Быстрая математика: секреты устного счета

Глава 15 Деление посредством сложения

Данный метод очень хорош для деления на числа, чуть меньшие по величине, чем 10, 100, 1000 и т. д., или такие, как 20, 300, 500 и т. д. Он также служит хорошей иллюстрацией того, что, по сути, представляет собой деление.

Сколько раз 9 делит 10? Один раз с остатком 1. Таким образом, для каждой десятки 9 разделит ее 1 раз и даст в остатке 1. Поэтому число 20 разделится на 9 два раза с остатком 2. Число 40 — четыре раза с остатком 4. И так для каждой десятки в составе числа.

Если у вас есть несколько долларов, вы можете купить что-нибудь за 90 центов за каждый доллар и получить 10 центов сдачи. Если у вас достаточно денег, вы можете купить что-то еще на накопившуюся сдачу. Это приводит нас к новому и легкому способу решения непростых задач на деление. Деля на 90 центов, поделите сначала на 100 (доллар) и возьмите сдачу.

Например, если бы вы покупали напиток за 95 центов, а у вас в кармане есть 1,20 доллара, вы дали бы продавцу доллар, оставив в кармане 20 центов. Плюс к этому вы получили бы 5 центов сдачи, поэтому от покупки у вас осталось бы 25 центов, или, как мы сказали бы, ваш остаток составил бы 25 центов.

Таким образом, можно сказать, что при делении 120 на 95 получается 1 с остатком 25.

Рассмотрим пример:

Мы делим 234 на 96. Записываем решение привычным образом, однако рисуем кружок под 96 и вписываем в него 4. (На сколько 96 меньше 100?)

Теперь, вместо того чтобы делить на 96, делим на 100. Сколько раз 100 содержится в 234? Два раза с остатком 34. Записываем 2 как первую цифру ответа.

Остаток 34 необходимо сложить с остатком 4 с каждой сотни. В нашем случае у нас две сотни, поэтому наш остаток равен 2 х 4, то есть 8, плюс ранее полученный остаток 34, что в сумме дает нам 42 в качестве общего остатка.

Речь идет о том, что 234 делится на 100 дважды и остаток составляет 34. Поскольку на самом деле мы делим на 96, нам необходимо учесть остаток 4 с каждой сотни, на которую делится исходное число.

Если бы мы покупали вещи по цене 96 центов и имели при этом 2,34 доллара в кармане, то отдали бы продавцу 2,00 доллара и оставили бы в кармане 34 цента. Мы к тому же получили бы 8 центов сдачи, которые в сумме с имеющимися 34 центами дали бы 42 цента.

Разберем еще один пример:

705: 89 =

Записываем условие задачи:

89 на 11 меньше 100, поэтому записываем 11 под делителем.

Сколько сотен содержится в 705? Очевидно, что 7, поэтому записываем в ответ 7.

Каков наш остаток? На каждую сотню остаток составляет 11. Сотен у нас 7, поэтому остаток равен 7 х 11, то есть 77. К 77 надо приплюсовать 5, что осталось от 705, и это дает нам 82 (77 + 5 = 82).

Опять заметим, что сотни мы больше не трогаем, а имеем дело только с остатком 5.

Вычислим ответ с точностью до двух знаков после запятой.

Теперь делим 820 на 89.

Мы имеем 8 сотен, поэтому 8 — следующая цифра ответа. 8, умноженное на 11, дает 88.

88 плюс 20 (что осталось от 820) равно 108 — это суммарный остаток. Он очевидным образом слишком велик, поскольку превышает наш делитель, поэтому увеличим последнюю полученную цифру ответа на 1. Теперь решение выглядит следующим образом:

Поскольку нам пришлось увеличить цифру ответа на единицу, вычтем один раз рабочий делитель (100) из нашего остатка. Вычеркнем единицу из разряда сотен в остатке и получим настоящий остаток: 19.

Сносим нуль сверху и получаем 190.

Видно, что 89 делит 190 дважды, поэтому просто записываем 2 в качестве следующей цифры ответа. (90 в составе 190 уже больше, чем наш делитель.)

