Быстрая математика: секреты устного счета

Глава 2 Опорное число

Мы еще не до конца разобрались с методом перемножения чисел. Для задач, которые мы рассматривали до сих пор, метод работал безупречно. Теперь, после некоторой модификации, мы сможем применить его к любым числам.

Вернемся к примеру 7 х 8.

Число 10 слева от примера является опорным. Это число, из которого мы вычитаем множители.

Итак, запишем опорное число слева от примера. Теперь спросим себя, числа, которые мы перемножаем, являются больше (выше) или меньше (ниже), чем опорное число? В рассматриваемом случае множитель меньше (ниже), чем опорное число, оба раза. Поэтому рисуем кружки ниже множителей. На сколько множители меньше опорного числа? На 3 и 2 соответственно. Вписываем 3 и 2 в кружки. 7 равно 10 минус 3, поэтому ставим знак «минус» перед кружком с цифрой 3. 8 — это 10 минус 2, значит, ставим знак «минус» и перед кружком с цифрой 2.

Теперь вычитаем накрест. 7 минус 2 и 8 минус 3 дают 5. Записываем 5 после знака равенства. Теперь умножим 5 на опорное число 10. 5, умноженное на 10, дает 50, поэтому записываем 0 после 5. (При умножении любого числа на 10 достаточно дописать к числу справа нуль.) 50 является нашим промежуточным результатом.

Теперь перемножим числа в кружках. 3 на 2 дает 6. Прибавим результат к 50 и получим окончательный ответ: 56.

Полностью решенный пример выглядит так:

Каким было опорное число для примера 96 х 97 в главе 1? 100, поскольку мы также выясняли, сколько не хватает у 96 и 97, чтобы получилось 100. Пример, решенный полностью, теперь выглядел бы так:

Прием для счета в уме, который я приводил выше, просто заставляет вас использовать данный метод. Давайте перемножим 98 на 98, и вы поймете, что я имею в виду.

Вычитаем 98 и 98 из 100 и получаем 2 и 2. Отнимаем 2 от 98 и получаем 96. Но мы говорим не «девяносто шесть», а «девять тысяч шестьсот.». 9600 получится, когда мы умножим 96 на вспомогательное число 100. Теперь перемножим числа в кружках. Произведение 2 на 2 равняется 4, поэтому окончательным ответом будет 9604.

Решите следующие примеры в уме:

а) 96 х 96 = ___; б) 97 х 97 = ___; в) 99 х 99 = ___; г) 95 х 95 = ___; д) 97 х 98 = ___

У вас должны получиться следующие ответы:

а) 9216; б) 9409; в) 9801; г) 9025; д) 9506

Теперь вы, возможно, уже умеете быстро находить ответы для подобных примеров. Наверняка вполне освоили данный метод и применительно к числам меньше 10, решая соответствующие примеры с завидной скоростью. Например, если вы захотите вычислить, сколько будет 9 х 9, то немедленно «увидите» по единичке под каждой девяткой. 9 минус 1 дает 8 — и вы сразу получаете 80 (произведение 8 на 10). 1 на 1 дает 1. Таким образом, в ответе вы получаете 81.

Посмотрим, как работает метод для перемножения чисел от 10 до 20. В качестве примера возьмем 13 х 14, а 10 — в качестве опорного числа.

И 13, и 14 больше (выше) опорного числа 10, поэтому рисуем кружки над множителями. На сколько они больше опорного числа? На 3 и 4 соответственно. Поэтому вписываем 3 и 4 в кружки над 13 и 14. 13 равно 10 плюс 3, поэтому ставим знак «плюс» перед цифрой 3; 14 равно 10 плюс 4, поэтому ставим знак «плюс» перед цифрой 4.

Как и прежде, складываем накрест. И 13 плюс 4, и 14 плюс 3 равно 17. Пишем 17 после знака равенства. Умножаем 17 на опорное число 10 и получаем 170 — это наш промежуточный результат, записываем его после знака равенства.

В качестве последнего шага перемножаем числа в кружках. 3, умноженное на 4, равно 12. Прибавляем 12 к 170 и получаем ответ: 182. Вот так выглядит полностью решенный пример:

Если число, которое перемножаем, больше (выше) опорного, мы помещаем кружок над числом. Если число меньше (ниже) опорного, мы рисуем кружок под числом.

Теперь попробуйте решить следующие примеры самостоятельно:

а) 12 х 15 = ___; б) 13 х 15 = ___; в) 12 х 12 = ___; г) 13 х 13 = ___; д) 12 х 14 = ___; е) 12 х 16 = ___; ж) 14 х14 = ___; з) 15 х 15 = ___; и) 12 х 18 = ___; к) 16 х 14 = ___

Ответы:

а) 180; б) 195; в) 144; г) 169; д) 168; е) 192; ж) 196; з) 225; и) 216; к) 224

Если вы где-то допустили ошибку, прочтите раздел заново и выясните, что сделали не так, после чего попробуйте решить примеры снова.

А как бы вы перемножали 12 и 21? Давайте разберем данный пример.

В качестве опорного числа берем 10. Оба множителя больше 10, поэтому рисуем кружки над ними. 12 больше 10 на 2, а 21 — на 11, поэтому вписываем 2 и 11 в соответствующие кружки. 21 плюс 2 равно 23, которое после умножения на 10 дает 230. 2, умноженное на 11, равно 22, которое в сумме с 230 равняется 252.

