Быстрая математика: секреты устного счета

Приложение Б Приближенное значение кубического корня

Нам нечасто приходится вычислять приближенное значение кубического корня, однако иногда возникает необходимость узнать размеры сферы или куба. Например, когда мы цементируем подъезд к гаражу, нам может потребоваться вычислить объем (то есть кубическую величину) цемента, песка или гравия. Для большинства людей существует единственный способ вычислить кубический корень — воспользоваться калькулятором. Даже в этом случае это должен быть инженерный калькулятор.

Кубический корень из 27 равен 3, поскольку 3 х 3 х 3 = 27. Чтобы возвести три в куб, необходимо перемножить число 3 три раза. 3 в кубе равно 27. Кубический корень из 27 равен 3. Это записывается так: ³√27. Цифра 3 над знаком корня говорит о том, что это кубический корень. (По идее, над знаком квадратного корня следует ставить цифру 2, однако в этом случае общепринято опускать цифру над корнем.)

Я покажу простой способ вычисления приближенного значения кубического корня, точно так же как ранее показал способ оценки значения квадратного корня. Для использования простой формулы, которую я вам предложу, достаточно иметь простейший калькулятор, умеющий лишь складывать, вычитать, умножать и делить.

Во-первых, необходимо запомнить кубы чисел от 1 до 10:

1³ = 1; 4³ = 64

2³ = 8; 5³ = 125

3³ = 27; 6³ = 216

7³= 343; 9³ = 729

8³= 512; 10³ = 1000

Кубы чисел от 1 до 5 не представляют проблем, поскольку их легко вычислить, если они забудутся.

Первым делом при нахождении квадратного корня из числа мы разбивали его на пары цифр, поэтому:

Чтобы найти кубический корень из числа, разбиваем его цифры на группы по три. Количество таких групп дает нам количество цифр ответа.

Затем мы оцениваем значение кубического корня из числа, составленного из первой тройки цифр. Здесь нам понадобятся кубы первых десяти чисел, которые мы уже запомнили.

• Если число, составленное из первой тройки цифр, находится между 1 и 7, то первой цифрой ответа будет 1.

• Если оно находится между 8 и 26, то первой цифрой ответа будет 2.

• Если оно находится между 27 и 63, то первой цифрой ответа будет 3.

Думаю, вы уловили закономерность. Оценка значения кубического корня из числа, составленного из первой тройки цифр, дает первую цифру ответа. Остальные цифры (по количеству остающихся троек) примем равными 0. Это будет первое приближение искомого кубического корня.

Возьмем в качестве примера число 250:

³√250 =

250 больше, чем 6 в кубе (216), но меньше 7 в кубе (343). Это говорит нам о том, что значение корня находится между 6 и 7.

Делим исходное число на первое приближение корня (6), при этом дважды:

250: 6 = 41,67

Делим полученный ответ снова на 6:

41,67: 6 = 6,94

Разница между первым приближением (6) и результатом двойного деления (6,94) составляет 0,94. Разделим это число на 3 и прибавим полученный результат к нашему первому приближению:

0,94: 3 = 0,31

Прибавляя к 6, получаем 6,31.

³√250 = 6,31

Данное приближение всегда будет немного больше фактического корня, поэтому округлим его в меньшую сторону до 6,3. Калькулятор дает значение корня 6,2996. Мы округлили недостаточно, однако полученный нами ответ верен до одной цифры после запятой. И настоящее преимущество состоит в том, что вышеприведенный расчет можно произвести в уме.

Последний шаг в наших вычислениях иными словами можно описать как вычисление среднего значения для трех использованных нами чисел. А именно: мы находим сумму 6 + 6 + 6,94 и делим на 3.

6 + 6 + 6,94 = 18,94

18,94: 3 = 6,31

Я считаю, что гораздо проще делить разницу на 3.

Воспользовавшись простым десятиразрядным калькулятором с четырьмя функциями, я взял 6,31 в качестве второго приближения и повторил вычисления. В качестве окончательного ответа я получил 6,2996053, тогда как мой инженерный калькулятор выдал в ответе 6,299605249 — таким образом, метод обеспечил точность до семи цифр после запятой.

Попробуйте вычислить следующие кубические корни самостоятельно:

a) ³√230 = __; б) ³√540 = __; в) ³√8162 = __; г) ³√30000 = __

Ответы:

а) 6,127; б) 8,1457; в) 20,134; г) 31,07

Используя вышеизложенный метод, полученные вами ответы должны быть весьма близкими к фактическим значениям. Если хотите, можете оценить точность приближения в процентах.

Существует другой способ для решения примеров в) и г). Первыми приближениями являются 20 и 30 соответственно. Таким образом, деление можно выполнять только один раз: на 20² и 30². Это означает деление на 400 и 900. Речь идет о том, чтобы переместить запятую на две цифры влево и делить на 4 и 9.

Аналогично нашему методу вычисления приближенного значения квадратного корня, если исходное число ненамного меньше куба некоего числа, мы можем брать в качестве первого приближения число, куб которого больше, а не нижнее приближение. После этого делим дважды на первое приближение и вычитаем треть разницы между полученным результатом и первым приближением. И опять-таки, как и в случае с квадратным корнем, существует способ сократить вычисления.

