Знание-сила, 2008 № 10 (976)

А все-таки модно быть математиком!

Цифры и числа окружают нас всюду. Именно язык алгебраических знаков позволяет нам изречь законы, что правят всем в этом мире. Если буквы — это алфавит людей, то символы математики — азбука богов, или, если вынести религиозность за скобку, тех безликих сил, что сотворили наш мир в пламени Большого Взрыва. Эти плюсы и минусы, эти степени и логарифмы, радикалы и интегралы отчетливо выделяют закономерное в любом процессе, протекающем будь то в живой или неживой природе.

Принципы математики пронизывают нашу жизнь. Без этой науки не было бы «информационной революции», ведь в основе компьютерных программ лежит двоичный код, придуманный философом и математиком Готфридом Вильгельмом Лейбницем. В авиации и космонавтике, оптике и связи, генетике и нанотехнологии используются самые разные математические методы. При разработке новых лекарств, например, фармацевты математическим путем вычисляют скорость разложения активных компонентов снадобья в организме — это важно для правильной дозировки таблеток и микстур. Для шифровки сообщений все чаще применяются «первоэлементы» мира чисел — простые числа, не имеющие других делителей, кроме самого себя и единицы, ну а современная система страхования всецело основана на страховой математике.

Очень широко вошло в обиход математическое моделирование. Составляя алгоритмы решения практических задач, математики переводят их на язык формул. Разрабатывают модели использования лифтов в высотных зданиях. Отыскивают оптимальную схему перевозки добытой руды. Оценивают нужное количество касс в крупном торговом центре. Помогают составить прогноз погоды или расписание движения самолетов.

Благодаря изощренным моделям мы видим, как работает нервная система пчел или сливаются воедино черные дыры. Подобные программы могут обрабатывать данные, собранные электронными микроскопами и компьютерными томографами, сведения о сейсмической активности или расположении нефтяных и газовых месторождений.

В наши дни рынок математических услуг невероятно велик и в то же время совершенно не развит. Сплошь и рядом встречаются случаи, когда работодателям на то или иное место требуется человек именно с математическим — не экономическим! — образованием, но они даже не подозревают об этом.

Математика — ключевая наука современности. Все наши технологии основаны на использовании тех или иных ее достижений, но мы в повседневной жизни и впрямь пользуемся не высшей математикой, а арифметическими азами, прикидывая, хватит ли имеющейся суммы на покупку подарка или перемножая потраченные киловатт-часы на возросший тариф естественной монополии. О синусах же и арифметических прогрессиях приходится вспоминать, выслушивая жалобы детей на трудные задачи. «Большая часть населения, — иронизировал немецкий поэт и публицист Ханс Магнус Энценсбергер, — не продвинулась в математике далее уровня, достигнутого греками». Освоенный нами научный простор — «четырежды пять на два с половиной метра».

Но ведь смешно было бы, если, подражая Страбону, мы знать ничего не хотели бы об Америке, или вслед за Клавдием Птолемеем твердили, что Земля неподвижна, или отказывались лечиться в больнице, потому что там «врачуют сложнее, чем завещал Гален»? В отношении же математики мы ведем себя именно так, жалуясь на головоломные интегралы, логарифмы и матрицы. Лучше жить, не засоряя себе голову «подобными пустяками».

Ведь автомехаником или секретарем- референтом можно стать, ограничив свои успехи в алгебре умением разбираться в сложении или умножении, ну а зная процентную систему, можно смело претендовать на место в правлении банка.

Откуда такое противоречие? Почему ничто не работает без математики и в то же время без нее прекрасно живется? Казалось бы, нет ничего проще, чем развивать и популяризировать математику, благо это не требует особых средств. Для нее не нужны ни крупные научные центры, ни лаборатории. Пример выдающегося российского ученого Григория Перельмана (см. «З—С», 5/07) лишний раз показывает это. Авторучка и лист бумаги, классная доска и мел, в конце концов, компьютер (невелика роскошь!) — вот инструментарий ученого-математика, вот что может потребоваться для создания целой научной школы.

Но только у «царицы наук»... чудовищная репутация. Все начинается с детства. Опросы показывают, что для многих математика — самый нелюбимый школьный предмет; правда, найдется немало и тех, кому она нравится. Справедливее будет сказать, что она, как никакая другая дисциплина, вызывает полярное к себе отношение. Есть школьники, которые с самого начала проникаются ее красотой и любят решать сложные задачи, подобно тому, как кто-то нанизывает рифмы, соединяя слова в стихи. Но еще больше тех, для кого все эти математические символы, уравнения и неравенства — какая-то абракадабра, тайный код, не имеющий отношения к действительности. Школьные занятия математикой, скорее, пугают детей или заставляют их скучать. Все чаще ученики не могут усвоить начала этой науки без помощи репетитора. Даже когда они делают ошибки, им надо еще упорно втолковывать, в чем же они не правы. Для многих математика и к концу школы остается совершенно непонятным предметом.

