Большая Советская Энциклопедия (ПЕ)

Перегиба точка

Переги'ба то'чка, точка М плоской кривой, обладающая следующими свойствами: в точке М кривая имеет единственную касательную; в достаточно малой окрестности точки М кривая расположена внутри одной пары вертикальных углов, образуемых касательной и нормалью . Примером П. т. является точка (0, 0) кривой у = x³ . Пусть кривая задана уравнением y = f (x ), где функция f (x ) имеет непрерывную вторую производную f’' (x ). Если точка с координатами [х₀ , f (x₀ )] является П. т., то f''(x) = 0 (отсюда следует, что в П. т. кривизна линии равна нулю); обратное утверждение неверно. Например, последнее равенство выполняется для кривой у = x⁴ в точке (0, 0), хотя эта точка не является П. т. Полное исследование вопроса, будет ли данная точка кривой П. т., требует привлечения производных более высоких порядков (если они существуют) или других дополнительных рассмотрений. (см. рис. )

Рис. к ст. Перегиба точка.