Рассмотрим, к примеру, кубический корень из 320.

³√320 =

6 в кубе равно 216, а 7 в кубе будет 343. 7, безусловно, является более близким приближением.

320: 7 = 45,71

Снова делим на 7:

45,7: 7 = 6,53

Вычитаем 6,53 из 7:

7 – 6,53 = 0,47

Теперь необходимо вычислить треть разницы:

0,47: 3 = 0,157

Вычитаем треть разницы (0,157) из нашего приближения (7):

7 – 0,157 = 6,843

Округлим до 6,84 — это искомый ответ.

³√320 = 6,84

Истинным ответом является 6,8399.

Теперь по поводу более короткого способа вычислений. На самом деле мы просто нашли среднее значение для чисел 7, 7 и 6,53. Иными словами, речь идет о делении суммы этих чисел на 3:

7 + 7 + 6,53 = 20,53

20,53: 3 = 6,843

Деля 20 на 3, мы получаем 6 с остатком 2, который переносим к 0,53, получая 2,53.

2,53: 3 = 0,843

Тогда как в случае квадратного корня мы переносим 1, в случае кубического корня мы переносим 2. Вместо того чтобы вычитать треть разницы, вычисленной от верхнего приближения, мы берем нижнее приближение (в данном случае 6), переносим 2 и делим на 3, получая окончательный ответ.

Почему мы переносим 2, вычисляя кубические корни? Потому что, как и в рассмотренном только что случае, когда вычисляем среднее из трех чисел, мы складываем два числа, которые на единицу больше искомого. Поэтому суммой будет нижнее приближение, взятое трижды, плюс 2.

Попробую проиллюстрировать на примере:

³√700 =

В качестве первого приближения берем 9, которое является приближением сверху (9 в кубе равно 729).

Делим 700 на 9 дважды:

700: 9 = 77,77 (округлили в меньшую сторону)

77,77: 9 = 8,64

Первой цифрой ответа является 8. Чтобы получить остаток, заменим целую часть на 2, оставив дробную часть как есть, и разделим полученное число на 3.

2,64: 3 = 0,88

Искомым ответом является 8,88. Он точен до двух знаков после запятой.

Попробуем решить еще один пример:

³√7531 =

Разбиваем число под знаком корня на тройки цифр.

Получаем:

Найдем приближенное значение кубического корня из числа, составленного из цифр первой тройки, то есть 7. 7 близко к 8, равному 2³, поэтому возьмем 2 в качестве нашего первого приближения. У нас две тройки цифр, поэтому в ответе будет две цифры. Берем, как водится, 0 в качестве второй цифры, получая полное первое приближение 20.

Делим 7531 на 20 дважды. Чтобы разделить на 20, сначала делим на 10, а затем на 2.

7531: 20 = 376,55

376,55: 20 = 18,8275

Вместо деления на 20 дважды мы могли бы разделить на 20 в квадрате, то есть на 400.

7531: 100 = 75,31

75,31: 4 = 18,8275

Теперь мы знаем, что первой цифрой ответа является 1. Речь идет о цифре десятков. Нашим промежуточным результатом является 10.

Ставим 2 перед остатком числа и получаем 28,8275.

28,8275: 3 = 9,609

10 + 9,609 = 19,609

Округляя, получаем 19,6. Наш ответ верен до одной цифры после запятой. Фактический ответ равен 19,60127, значит, мы получили очень близкий результат.

Попробуйте решить следующие примеры самостоятельно, а затем сравните свое решение с тем, что дано ниже:

а) ³√115 = __; б) ³√500 = __

В примере а) берем 5 в качестве приближения.

Делим 115 на 5 и получаем 23. (Делим на 10 и удваиваем ответ.) Затем делим 23 на 5, получая 4,6. (Делим на 10 и удваиваем.) 4 — это первая цифра нашего ответа.

Подставляем 2 вместо 4, получая 2,6. Теперь делим на 3.

2,6: 3 = 0,8667

Округляем до 4,86. Ответ точен до двух знаков после запятой.

Для примера б) возьмем 8 в качестве первого приближения.

500: 8 = 62,5 62,5: 8 = 7,8125

Согласно правилу приближения по верхнему числу, подставляем 2 вместо 7, получая 2,8125.

Поделив 2,8125 на 3, имеем 0,9375. Прибавляем данный результат к 7 и получаем наш ответ: 7,9375.

Истинный ответ, вычисленный с помощью калькулятора, равен 7,93700526. Для вычисленного в уме полученный нами ответ является чрезвычайно точным. Как, впрочем, и для ответа, вычисленного на бумаге, но в результате простейших вычислений. Можно также отметить, что полученные нами приближения всегда превышают фактический ответ. Если бы в только что рассмотренном примере мы округлили в сторону уменьшения, то вышли бы на точный ответ.

Это эффективный метод для нахождения кубического корня из числа, производящий большое впечатление на окружающих. Обычному человеку и в голову не придет пытаться вычислить ответ даже с помощью ручки и бумаги. Рассмотренный же здесь метод допускает вычисление в уме.