Быстрая математика: секреты устного счета

Глава 22 Прямое умножение

Простой способ найти произведение чисел, для которых трудно сходу подобрать подходящее опорное число, предлагает так называемое прямое умножение. Это обычный метод, используемый людьми, которые молниеносно считают в уме.

Например:

36 х 72 =

Вот каким образом следует представить себе данную задачу, когда человек взялся решать ее в уме:

Вычисление следует вести слева направо, начав с произведения 70 на 30. Перемножаем 7 и 3 и умножаем ответ на 100. (На практике следует перемножить 7 и 3, а затем приписать два нуля к результату.)

7 х 3 = 21

21 х 100 = 2100

Это наш первый промежуточный результат. Теперь перемножаем накрест: 7 х 6 и 3 х 2, а затем суммируем результаты умножения.

7 х 6 = 42

3 х 2 = 6

42 + 6 = 48

Умножим последний результат на 10 и прибавим к нашему промежуточному результату.

48 х 10 = 480

2100 + 480 = 2580

Если вы скажете про себя: «Две тысячи сто плюс четыреста. две тысячи пятьсот, плюс восемьдесят. две тысячи пятьсот восемьдесят», то у вас не будет проблем с выполнением всего расчета в уме.

Теперь перемножим цифры единиц. Произведение 6 х 2 равно 12. Прибавим 12 к нашему текущему промежуточному результату и получаем в ответе 2592.

2580 + 12 = 2592 ОТВЕТ

Ведя расчет слева направо, мы получаем приближенное значение ответа после первого шага. С каждым шагом мы получаем все более точный ответ.

При этом все вычисления могут выполняться в уме.

Попробуем решить другой пример:

34 х 73 =

Представляем задачу следующим образом:

Умножаем: 7 х 3 = 21, плюс два нуля (поскольку речь идет о разряде десятков), получаем промежуточный результат 2100.

Теперь перемножаем накрест и складываем:

(3 х 3) + (7 х 4) =

9 + 28 = 37

Добавляем один нуль к результату, чтобы учесть тот факт, что мы умножали десятки на единицы. Получаем 370.

При этом мы скажем про себя: «Две тысячи сто плюс триста. две тысячи четыреста. плюс семьдесят. две тысячи четыреста семьдесят».

Наш промежуточный результат равен 2470. Теперь перемножим цифры единиц.

4 х 3 = 12 2473 + 12 = 2482 ОТВЕТ

Попробуйте решить следующие примеры самостоятельно:

а) 42 х 74 = __; б) 37 х 64 = __; в) 27 х 81 = __; г) 34 х 72 = __

Разве не впечатляет вас тот факт, насколько легко вам удается решать данные примеры в уме?

Ответы:

а) 3138; б) 2368; в) 2187; г) 2448

Данный метод можно применять в тех случаях, когда способ быстрого умножения не приходит в голову.

Прямое умножение на однозначное число также не представляет труда.

Чтобы умножить 43 на 6, умножим 40 на 6, а затем прибавим 3 шестерки. Умножая 40 на 6, вычисляем, сколько будет 6 х 4, и просто приписываем нуль справа.

6 х 4 = 24

24 х 13 = 243

3 х 6 = 18

243 + 18 = 258

Очень просто, не правда ли? Легче, чем использовать опорные числа и нашу универсальную формулу умножения.

А как насчет 6 х 17?

6 на 10 дает 60 и плюс 6 на 7, что равняется 42. Получаем в ответе 102.

Скажем, нам требуется вычислить, сколько будет 6³. Это то же самое, что 6 х 6 х 6, то есть произведение трех шестерок.

Перемножаем первые две:

6 х 6 = 36

Теперь надо умножить результат на 6. Для этого мы сначала умножаем 30 на 6, потом 6 на 6 и складываем оба результата:

6 х 33 = 180

Прибавляя 6 х 6 = 36, получаем:

180 + 36 = 216

Чтобы сложить 180 и 36, я прибавил бы сначала 20 из 36, получив 200, а затем приплюсовал бы оставшиеся 16, что дает окончательный ответ 216.

Прямое умножение на однозначное число не представляет труда и со временем позволяет решать задачи на умножение почти автоматически.