(Если для вас не очевидно, что в ответ надо записать 2, вы могли бы записать 1 в качестве следующей цифры, помня о том, что хотя бы одна сотня содержится в 190. 1 на 11 равно 11, которое мы должны прибавить к 90, оставшемуся от 190, и в результате получим 101. Поскольку делитель равен 89, а мы не можем иметь остатка 101, превышающего его, этот вариант следует отбросить, а взять в качестве следующей цифры ответа 2.)

Поскольку мы увеличили последнюю цифру ответа на 1, вычитаем 100 х 1 из остатка. 112 минус 100 дает 12. Сносим последний нуль и получаем 120.

120 делится на 89 единожды, что позволяет нам получить в ответе 7,921. Поскольку ответ нам нужен с точностью до двух десятичных знаков, можно округлить до 7,92. Всю задачу можно было без труда решить в уме.

Попробуйте решить следующие примеры в уме, получив целую часть ответа и остаток.

а) 645: 98 = __; б) 2345: 95 = __; в) 234: 88 = __; г) 1234: 89 = __

Ответы

а) 6 r57; б) 24 r65; в) 2 r58; г) 13 r77

Легко, не правда ли?

Данный метод хорошо применять, когда речь идет о делении на числа чуть меньше 100, 1000 и т. д. или числа, кратные 100, 1000 и т. д., но может использоваться и в случае деления других чисел.

Пример:

23456: 187 =

Записываем задачу как обычно:

Используем рабочий делитель 200, поскольку 187 равно 200 минус 13.

Приступаем к расчетам. 234 делится на 200 один раз, поэтому первая цифра ответа будет 1. Записываем 1 над 5.

Умножаем полученную цифру ответа (1) на число в кружке (13) и получаем в результате 13. Записываем 13 под 234 и прибавляем к 34.

34 + 13 = 47

Сносим следующую цифру (5) к 47 и получаем 475.

Делим 475 на 200. 400 делится на 200 дважды, поэтому 2 — это следующая цифра ответа.

Умножаем 2 на 13 и получаем 26.

75 + 26 = 101

Сносим следующую цифру (6).

Делим 1016 на 200. 1000 делится на 200 пять раз, поэтому следующей цифрой в ответе будет 5. 5 х 13 равно 65. 65 плюс 16 равно 81 — это наш остаток.

Наш ответ: 125 и 81 в остатке.

Бесспорно, гораздо легче умножать 13 на каждую цифру ответа, чем то же самое делать с числом 187.

Следующий пример показывает, как поступать, когда вы получаете остаток, выполняя деление на рабочий делитель.

4567: 293 =

Задача в начальном виде выглядит так:

Делим 400 на 300, получая 1 с остатком 100. Я обычно обозначаю переносимый остаток маленькой единичкой.

1 на 7 равно 7, поэтому прибавляем 7 к 56. К этому следует приплюсовать 100, наш предыдущий остаток, и в итоге получаем суммарный остаток (163).

Сносим следующую цифру делимого. Теперь делим 1637 на 300.

1600 делится на 300 пять раз, остатком является 100. Выполняем ту же процедуру.

37 плюс 135 дает остаток 172. При решении данного примера нам пришлось дважды переносить остаток.

Рассмотрим еще один пример:

45678: 378 =

378 на 22 меньше 400, поэтому наш метод может быть с успехом применен.

Записываем задачу принятым нами способом:

Используем 400 в качестве рабочего делителя.

Первое вычисление не представляет труда. 465 делится на 400 один раз.

22, умноженное на 1, дает 22. Прибавляем 22 к 56 и получаем 78.

Сносим следующую цифру делимого (7).

401 содержится в 787 один раз, однако 787 — это почти 800, и к тому же мы ведь на самом деле делим не на 400, а на 378. Можно предположить, что результатом деления является 2. Давайте проверим это.

2 на 22 равно 44. 87 плюс 44 дает 131. Вычтем 100 (получив 31), поскольку мы прибавили 1 к очередной цифре ответа, записав 2 вместо 1. Речь идет о том, что мы просто нашли разность от вычитания 378 дважды из 787. Ответом должно быть число, которое меньше 100. Теперь снесем вниз следующую цифру (8).

400 не делит 318 с целой частью, большей 0. Проверим, как насчет нашего настоящего делителя. 318 не делится и на 378, поэтому берем в качестве очередной цифры в ответе 0, а 318 становится остатком.

А как бы мы решали такую задачу?

