Геометрия и "Марсельеза"

В пустой шахте

В истории геометрической науки произошло событие чрезвычайное. Его ждали и в то же время будто бы уже и не ждали. Вторжения в эту область знания разных умов с разных сторон заметного успеха давно не приносили. Не случайно Лагранж в письме Д`Аламберу еще в 1781 году писал: «Я думаю, что шахта становится слишком глубока и что ее придется рано или поздно бросить, если не будут открыты новые рудоносные жилы. Физика и химия представляют ныне сокровища, гораздо более блестящие и более легко эксплуатируемые; таким образом, по-видимому, все всецело обратились в эту сторону, и, возможно, что места по геометрии в Академии наук сделаются когда-нибудь тем, чем являются в настоящее время кафедры арабского языка в университетах».

А между тем прощаться с геометрией было рано. В обветшалой уже шахте Монж нашел богатейшую жилу. Неустанно ее разрабатывая в провинциальном городке «без руководителя и образца», как говорили прежде о создании Монжем пожарного насоса, он вернул геометрии в эпоху повального увлечения анализом именно ее, чисто геометрическую суть, обогатил древнюю науку новыми идеями и заставил засиять новыми красками. Перед нею раскрылись необычайно широкие перспективы.

«…После почти вековой остановки, — писал геометр и историк этой науки М. Шаль, — чистая геометрия обогатилась новым учением — начертательной геометрией, которая представляет необходимое дополнение аналитической геометрии Декарта и которая, подобно ей, должна была принести неисчислимые результаты и отметить новую эпоху в истории геометрии. Этою наукой мы обязаны творческому гению Монжа».

Казалось бы, успех необычайный…

Триумфальные поездки по европейским столицам, блистательные доклады во всех научных центрах мира, почетное членство зарубежных академий, всемирная слава — все это вполне могла нарисовать пылкая фантазия Монжа, который, конечно же, хорошо понимал значение того, что он совершил.

Выполнена работа гигантская, найдены пути невиданные, причем нашел их не Эйлер, Гюйгенс или Ньютон, не другой подобный им «гигант, стоящий на плечах гигантов», а безвестный репетитор двадцати лет от роду. Было от чего вскружиться голове. Но фантазия не рисовала Монжу блистательных поездок по Европе. И это хорошо, ибо как ни велика честь быть создателем новой науки, никакого триумфа не было. Его если не отменили, то отложили на многие годы начальники Монжа по Мезьерской школе, усмотрев особую важность нового метода для фортификации, для военного дела, а вероятнее всего — для повышения престижа своей школы.

Пусть остаются иностранцы при своей несчастной рутине, пускай строят ощупью, воздвигают, ломают и перестраивают свои сооружения, пусть, наконец, если не преуспеют в этом, терпят военные поражения. Нам ли помогать им, нам ли вооружать их новейшими научными методами! — так решило руководство школы. Метод Монжа закрыли, засекретили, обязав автора ни письменно, ни устно не разглашать свое открытие.

О новом методе познания, а главное, о новом универсальном инструменте, данном наукой в руки инженера, конструктора, создателя машин, не говоря уж о своем личном авторстве, Монж принужден был молчать. Но не именем своим был озабочен Монж и не оскорбленное самолюбие в нем говорило, когда ему запретили пропагандировать свой метод. Ученый был убежден, что начертательная геометрия должна стать одним из главных предметов народного образования, ибо, как он говорил, «даваемые ею методы нужны мастерам своего дела не меньше, чем чтение, письмо или арифметика».

Но запрет есть запрет. И Гаспар Монж все начал снова. Спустившись вновь в ту самую шахту, которую Лагранж назвал пустой, он нашел еще одну жилу. Причем и на этот раз он исходил не из умозрительных суждений, а из запросов практики, все той же фортификации, которой посвятил почти всю свою жизнь столь уважаемый Монжем Вобан.

Этот всемирно известный военный инженер, в прошлом слуга священника, начал службу с восемнадцати лет, но к сорока одному году «дотянул» лишь до капитана: более высокого чина не мог тогда получить ни один офицер инженерной службы. Однако за великие заслуги перед государем — взятие нескольких крепостей, потом еще нескольких, Вобан (неслыханное дело!) удостоился звания маршала. На счету великого фортификатора участие в осаде пятидесяти трех крепостей, защита двух, постройка тридцати трех и перестройка более трехсот. Почетный член Академии наук, Вобан знал свое дело, как никто. И потому не случайно именно ему пришла мысль заняться изучением физической работоспособности человека, оценкой его возможностей на строительных работах. Сколько может переместить земли человек, вооруженный лопатой и тачкой, за рабочий день? На этот вопрос Вобан дал четкий ответ: он может переместить около пятнадцати кубометров земли на расстояние тридцать метров (понятно, Вобан пользовался старыми единицами измерения). Свои подсчеты Вобан положил в основу соответствующих нормативов. А это уже серьезная база для планирования фортификационных работ.