Попробуйте решить следующие примеры самостоятельно:

а) 7 х 13 = __; б) 8 х 23 = __; в) 6 х 42 = __; г) 9 х 26 = __; д) 6 х 124 = __; е) 8 х 206 = __

Ответы:

а) 91; б) 184; в) 252; г) 234; д) 744; е) 1648

Подсказка для решения примера д): умножьте 6 на 120, а затем прибавьте 6 х 4.

Все ли у вас получилось? Большинство людей чувствуют себя неуверенно с подобными вычислениями, находя их сложными. Умение дать быстрый ответ на подобного рода задачу сделает вас в глазах окружающих высокоинтеллектуальным и математически одаренным человеком.

Попробуем найти произведение 123 х 45:

Сначала мы умножаем 1 на 4. Затем вычисляем сумму 1 х 5 и 2 х 4. Затем сумму 2 х 5 и 3 х 4. И наконец, вычисляем 3 х 5. Все это складываем с учетом разрядов, то есть с учетом того, сколько нулей должно быть приписано справа к каждому ответу. А именно:

100 х 40 = 4000

(Четыре раза по 100 равно 400, после умножения на 10 получаем 4000.)

100 на 5 равно 500, плюс 20 х 40, равное 800, получаем 1300.

4000 + 1300 = 5300

20 на 5 равно 100, плюс 3 х 40, равное 120, получаем 220.

5300 + 220 = 5520

5 на 3 равно 15.

5520 + 15 = 5535 ОТВЕТ

Чтобы добраться до ответа, мы получили три промежуточных результата (4000, 5300, 5520) и окончательный (5535).

Стандартное умножение в столбик подразумевает, что мы сначала получаем цифру единиц ответа, то есть 5. Хотя 232 можно выполнять прямое умножение как слева направо, так и справа налево, начиная с цифр более высокого порядка, мы сразу получаем промежуточный результат, очень близкий к фактическому ответу.

Представить механизм перемножения можно другим способом:

Произведение 100 х 40 равно 4000. Промежуточный результат будет 4000.

100 х 5 = 500, плюс 20 х 40 = 800 — получается 1300. Промежуточный результат равен 5300.

5 х 20 = 100, плюс 3 х 40 = 120, — получается 220. Новый промежуточный результат равен 5520.

3 х 5 = 15. Окончательный результат: 5535.

Чтобы найти произведение 321 х 427 на бумаге, все, что нужно, — это записывать результат.

Прибавляйте столько нулей, сколько в сумме цифр после перемножаемых вами цифр.

Можно помогать себе, указывая пальцем на цифры, подлежащие перемножению в данный момент.

Попробуйте решить следующие примеры самостоятельно. Сначала попробуйте решить их на бумаге, а затем сразу назвать ответ, выполнив расчеты в уме.

а) 123 х 345 = __; б) 204 х 436 = __; в) 623 х 316 = __; г) 724 х 315 = __

Ответы:

а) 42435; б) 88944; в)196868; г) 228060

Можно комбинировать прямое умножение с методом, где используется опорное число. В случае последнего мы стараемся выбирать простые опорные числа вроде 10, 20, 50 и 100. Если же приходится использовать такие числа, как 30 или 70, то можно применить комбинацию с методом прямого умножения.

Если бы вам, к примеру, требовалось перемножить 68 и 68, вы использовали бы 70 в качестве опорного числа.

Вычитаем накрест:

68 — 2 = 66

Чтобы найти промежуточный результат, мы должны умножить 66 на опорное число 70. Используем прямое умножение:

70 х 66 =

60 х 70 = 4200

6 х 70 = 420

4200 + 420 = 4620

Теперь перемножим числа в кружках и прибавим ответ к нашему промежуточному результату:

2 х 2 = 4

4620 + 4 = 4624

Интересно, что в данном примере мы могли бы использовать один из наших способов быстрого получения ответа. Речь идет о том, чтобы разбить 66 на множители: 6 х 11.

Тогда пример можно представить так: 7 х 6 х 11 х 10.

7 х 6 = 42

42 х 11 = 462 (способ умножения на 11)

462 х 10 = 4620

Перемножая числа в кружках и прибавляя ответ к промежуточному результату, получаем 4624.

Метод прямого умножения делает возможным использование любого опорного числа.