Полностью решенный пример выглядит следующим образом:

Можно ли использовать данный метод для перемножения чисел больше 100? Разумеется.

Чтобы умножить 106 на 104, возьмем 100 в качестве опорного числа.

Множители превышают опорное число 100, поэтому рисуем кружки над 106 и 104. На сколько они превышают 100? На 6 и 4. Вписываем 6 и 4 в кружки. Перед ними надо поставить знак «плюс» (как перед положительными числами), поскольку 106 равняется 100 плюс 6, а 104–100 плюс 4.

Складываем накрест. 106 плюс 4 равно 110. Запишем 110 после знака равенства.

Умножим 110 на опорное число 100. Как умножить любое число на 100? Приписать к нему справа два нуля. Получаем промежуточный результат: 11000.

Теперь перемножим числа в кружках: 6 х 4 = 24. Приплюсуем результат к 11000 и получаем 11024.

Полностью решенный пример выглядит следующим образом:

Попробуйте решить несколько примеров самостоятельно:

а) 102 х 114 = ___; б) 103 х 112 = ___; в) 112 х 112 = ___; г) 102 х 125 = ___

Ответы:

а) 11628; б) 11536; в) 12544; г) 12750

Немного попрактиковавшись, вы сможете решать все подобные примеры без ручки и бумаги. В глазах других людей это будет очень эффектно.

При использовании изложенного выше подхода очень важно то, что возникает перед вашим мысленным взором, или то, что вы произносите про себя. Это может помочь вам решать задачи с большей легкостью и с более высокой скоростью.

Давайте умножим 16 на 16 и затем посмотрим, что мы могли бы при этом проговаривать про себя.

Складываем накрест. 16 плюс 6 (от второго множителя 16) равно 22. Потом умножаем на 10 и получаем 220. 6, умноженное на 6, равно 36. Прибавляем сначала 30, а потом 6. 220 плюс 30 равно 250, плюс еще 6 — получаем 256.

Про себя мы могли бы при этом проговаривать: «Шестнадцать плюс шесть, двадцать два, двести двадцать. Тридцать шесть, двести пятьдесят шесть». Обретя некоторый навык, вы сможете опускать половину всего этого. Вам не надо будет комментировать буквально каждый свой шаг. Достаточно будет сказать: «Двадцать два, двести пятьдесят шесть».

Практикуйтесь в том, как вы проговариваете про себя ход решения. Произносить только самое необходимое во время вычисления — значит более чем вдвое сократить время решения.

Как вы станете вычислять 7 х 8 в уме? Вы немедленно представите себе цифры 3 и 2 в кружках под 7 и 8. Затем отнимите 2 от 7 (или 3 от 8) и после того, как тут же умножите на 10, скажете вслух: «Пятьдесят». 3 на 2 равно 6. Вслух же вы произнесете практически без паузы: «Пятьдесят… шесть».

А как насчет 6 х 7?

Вы немедленно представите себе цифры 4 и 3 в кружках под 6 и 7. 6 минус 3 дает 3, поэтому вы скажете про себя: «Тридцать». 4 на 3 дает 12, плюс 30–42. Про себя же вы просто проговорите: «Тридцать, сорок два».

Не очень сложно, не так ли? Чем больше примеров вы решите самостоятельно, тем легче вам будет выполнять эти вычисления.

Люди спрашивают у меня: «Когда нужно использовать опорное число?» Предыдущий пример дает ответ на этот вопрос. Вычисляя произведение 6 на 7 в уме, вы автоматически используете опорное число — 10. Ваш промежуточный результат равен 30. Вы говорите: «Тридцать.» Затем вычисляете: 4 на 3 равно 12. Вы не скажете вслух: «Тридцать двенадцать». Вам известно, что необходимо прибавить 12 к 30, чтобы получить ответ.

По мере освоения описанных здесь методов вы обнаружите, что автоматически используете опорное число, даже когда уже не записываете его во время вычислений.

Посмотрим на следующий пример:

Он может представлять определенные трудности, если мы не знаем, сколько будет 8 х 7. Можно пририсовать еще пару кружков под первыми, чтобы вычислить произведение 8 х 7. Пример теперь выглядит так:

Вычтем 8 из 93 путем отнимания 10 и прибавления 2. 93 минус 10 равно 83, плюс 2 — получаем 85. Умножаем на опорное число 100 и имеем промежуточный результат: 8500. Чтобы перемножить 8 на 7, используем нижний ряд чисел в кружках, то есть 2 и 3.

7 – 2 = 5 и 2 х 3 = 6

Ответ равен 56. Вот как теперь выглядит решение примера:

Можно также, к примеру, умножить 86 на 87.

Можно использовать только что изученный метод для перемножения чисел от 10 до 20.

Вы сможете проделывать все это в уме после некоторой тренировки.

Попробуйте решить следующие примеры:

а) 92 х 92 = ___; б) 91 х 91 = ___; в) 91 х 92 = ___; г) 88 х 85 = ___; д) 86 х 86 = ___; е) 87 х 87 = ___

Ответы:

а) 8464; б) 8281; в) 8372; г) 7480; д) 7396; е) 7569

Совместное использование методов, изложенных в настоящей книге, открывает для вас поистине безграничные возможности вычислений. Поэкспериментируйте сами.