновременно и более простой, и более глубокой. Два разных типа превращения систем — фазовые переходы и бифуркации — имеют сходство потому, что в их основе лежит одно и то же: изменение коллективного поведения, обусловленное локальным взаимодействием множества отдельных элементов или частиц. Для любых систем такого типа (равновесных и неравновесных) существуют специфические условия, при которых эти локальные взаимодействия вдруг делают некоторую часть системы чрезвычайно чувствительной к изменениям в других частях, т. е. каждая частица как бы вдруг узнает о поведении других и обретает некое, чисто человеческое «чувство локтя». Именно это приводит к неожиданному и глобальному формированию нового устойчивого состояния.

ФОРМЫ КУЛЬТУР

Читатель наверняка уже догадался, что следующим логическим шагом в построении социальной физики должно стать уподоблеЬие частиц или элементов системы отдельным людям в общественной структуре. Разумеется, этот шаг слишком смел и даже может показаться какой-то интеллектуальной забавой или просто нелепой идеализацией, однако я постараюсь облегчиті этот сложный «скачок», описав несколько более простых систем, позволяющих хотя бы на время забыть о связанных с ним сложных проблемах например, о свободе воли и т. п.

Рассмотрим для начала простейшие формы жизни — бактерии, которые вообще не имеют никаких признаков мозга или нервной системы, вследствие чего любой человек согласится, что для этих организмов проблема свободь воли не возникает, хотя они, безусловно, могут быть отнесены к живы\ организмам. Бактериальные клетки растут в виде упорядоченных колони? (причем, естественно, этот процесс является существенно неравновесным) и хотя они обладают лишь примитивными «средствами связи» между собой это не мешает им демонстрировать довольно сложные и разнообразные формы коллективного поведения.

В начале 1980-х годов японский ученый Мицугу Мацусита обнаружил что колонии бактерий образуют настолько сложные паттерны, что можнс говорить о существовании бактериальной физики. Скорее всего такой удачный «прорыв» Мацуситы в биологию удался потому, что ранее он долгие годы успешно занимался изучением различных неравновесных процессоі роста в неживых системах — как говорил Луи Пастер, «фортуна благово лит подготовленным умам». Поэтому, увидев узоры структур, образуемы? колониями Bacillus subtilis (рис. 5.3), Мацусита сразу понял, что находите* перед ним.

Рис. 5.3. При определенные условиях колонии бактериі Bacillus subtilis могут обра зовывать сложные, развет вленные структуры, называ емые фракталами, которые появляются и при некоторые процессах роста неживы: систем.

Физики и математики называют такие геометрические образование фракталами, а их характерной особенностью является так называемое само подобие, т. е. способность повторяться в элементах структуры при изменении масштаба. Мацусита заметил в очертаниях фрактального узора черты, свойственные продуктам так называемой диффузионно-лимитированной агрегации (ДЛА), уже достаточно хорошо изученной физиками, например, при электроосаждении металла на отрицательном электроде, погруженном в раствор соли металла.

Что интриговало физиков в начале 1980-х годов, когда они приступили к изучению фрактальных структур, возникающих в небиологических процессах, так это их явное сходство с «органическими» формами природы, так что геологи даже неоднократно принимали фрактальные минеральные отложения за окаменевшие остатки живых организмов и растений типа папоротников. И вот в лаборатории Мацуситы был обнаружен самый настоящий биологический фрактал!

Упомянутая фрактальная форма ДЛА-отложений выглядит совершенно хаотичной, однако она вовсе не является произвольной. Ни одна из форм не повторяется, но все они имеют общие черты, проявляющиеся в том, как ветвящиеся структуры заполняют все доступное им пространство. Независимо от размеров все структуры содержат пустоты, напоминающие по форме фьорды северных морей, проникающие глубоко внутрь «материка». Существует математическая мера эффективности заполнения пространства такими структурами, называемая фрактальной размерностью[50]. При этом, например, все ДЛА-паггерны имеют одинаковую фрактальную размерность, которая выступает их «фирменным знаком», позволяющим отделять такие структуры от любых других внешне похожих объектов.