Но если Вобан подходил к проблеме как инженер-строитель, ограничившись лишь энергетической стороной дела, то Монж пошел дальше. Взяв ту же задачу о перемещении земли, он подошел к ней, как мы говорим сейчас, с позиции научной организации труда. Результаты Вобана в наш век мощных землеройных машин особой ценности не имеют. Что же касается идеи Монжа, то она значения отнюдь не утратила. Дело как раз в том, что он решил вопрос более сложный: где именно брать и в какое именно место перемещать ту или иную тачку земли, чтобы при земляных работах затраты труда были минимальными. Это уже типичная для наших дней задача оптимизации или, как мы все чаще говорим, принцип достижения максимума результата при минимуме затрат.

И что совершенно в духе Монжа, решил он эту задачу методами геометрическими. И опять-таки двинул саму науку вперед. Еще один удар по неверию в возможности его любимой геометрии! Мемуар Монжа о выемках и насыпях — яркое свидетельство того, что проницательный взгляд ученого и в выработанном штреке находит изумительные по красоте камни.

Глубокая геометрическая интуиция, смелость полета мысли, пусть даже и не очень строгая доказательность — яркая черта дарования Монжа. «Она, — писал М. Я. Выговский в предисловии к русскому переводу книги Монжа «Приложение анализа к геометрии», — ведет иногда Монжа к ошибкам, которых он не сделал бы, если бы шел осторожнее. Но тогда он, вероятно, оставил бы нетронутыми многие из тех проблем, которые он разрешил. И здесь Монж не является исключением: во все времена новые методы математического исследования создавались на пути пренебрежения к строгости и точности, на пути предвосхищения результатов смелой фантазией исследователя».

Что же нашла фантазия Монжа в ямах и насыпях, без которых не обходится ни одна стройка? Рассматривая систему линий, соединяющих точки, из которых следует взять «молекулы земли», с точками, куда их надо поместить (при условии минимальных затрат), он приходит к сложной геометрической задаче, еще не решенной никем, доказывает ряд новых положений и теорем, вводит понятие о конгруэнции и о линиях кривизны. Это новое понятие, вошедшее затем в научный обиход (до Монжа знали только радиус кривизны плоской кривой), вскоре нашло применение совсем в иных областях: ученик Монжа Малюс использовал его при решении оптической задачи, а сам Монж — в теории сооружения сводов. Главное же — найден новый инструмент для изучения пространственных объектов, геометрия получила новый толчок.

«Не кажется ли вам, — писал Лагранж Д’Аламберу, — что высшая геометрия идет к некоторому упадку?» А Монж тем временем написал еще один мемуар, вошедший в историю науки. Название его звучит скучновато: «Мемуар о развертках, радиусах кривизны и различных родах перегиба кривых двоякой кривизны». Не будем вдаваться в его изложение, но отметим, что и он пролежал без опубликования довольно долго (четырнадцать лет) и что, невзирая на это неблагоприятное обстоятельство, мезьерские работы Монжа в области дифференциальной геометрии положили начало новому направлению математической мысли, направлению настолько продуктивному, что, по всеобщему признанию, и конец XVIII и начало XIX века прошли под знаком замечательных идей Монжа.

Назовем, наконец, не следуя хронологии, а сообразуясь лишь с логикой повествования, знаменитый мемуар Монжа, посланный им в Туринскую академию в самом начале его трудов на ниве дифференциальной геометрии. В этом мемуаре речь шла об описании поверхностей на основе нового подхода. Великие предшественники Монжа Ньютон и Эйлер тоже, грешным делом, занимались этим вопросом. Они пытались классифицировать поверхности в зависимости от вида описывающих их уравнений. Однако встретив непреодолимые трудности, оба гения бросили эту тему.

Монж подошел к ней не как аналитик, а как инженер. Ему не важно было знать, существует ли алгебраическое уравнение, соответствующее той или иной кривой поверхности, и будет ли оно найдено. Его интересовал вопрос: как задать поверхность, чтобы ее можно было выполнить в материале? О способе задания любых поверхностей, а не тех только, которые научились аналитически выражать высочайшие умы, он и рассказал в своем мемуаре. Главная идея Монжа вытекала не из статического восприятия объектов, а из движения, которое могло бы образовывать (порождать) ту или иную поверхность. Подобие тому — гончарные изделия, известные с древнейших времен. Мы не знаем, да в этом и нет надобности, уравнения кривой, по которой шла рука виртуоза-гончара, создававшего шедевр уникальной формы. Но мы знаем закон, во которому эта поверхность образована, как и тысячи других, не менее изощренных: эта поверхность порождена вращением.

Суждения Монжа о способах задания поверхностей, выражающих их происхождение, были напечатаны в Записках Туринской академии, что и сделало его имя известным. Своему мемуару он предпослал тогда небезынтересную оговорку: «Я уверен, — писал он, — что идеи часто остаются бесплодными в руках людей обыкновенных, а искусные геометры извлекают из них большую пользу. По этой причине препровождаю мои исследования в Туринскую академию».

На эту тонкую похвалу туринским геометрам Лагранж отозвался е обычным для него просторечием: «Этот дьявол со своим происхождением поверхностей идет к бессмертию».

История подтвердила справедливость суждения Лагранжа. Говорят, что он очень завидовал Монжу именно в этом. Я бы очень хотел, с восхищением говорил он, чтобы это открытие было сделано мной.