1410: 95 =

Используя рассматриваемый метод, ее можно решить двумя способами. Сначала рассмотрим решение первым способом.

Можно спросить себя: «Сколько раз тысяча четыреста делится на сто?» 14 раз. Записываем 14 в качестве ответа. Теперь займемся остатком. 14, умноженное на 5, дает 70. (14 на 2 дает 7. 5 на 2 равно 10, 10 умножить на 7 будет 70.) 70 плюс остаток от 1410 (10) дает 80. Ответ: 14 с остатком 80.

Второй способ:

141 делится на 100 один раз с остатком 41.

1 на 5 равно 5, плюс остаток 41 — получаем 46. Сносим следующую цифру делимого (0), что дает нам 460.

460 делится на 100 четыре раза с остатком 60. 4 на 5 равно 20, плюс остаток 60 — равно 80 (остатку).

Первый способ легче и удобнее для вычислений в уме, не так ли? Попробуйте решить пример обоими способами в уме и сравнить, какой из них легче.

Возможные осложнения

Приведу интересный пример, демонстрирующий возможные проблемы при использовании метода:

3456: 187 =

Оформляем как обычно:

Делим 300 в составе 345 на 200. Ответом служит 1 с остатком 100. Записываем это в таком виде:

Ставим единичку над цифрой сотен (3 — это цифра в разряде сотен числа 345), которая обозначает полученный нами остаток 100.

Теперь умножим: 1 х 13 = 13. Прибавляем результат к 45, что осталось от 345, а также приплюсовываем 100 — переносимый остаток.

Этим мы подразумеваем следующее: если у нас имеется в кармане 345 долларов и мы покупаем что-нибудь за 187 долларов, то можем дать 200 долларов продавцу и оставить 145 долларов в кармане. Нам дадут еще 13 долларов сдачи, и вместе с деньгами, оставшимися в кармане, теперь у нас окажется 158 долларов.

Сносим цифру 6. Теперь нам нужно разделить 1586 на 200.

1500 делится на 200 семь раз с остатком 100. Не забудьте сделать поправку по поводу данного остатка в виде единички в разряде сотен. Можно видеть, что остаток получится большой: 7 х 13, плюс 186, что осталось от 1586. Поэтому увеличиваем цифру в ответе на 1, получая 8 вместо 7. Произведение 8 х 13 посчитать легко: 8 на 10 равно 80, плюс 8 х 3 = 24 — получаем в итоге 104.

Поскольку дополнительная единица, которую мы прибавили к цифре ответа, соответствует еще 200 в качестве делителя, нам следует вычесть их из остатка. Припишем — 200 справа от решения в напоминание об этом.

Прибавляем 186 к 104 и получим 290. Теперь вычтем из этой суммы записанные справа 200 и получим наш окончательный остаток 90. Процедура, описанная выше, простой не кажется, однако после некоторой тренировки вы обнаружите, что на самом деле все совсем несложно. Главное — это внимательно следить за собственными действиями и отдавать себе отчет в том, что вы делаете на каждом шаге. Попробуйте решить несколько аналогичных примеров, и накопленный опыт не преминет сказаться.

Можем ли мы использовать данный способ, чтобы разделить 34567 на 937? Хотя 937 расположено недалеко от 1000, разница все равно больше, чем раньше, — поэтому умножение на такое число легким не назовешь.

Попробуем решить эту задачу.

Первым шагом будет разделить 3000 на 1000. Ответом, очевидно, является 3. Это первая цифра нашего ответа.

Теперь нам необходимо умножить число в кружке на 3.

3, умноженное на 60, дает 180 и 3 на 3 будет 9; ответ, таким образом, равен 189. Записываем 189 под 3456 и прибавляем его к 456, чтобы получить остаток.

456 + 189 = 645

Сносим следующую цифру (7).

Теперь нам необходимо разделить 6457 на 1000.

6000 при делении на 1000 дает 6. Теперь умножим 63 на 6. Трудная ли это задача? Нет. 6 на 60 дает 360 и плюс 3 х 6 = 18 — получаем 378.

Прибавим это к 457 и получим наш остаток 835.

Итак, 34567, деленное на 937, дает 36 с остатком 835. Продолжим деление до получения ответа с двумя знаками после запятой.