В 1981 году американские физики Том Виттен и Лен Сандер предложили использовать теоретическую модель ДЛА-процесса для описания слипания частиц пыли в воздухе. Предполагалось, что частицы осуществляют случайные броуновские блуждания и слипаются при столкновении. Расчеты показали, что в ходе такого процесса образуются нестабильные отростки, не способные к немедленному разветвлению, т.е. им необходимо немного «подрасти». В 1984 году Мацусита показал, что предсказанные ДЛА-моделью кластеры точно соответствуют структурам, образующимся при электроосаждении на плоских электродах. А разрастающиеся колонии бактерий В. subtilis в экспериментах Мацуситы не просто напоминали ДЛА-кластеры, они обладали одинаковой с ними фрактальной размерностью. Из такого совпадения вытекает предположение (но не доказатель ство), что процессы образования в обоих случаях имеют сходные черть наиболее существенным из которых является постоянное расщеплени отростков, обусловленное случайными флуктуациями в растущих конца кластера.

ДЛА представляет собой неравновесный процесс, а фрактальные паттер ны выступают лишь одним из вариантов неравновесного роста. Мгновенны и необратимые столкновения частиц с растущим кластером не позволяю им найти наиболее стабильное равновесное положение, вследствие чег ДЛА-кластер можно рассматривать как застывшую историю бомбардировк: кластера частицами.

Естественно, что Мацуситу и его коллег заинтересовала возможност какого-то управления наблюдаемыми процессами роста и развития бакте риальных колоний с необычной, фрактальной формой. С этой целью оні пытались уводить изучаемые системы возможно дальше от равновесш варьируя условия эксперимента. Как легко заметить из приводимого дале очень краткого описания методики экспериментов, существуют два основны метода воздействия на процесс роста бактерий. Колонии выращиваются чашках Петри на тонких слоях прозрачного геля, называемого агаром[51], который подаются питательные вещества, необходимые для роста и размнс жения бактерий. При уменьшении влажности слой геля становится боле жестким, и бактерии связываются с его поверхностью более прочно. Поэтом даже простое изменение соотношения «агар—вода» в геле позволяет легк регулировать подвижность клеток. С другой стороны, изменяя количеств подаваемых питательных веществ, столь же легко можно управлять общиі «здоровьем» колонии бактерий, т.е. ее способностью создавать новые клетк и разрастаться.

Команда Мацуситы быстро обнаружила, что, изменяя указанные пара метры, можно получать совершенно новые формы растущих колоний, причеі даже такие, которые значительно отличаются от упомянутых разветвленны ДЛА-кластеров. Например, при высоком содержании питательных вещест в среде растущие колонии становятся очень плотными и обрастают утолщен ными «щупальцами» по периметру. Можно также уподобить эти структур] слою лишайников на скале. Интересно, что закономерности роста таки колоний почти совпадают с выводами еще одной теоретической моделі предложенной математиком М. Иденом в 1961 году для описания развита раковых опухолей.

На поверхности твердого агара, по которой клетки не могут передвигаті ся, можно обнаружить оба типа колоний — ДЛА-кластеры и кольца модел Идена, а рост колоний происходит за счет образования новых клеток t границе. Гораздо более сложный характер носит рост бактериальных кулі тур на мягком геле, когда бактерии могут самостоятельно перемещаться. В этом случае наблюдаются как тонкие расходящиеся ветви (в слоях с недостаточным количеством питательных веществ), так и концентрические кольца Идена (при избытке питания). В тех средах, где бактерии абсолютно подвижны и обеспечены полноценным питанием, колонии развиваются примерно по круговым фронтам настолько быстро, что их рост становится заметен чуть ли не визуально.

