Большая Советская Энциклопедия (ПЕ)

Первый интеграл

Пе'рвый интегра'л системы обыкновенных дифференциальных уравнений

, i = 1, …, n

— соотношение вида

(где С — произвольная постоянная), левая часть которого сохраняет постоянное значение при подстановке любого решения y₁ = y₁ (x ),..., y_n = y_n (x ) системы, но не является тождественной постоянной (см. Дифференциальные уравнения ). Геометрически П. и. представляет собой семейство гиперповерхностей в (n + 1)-мерном пространстве Oxy₁ ... y_n , на каждой из которых расположено некоторое подсемейство интегральных кривых системы. Например, одним из П. и. системы , является y² + x² = C² (круговые цилиндры); интегральные кривые у = C sin (x — x₀ ), z = C cos (x—x₀ ) суть винтовые линии, расположенные на этих цилиндрах (см. рис. ). Если известно k независимых П. и. Ф_i (x₁ , y₁ ,..., у_п ) = C_i (i = 1,..., k; k < n ) системы, то её порядок, вообще говоря, может быть понижен на k единиц; если k = n, то общий интеграл системы получается без интегрирования.

Лит.: Степанов В. В., Курс дифференциальных уравнений, 8 изд., М., 1959.

Рис. к ст. Первый интеграл.