Добавляем на один нуль после запятой больше, чем требуется для ответа.

Сносим первый нуль и получаем 8350. Сколько раз 1000 содержится в 8000? Восемь, поэтому 8 — это следующая цифра ответа.

8, умноженное на 63, дает 504. (8 на 60 равно 480 и 8 на 3 равно 24. 480 плюс 24 дает 504.)

Снесем следующую цифру (0), это даст нам 8540, затем разделим 8540 на 1000, в результате чего получим опять 8. Мы уже знаем, что произведение 8 х 63 дает 504, поэтому прибавим последнее число к 540 и получим 1044.

Здесь явно что-то не так, потому что мы получили остаток, который больше, чем делитель. Поэтому нам необходимо увеличить последнюю цифру ответа на 1. Вычеркиваем последнюю цифру (8) и заменяем ее на 9. Произведение 9 х 63 равно 567. (9 х 60 = 540, 9 х 3 = 27 и 540 + 27 = 567.)

540 + 567 = 1107

Мы вычитаем 1000, поскольку увеличили последнюю цифру ответа на 1. Снесем последний нуль, чтобы вычислить третью цифру после запятой в ответе. 1070 делится на 1000 один раз. Это дает нам следующее число в ответе: 36,891. Нам нужен ответ с точностью до двух десятичных знаков: округление 36,981 до двух знаков дает 36,98. Задача решена.

Опять заметим, что гораздо легче перемножать 63 с каждой цифрой нашего ответа, чем то же самое делать с 937. Полное решение выглядит следующим образом:

Попробуйте решить следующие примеры самостоятельно: сначала в виде целой части и остатка, а потом с точностью до одного знака после запятой.

а) 456: 194 = __; б) 6789: 288 = __; в) 5678: 186 = __; г) 73251: 978 = __

Если вы столкнулись с проблемами, привожу полное решение каждого примера.

Ответом с точностью до одного знака после запятой является 2,4.

Ответом с точностью до одного знака после запятой является 23,6.

Ответом с точностью до одного знака после запятой является 30,5.

Чтобы умножить на 14, мы просто умножаем на 7, а затем удваиваем ответ (2 х 7 = 14).

Ответом с точностью до одного знака после запятой является 74,9.

В данном примере нам пришлось умножать на 22. Это легко сделать, если вспомнить, что 22 = 2 х 11. Не составляет труда умножать на 2 и 11, если использовать известные нам приемы умножения. Например, нужно умножить на 22 число 8. Умножаем 8 сначала на 2, а потом на 11.

8 х 2 = 16

16 х 11 = 176

При делении на 19, 29 или 39, возможно, лучше применять метод прямого деления, однако, когда делитель чуть меньше 100, 200, 400 или 1000, вы можете счесть более удобным только что рассмотренный метод.

Вы должны быть в состоянии без труда решать в уме такие примеры, как 1312: 96. Речь в данном случае шла бы о делении на 100 — 4. 1300 при делении на 100 дает 13, поэтому вы могли бы сказать про себя почти без пауз и задержек: «Тринадцать и четыре на остаток тринадцать, плюс двенадцать, то есть тринадцать с остатком шестьдесят четыре».

Затем, если вы хотите получить ответ с точностью до одного знака после запятой, умножим остаток 64 на 10 и вновь разделим на 96. 640 при делении на 96 дает 6 с остатком 40 + 24 = 64. Ясно, что так можно продолжать до бесконечности, поэтому можно получить ответ с любым количеством знаков после запятой. Например, ответом с точностью до трех знаков после запятой будет 13,667.

В завершение настоящей главы давайте сравним рассмотренный здесь метод с обычным делением в столбик.

Например:

705: 94 =

Решаем методом сложения:

Сколько раз 100 содержится в 705? Семь раз.

Теперь умножим 7 на 6 и прибавим ответ к 5 (в 705), чтобы получить наш остаток. Не представляет труда перемножить 7 и 6, а затем прибавить 42 к 5.

Теперь сравним это со стандартным делением в столбик.

Сколько раз 94 содержится в 705? Семь раз.

Теперь мы должны умножить 7 на 94 — получаем 658. Затем вычитаем 658 из 705, чтобы получить наш остаток.

Метод, рассмотренный в настоящей главе, предлагает более простое решение, не так ли?