Уменьшение концентрации агара

Рис. 5.4. Зависимость формы и особенностей колоний бактерий, выращенных в чашках Петри на агаровом геле, от двух переменных процесса роста — наличия питательных веществ и жесткости геля. Паттерны на рисунке сведены в морфологическую диаграмму с достаточно ясными границами между различными формами. Промежуточные зоны между разными морфологиями выделены серым цветом, а пунктирная линия разделяет всю область на зоны, где клетки из-за характеристик- среды являются неподвижными (слева) и подвижными (справа).

В результате такого бурного развития все «пространство» геля (я подразумеваю условное пространство, ограниченное упомянутыми «контрольными параметрами», каковыми выступают твердость геля и содержание питательных веществ в нем) оказывается очень быстро заполненным колониями разного типа, разной формы и разных характерных паттернов, как показано на рис. 5.4. При этом границы между областями существования различных форм четко выражены, переход от одного паттерна к другому носит довольно резкий характер при незначительном изменении «контрольных параметров» Это сразу навело Мацуситу и его сотрудников на мысль о фазовых граница? характерных для термодинамики и разделяющих, например, твердое, жидко и газообразное состояния одного и того же вещества. Пересечение системоі фазовой границы и означает фазовый переход, а сама картина состояниі обычно называется фазовой диаграммой. Японские исследователи быстр поняли, что им посчастливилось обнаружить в узорах бактериального рост некое подобие фазовых диаграмм.

Изменение формы бактериальных колоний, строго говоря, нельзя на зывать фазовым переходом, прежде всего из-за того, что этот рост являете очевидно неравновесным процессом. Гораздо разумнее сравнить описы ваемые процессы с изменениями диссипативных структур типа ячеек Рэ лея — Бенара, тем более что там также наблюдается переход от одной формі ячеек к другой. Поэтому ученые, изучающие формообразование в растущи: колониях бактерий, предпочитают говорить о морфологических диаграммы классифицируя формы образующихся колоний в зависимости от условиі выращивания (слово морфология в данном контексте относится прост к «форме» и ничему больше).

Как оказалось позднее, некоторые другие бактерии демонстрируют ещ более сложные и разнообразные механизмы роста, но и при этом проявля ются резкие изменения форм образующихся колоний при варьированиі условий. Ранее уже отмечалось, что поведение ДЛА-кластеров можні объяснить на основе модели Виттена — Сандера, а в следующей глав будут приведены дополнительные примеры возможной классификациі паттернов на основе довольно простых предположений относительн движения клеток в среде выращивания. Таким образом, можно прийти : выводу, что, изучая простые «правила» поведения отдельных клеток, мі можем предсказывать вид, структуру и закономерности роста их больши: ассоциатов.

ЛЕДЯНЫЕ ЦВЕТЫ

Концепция использования морфологических диаграмм для описани. процессов неравновесного роста восходит еще к 1930-м годам, когда японс кий ученый Укитиро Накая в университете Хоккайдо использовал аналогичный подход д ля описания снежинок, с разговора о которых и началась данная глава. Упоминавшаяся книга Бентли и Хэмфри заполнена изображениям прекрасных и разнообразных шестиконечных звездочек, однако на последних страницах книги можно увидеть несколько совершенно поразительных образцов. Дело в том, что в природе помимо широкоизвестных плоских снежинок существует и особый класс ледяных кристалликов, напоминающих скорее какие-то пространственные, даже архитектурные, образования.

В фигурах на рис. 5.5 читатель сам легко узнает колонны, увенчанные плоскими капителями, прямоугольные блоки и даже какие-то солнечные часы, образованные ледяными структурами. Снежинки этих сверхсложных форм возникают только при необычных атмосферных условиях, например, при очень низкой температуре, и Накая с сотрудниками стал старательно изучать экспериментально образование этих нестандартных объектов. Например, при очень низких температурах в струе воздуха повышенной влажности они научились выращивать снежинки в виде пряди кроличьего меха и т. п.

