Вечное Пламя

Приложение 3. Умножение и деление векторов

Путешественники Бесподобной придумали способ умножения и деления четырехмерных векторов, позволяющий построить на их основе полноценную числовую систему, похожую на более знакомые нам вещественные и комплексные числа. В нашей культуре эта система носит название кватернионов и была открыта Уильямом Гамильтоном в 1843 г. Подобно тому, как вещественные числа образуют одномерную прямую, а комплексные числа – двумерную плоскость, кватернионы формируют четырехмерное пространство, что делает их идеальной числовой системой для описания геометрии в четырех измерениях. В нашей Вселенной полноценное использование кватернионов невозможно в силу принципиального отличия между временем и пространством, однако в Ортогональной Вселенной геометрия 4-пространства и арифметика кватернионов органично сочетаются друг с другом.

В том варианте, который применяется жителями Бесподобной, главные направления четырехмерного пространства-времени называются Восток, Север, Верх и Будущее, а соответствующие им противоположные направления – Запад, Юг, Низ и Прошлое. Будущее играет роль единицы: при умножении или делении произвольного вектора на Будущее он не меняется. При возведении в квадрат любого из трех других главных направлений – Восток, Север и Верх – всегда получается Прошлое, или минус единица, поэтому в данной числовой системе существуют три независимых квадратных корня из минус единицы; для сравнения, в системе комплексных чисел такой корень всего один – это i. (Разумеется, что при возведении в квадрат противоположных направлений – Запад, Юг и Низ – также получается Прошлое по аналогии с тем, как в системе комплексных чисел квадрат –i также равен –1, однако эти направления не считаются независимыми квадратными корнями).

Умножение в данной системе не обладает свойством коммутативности: a × b, вообще говоря, не совпадает с b × a.

Каждому ненулевому вектору v соответствует обратный вектор, обозначаемый v^-1, и удовлетворяющий следующему соотношению:

v × v^-1 = v^-1 × v = Будущее

Так, Восток^-1 = Запад, Север^-1 = Юг, Верх^-1 = Низ, а Будущее^-1 = Будущее. В первых трех случаях обратный вектор совпадает с противоположным, но в общем случае это неверно.

Векторное частное w / v определяется как результат умножения (справа) на v^-1 :

Поскольку умножение не обладает свойством коммутативности, при вычислении обратного вектора или частного двух векторов необходимо внимательно следить за порядком аргументов. Обращение произведения двух векторов меняет их порядок на противоположный:

(v × w)^-1 = w^-1× v^-1

Перемена мест сомножителей гарантирует, что исходные векторы будут взяты в надлежащем порядке и дадут в итоге результат, равный Будущему.

(v × w)^-1 × (w^-1× v^-1) = v × Будущее× v^-1 = Будущее

(w^-1× v^-1)× (v × w)^-1 = w^-1 × Будущее× w = Будущее

Аналогичным образом порядок меняется и при делении на произведение векторов:

u / (v × w)= u × (v × w)^-1 = u × w^-1× v^-1 = (u / w)/ v

Хотя в таблицах умножения и деления приведены только результаты для четырех главных векторов, эти операции применимы к любым векторам (исключение составляет деление на нулевой вектор). В общем случае произвольный вектор можно представить в виде суммы векторов, кратных четырем главным направлениям:

v = a ∙ Восток + b ∙ Север + c ∙ Верх + d ∙ Будущее

Здесь a, b, c, d – вещественные числа, которые могут быть положительными, отрицательными или равными нулю. Определим теперь еще один вектор w, используя другой набор вещественных чисел A, B, C, D:

w = A ∙ Восток + B ∙ Север + C ∙ Верх + D ∙ Будущее

Для умножения v и w мы можем воспользоваться правилами обычной алгебры, принимая во внимание порядок сомножителей:

v × w =

= (a ∙ Восток + b ∙ Север + c ∙ Верх + d ∙ Будущее)× (A ∙ Восток + B ∙ Север + C ∙ Верх + D ∙ Будущее) =

×

= aA∙ Восток × Восток + aB∙ Восток × Север +

+ aC∙ Восток × Верх + aD∙ Восток × Будущее +

+ bA∙ Север × Восток + bB∙ Север × Север +

+ bC∙ Север × Верх + bD∙ Север × Будущее +

+ cA∙ Верх × Восток + cB∙ Верх × Север +

+ cC∙ Верх × Верх + cD∙ Верх × Будущее +

+ dA∙ Будущее × Восток + dB∙ Будущее × Север +

+ dC∙ Будущее × Верх + dD∙ Будущее × Будущее =

= (aD + bC – cB + dA) ∙ Восток +

+ (–aC + bD + cA + dB) ∙ Север +

+ (aB – bA + cD + dC) ∙ Верх +

+ (–aA — bB – cC + dD) ∙ Будущее

Длину вектора можно определить с помощью четырехмерного аналога теоремы Пифагора. Для обозначения длины вектора v мы будем использовать запись |v|. Через компоненты четырех главных направлений она выражается следующим образом:

|v|² = a² + b² + c² + d²

При умножении двух векторов длина их произведения совпадает с произведением длин сомножителей:

|v × w| = |v||w|

Для заданного вектора v часто полезным оказывается понятие сопряженного вектора, который мы будем обозначать v^* и определять как вектор, компоненты которого по трем пространственным направлениям противоположны соответствующим компонентам v, а временная компонента совпадает с временной компонентой v:

v^* = – a ∙ Восток – b ∙ Север – c ∙ Верх + d ∙ Будущее

Умножение исходного вектора на сопряженный к нему дает очень простой результат:

v × v^* = (a² + b² + c² + d²) ∙ Будущее = |v|² ∙ Будущее

Поскольку Будущее в этой числовой системе играет роль единицы, то для вектора v единичной длины сопряженный вектор v^* будет совпадать с обратным v^-1. Если же длина вектора v отлична от единицы, то обратный вектор также можно выразить через сопряженный, разделив последний на квадрат длины:

v^-1 = v^* / |v|²

В силу этой тесной взаимосвязи между сопряженным и обратным векторами нетрудно увидеть, что при вычислении сопряженного произведения их порядок нужно поменять на противоположный так же, как и в случае с делением:

(v × w)^* = w^*× v^*

Спроецировав на направление Будущее произведение вектора v и сопряженного вектора w^*, можно получить полезную информацию о геометрических свойствах векторов v и w:

Проекция v × w^* на Будущее = aA + bB + cC + dD = |v||w| cos (угол между v и w)

Величина, стоящая в правой части первого равенства, и представляющая собой сумму произведений четырех компонент (a, b, c, d) вектора v на соответствующие компоненты (A, B, C, D) вектора w, называется скалярным произведением векторов v и w. Как показывает второе равенство, скалярное произведение зависит только от длина векторов и угла между ними.

Любой поворот четырехмерного пространства можно описать парой фиксированных векторов g и h, причем для осуществления поворота заданный вектор нужно умножить слева на g, а затем поделить справа на h. Иначе говоря, поворот вектора выражается так:

v → g × v / h

Так, поворот, меняющий местами Север и Юг, а также Будущее и Прошлое, оставляя неизменными все векторы, перпендикулярные этой четверке, можно описать с помощью пары g = Юг, h = Север. Как доказать, что эта операция действительно является поворотом? Во-первых, она, как легко убедиться, не меняет длину вектора v, поскольку |g| = |h| = |h^-1| = 1 и

|g × v / h| = |g||v||h^-1| = |v|

Кроме того, мы можем выяснить, как та же самая операция, примененная к двум векторам, влияет на угол между ними, применив ее к v × w^*:

v → g × v / h

w → g × w / h

v × w^* → (g × v / h) × (g × w / h)^* =

= g × v × h^-1 × (g × w × h^-1)^* =

= g × v × h^-1 × h × w^* × g^-1 =

= g × (v × w^*) × g^-1

Поскольку g × Будущее/ g = Будущее, то эта операция не меняет проекцию на вектор Будущее. А так как данная проекция определяет угол между v и w – вместе с их длинами, которые, как нам уже известно, остаются неизменными, – то неизменным остается и этот угол.

Все повороты, ограниченные тремя пространственными измерениями, можно описать как частный случай исходной формулы, положив в ней h = g:

v → g × v / g

Например, повороту на 180⁰ в горизонтальной (Север-Восток) плоскости соответствует g = Верх.

Два других особых случая вращения достигаются при h = Будущее, то есть умножении слева на g:

v → g × v

и g = Будущее, при котором поворот сводится к делению на h:

v → v / h

Обе операции всегда осуществляют поворот сразу в двух ортогональных плоскостях – причем на один и тот же угол. Например, при умножении слева на Восток происходит поворот на 90⁰ как в плоскости Будущее-Восток, так и в плоскости Север-Верх.

Рассмотрим поворот, который описывается величинами g и h, преобразующими векторы в соответствии со стандартной формулой:

v → g × v / h

Существуют еще две разновидности геометрических объектов, которые описываются с помощью кватернионов, но при этом не являются векторами, поскольку при том же самом повороте подчиняются другим правилам преобразования:

l → g × l

r → h × r

Эти любопытные объекты называются «спинорами»: l – «левым», а r – «правым». В нашем мире математика спиноров не так проста, как в случае Ортогональной Вселенной, но обе математические системы, тем не менее, довольно похожи, а спиноры и в той, и в другой Вселенной играют ключевую роль при описании поведения некоторых фундаментальных частиц в процессе поворота.