2000 №2

МАТЕМАТИЧЕСКИЕ ДОСУГИ

Если на любом участке числовой прямой известна сумма n последовательно идущих чисел (то есть чисел, входящих в отрезок [А₁, A_n]), то сумма следующих n чисел (отрезка [А_n+1, А_2n+1]) будет равна этой сумме плюс n², квадрат «длины отрезка», а сумма предыдущих n чисел — минус n².

Пример 1. Возьмем на оси числа 4, 5, 6, то есть первый отрезок [4,6], второй — [7,9], третий — [1,3]. Их длина n = 3. Тогда сумма членов первого отрезка S₁ = 4 + 5 + 6 = 15, второго S₂ = 7 + 8 + 9 = 24 = S₁ + n² = 15 + 9, S₃ = 1 + 2 + 3 = 6 = S₁ — n² = 15 — 9.

Пример 2. Первый отрезок [1, 4], второй — [—3,0], их длина n = 4. Тогда S₁ = 1 + 2 + 3 + 4 = 10, S₂ = 0 + (-1) + (-2) + (-3) = -6 = S₁ - n² = 10–16.

Попробуйте доказать эту теорему в общем виде, то есть для любых А и n.

Е. ФЕДОРОВ (г. Мурманск).

Фокусы знаменитого иллюзиониста Дэвида Копперфильда восхищают и поражают зрителей не только сложностью и оригинальностью, но прежде всего грандиозностью замысла и мастерством его воплощения, использованием сложнейших оптических эффектов, специальных устройств и приспособлений. Примечательно, что Дэвид Копперфильд включил в свои программы также серию математических фокусов, которые редко показывают на эстраде из-за того, что они не очень зрелищны. Тем не менее Копперфильду удалось найти эффектную подачу одного такого фокуса, описанного в известной нашим читателям книге Мартина Гарднера «Математические чудеса и тайны» (М.: Наука, 1978). Фокусник не только приглашает поучаствовать в нем всех зрителей в зале, но делает активным участником представления каждого телезрителя.

Происходит это следующим образом. Фокусник размещает на экране пятнадцать предметов, например кружков, и выкладывает их в виде шестерки: в колечке — 12, а в хвостике — 3. У Копперфильда кружки заменены одной звездочкой и двумя стрелками (в хвостике) и картинками (в колечке), изображающими среди прочего самые известные в мире достопримечательности: Эйфелеву башню, Египетские пирамиды, Статую Свободы и т. д.). Зрителям предлагается задумать любое число больше трех (предположим, семь) и отсчитать его сверху вниз, начиная с первой звездочки, по хвостику и далее по колечку против часовой стрелки (рис. 1).

Затем фокусник просит зрителей снова посчитать предметы до задуманного числа, начиная с того, на котором они остановились, но на этот раз по часовой стрелке и только вокруг колечка (рис. 2). Предмет, на который при счете попадает задуманное число, на рисунках затенен.

В принципе фокус может быть закончен уже на этой стадии, но Копперфильд идет дальше. Он уверенно снимает с экрана ряд предметов, заявляя, что они лишние и зритель остановиться на них не мог (рис. 3).

Затем снова предлагает отсчитать в любом направлении еще четыре предмета, начиная с соседнего от того, на котором остановился каждый зритель на предыдущем шаге (рис. 4).

Удивительно то, что в результате этих манипуляций все указывают на один и тот же предмет.

Фокусы такого типа называются фокусами с предопределенным выбором. Они основаны на том, что, независимо от варианта схемы (количества звездочек на хвостике или предметов на колечке), действий фокусника и зрителей, результат предсказуем и будет одним и тем же для всех участников, несмотря на то, что каждый из них задумал свое число. При всей кажущейся сложности объяснение этих фокусов достаточно простое.

Итак, независимо от того, какое число первоначально задумал зритель, счет заканчивается всегда на одном и том же предмете. Чтобы его найти, нужно хвостик шестерки, в данном случае три звездочки, наложить на колечко по часовой стрелке, начиная с предмета, следующего (тоже по часовой стрелке) за тем, к которому подходит хвостик. Кончик хвостика ляжет на задуманный предмет на колечке (рис. 5).

Все остальные манипуляции фокусника — лишь отвлекающий маневр для того, чтобы замаскировать этот факт. В зависимости от фантазии фокусника, он может на каком-то этапе даже снять с экрана предмет, на котором остановился зритель при первоначальном счете, — ответ все равно будет для всех одинаковый.

Теперь легко догадаться, для чего фокусник ставит ограничение на задуманное число (в нашем случае больше трех): только выполнение этого условия позволит зрителям при счете предметов попасть на кольцо — основную фигуру для манипуляции.

Узнав секрет фокуса, вы можете модернизировать его по собственному усмотрению.

В заключение предлагаем вам некоторую вариацию описанного фокуса — угадывание задуманного числа на циферблате часов. Попытайтесь разгадать его самостоятельно.

Фокус начинается с того, что зритель задумывает какое-нибудь число от 1 до 12. Фокусник берет указку и начинает притрагиваться ее кончиком к числам на циферблате часов, причем делает это, по-видимому, в совершенно произвольном порядке. Зритель считает про себя, начиная с задуманного числа, прикосновения фокусника к часам и, дойдя до 20, произносит слово «стоп». И странное совпадение: в этот момент указка оказывается как раз на задуманном числе.

Подсказка. В этом фокусе, так же, как в предыдущем, применяются принципы последовательного счета и предопределенного выбора. Чтобы его разгадать, используйте разность чисел 20 и 12, равную 8, и тот факт, что девятое прикосновение фокусника к циферблату должно обязательно попасть на одно из этих чисел.

Кандидат технических наук В. ГЕЛЬМИЗА.

Перед вами пример на умножение, где цифры заменены буквами, причем каждой цифре соответствует своя буква. Какое десятибуквенное слово послужило основой для шифровки примера?