Было обнаружено, что форма снежинок действительно может сильно изменяться в зависимости от температуры (например, ниже —25 °С легко образуются шестиугольные ледяные колонки) или влажности воздуха. При температурах от —5 °С до —22 ⁽⁾С в относительно сухом воздухе снежинки вдруг приобретают форму пластинок, но при повышении влажности вновь начинают образовывать привычные звездочки и т.д. Таким образом, мы можем считать температуру и влажность контрольными параметрами для роста снежинок и их «морфологических диаграмм» аналогично жесткости геля и содержанию питательных веществ для роста бактерий.

Хотя ни одна из снежинок не является копией другой (как и ни одна из колоний бактерий не повторяет точно другую), при* их рассмотрении становится ясным, что их можно классифицировать по формам образующихся структур, т. е. разделить по классам и даже ввести представление о переходах между .формами; в соответствии с принятой терминологией такие переходы могут быть названы морфологическими. Другими словами, под кажущимся изобилием и разнообразием возникающих форм вдруг проявляется некая упорядоченность, и хотя каждый объект может по-прежнему считаться уникальным, любым заданным условиям роста с неизбежностью соответствует некий общий вид, который можно было бы назвать платоновской формой в духе древнегреческой философии. В этом смысле рост снежинок можно считать воспроизводимым процессом: несмотря на различия в деталях, общая форма остается одинаковой от опыта к опыту.

Поразительная индивидуальность снежинок и других растущих объектов выглядит скорее следствием мелких случайностей в процессе неравновесного роста и усложнения. Веточка растущей снежинки отклоняется в ту или иную сторону под влиянием случайных и ничтожных флуктуаций, чуть-чуть смещающих направление роста и создающих новый узор из бесконечного набора. Снежинки демонстрируют так называемую нестабильность роста, при которой случайные микроскопические шероховатости растущей поверхности превращаются в новые ответвления. Почти то же самое наблюдалось и в экспериментах Мацуситы, где процесс диффузионно-лимитированной агрегации приводил к возникновению фрактальных, сложным образом разветвленных колоний бактерий. Стоит особо отметить, что образование снежинок в определенном смысле является менее случайным процессом, а их поражающая человека красота во многом обусловлена дополнительной внутренней симметрией, благодаря которой все снежинки принимают характерные шестигранные очертания, на что одним из первых в 1610 году обратил серьезное внимание великий математик и астроном Иоганн Кеплер. Дело в том, что гексагональная симметрия обусловлена особенностями укладки шести молекул воды при образовании кристаллитов льда. Нарастающая затем кристаллическая структура снежинок продолжает сохранять шесть «выделенных» пространственных направлений, вдоль которых и происходит разрастание веточек конкретных снежинок. Можно сказать, что рост ледяных кристаллов управляется заложенной в них гексагональной решеткой, которую растущая снежинка воспроизводит во все более крупных масштабах. В целом процесс роста снежинок из-за описанного сочетания случайности и упорядоченности довольно сложен, и его подробное объяснение удалось получить лишь в 1980-х годах[52].

Влияние скрытой симметрии, лежащей в основе кристаллической структуры, на процессы случайного роста прекрасно иллюстрирует эксперименты, в которых фрактальные колонии бактерий выращивались на пластинках агара с предварительно нанесенными гексагональными канавками. Выращенные в таких условиях колонии бактерий явно напоминают по форме снежинки (рис. 5.6).

В настоящее время исследование неравновесных процессов роста различных объектов и возникающих при этом паттернов является очень перспективной и бурно развивающейся областью физики. Следует признать, что, несмотря на множество и ценность полученных результатов, ученым пока не удалось разработать для этой новой науки обобщающей теории, сравнимой со статистической механикой, описывающей равновесные системы и фазовые переходы. Неудачи в построении такой теории объясняются прежде всего сложностью и «хрупкостью» образующихся структур. С другой стороны, как мог убедиться читатель, для изучения неравновесных систем, даже при сохранении присущей им непредсказуемости, могут быть использованы или модифицированы очень многие идеи и методы классической равновесной статистической физики. Социальная физика, которой посвящена данная книга, обычно связана с неравновесными эффектами, что еще раз подчеркивает важность их изучения.