Пожалуй, если бы детей учили говорить по той же самой методе, по которой обучают математике, то мало кто сумел бы произнести пару связных фраз. Когда малыш, коверкая слова, пытается составить какое-то осмысленное предложение, его мама и папа обычно восторгаются, а не кричат: «Неправильно!» всякий раз, как только он делает ошибку. На занятиях же по математике дети с самого начала — с первых промахов — подвергаются резкой критике. Школьная математика допускает лишь точное решение задач. Так оказывается ненужной, например, присущая детям от рождения способность интуитивно считать — умение приблизительно оценивать количество тех или иных предметов. А ведь этот прирожденный талант, если бы учителя стремились его развивать в детях, помог бы им освоиться в мире чисел и функций.

На самом деле в математической науке, как и в любых исследованиях, никто поначалу не знает, каким будет результат. Истину находят методом проб и ошибок. Вот и ученики не должны бояться собственных неудач. Им надо научиться преодолевать ошибки, побеждать свои слабости, чтобы наконец отыскать правильное решение. Школьников надо приучать сомневаться в достигнутом результате, а не запугивать тем, что они не соответствуют идеалу — решают задачу неточно.

«Все дело в том, что в основе системы преподавания школьной математики лежит превратное представление о ней. Неудивительно, что к окончанию курса ученики даже не догадываются о том, что же такое математика. Для них этот предмет вырождается в бессмысленный набор формул, в которые надо только подставлять циферки вместо букв, и все как-нибудь получится. Математические понятия остаются для них чужды, хотя им легко найти созвучия в собственном опыте, — отмечает немецкий популяризатор математики Альбрехт Бойтельшпахер. — Так, если ученик поймет, что такое симметрия, он будет ходить и видеть вокруг себя примеры симметрии. Он откроет для себя одну из тайн природы — в мире царит симметрия! То же касается бесконечности. Для ребенка, который понял, что такое бесконечность, она начинается даже в полосках на спине зебры. Практически всюду мы можем открыть какие-то математические структуры и образы. Пусть это прозвучит патетично, но математика дает человеку возможность постичь красоту и совершенство мироздания. Некоторые ученые даже руководствуются этим в своей работе, отдавая предпочтение более красивым решениям».

Повзрослев, люди все так же отказываются понимать математику. Почему в обществе царит предубежденное отношение к ней? Почему многие считают математику, питающую корни других научных дисциплин, настолько сухой и безжизненной теорией, что боятся лишний раз прикоснуться к ней и забывают ее, едва была закрыта последняя страница школьного учебника? Случайно ли она кажется многим чем-то вроде «башни из слоновой кости», в которой укрылись посвященные, а остальным вход туда недоступен?

Очевидно, математикам недостает умения общаться с другими людьми. Они не только убеждены в том, что их наука непонятна посторонним, но и, по чьему-то едкому замечанию, «даже уверовали в то, что их собственные коллеги перестали разбираться в ней». В этой «точнейшей из наук» стала чем-то вроде непреложного закона следующая прописная истина (или прописное заблуждение?): «Если ученый стремится к популярности, значит, у него нет сил на «настоящую» науку». Остается лишь разводить руками: в наши дни издаются десятки журналов, выходят сотни книг, снимается множество телевизионных передач, посвященных астрономии, физике, другим естественным наукам, и почти никто из серьезных ученых, представляющих эти научные направления, не считает зазорным выступать в этих изданиях или сниматься в подобных передачах. Об открытиях, сделанных биологами или медиками, на следующий день можно прочитать в газете. А вот о том, что нового в мире математики, не узнаешь почти никогда. Мало кто слышал, например, что в середине 1990-х годов профессор Принстонского университета Эндрю Уайлс доказал знаменитую теорему Ферма. Почему же математики так упорно отстаивают свое право публично молчать?

«Разумеется, другим ученым легче общаться с публикой, и это коренится в самой природе математики, — пишет британский математик Марианна Фрайбергер. — Эта наука абстрактна. Она имеет дело не с какими-то конкретными вещами вроде иероглифов, динозавров или даже загадок происхождения Вселенной, а с формами и структурами. Объяснять на словах все эти структуры, формы, идеи действительно тяжело, а потому математики изобрели свой особый язык, состоящий из символов. И перевести эти символы обратно в слова, понятные всем, — задача не из легких».

Кроме того, за долгие годы в кругу математиков сложился свой «этический кодекс», побуждающий многих сторониться практики ради чистой науки и предпочитать абстрактные истины горьким плодам прогресса. Еще в 1940 году знаменитый английский математик Годфри Харди насмешливо писал в пику ученым, представлявшим другие дисциплины: «В наше время говорят, что наука полезна, если она способствует дальнейшему нарастанию неравенства в распределении разного рода благ или содействует уничтожению человеческой жизни... Математика же далека от нужд войны. Еще никому не довелось додуматься, как можно было бы использовать теорию чисел в военных целях». (Впрочем, через пару лет как раз его коллега, Джон фон Нейман, средствами математики докажет, что взрывной способ детонации атомной бомбы возможен.)

Они прославили математику. Слева направо: Иоганн Кеплер, Август Фердинанд Мёбиус, Давид Гильберт, Амалия Эмми Нётер, Гюнтер Циглер

Итак, математический талант — это способность переводить проблемы повседневной жизни на язык символов. Проблемы самой математики начинаются «с корней и истоков», то бишь с чисел. С них, с действий над ними рождается эта наука. Однако никто не возьмется объяснить, что такое число. Более того, норвежский математик Торальф Сколем даже доказал, что такое определение по сути своей невозможно. Числа ускользают от любых дефиниций. Какое бы определение мы им ни подобрали, всегда найдется некая математическая структура, которая отвечала бы предложенному термину, но не являлась бы числом. «Свободные, бесплотные, как тени» (В. Брюсов), эти столпы математики ускользают от ученых, не дают себя отнести к какой-либо категории, хотя любой ребенок понимает, что же такое числа и чем они отличаются, например, от треугольников или слов.

А являются ли числа элементами, присущими самой природе, или изобретены людьми? Может быть, все «здание математики» — это иллюзия, порожденная нашими мысленными операциями над выдуманными нашими же предками символами? Эйнштейну, например, казалось очевидным, что числа суть «творение человеческого разума, созданный нами инструмент». Возможно, решить проблему их происхождения доведется вовсе не математикам. Ведь если числа придуманы людьми, значит, они коренятся... в особенностях нашего мозга. Ими должен заниматься один из его отделов. «Число — одна из фундаментальных категорий, позволяющих нашей нервной системе обрабатывать сигналы, которые поступают из окружающего мира», — полагает французский математик и психолог Станислас Деэн.

Исследователи даже предположили, где, в какой части мозга находится этот отдел: в области теменной доли. При ее повреждении больные начинают теряться, пытаясь понять смысл того или иного числа, и беспомощны в решении простейших задач, вроде «7 — 2 = х».

Значит, мы проникаемся математикой от рождения? Ученые обнаружили, что ребенка не надобно учить тому, что такое «2» и что такое «3» — он уже рождается с представлением об этом. Для самих исследователей это стало неожиданностью: ведь долгое время считалось, что мозг ребенка — это «чистый лист бумаги», который постепенно заполняется по мере того, как малыш чему-либо учится. Дети достаточно поздно постигают такую абстрактную категорию, как «числа», — примерно к пяти годам, полагал известный детский психолог Жан Пиаже.

Однако лабораторные наблюдения за новорожденными малышами показали, что те умеют различать не только формы и краски. Нет, они узнают характерный тон материнского голоса, обладают хорошей памятью и — разбираются в числах! Если ребенку показывали ряд слайдов, на которых было изображено три каких-либо предмета, он постепенно терял интерес к картинкам, отводил глаза, опускал голову. Но стоило только прервать монотонную серию слайдов и ввернуть карточку, где было всего два предмета — все равно каких, больших или маленьких, красных или синих, — как «грудничок» удивленно поворачивал голову. Очевидно, он понимал разницу между «двумя» и «тремя». Это, наверное, коренилось где-то в его мозгу.

Президент Международного математического союза Джон Болл

Мало того, дети умеют даже считать! Если грудному ребенку показывали две куклы, прятали их за ширму, а чуть позже доставали одну из них, он был уверен, что за ширмой лежит еще одна. Исследователи хитрили. На самом деле там была еще и заранее припасенная кукла. Вот обе их и извлекали теперь на глазах у ребенка. У того удивленно вытягивались глаза. «Как же так! — казалось, малыш все продолжал вычитать и пересчитывать. — Было две. Достали одну. Осталось снова две? 2 — 1 = 2?! Не верю!»

Десятки подобных экспериментов доказали, что младенцам знакомо элементарное искусство счета. Впрочем, у ученых остается обширное поле для интерпретаций. Знают ли дети, что «3» больше, чем «2»? Или для них «два» и «три» — это то, что невозможно сравнить друг с другом, используя категории «больше» или «меньше»? Нельзя же, к примеру, сказать, что «красное» больше, чем «синее». Может быть, и числа для детей — что-то вроде цвета или формы? Исследователи теряются в догадках.

Зато им пришлось убедиться в том, что концепция «числа» — отнюдь не плод человеческого мышления. Способность оперировать с числами возникла у живых организмов задолго до того, как на генеалогическом древе эволюции вызрел хомо сапиенс. Многочисленные опыты наглядно показывают, что обезьяны, крысы и даже голуби умеют различать число вспышек света, количество зерен или ходов в лабиринте (о математических способностях рыб см. «З—С», 7/08). Впрочем, животные, похоже, считают в лучшем случае до пяти или шести. Например, крыс обучали добывать корм, нажимая несколько раз лапкой на рычаг. Когда от зверьков потребовали жать на рычаг восемь раз, они буквально «сдались» на милость человека. Их невозможно было научить этому — точно так же бессмысленно заставлять нас улавливать ультразвук или видеть все в инфракрасном свете.

В мире больших чисел животные ориентируются лишь приблизительно, причем по мере того, как количество предметов, с которыми они имеют дело, растет, ошибаются все чаще и грубее. «Впрочем, для человеческого мозга тоже характерно нечто подобное, — отмечает Станислас Деэн. — Всякий раз, когда мы не можем представить себе какое-то число, пытаемся оценить его приблизительное значение — поступаем так же, как крыса или шимпанзе».

Но если животные, подобно нам, умеют оценивать числа, то где главное различие между мозгом человека и зверя? Почему одни обречены путаться среди туманных призраков цифири, а другие (хотя бы некоторые уникумы) способны всего за 11,8 секунды извлекать корень тринадцатой степени из стозначного числа?

Важнейшее преимущество человека, позволяющее ему выполнять сложные вычисления, заключается в том, что он умеет создавать символы. Иными словами, научившись присваивать числам имена, люди заложили основы счетного искусства и математики вообще. Только тот, кто различает числа «47» и «74» по именам, может оперировать с ними.

Математика, ставшая основой научного мышления, дала человеку возможность проявить самую удивительную способность головного мозга — умение обобщать и абстрагироваться от конкретной реальности. Любое уравнение отражает накопленный опыт. «Мы окружены, главным образом, отдельными предметами, а для них справедливо известное нам равенство 1 + 1 = 2, — поясняет Деэн. — Эволюция запечатлела его буквально в наших генах. А вот если бы люди с древнейших времен витали в облаках, где одно облако, встречаясь с другим, сливается с ним воедино, то, возможно, вся наша арифметика выглядела бы иначе, и в ней 1 + 1 равнялось бы единице».

В конце концов, математика тоже подвержена своего рода эволюции. «Ее современная ипостась, может быть, потому так эффективна, что неэффективная математика древности безоглядно искоренялась нашими далекими предками и заменялась более гармоничными и точными теориями». Так что ее совершенство должно удивлять нас не больше, чем уникальное строение глаза, на эволюцию которого природа потратила миллионы лет. Некоторые люди даже считают математику таким же видом искусства, как музыка, живопись или поэзия. Ведь ее приверженцы, подобно художникам, порождают нечто оригинальное, никогда не существовавшее. Они творят новые формы буквально из ничего.

В любом случае предрасположенность к математике коренится в нас глубже, чем мы думали. Это чувствуют даже те, кто не любит ее и бравирует этим. На самом деле, вместо того чтобы сгорать от ненависти к науке формул и цифр, им следовало бы почаще прислушиваться к себе, доверять своим ощущениям, которые всегда могут подсказать, что, «похоже, я делаю что-то не то» или «ответ, наверное, неверный получился». Ведь каждый из нас все-таки умеет считать, даже тому не учась, — пусть и не так точно, как компьютер.

Дети дошкольного возраста, умеющие хорошо рассказывать, впоследствии успевают и на занятиях по математике. Это показала канадская исследовательница Даниэла О'Нил. Она давала малышам трех-четырех лет незнакомую им книжку с картинками. Требовалось, чтобы те посмотрели ее, а затем пересказали увиденное кукле. Дети выполняли задание с удовольствием. О'Нил же наблюдала за тем, какие предложения строят малыши, сочиняя историю, к каким формулировкам они прибегают, пространным или коротким.

Через два года этим же детям она предложила решить ряд арифметических задач. Оказалось, что лучше всего с ними справлялись те, кто когда-то наиболее интересно рассказывал увиденную историю. Исследовательница отметила также наиболее характерные особенности построения рассказа этими детьми. В частности, их изложение сюжета было очень логичным, они легко увязывали друг с другом разные события и четко разграничивали поступки действующих лиц. Каждый персонаж был для них наделен своим характером и действовал в полном соответствии с его логикой. Хорошо сознавая эту логику, малыши четко формулировали, что чувствует тот или иной герой и о чем он думает.